2.1《建立一元二次方程模型》PPT课件
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一元二次方程ppt课件
解：将x=2代入方程x2－c = 0中，2²-c=0，∴c=4，方程为x2－4= 0∴x2 = 4，x=±2∴这个方程另外的根是-2
6.已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值．
解：将x＝1代入方程x2＋2ax＋a2＝3，得a2＋2a＝2，∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝2×2＝4.
D
3.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？
解：设第一个数为 x，则可列出方程 x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，即 x2 - 8x - 20 = 0.
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
6.已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值．
解：将x＝1代入方程x2＋2ax＋a2＝3，得a2＋2a＝2，∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝2×2＝4.
D
3.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？
解：设第一个数为 x，则可列出方程 x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，即 x2 - 8x - 20 = 0.
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
建立一元二次方程的模型.ppt
设计意图：突破难点，训练学生的“分类讨论”的数学思想， 使学生掌握学习方法，成为“善学”的能手
过程4
目标自查，检测新知
1、已知x=1是关于x的一元二次方程2 x2+kx-1=0的一个根，则实数k=_____ 2、一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化为一般形式是___________，其中二次项系数 为_____,一次项系数为_____,常数项为______.
3t，小亮行驶的路程为
, 2t 可列方程3t = 2t
1 0.01 t 2 2
1 0.01 t 2 2
整理得:0.005t2- t =0
②
设计意图：教学生如何分析问题，使学生“会学”，培养 学生处理信息的能力和抽象思维能力。
过程2
自主交流，探索新知
x2+12x-540=0 ① 和 0.005 t2-t=0 ②
【情感、态度、价值观目标】
通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动， 增进对方程的认识，提高学生分析问题、解决问题的能力
三、教法· 学法分析
1、教法
基于本节课内容的特点和初三学生的基础，我以 “启发式”教学 法为主进行教学。教师作引导，学生为主体，以学生的互动学习为主， 提高学生的观察、分析、概括能力， 在合作、交流的气氛下进行师生 互动，培养学生的自学能力和创新意识。
采用多媒体辅助教学，由实际问题建立一元二次方程的模型；将判 断题以游戏抢答的形式出现，充分的调动学生的积极性，激发学生的学 习热情；
四、教学媒体设计
为学生探究和发现新知提供技术支持
多媒体课件辅助教学
为教师进行教学提供技术平台
五、教学过程设计
根据本节课的教学内容，新课程标准的要求，学生的实际 情况，我采用“创设情境—自主探索—应用拓展”的模式, 将整节课分为六个环节，制订以下教学流程：
《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
注意：系数包含 前面的符号
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
获取新知
知识点二：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次 方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
例题讲解
例2 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
第二十一章 一元二次方程
一元二次方程
-.
知识回顾
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8 2x+3
没有未知数 代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
一元二次方程课件
回忆本节所学的内容，即一元二次方程 的概念和它的一般形式．通过本节课的 学习谈谈学生自己的体会．
创设情境 自主探索 巩固练习 归纳小结 布置作业 导入新课 归纳新知 深化知识 反思提高 分层落实
复习本节课的内容；
作 业： 基本题：教材P19习题2、3；
思考题:看是否能解出情景一的方程. 附板书设计：
返回
设计意图： 面向学生，注重个体差异，加强作业的针对性．培养学生 的学习兴趣．思考题的设计目的是为了引出下一节的内容， 让学生对下节的学习营造氛围．
板书设计的意图: 板书设计的好坏直接影响这节课的效果，为了使整个版面 的重点突出，层次分明，我将黑板分为三版,第一版回忆 和情景引入，第二版概念的讲解，第三版做为例题和练习 题的讲解.
一元二次方程
(1) x2+10x-900=0 一元二次方程的概念 一元二次方程的
一般形式
(3) 5x2+10x-2.2=0
……
……
说教材
教学 评价
说目标 说教学方法 说教学程序
说评价
总之，这节课是本着教师只是学生学习的引导 者，知识是由学生自主构建的原则设计的．教学活 动中学生在问题的基础上逐步地得出这节课的重点 内容.这样让学生的感觉坡度不大，掌握起来比较 容易.本节课重视知识的形成、发展过程，解题思 路的探索过程，重视知识的概括和总结，使学生在 这过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创 新意.
说教材
说目标 说教学方法 说教学程序
说评价
教学 重点
一元二次方程的概念及一般形式.
教学 难点
列一元二次方程.
