初中几何八大经典模型(一)

初中数学八大经典模型

初中数学八大经典模型数学是人类探索宇宙奥秘的手段，在它的领域里有着深厚的文化底蕴，从古至今都有强大的科学后果，也激发了前所未有的实际活动。

初中数学是一门极其有趣的学科，它拥有独特的传统知识，拥有丰富的讲解内容。

尽管初中数学涉及的内容很多，但其八大模型却是最基本也是最重要的。

下面，就来认识下其中的八大经典模型。

第一经典模型是“极坐标函数”，该模型在数学的宇宙中扮演着重要的角色，它可以描述和表示曲线在多维空间中的分布规律。

它的坐标系定义和应用都是极其有趣的，在很多实际的例子中，它的应用非常广泛。

第二经典模型是“极限”，它是一种数学概念，表示某个变量在某一时刻改变量趋近于某一值。

它可以用来分析函数在不同情况下的变化趋势，也可以用来推导结论。

第三经典模型是“微积分”，它是数学科学的核心模型，可以解决函数变化等问题，是推动数学发展的重要力量。

微积分主要是研究函数在某一点处或某一范围内的变化情况，如果掌握了这个模型，就可以合理的解释和推导函数的弯曲程度，即变化的极限。

第四经典模型是“偏微分方程”，它具有比较强的数学思维，可以用来研究某些动态系统的变化，描述的是一类线性不变的方程组，它的求解非常复杂，要求掌握一定的知识，但是它的应用在科学界非常广泛，如运动算法，流体力学等都有它的身影。

第五经典模型是“图论”，它是一种数学模型，可以用来描述某种新的连接结构，它可以用来描述复杂的网络关系，根据顶点和边的不同来描述不同的复杂系统，它是一种抽象的数学模型，可以用来描述复杂的网络结构，也可以用来解决一系列问题。

第六经典模型是“几何变换”，它是数学上研究几何图形变换的模型，主要是探讨几何图形随着某种变换函数而发生变化的情况，其内容很好理解，学习相关概念和知识，也能够运用它来解决一系列几何问题，其实它也是几何学的基础。

第七经典模型“统计学”，它是研究数据分析方法的一种模型，它可以用来描述一组数据的特征，推断出它的规律和趋势，用来找出未知问题的答案，统计学是一种发现客观规律的重要工具，如果掌握了它，就可以更加有效的分析和挖掘隐藏在数据背后的价值。

八年级下册数学几何模型大全

八年级下册数学几何模型大全数学几何模型是一个非常重要的数学学科，是把空间中的图形或者实体同数学联系起来的学科。

几何模型不仅在数学中有很重要的作用，在生活中也有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些比较常见的八年级下册数学几何模型。

（一）圆的平面几何模型1.圆的圆心角：圆的圆心角是指围绕圆心的一个角度。

圆心角对应的线段叫做弧，一个圆被分割成的每一个扇形的圆心角度数相等，比如60度、90度、120度等等。

可以将圆分成若干个扇形，每个扇形的圆心角都是一样的。

2.圆的直径、半径和周长：圆的周长是所有弧长的总和，也就是一个圆的周长等于两倍的半径乘以圆周率（π），即2πr。

圆的直径等于圆的半径的两倍，即2r。

（二）平面几何模型1.三角形的内心、外心、重心：一个三角形的三个高线所交的点叫做重心，三角形内切圆圆心叫做内心，三角形外接圆圆心叫做外心。

内心到三角形每一边的距离相等，外心到三角形每一边的距离也相等。

2.菱形的特性：菱形是四个相等的角和四条相等的边组成的图形，相邻的两边是平行的，对角线平分。

用平行四边形的性质可以证明，对角线的交点是菱形的重心、内心和外心。

（三）立体几何模型1.正方体、长方体、平行六面体的特性：正方体、长方体、平行六面体是立方体的三个特殊形式。

正方体各个面的面积和体积是相等的，长方体的体积是它的三条边的积，平行六面体的底面积和高的乘积等于它的体积。

2.圆柱、圆锥和球体的特性：圆柱的体积等于底面积和高的积，圆锥的体积等于底面积和高的积再除以三，球体的体积等于半径的立方乘以圆周率再乘以四分之三。

（四）平面坐标系的几何模型1.坐标系下的图形方程：在平面直角坐标系中，一条函数图像的方程是由一组有序数对 (x, y) 所组成的集合。

在二维空间中，x 坐标代表水平方向上的位置，y 坐标代表垂直方向上的位置。

2.平面上两点的距离公式：平面直角坐标系中，点 A 的坐标是$(x_1,y_1)$，点 B 的坐标是 $(x_2,y_2)$。

初二上册数学几何模型大全

以下是初二上册数学中常见的几何模型：
1. 三角形模型：用于研究三角形中的各种关系和定理，例如三角形的全等、相似和角平分线等。

2. 平行四边形模型：用于研究平行四边形的性质和判定，例如对角线相等、对角线互相平分等。

3. 矩形模型：用于研究矩形的性质和判定，例如四个角都是直角、对角线相等且互相平分等。

4. 菱形模型：用于研究菱形的性质和判定，例如四边相等、对角线互相垂直且平分等。

5. 勾股定理模型：用于研究勾股定理的证明和应用，例如直角三角形的三边关系等。

6. 圆模型：用于研究圆的性质和判定，例如圆周角定理、切线的判定和性质等。

7. 扇形模型：用于研究扇形的性质和面积计算，例如扇形的弧长和面积公式等。

8. 角平分线模型：用于研究角平分线的性质和判定，例如角的平分线与对边的关系等。

9. 中位线模型：用于研究中位线的性质和判定，例如中位线的长度等于它所截两边的平均值等。

10. 直角三角形模型：用于研究直角三角形的性质和判定，例如勾股定理的逆定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等。

以上是初二上册数学中常见的几何模型，掌握这些模型对于解决几何问题非常重要。

七年级数学几何模型大全

七年级数学几何模型大全七年级的小伙伴们，今天咱们来唠唠七年级数学里那些超有趣的几何模型。

一、角平分线模型1. 双角平分线模型- 想象一下，有一个角，然后从这个角的顶点引出两条角平分线。

比如说∠AOB，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC。

这里面就有很多好玩的关系哦。

- 如果设∠AOB = 2α，那么∠AOC=α，∠AOD = α/2。

这里面的关键就是根据角平分线的定义，把角之间的关系找出来。

就像分蛋糕一样，角平分线就是把角这个“大蛋糕”分成相等的“小蛋糕”。

- 而且还有个重要的结论呢，如果两个角平分线所夹的角是β，那么β = 1/2∠AOB或者β = 1/2 (∠AOB - ∠COD)，这就看具体的图形情况啦。

2. 邻补角角平分线模型- 当有两个邻补角的时候，它们的角平分线可是很特别的。

比如说∠AOC和∠BOC是邻补角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC。

- 因为∠AOC+∠BOC = 180°，又因为OE和OF是角平分线，所以∠EOC+∠FOC=1/2(∠AOC + ∠BOC)=90°。

这就像两个小伙伴，把相邻的两块“角蛋糕”各自分一半，然后这两半加起来正好是个直角呢。

二、平行线模型1. “Z”字形模型（内错角模型）- 当有两条平行线被第三条直线所截的时候，就会出现像“Z”字一样的图形。

比如说直线a∥b，直线c与a、b相交。

- 这里面的内错角是相等的哦。

就好像在两条平行的铁轨（a和b）上，有一根枕木（c）横过来，形成的内错角就像在铁轨两边对称的位置，它们的大小是一样的。

- 如果∠1和∠2是内错角，那么∠1 = ∠2。

这个结论在证明角相等或者计算角的度数的时候可太有用啦。

2. “F”字形模型（同位角模型）- 还是两条平行线被第三条直线所截，不过这个时候是同位角的关系。

就像“F”字的形状。

- 同位角也是相等的呢。

比如说∠3和∠4是同位角，只要a∥b，那么∠3 = ∠4。

可以想象成在平行的道路（a和b）上，同样位置的标记（∠3和∠4），它们的角度肯定是一样的呀。

初中数学八大几何模型归纳

初中数学八大几何模型归纳
初中数学中的八大几何模型包括:
1. 三角形相关模型：三角形的各种性质、三角形的面积计算、三角形的周长计算等;
2. 四边形相关模型：四边形的各种性质、四边形的面积计算、四边形的周长计算等;
3. 圆相关模型：圆的各种性质、圆的面积计算、圆的周长计算、圆的弧长计算等;
4. 相似三角形相关模型：相似三角形的定义、相似三角形的判定、相似三角形的面积计算等;
5. 直角三角形相关模型：直角三角形的定义、直角三角形的判定、直角三角形的面积计算等;
6. 二次函数相关模型：二次函数的定义、二次函数的图像、二次函数的值域、二次函数的对称轴等;
7. 轴对称相关模型：轴对称的定义、轴对称的图像、轴对称的性质、轴对称的图形设计等;
8. 平移相关模型：平移的定义、平移的性质、平移的图像等。

这些几何模型是初中数学中非常重要的知识点，学生在学习过程中需要熟练掌握。

此外，这些模型也是中考数学考试中经常出现的知识点，学生需要在平时的学习中多加练习，熟练掌握各种计算方法和技巧。

八大类几何模型+60种解题技巧

一、常见的八大类几何模型在解决几何题目时，我们经常会遇到一些常见的几何模型。

这些模型包括但不限于：直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直接相似三角形、等腰梯形、菱形、正方形和矩形。

1. 直角三角形直角三角形是一个内角为90度的三角形。

在求解直角三角形题目时，可以运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等方法。

2. 等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形。

在解决等腰三角形问题时，可以利用等角定理、等边角定理等。

3. 等边三角形等边三角形是指三边相等的三角形。

解决等边三角形问题时，可以利用等边三角形的性质，如高、中线等。

4. 直接相似三角形直接相似三角形是指对应角相等的两个三角形。

在对直接相似三角形进行解题时，可以利用相似三角形的性质，如边比例定理等。

5. 等腰梯形等腰梯形是指有两对对边相等的梯形。

解决等腰梯形问题时，可以运用梯形的性质以及各边的关系。

6. 菱形菱形是指四条边都相等的四边形。

在解决菱形问题时，可以利用菱形的性质，如对角线垂直平分、对角相等等。

7. 正方形正方形是指四条边相等且四个角均为直角的四边形。

解决正方形问题时，可以利用正方形的性质，如对角线相等、对角线垂直等。

8. 矩形矩形是指四边均为直角的四边形。

在解决矩形问题时，可以利用矩形的性质，如对角线相等、邻边互相垂直等。

二、60种解题技巧在解决几何题目时，我们还可以运用一些解题技巧来更快更准确地得出答案。

下面列举了60种解题技巧，以供参考。

1. 勾股定理2. 余弦定理3. 正弦定理4. 度角关系5. 弧度制下的两点间弧长相关关系6. 三角恒等变形7. 各角平分线8. 高度定理9. 中线定理10. 角平分线定理11. 等角定理12. 外角定理13. 内角定理14. 中位线定理15. 等腰三角形的性质16. 等边三角形的性质17. 相似三角形的三边对应比例关系18. 相似三角形的高度关系19. 相似三角形的边对应比例关系20. 相似三角形的面积关系21. 三角形高到底关系22. 三角形高乘底除以2的面积公式23. 三角形内切圆24. 三角形外接圆25. 正方形的性质26. 矩形的对角线关系27. 矩形的邻边互相垂直关系28. 长方形的面积公式29. 长方形的周长公式30. 菱形的性质31. 菱形对角线垂直平分32. 平行四边形的性质33. 平行四边形的对角线相等关系34. 平行四边形的对角互补35. 梯形的中位线关系36. 梯形的对角线垂直关系37. 梯形的高关系38. 圆的性质39. 圆周角的关系40. 圆心角的关系41. 切线关系42. 切线长定理43. 余弦定理的推广44. 余角关系45. 同位角关系46. 交叉线定理47. 锐角三角函数的关系48. 平行线夹角关系49. 余切函数的关系50. 同义形的面积公式51. 直角三角形斜边上的高52. 各角平分线角度关系53. 三角形中位线长度关系54. 三角形中位线平行长的关系55. 等角三角形三角函数的关系56. 三角形半周长乘外切圆内切圆面积关系57. 圆相关不等式58. 反证法59. 斜率性质60. 坐标系下平移关系解决几何问题时，首先要熟练掌握常见的八大类几何模型，然后灵活运用各种解题技巧，以便更加高效地解决问题。

初中经典几何模型01-截长补短模型证明问题

初中经典几何模型专题01 截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系时常用。

如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型】一、截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。

【类型】二、补短“补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破，根据辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。

【基础训练】1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,∠ADC求证：∠PBQ=90°-125、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC.6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC （1）证明：∠BAD+∠BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.8、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.9、如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.（1）求∠CAF的度数（2）判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.【巩固提升】1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．4．如图，AB∥CD，B E，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.5．如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC＋CD.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD.专题01 截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