说教材
说目标
说教学方法 说教学程序
说评价
教学 目标
1.知识目标：使学生充分了解一元二次方 程的概念；正确掌握一元二次方程的一般 形式. 2.能力目标：通过列方程解决实际问题; 增强学生的数学应用意识和能力. 3.情感目标：在探索活动中，培养学生的 合作交流的意识.
创设情境 自主探索 巩固练习 归纳小结 布置作业 导入新课 归纳新知 深化知识 反思提高 分层落实
复习本节课的内容；
作 业： 基本题：教材P19习题2、3；
思考题:看是否能解出情景一的方程. 附板书设计：
返回
设计意图： 面向学生，注重个体差异，加强作业的针对性．培养学生 的学习兴趣．思考题的设计目的是为了引出下一节的内容， 让学生对下节的学习营造氛围．
板书设计的意图: 板书设计的好坏直接影响这节课的效果，为了使整个版面 的重点突出，层次分明，我将黑板分为三版,第一版回忆 和情景引入，第二版概念的讲解，第三版做为例题和练习 题的讲解.
一元二次方程
(1) x2+10x-900=0 一元二次方程的概念 一元二次方程的
一般形式
(3) 5x2+10x-2.2=0
……
……
说教材
教学 评价
说目标 说教学方法 说教学程序
说评价
总之，这节课是本着教师只是学生学习的引导 者，知识是由学生自主构建的原则设计的．教学活 动中学生在问题的基础上逐步地得出这节课的重点 内容.这样让学生的感觉坡度不大，掌握起来比较 容易.本节课重视知识的形成、发展过程，解题思 路的探索过程，重视知识的概括和总结，使学生在 这过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创 新意.
说教材
说目标 说教学方法 说教学程序
说评价
教学 重点
一元二次方程的概念及一般形式.
教学 难点
列一元二次方程.
说教材
说目标
说教学方法 说教学程序
说评价
教学 目标
1.知识目标：使学生充分了解一元二次方 程的概念；正确掌握一元二次方程的一般 形式. 2.能力目标：通过列方程解决实际问题; 增强学生的数学应用意识和能力. 3.情感目标：在探索活动中，培养学生的 合作交流的意识.
一元二次方程ppt课件
b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
注意 ①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘-1,使二次项系数变为 正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
即学即练，趁热打铁
1.下列方程哪些是一元二次方程? 为什么?
(1)8x3 - 5x2 - 4 = 0
最高指数是3
(2)7x2 - 4y + 6= 0
方程中同时出现x、y两个未知数
(3) 2x 1 1 0 3x
(4) y2 0 2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的
二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
经化简得x2 - 8x - 20＝0（一般式）.
例3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面 的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多 少米？（列出方程即可）
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端
距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后 梯子底端距墙 (x+6) m ;
2.1 认识一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的概念;（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）.
（重点） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型，培养学
生的数形结合思想. （难点）
导入新课
（一 ）、学前准备： 1、什么叫方程？
3x2= 5x - 1
3x2 - + 2) (x - 1)=6
九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》PPT课件
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
一元二次方程ppt课件
次项系数、一次系数和常数项系数：
ax2+bx+c=0
（1） 5x2-1=4x ；
（2）4x2=81 ；
（3）4x(x+2)=25 ;
（4）(2x-2)(x-1)=0
当堂检测
5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化为一元二
次方程的一般式：
（1） 4个完全相同的正方形面积之和为25，求正方形的边长x ；
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数，不是整式
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
(5)5x2+6=0
a可能为0
是
典例精析
例 将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解：3x 2 − 3x = 5x + 10
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数最高次数是2（二次），这样的方程
叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a≠0）
【提问】为什么强调a≠0
其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
判断一元二次方程
判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
算一算：
x＝-2，x＝1,哪个方程2x2-3x+1＝0的解？
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
ax2+bx+c=0
（1） 5x2-1=4x ；
（2）4x2=81 ；
（3）4x(x+2)=25 ;
（4）(2x-2)(x-1)=0
当堂检测
5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化为一元二
次方程的一般式：
（1） 4个完全相同的正方形面积之和为25，求正方形的边长x ；
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数，不是整式
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
(5)5x2+6=0
a可能为0
是
典例精析
例 将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解：3x 2 − 3x = 5x + 10
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数最高次数是2（二次），这样的方程
叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a≠0）
【提问】为什么强调a≠0
其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
判断一元二次方程
判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
算一算：
x＝-2，x＝1,哪个方程2x2-3x+1＝0的解？
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
一元二次方程(PPT课件)
x2 5 . x1 1， 所以：
解法3：利用配方法。将方程左边配方，有：
x 2 6 x 9 9 5 0 ，即 x 32 4
x2 5 . x 3 2 即 x1 1， 所以：
想一想
例题中的三种解法各具有哪些特点？本题 中使用哪种方法比较简洁？
返回目录
(1) x 2 4 x 12 0 ；(2) 3x 2 4 x 1 0；
(3) x 2 2 x 2 0 ；(4) x 2 4 x 2 0 .