八年级下册数学几何模型大全

八年级下册数学几何模型大全数学几何模型是指根据数学几何理论，通过抽象和抽象为物体所形成的模型。

这些模型能够帮助我们更好地理解和应用数学几何的知识，提高解题能力。

下面是八年级下册数学几何模型的相关参考内容。

1. 平面几何模型：(1) 正方形模型：通过正方形的特点和性质，帮助学生理解正方形的定义、边长和周长的关系，以及正方形与其他几何图形的联系。

(2) 矩形模型：通过矩形的特点和性质，帮助学生理解矩形的定义、边长和周长的关系，以及矩形与其他几何图形的联系。

(3) 直角三角形模型：通过直角三角形的特点和性质，帮助学生理解勾股定理和三角形的角度关系，以及直角三角形与其他几何图形的联系。

2. 空间几何模型：(1) 平行四边形模型：通过平行四边形的特点和性质，帮助学生理解平行四边形的定义、对角线关系以及面积计算方法。

(2) 立方体模型：通过立方体的特点和性质，帮助学生理解立方体的定义、体积计算方法，以及立方体与其他几何图形的联系。

(3) 圆锥模型：通过圆锥的特点和性质，帮助学生理解圆锥的定义、体积计算方法，以及圆锥与其他几何图形的联系。

3. 旋转体几何模型：(1) 圆柱体模型：通过圆柱体的特点和性质，帮助学生理解圆柱体的定义、体积计算方法，以及圆柱体与其他几何图形的联系。

(2) 圆锥模型：通过圆锥的特点和性质，帮助学生理解圆锥的定义、体积计算方法，以及圆锥与其他几何图形的联系。

(3) 球模型：通过球的特点和性质，帮助学生理解球的定义、体积计算方法，以及球与其他几何图形的联系。

4. 相似几何模型：(1) 相似三角形模型：通过相似三角形的特点和性质，帮助学生理解相似三角形的定义、比例关系和性质，以及相似三角形与其他几何图形的联系。

(2) 相似多边形模型：通过相似多边形的特点和性质，帮助学生理解相似多边形的定义、比例关系和性质，以及相似多边形与其他几何图形的联系。

(3) 相似几何体模型：通过相似几何体的特点和性质，帮助学生理解相似几何体的定义、比例关系和性质，以及相似几何体与其他几何图形的联系。

初中数学几何模型归纳

初中数学几何模型归纳1. 直线模型：直线是最基本的几何图形，可以用直线方程y = kx + b 来表示。

其中，k 是斜率，b 是截距。

2. 点模型：点是几何图形中的基本元素，可以用坐标(x, y) 来表示。

3. 线段模型：线段是由两个端点确定的有限长度的直线部分。

线段可以用起点和终点的坐标来表示。

4. 射线模型：射线是由一个端点和一个方向确定的无限延伸的直线部分。

射线可以用起点和方向向量来表示。

5. 角模型：角是由两条射线的公共端点和这两条射线之间的夹角组成的。

角可以用顶点、始边和终边来表示。

6. 三角形模型：三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。

三角形可以用三边的长度和三个内角的大小来表示。

7. 四边形模型：四边形是由四条边和四个内角组成的多边形。

四边形可以用四边的长度和四个内角的大小来表示。

8. 圆模型：圆是由一个圆心和一个半径确定的平面上的所有点到圆心的距离都等于半径的图形。

圆可以用圆心和半径来表示。

9. 椭圆模型：椭圆是由两个焦点和一个长轴、短轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之和等于常数的图形。

椭圆可以用两个焦点和长轴、短轴的长度来表示。

10. 双曲线模型：双曲线是由两个焦点和一个实轴、虚轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之差等于常数的图形。

双曲线可以用两个焦点和实轴、虚轴的长度来表示。

11. 正多边形模型：正多边形是由相等的边和相等的内角组成的多边形。

正多边形可以用边数和内角度数来表示。

12. 梯形模型：梯形是由一对平行边和一对非平行边组成的四边形。

梯形可以用两对边的长度和夹角来表示。

13. 矩形模型：矩形是由四个直角和两对相等的边组成的四边形。

矩形可以用两对边的长度和夹角来表示。

14. 正方形模型：正方形是特殊的矩形，它的四个边都相等且四个角都是直角。

正方形可以用边长来表示。

15. 三角形面积模型：三角形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为S = (底边长度×高) / 2。

初中数学八大几何模型归纳

初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ．（1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。

，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ，点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ．【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。

初中数学八大几何模型归纳

初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ．（1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。

，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ，点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ．【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。

初中几何八大经典模型大盘点

初中几何八大经典模型大盘点
1.初中几何八大经典模型（一）中点模型
2.初中几何八大经典模型（二）角分线模型
3.初中几何八大经典模型（三）相似基本模型
4.初中几何八大经典模型（四）一线三等角模型
5.初中几何八大经典模型（五）三垂直模型
6.初中几何八大经典模型（六）手拉手模型
7.初中几何八大经典模型（七）旋转模型
8.初中几何八大经典模型（八）“将军饮马”模型
由于内容比较多，一次无法完全发完，我从每个章节选取3个图片给大家做一个简单的分享，需要打印完整版内容看到最后提示吧！。

初中数学常用几何模型

目录1. 8字模型与飞镖模型2.手拉手全等模型3.三垂直全等模型4.角平分线平行线模型5. 角平分线＋两垂线段模型6.等腰三角形的存在性问题7.A型、8型相似模型8.一线三等角相似模型8字模型与飞镖模型资料编号:202109012143关键词 8字模型飞镖模型8字模型如图所示,AC 、BD 相交于点O ,连结AD 、BC ,则有C BD A ∠+∠=∠+∠.OACBD因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称为8字模型. 8字模型的证明:证法一:∵D A AOB ∠+∠=∠ C B AOB ∠+∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）证法二:∵︒=∠+∠+∠180AOD D A ︒=∠+∠+∠180BOC C B ∴AOD D A ∠-︒=∠+∠180 BOC C B ∠-︒=∠+∠180 ∵BOC AOD ∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.点评 8字模型的结论常被用来求角度或证明两个角相等,多出现在几何综合题中.有些复杂的几何问题,应用8字模型的结论,往往会出奇制胜,达到意想不到的效果（见后面的例题）.如图所示,有结论:DBABCD∠+∠+∠=∠.因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称为飞镖模型. 飞镖模型常被用来推导几何图形中角之间的等量关系.AB CD飞镖模型的证明:证法一:延长BC,交AD于点E,如下图所示.∵BADBCD∠+∠=∠∠+∠=∠1,1∴DBABCD∠+∠+∠=∠.证法二:作射线AC,如下图所示.∵DB∠+∠=∠∠+∠=∠42,31∴DB∠+∠+∠+∠=∠+∠4321∴DBBADBCD∠+∠+∠=∠.FBECADAEAE例1. 如图所示,求证:︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A .B EC AD证法一:（飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示. ∵︒=∠+∠+∠180BFE E B CFD BFE ∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C A CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A . 证法二:（8字模型）连结CD ,如图所示,则有21∠+∠=∠+∠E B∵︒=∠+∠+∠180ADC ACD A∴︒=∠+∠+∠+∠+∠18021ADB ACE A ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E ADB ACE B A . 证法三:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵︒=∠+∠+∠18021ADB EC ∠+∠=∠∠+∠=∠21 ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180ED C B A .BECDA例2. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A _________.F CBEAD解法一:（利用8字模型） ∵32∠+∠=∠+∠B A3121∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠F E D C∴=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A()3212∠+∠+∠∵︒=∠+∠+∠180321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A . 解法二:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵B A ∠+∠=∠1DC FE ∠+∠=∠∠+∠=∠32∴=∠+∠+∠321F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠ ∵︒=∠+∠+∠360321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A .例3. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠E D C B CAD _________.解:（利用飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示.FBECD A∵︒=∠+∠+∠180BFE E B ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C CAD CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B CAD .例4. 如图,△ABC 和△DCE 均是等腰三角形,CE CD CB CA ==,,=∠BCADCE ∠.（1）求证:AE BD =;（2）若︒=∠70BAC ,求BPE ∠的度数.NMPDABCE（1）证明:∵=∠BCA DCE ∠ ∴ACD DCE ACD BCA ∠+∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ 在△BCD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD ACE BCD CA CB ∴△BCD ≌△ACE （SAS ） ∴AE BD =; （2）解:方法一:∵△BCD ≌△ACE∴21∠=∠ ∵CB CA =∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵PBA PAB BPE ∠+∠=∠ ∴PBA BAC BPE ∠+∠+∠=∠2︒=︒+︒=∠+︒=∠+∠+︒=140707070170ABC PBA方法二:∵︒=∠=70,BAC CB CA ∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵︒=∠+∠+∠180ABC BAC ACB ∴︒=︒-︒-︒=∠407070180ACB ∵△BCD ≌△ACE ∴21∠=∠∵APB ACB ∠+∠=∠+∠21 ∴︒=∠=∠40APB ACB ∵︒=∠+∠180APB BPE ∴︒=︒-︒=∠14040180BPE .点评方法二用到了“8”字模型的结论,如下图所示.例5. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥.证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形 ∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12（8字模型） ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例6.（1）问题发现如图1,△ABC 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE .填空: ①AEB ∠的度数为_________;②线段AD 、BE 之间的数量关系为_________;（2）拓展探究如图2,△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DCE ACB ,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为△DCE 的高,连结BE ,请写出AEB ∠的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系,并说明理由.图 1ECAB D图 2MEBCAD解:（1）①︒60; ②BE AD =;提示: ∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形 ∴CE CD CB CA ==,︒=∠=∠60DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠ ∴BCE ACD ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）（属于“手拉手”全等模型） ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB （属于“8”字模型） ∴︒=∠=∠60ACB AEB . （2）解:︒=∠90AEB ,CM BE AE 2=-; 理由如下:∵︒=∠=∠90DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠∴BCE ACD ∠=∠∵△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形 ∴CE CD CB CA ==, 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）……………………………………7分 ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB ∴︒=∠=∠90ACB AEB……………………………………8分 ∵DE CM CE CD ⊥=, ∴CM 平分DCE ∠∴︒=∠=∠=∠=∠45ECM DCM CED CDE ∴EM DM CM == ∴CM DE 2= ∵AD AE DE -= ∴CM BE AE 2=-.手拉手全等模型资料编号:202108292312关键词手拉手全等模型三角形全等手拉手全等模型介绍手拉手全等模型常见的有三种图形形式:两个等腰直角三角形组成的手拉手全等模型、两个等边三角形组成的手拉手全等模型以及两个普通等腰三角形组成的手拉手全等模型.必须说明的是,组成手拉手全等模型的两个等腰三角形,共用顶角的顶点（即两个顶角的顶点重合）,且两个等腰三角形的顶角相等.如图1、图2、图3所示,如果把大等腰三角形的腰长看作大手,小等腰三角形的腰长看作小手,两个等腰三角形共用顶角的顶点,类似大手拉着小手,所以把这种模型称为手拉手模型（手拉手模型还有手拉手相似模型）.图中两个等腰三角形的相对位置发生变化时,始终存在一对全等三角形. 手拉手模型常和旋转结合,作为几何综合题出现.图 1图 2图 3在图1、图2、图3中,△ABC 和△ADE 均为等腰三角形,AE AD AC AB ==,,且DAE BAC ∠=∠,连结BD 、CE ,则△ABD ≌△ACE . 结论证明:（以图1为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. 结论证明:（以图2为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）.点评手拉手全等模型的依据都是SAS. 