再 见！
返回目录
§3.3
一元二次方程
安溪华侨职校数学组
目 录
知 识 讲 授 典 型 例 题
课 堂 练 习
课 外 作 业
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。其一般形式为：
ax2 bx c 0
a 0 .
2、解一元二次方程的基本方法:
公式法、配方法和因式分解法
_______ ⑷方程 x 2 2 x 8 0中， ，此方程
_______实数根；
课堂练习
2、解下列各方程：
(1) x 2 3x 10 0 ； (2) 2 x 2 3x 9 0； (3)பைடு நூலகம்3x 2 4 x 4 0 .
返回目录
课外作业
用适当的方法解下列各方程：
3、一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。求根公 式为：
b b 2 4ac x . 2a
4、一元二次方程解得讨论：
2 b 4ac ，则： 判别式为
(1) 当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实 数解； (2) 当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数解； (3) 当 0 时，一元二次方程没有实数解。
建立一元二次方程模型PPT教学课件
(1)它们分别含有两个未知数. (2)它们的左边分别是t和x的二次多项式.
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含 有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次 方程.它的一般形式是
a x 2 b x c 0 ( a , b , c 是 常 数 项 ， a 0 )
其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
(1)x2 5x 6;
(2)3x4 x2;
(3)(102x)(62x) 32.
2020/12/11
9
练习
如果一个数与比它大2的数的积等于35，列出这个数 所满足的方程.
2020/12/11
10
Байду номын сангаасPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/11
11
我们可以建立方程的模型来计算 人行道的宽度，如图所示，设 人行道的宽度为x，则草坪的边 长为 35－2x m.
根据题意，可以列方程
(352x)2900.
2020/12/11
此方程通过移项，可以写成
(352x)29000. 4
问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校
还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别为3m/s和
一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在 它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的
长方体盒子，使它的底面积为364cm2 .截去的小正方 形的边长应当是多少？
2020/12/11
1
义务教育课程标准实验教科书
shuxue
第一章 一元二次方程
2020/12/11
湖南教育出版社
问题一 如图，某住宅小区内有一栋建筑，占地为一边长 为35m.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900m2 的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人 行道的宽度为多少米？
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含 有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次 方程.它的一般形式是
a x 2 b x c 0 ( a , b , c 是 常 数 项 ， a 0 )
其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
(1)x2 5x 6;
(2)3x4 x2;
(3)(102x)(62x) 32.
2020/12/11
9
练习
如果一个数与比它大2的数的积等于35，列出这个数 所满足的方程.
2020/12/11
10
Байду номын сангаасPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/11
11
我们可以建立方程的模型来计算 人行道的宽度，如图所示，设 人行道的宽度为x，则草坪的边 长为 35－2x m.
根据题意，可以列方程
(352x)2900.
2020/12/11
此方程通过移项，可以写成
(352x)29000. 4
问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校
还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别为3m/s和
一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在 它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的
长方体盒子，使它的底面积为364cm2 .截去的小正方 形的边长应当是多少？
2020/12/11
1
义务教育课程标准实验教科书
shuxue
第一章 一元二次方程
2020/12/11
湖南教育出版社
问题一 如图，某住宅小区内有一栋建筑，占地为一边长 为35m.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900m2 的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人 行道的宽度为多少米？
一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册
这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
17.建立一元二次方程解几何问题PPT课件(沪科版)
(x－40) cm.
根据题意，得 20(x－40)2＝2 880.
整理，得
(x－40)2＝144.
解方程，得
x1＝52，x2＝28.
x2＝28不合题意，所以x＝52.
答：原金属片的边长是52 cm.
知1－讲
总结
知1－讲
利用长方体的容积为2880cm3列出方程是 解决问题的关键.