重要推论推论1 如图所示,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DAE BAC ,连结BD 、CE ,则有: （1）△ABD ≌△ACE ; （2）CE BD CE BD ⊥=,.推论1证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）∵△ABD ≌△ACE ∴21,∠=∠=CE BD延长BD 交CE 于点F ,如图所示. ∵BCF DBC BFE ∠+∠=∠ ∴ACB DBC BFE ∠+∠+∠=∠2︒=∠+∠=∠+∠+∠=901ACB ABC ACBDBC∴CE BD ⊥.推论2 如图所示,△ABD 和△BCE 均为等边三角形,点A 、B 、C 在同一直线上,连结AE 、CD ,则有:FGHEDACB（1）△ABE ≌△DBC ; （2）DC AE =; （3）︒=∠60DHA ; （4）△ABG ≌△DBF ; （5）△BEG ≌△BCF ; （6）连结GF ,则AC GF //; （7）连结HB ,则HB 平分AHC ∠.推论2证明:（1）∵△ABD 和△BCE 均为等边三角形 ∴BC BE DB AB ==,,︒=∠=∠60CBE ABDFGHEDCAB∵点A 、B 、C 在同一直线上 ∴︒=∠=∠120DBC ABE 在△ABE 和△DBC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE DBC ABE DB AB ∴△ABE ≌△DBC ;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DBC ∴DC AE =;（3）∵△ABE ≌△DBC ∴21∠=∠∵12∠+∠=∠+∠ABD DHA ∴︒=∠=∠60ABD DHA ; （“8”字模型）（4）∵︒=∠=∠60CBE ABD ∴︒=︒-︒-︒=∠606060180DBF ∴DBF ABG ∠=∠ 在△ABG 和△DBF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DBF ABG DB AB 21 ∴△ABG ≌△DBF （ASA ）; （5）∵△ABG ≌△DBF ∴BF BG =由前面可知:︒=∠=∠60CBF EBG 在△BEG 和△BCF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE CBF EBG BF BG ∴△BEG ≌△BCF （SAS ）;（6）连结GF ,如图所示.∵BF BG =,︒=∠60FBG ∴△BFG 为等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABD BGF ∴AC GF //;（7）连结HB ,如图所示,作DC BN AE BM ⊥⊥,.∵△ABE ≌△DBC ∴DBC ABE S S ∆∆=,DC AE = ∴BN DC BM AE ⋅=⋅2121 ∴BN BM =∵DC BN AE BM ⊥⊥,,BN BM = ∴点B 在AHC ∠的平分线上 ∴HB 平分AHC ∠.点评要求学生能从复杂的几何图形中辨识出手拉手全等模型,并能用SAS 证明两个三角形全等.模型举例例1. 如图,在△ABC 和△ADE 中,AE AD AC AB DAE BAC ==︒=∠=∠,,90,点C 、D 、E 在同一条直线上,连结BD . 求证:（1）△ABD ≌△ACE ;（2）试猜想BD 、CE 有何关系,并证明.ECAB D分析:由条件可知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,所以该图形中存在手拉手全等模型,手拉手全等模型的依据都是SAS . 证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）CE BD CE BD ⊥=,. 理由如下:∵△ABD ≌△ACE ∴E CE BD ∠=∠=1, ∵︒=∠=90,DAE AE AD ∴︒=∠=∠45E ADE ∴︒=∠451C ∴︒=︒+︒=∠+∠=∠9045451ADE BDE ∴CE BD ⊥.例2. 如图,△OAB 和△OCD 都是等边三角形,连结AC 、BD 相交于点E . （1）求证:①△OAC ≌△OBD ;②︒=∠60AEB ; （2）连结OE ,OE 是否平分AED ∠?请说明理由.EDOABC（1）证明:①∵△OAB 和△OCD 都是等边三角形 ∴OD OC OB OA ==,︒=∠=∠60COD AOB∴BOC COD BOC AOB ∠+∠=∠+∠ ∴BOD AOC ∠=∠ 在△OAC 和△OBD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OD OC BOD AOC OB OA ∴△OAC ≌△OBD （SAS ）; ②∵△OAC ≌△OBD ∴21∠=∠∵︒=∠+∠+∠180ABE EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1802ABO EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB ∴()︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB∴︒=∠+∠+∠180ABO OAB AEB ∴OAB ABO AEB ∠-∠-︒=∠180︒=︒-︒-︒=606060180C（2）OE 平分AED ∠. 理由如下:作BD ON AC OM ⊥⊥, ∵△OAC ≌△OBD ∴OBD OAC S S ∆∆=,BD AC = ∴ON BD OM AC ⋅=⋅2121 ∴ON OM =∵BD ON AC OM ⊥⊥,,ON OM = ∴OE 平分AED ∠.（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例3. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥. 证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12 ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例4. 如图,在线段AE 的同侧作等边△ABC 和等边△CDE （︒<∠120ACE ）,点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点. 求证:△CPM 是等边三角形.PMDBA EC分析:本题图形中包含手拉手全等模型,我们可以证明△ACD 和△BCE 全等.另外,关于等边三角形的判定,可先证明三角形是等腰三角形,再证明三角形有一个角等于︒60.证明:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴CE CD BC AC ==,,︒=∠=∠60DCE ACB ∴ACE DCE ACE ACB ∠+∠=∠+∠∴ACD BCE ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD BC AC ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴BE AD =∠=∠,21∵点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点 ∴AM BP =在△ACM 和△BCP 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AM BC AC 21 ∴△ACM ≌△BCP （SAS ） ∴CP CM =,43∠=∠∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠6043ACB ACP ACP PCM ∵CP CM =,︒=∠60PCM ∴△CPM 是等边三角形.三垂直全等模型资料编号:202108282255关键词三垂直全等模型一线三等角全等模型三角形全等三垂直全等模型介绍如图1、图2、图3所示,为三种常见的三垂直全等模型.图 1图 2图 3如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,. 结论:△BCD ≌△CAE .结论的证明:∵DE AE DE BD ⊥⊥, ∴︒=∠=∠90E D ,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠901BCD ∴1∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC E D B 1 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ）.重要推论推论1 如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE +=;图 1证明:由前面可知:△BCD ≌△CAE ∴BD CE AE CD ==, ∵CE CD DE += ∴BD AE DE +=.推论2 如图2所示,BC AC BC AC CD BD CD AE =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE -=.图 2证明:∵CD BD CD AE ⊥⊥, ∴︒=∠=∠9021,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠903BCD ∴3∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC B 213 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ） ∴AE CD CE BD ==, ∵CE CD DE -= ∴BD AE DE -=.说明三垂直全等模型是一种常见的几何模型,同学们要记住这种几何模型的图形特征和题目特点,以后遇到这种模型常常要证明两个三角形全等. 模型举例例1. 如图,直线l 上有三个正方形c b a ,,,若c a ,的面积分别是5和11,则b 的面积是_________.l cba IH JFEBADCGlcba IHJFEBADCG分析三垂直全等模型作为一种重要且常见的几何模型,要求同学们能从复杂的几何图形中辨识出这种模型,若能找出这种模型,往往要证明两个三角形全等,从而解决相关的问题.解析:根据“三垂直全等模型”,本题易证:△BCG ≌△GJF . ∴JF CG =由题意可得:11,522====JF S BC S c a ∴112=CG在Rt △BCG 中,由勾股定理得:16115222=+=+==CG BC BG S b .∴b 的面积是16.例2. 如图1所示,已知在△ABC 中,︒=∠90BAC ,AC AB =,点P 为BC 上一动点（CP BP <）,分别过点B 、C 作AP BE ⊥于点E ,AP CF ⊥于点F . （1）求证:BE CF EF -=;（2）如图2,若点P 为BC 延长线上一点,其他条件不变,则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.图 1图 2PCBA（1）证明:∵AP BE ⊥,AP CF ⊥ ∴︒=∠=∠901E ,︒=∠+∠903CAE ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠902CAE ∴32∠=∠在△ABE 和△CAF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB E 321 ∴△ABE ≌△CAF （AAS ） ∴CF AE AF BE ==, ∵AF AE EF -= ∴BE CF EF -=;（2）如图3所示.图 3BECFEF+=.提示:关键在于证明△ABE≌△CAF.例3.如图,在△ABC中,BCACACB=︒=∠,90,直线MN经过点C,且MNAD⊥于D,MNBE⊥于E.（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②BEADDE+=;（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:BEADDE-=;（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE、AD、BE之间的数量关系.图 1图 2图 3图 1（1）证明:①∵MNAD⊥,MNBE⊥∴︒=∠=∠9021∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠904ACD ∵︒=∠+∠903ACD ∴43∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC 4321 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）; ②∵△ADC ≌△CEB ∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE += ∴BE AD DE +=;图 2（2）∵MN AD ⊥,MN BE ⊥ ∴︒=∠=∠90CEB ADC ∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠902ACD ∵︒=∠+∠901ACD ∴21∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC CEB ADC 21 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE -= ∴BE AD DE -=; （3）AD BE DE -=.提示:仍然是证明△ADC ≌△CEB .图 3例4.（1）如图1所示,已知在△ABC 中,AC AB BAC =︒=∠,90,直线m 经过点A ,m BD ⊥于点D ,m CE ⊥于点E ,求证:CE BD DE +=;（2）如图2,将（1）中的条件改为:在△ABC 中,AC AB =,D 、A 、E 三点都在直线m 上,且有α=∠=∠=∠BAC AEC BDA ,其中α为任意锐角或钝角,请问结论CE BD DE +=是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.m 图 1EDCBA m图 2ECD A B（1）证明:∵m BD ⊥,m CE ⊥ ∴︒=∠=∠9021 ∴︒=∠+∠903BAD ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠904BAD ∴43∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB 4321 ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴CE AD AE BD ==, ∵AE AD DE += ∴BD CE DE +=;（2）成立. 理由如下:∵︒=∠+∠+∠1801BAD BDA ∴α-︒=∠+∠1801BAD ∵︒=∠+∠+∠1802BAD BAC ∴α-︒=∠+∠1802BAD ∴21∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB AEC BDA 21∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=,AD=CEBD∵AE=ADDE+∴BD=.DE+CE点评第二问所涉及到的几何模型为“一线三等角全等模型”,而我们在前面花大篇幅所介绍的“三垂直全等模型”属于“一线三等角全等模型”的特殊情况.BEFDBCA角平分线平行线模型资料编号:202108310011关键词角平分线平行线等腰三角形角平分线平行线模型介绍如图所示,OM 平分AOB ∠,点P 是OM 上一点,过点P 作OB PC //,交OA 于点C ,则△POC 是等腰三角形. 下图就是角平分线平行线模型.MOBACP模型证明:∵OM 平分AOB ∠ ∴21∠=∠ ∵OB PC // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴CP CO =∴△POC 是等腰三角形.点评在角平分线的条件下,常过角平分线上一点作一边的平行线,构造等腰三角形. 重要推论推论1 如图所示,在△ABC 中,ABC ∠、ACB ∠ 的平分线交于点D ,过点D 作BC EF //,交AB 于点E ,交AC 于点F ,则有: （1）FC FD ED EB ==,; （2）CF BE EF +=; （3）AC AB C AEF +=∆.推论1证明: （1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; （2）∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=;（3）∵AF EF AE C AEF ++=∆ ∴AF DF DE AE C AEF +++=∆ AF CF BE AE +++= AC AB +=.推论2 如图所示,四边形ABCD 为平行四边形,把△BCD 沿对角线BD 折叠,得到△D BC ','BC 交AD 于点E ,则△BDE 为等腰三角形.EC'DBCA说明:由折叠可知:BD C CBD '∠=∠,即BD 平分BC C ',所以上图中包含角平分线平行线模型.推论2证明:由折叠可知:21∠=∠∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴BC AD // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠∴EDEB=∴△BDE为等腰三角形.模型举例例1.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿BD对折,使点C落在点E处,BE与AD 相交于点O.（1）由折叠可知△BCD≌△BED,除此之外,图中还存在其他的全等三角形,请写出一组全等三角形:________________;（2）图中有等腰三角形吗?请你找出来:__________;（3）若8AB,求OB的长度.,6==BC解:（1）△ABD≌△EDB;（或△ABD≌△CDB或△AOB≌△EOD）（2）△BOD;提示:如图上所示,由折叠可知:=∠1∠2∵BCAD//（为什么?）∴3=∠1∠∴3∠2∠=∴OD OB =,即△BOD 为等腰三角形. （3）由（2）可知:OD OB =. 设x OD OB ==,则x OA -=8 ∵四边形ABCD 为长方形 ∴︒=∠90A在Rt △AOB 中,由勾股定理得:222OB AB OA =+∴()22268x x =+-解之得:425=x ∴425=OB . 例2. 如图,点O 是△ABC 的边AC 上一个动点,过点O 作直线BC MN //.直线MN 交ACB ∠的平分线于点E ,交ACB ∠的外角平分线于点F . （1）求证:OF OE =;（2）若6,8==CF CE ,求OC 的长.DNMEF BCAO（1）证明:∵CE 平分ACB ∠ ∴21∠=∠ ∵BC MN // ∴32∠=∠ ∴31∠=∠ ∴OC OE = 同理可证:OC OF = ∴OF OE =;（2）解:∵CF 平分ACD ∠ ∴ACD ∠=∠215 ∵51∠+∠=∠ECF ∴ACD ACB ECF ∠+∠=∠2121 ()︒=︒⨯=∠+∠=901802121ACD ACB在Rt △ECF 中,由勾股定理得:10682222=+=+=CF CE EF由（1）可知:521==EF OC . 例3. 如图,在△ABC 中,AD 平分BAC ∠,点E 、F 分别在BD 、AD 上,AB EF //,且CD DE =. 求证:AC EF =.EDBCAF证明:作AB CG //交AD 的延长线于点G . ∴G ∠=∠1 ∵AD 平分BAC ∠ ∴21∠=∠ ∴G ∠=∠2 ∴GC AC = ∵AB EF // ∴31∠=∠ ∴G ∠=∠3在△EDF 和△CDG 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC DE G 543 ∴△EDF ≌△CDG （AAS ） ∴CG EF = ∴AC EF =. 例4. 解答下列问题:（1）如图1所示,在△ABC 中,BC EF //,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分ACB ABC ∠∠、,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系;（2）如图2所示,BD 平分ABC ∠,CD 平分外角ACG ∠,BC DE //交AB 于点E ,交AC 于点F ,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系,并说明理由;（3）如图3所示,BD 、CD 为外角BCN CBM ∠∠、的平分线,BC DE //交AB 的延长线于点E .交AC 的延长线于点N ,直接写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系.图 1EFDBCAG图 2FEDBC AMN图 3F EDBCA（1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=; （2）CF BE EF -=. 理由如下:∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC DE //∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF -= ∴CF BE EF -=; （3）CF BE EF +=.例5. 如图,在梯形ABCD 中,BC AD //,点E 在CD 上,且AE 平分BAD ∠,BE 平分ABC ∠.求证:BC AB AD -=.EB CAD证明:延长AE 交BC 的延长线于点F . ∵AE 平分BAD ∠ ∴21∠=∠ ∵BC AD // ∴F ∠=∠2 ∴F ∠=∠1 ∴BF BA =∵BF BA =,BE 平分ABC ∠ ∴FE AE =在△ADE 和△FCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEC AED FE AE F 2F∴△ADE ≌△FCE （ASA ） ∴FC AD = ∵BC BF FC -= ∴BC AB AD -=.