知1－讲
例2〈武汉模拟〉如图，利用一面墙(墙EF最长可利用 25米)，围成一个长方形花园ABCD，与围墙平行的 一边BC上要预留3米宽的入口(图中MN所示，不用 砌墙)，若砌墙的材料长46米， 当长方形花园的一边长BC为多少 米时，围成的长方形花园的面积
mm的附着物，而导致流通截面减少至本来的
4
9.
求这根水管本来的内壁直径.
设：原来的水管半径为x，
根据题意列方程为：
（x－3）（x－3）＝ 4 ,解得x＝9
x • x
9
所以原来的内壁直径为18mm.
知1－练
• 2 (中考·黔西南州)某校准备修建一个面积为180平
方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地
知1－练
4 等腰梯形的面积为160 cm2，上底比高多4 cm，下底比上底多16 cm，则这个梯形的高A为
() A．8 cm C．8 cm或20 cm
B．20 cm D．以上都不对
知识点 2 不规则图形的应用
知2－讲
例3 •〈天津〉注意：为了使同学们更好地解答本题， 我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路 填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其 他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答 题的一般要求，进行解答即可．
为299平方米？
一元二次方程ppt课件
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
建立一元二次方程模型第一课.ppt
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
（二）经典例题
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项系数、 一次项系数和常数项.
先去括号再移项.
（二）经典例题
3x(x-1)=5(x+2) 解： 去括号，得 3x2-3x = 5x +10， 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形 式
2x2 5x x2 3
3x 5 2x 1
(x 1)2 1 x2 4
一元一次方程 一元二次方程
1 3 x2 x
分式方程
（一）自主学习
（3）、预习自测 1、把下列方程写成一般形式，并且分别指出它们的二次 项系数、一次项系数和常数项：
(1)x2 5x 6
(2)3x 4 x2
（3）3x(x-1)=5(x+2)
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
想一想：
• 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; • 而立之年督东吴,早逝英年两位数; • 十位恰小个位三,个位平方与寿符; • 哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
（四）巩固练习
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x 2 5y 3
3x2-8x -10 = 0.
其中二次项系数为 3， 一次项系数为 -8， 常数项为 -10.
（二）经典例题
练习
1.说出方程④的二次项系数、一次项系数和常数项．
0.01t 2- 2t = 0．
④
答： 二次项系数为 0.01， 一次项系数为 -2， 常数项为 0.
（二）经典例题
2. 把方程②写成一般形式，然后说出它的二次项系
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2、三个连续奇数的平方和是371，求这三 个数。
3、某种原价为100元的药连续两次降价后 为81元，设平均每次降价率为x，列方程 为。
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1、关于x的方程(2a 4)x2 2bx a 0在 什么条件下为一元二次方程？什么条件 下是一元一次方程？
2、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－ 5m＋4=0有一个根为2，求m。
3、若一元二次方程(2a-4)x2＋(3a+6)x+a-2=0 没有一次项，则常数项等于______。
2021
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问题一：如图，某小区内有一块面积为 1600平方米的正方形地皮。现打算在正 中间铺上边长为30米的正方形草坪，使 四周留出的人行道的宽度相等，问人行 道的宽度为多少米？
2021
2
4x2 120x 700 0
如果一个（整式）方程通过 移项可以使右边为０，左边是只 含有一个未知数的二次多项式， 这样的方程叫做一元二次方程。
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3
一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0 二 一常 次 次数
a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项
项 项项
(a、b、c是已知数，a 0，b, c可以为0)
2021
4
例１、下列关于x的方程中，哪些是一元二次
方程？试说明理由？
(1)5x 10; (2)9x2 4x 6
(1) x2 5x 7
(2)6 y2 6 y
(3)(x 2)(x 3) 1
（1） 一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0
（a≠ 0）具有两个特征：一是方程的右边为0； 二是左边的二次项系数不能为0。
（2）二次项、二次项系数、一次项、一次项系 数、常数项都是包括符号的。
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1、一个数比另一个数大3，且它们的积为 54，求这两个数。
(3)x2 160;
(4) 1 y2 0 y
(5)3x y 6; (6)4x2 6x 3x 4x2
(7)ax2 4x 0
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3、若一元二次方程(2a-4)x2＋(3a+6)x+a-2=0 没有一次项，则常数项等于______。
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方程？试说明理由？
(1)5x 10; (2)9x2 4x 6
(1) x2 5x 7
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(3)(x 2)(x 3) 1
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（a≠ 0）具有两个特征：一是方程的右边为0； 二是左边的二次项系数不能为0。
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