点评利用右图所示的辅助线也能证明问题.角平分线＋两垂线段模型资料编号:202112022157关键词角平分线性质定理等腰三角形三角形全等辅助线垂线段模型介绍角平分线＋两垂线段模型如图1,点P 是AOB ∠的平分线上一点,过点P 作OB PE OA PD ⊥⊥,,由角平分线的性质定理则有PE PD =.这就是角平分线＋两垂线模型.这种模型蕴含了边相等、角相等和三角形全等,还可以构造出等腰三角形.在图1中,若连结DE ,则得到等腰三角形PDE 和等腰三角形DOE .图 1模型推论（1）PED PDE ∠=∠; （2）Rt △POD ≌Rt △POE ; （3）OE OD =.证明:（1）∵OP 平分AOB ∠,OB PE OA PD ⊥⊥, ∴PE PD = ∴PED PDE ∠=∠; （2）∵OB PE OA PD ⊥⊥, ∴△POD 和△POE 都是直角三角形在Rt △POD 和Rt △POE 中∵⎩⎨⎧==PE PD OP OP∴Rt △POD ≌Rt △POE （HL ）;（3）由（2）可知: Rt △POD ≌Rt △POE ∴OE OD =.模型应用例1. 如图2所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 平分CAB ∠,若4,6==BD BC ,那么点D 到直线AB 的距离是__________.图 2图 3分析本题条件中有角平分线,有角平分线上一点到一边的垂线段（距离）,唯独缺少该点到另一边的垂线段（距离）,若作出该垂线段,则可构造出角平分线＋两垂线段模型. 解:作AB DE ⊥,则线段DE 的长度即为点D 到直线AB 的距离. ∵AD 平分CAB ∠,AB DE AC DC ⊥⊥, ∴DC DE = ∵4,6==BD BC∴246=-=-=BD BC DC ∴2=DE∴点D 到直线AB 的距离是2.例2. 如图4所示,在△ABC 中,︒=∠︒=∠70,50C B ,AD 是△ABC 的角平分线,AB DE ⊥于点E .（1）求EDA ∠的度数;（2）若3,8,10===DE AC AB ,求ABC S ∆.图 4图 5分析对于（1）,可根据直角三角形的两个锐角互余解决问题;对于（2）,可构造角平分线＋两垂线段模型求出AC 边上的高DF ,从而求出△ACD 的面积,继而求出△ABC 的面积. 解:（1）∵︒=∠︒=∠70,50C B∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠607050180180C B CAB ∵AD 平分CAB ∠ ∴︒=∠=∠30211CAB ∵AB DE ⊥ ∴︒=∠+∠901EDA∴︒=︒-︒=∠-︒=∠603090190EDA ; （2）作AC DF ⊥.∵AD 平分CAB ∠,AB DE ⊥,AC DF ⊥ ∴3==DF DE∴DF AC DE AB S S S ACD ABD ABC ⋅+⋅=+=∆∆∆2121 382131021⨯⨯+⨯⨯=27=.例3. 如图6所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 是BAC ∠的平分线,AB DE ⊥,DF BD =,求证: （1）EB CF =; （2）EB AF AB 2+=.图 6图 7分析根据条件知图6中存在角平分线＋两垂线段模型,故有DE DC =,这就为Rt △DCF 和Rt △DEB 全等提供了条件.证明:（1）∵AD 平分BAC ∠,AB DE ⊥,AC DC ⊥（︒=∠90C ） ∴DE DC =在Rt △DCF 和Rt △DEB 中∵⎩⎨⎧==DE DC DB DF∴Rt △DCF ≌Rt △DEB （HL ） ∴EB CF =;（2）在Rt △ACD 和Rt △AED 中∵⎩⎨⎧==DE DC AD AD∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ） ∴AE AC = ∵EB AE AB +=∴EB AF EB EB AF EB CF AF EB AC AB 2+=++=++=+=.例4. 如图8所示,在四边形ABCD 中,BD DC AD AB BC ,,=>平分ABC ∠. 求证:︒=∠+∠180BCD BAD .图 8ABC D图 9E分析本题难度较高,要证明︒=∠+∠180BCD BAD ,可证明BCD ∠等于BAD ∠的邻补角,而证明两个角相等,可通过证明两个角所在的三角形全等完成,必要时需要添加辅助线来构造全等三角形.题中已有角平分线的条件,过角平分线上的点向角的两边作垂线段,即作出角平分线＋两垂线段模型,即可构造出全等三角形. 证明:过点D 作BC DE ⊥,BA DF ⊥,交BA 的延长线于点F . ∵BD 平分ABC ∠,BC DE ⊥,BA DF ⊥ ∴DF DE =在Rt △DCE 和Rt △DAF 中∵⎩⎨⎧==DF DE DA DC∴Rt △DCE ≌Rt △DAF （HL ） ∴1∠=∠C ,即1∠=∠BCD ∵︒=∠+∠1801BAD ∴︒=∠+∠180BCD BAD .例5. 如图10所示,AD 平分BAC ∠,DE 所在直线是BC 的垂直平分线,E 为垂足,过点D 作AC DN AB DM ⊥⊥,.求证:（1）CN BM =; （2）()AC AB AM +=21. 图 10图 11分析对于（1）,我们能想到的最直接的方法是全等法,那就是证明BM 和CN 所在的三角形全等即可,图中只需连结DB 、DC ,就可以构造出全等三角形;对于（2）,直接下手证明会比较困难,于是我们把等式转化为AM AC AB 2=+,证明这个等式成立即可,当然,第（1）问的结论会为我们提供重要的条件. 证明:（1）连结DB 、DC ,如图11所示. ∵DE 垂直平分BC ∴DC DB =∵AD 平分BAC ∠,AC DN AB DM ⊥⊥, ∴DN DM =在Rt △DBM 和Rt △DCN 中∵⎩⎨⎧==DNDM DC DB ∴Rt △DBM ≌Rt △DCN （HL ）∴CN BM =;（2）在Rt △ADM 和Rt △ADN 中∵⎩⎨⎧==DN DM AD AD∴Rt △ADM ≌Rt △AND （HL ） ∴AN AM =∵CN AN BM AM AC AB -++=+ ∴AM AN AM AC AB 2=+=+ ∴()AC AB AM +=21.等腰三角形的存在性问题资料编号:202111182021关键词等腰三角形分类讨论尺规作图垂直平分线在八年级数学中,学完了等腰三角形的性质和判定后,我们会遇到等腰三角形的存在性问题,这类问题往往需要学生根据情况分类讨论,确定等腰三角形的各种存在形态,然后根据每种形态解决相关问题.然而我看到的是,学生不能考虑到每一种可能的形态,从而造成漏解.究其原因,我想是学生分类讨论思想方法欠缺,不会借助于圆和线段垂直平分线的性质辅助解决问题造成的.下面,我将教会大家如何借助于圆的知识和线段垂直平分线的性质,将等腰三角形的各种存在性（形态）“一网打尽”.如图1所示,已知线段AB ,现确定一点C ,使△ABC 为等腰三角形.图 1AB由于没有指明线段AB 是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论:（1）当AB 为等腰三角形的腰长时:①以点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图2所示;图 2B图 3②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图3所示;（2）当AB为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线l,垂足为点D,则垂直平分线l上任一异于点D的点都可以作为点C,如图4所示.B图 4使△ABC为等腰三角形.下面讨论已知线段AB和直线m,在直线m上确定一点C,B Array m图 5由于没有指明线段AB是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论: （1）当AB为等腰三角形的腰长时:①以点A为圆心,AB的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m的交点即为点C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图6所示;m图 6②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m 的交点即为点C ,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图7所示;m图 7（2）当AB 为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB 的垂直平分线l ,直线l 与直线m 的交点即为点C ,如图8所示.m图 8我们知道,角平分线和平行线组合在一起,即构成角平分线+平行线模型,这种模型中就存在等腰三角形,如图9所示.B图 9若要在OB边上确定一点D,使得△COD为等腰三角形,根据角平分线+平行线模型的特征,我们过点C作OA边的平行线,该平行线与OB边的交点,即为其中一个点D的位置,如图10所示,该点D也是线段OC的垂直平分线与OB边的交点,只不过作平行线更容易找出该点.B图 10其余各点D的确定如图（11）、（12）所示,你是否知道这些点是怎样确定出来的吗?B图 11图 12以上共有3个点D,使得△COD为等腰三角形.解决等腰三角形的存在性问题,一般分为三步:分类、画图、计算.当然,随着学习的深入,以后我们还会遇到因动点而产生的等腰三角形问题,让我们拭目以待.应用例1.如图所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两个格点,若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有__________个.第 6 题图图 1图 2答案 8解析本题考查等腰三角形的存在性问题.分别以点A 、B 为圆心,以AB 的长为半径作圆,如图1所示,则可以找到这样的点C 有4个.这两种情况下,△ABC 是以AB 为腰长的等腰三角形.若AB 为底边长,则作出AB 的垂直平分线,如图2所示,可以找到这样的点C 有4个.综上所述,符合条件的点C 有8个.例2. 如图所示,︒=∠60AOB ,OC 平分AOB ∠,如果射线OA 上的点E 满足△OCE是等腰三角形,那么OEC ∠的度数为__________.解:∵OC 平分AOB ∠,∴︒=∠=∠3021AOB AOC 分为三种情况:①当CE CO =时,如图1所示,∴︒=∠=∠30EOC OEC ;图 1图 2②当OE OC =时,如图2所示. ∵OE OC = ∴OCE OEC ∠=∠ ∴︒=︒-︒=∠75230180OEC ; ③当EC EO =时,如图3所示.图 3（说明:此时,点E 在线段OC 的垂直平分线上或OB CE //） ∵EC EO =∴︒=∠=∠30ECO EOC∴︒=︒-︒-︒=∠1203030180OEC .综上所述,OEC ∠的度数为︒30或︒120或︒75.点评在讨论一个三角形为等腰三角形时,常常需要分为三种情况进行讨论.。

初中几何基本模型分析(一)

初中几何基本模型分析(一)【基本模型一】模型特征：一线三等角关键词：相似、全等证明1、如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=92a时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)．B2、如图，AB ⊥MN 于点B ，点P 为MN 上的一个动点，∠APB ＝∠APC ，AC ⊥AP ，CD ⊥MN 于D 。

1、点P 在BD 上运动时，CD 是否为一定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； 2、若连接AD 交PC 于点E ，试求当BP 为何值时，ED AE ＝65？3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；※（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．A4、（2013福州中考题）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△P AD的面积为21，设AB=x，AD=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y＝1时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值。

BB备用图【基本模型二】模型特征：关键词：正方形、45°角、线段和差1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°1.3挖掘图形特征：x-aa E-a具体运用：1、正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长.（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形.（3）求AE－CE的值.3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）若AD＝2，求线段AB的长.（2）在（1）的条件下，求AE－CE的值.（3）设∠AED＝x，∠AEB＝y，求y关于x的函数关系式.（4）F为线段BC上一点，且BF＝1，M为AB上的一个动点，过M作MN⊥AE于点N，求FM＋MN的最小值.4、在直角梯形ABCD中，∠C＝900，AD∥BC（AD<BC）,BC＝CD＝4，点E在CD上，且∠ABE＝450. （1）求证：∠AEB＝∠CEB；（2）若AD＝3，求tan∠DAE的值；（3）在（2）的条件下，若∠BCF＝45°，CF交BE、BA于G、F，求FG的值。

初中数学几何必杀技八大模型(pdf)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载!精品文档，名师推荐！初中几何必杀技一一八大模型MH）手拉手模型一旋转型全等1.等边三角形条件:如图1,AOAB,△OCD均为等边三角形.结论:①左OAC^AOBD；②ZAEB= 60°；③EO平分匕AED.2.等腰直角三角形条件:如图2.AOAB,△OCD均为等腰直角三角形.结论:①左QAC丝△OBD ；②ZAEB= 90°；③EO平分/AED.3.任意等腰三角形条件:如图3,AQAB,AOCD均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD. 结论:①左OAC^/\OBD；② ZAEB=ZAOB；③ EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋转型相似1.一般情况条件:如图4,CD//AB,将△OCD旋转至右图位置.结论:右图中①左OCDw AOAB, AOACco AOBD；②延长AC交BD于点E,必有ZBEC=ZBOA.2.特殊情况条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD旋转至右图位置.结论:右图中①左OCD GO AOAB, AOACco AOBD,②连接AC,BD交于点E,必有ZBEC=ZBOA；®|^ = ^ = ^ = tanZOCD；@BD±AC;⑤连接AD,BC,必有AD2 +BC2=AB2+CD2；⑥S mABCD = yACX BD（对角线互相垂直的四边形）.对角互补模型1.全等型一90°条件:如图6①，①ZAOB = ZDCE= 90°；②OC平分ZAOB.结论：®CD=CE；② OD+OE=7^OC；③=扌8气证明提示：①过点C作CM丄OA于点M,CN丄OB于点N,如图②，证明△ CDM^△ CEN；②过点C作CF丄。

C,如图③，证明△ ODC^AFEC.当ZECD的一边交A。

的延长线于点D时，如图④，结论：（DCD=CE（不变）；②OE— OD=72OC；③ S ACCE—S A0CD =yOC2.以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试. A图4图62,全等型一120°条件：如图7①，①ZAOB = 2ZDCE= 120°；②OC平分ZAOB.结论:① CD= CE；② OD+OE= OC；③ S* + S ACCE =^OC2.证明提示：①可参考“全等型一90°”证明结论①；②如图②，在OB上取一点F,使OF=OC,证明△ ECF 丝△DCO.当匕DCE的一边交AO的延长线于点D时，如图③，结论：①CD=CE；（DOE—OD= OC；®S ACCE—Sg =^OC.以上结论证明方法与前一种一致.3.全等型一任意角a条件：如图8①，①/AOB = 2a,ZDCE=180°—2a;②CD=CE.结论：①OC平分ZAOB:②OD + OE=2OC - cosa;③S A0CD + S ACCE = OC2• sina •cosa.当/DCE的一边交AO的延长线于点D时（如图②），结论：①0C 平分ZAOB OD = 2OC - cosa；③S ACC£ -S ACCD = 0C2• sina , cosa.可参考上述方法进行证明.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意OC平分ZAOB时,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推导.模型四）角含半角模型90。

初中数学几何模型大汇总

初中数学几何模型大汇总几何是数学中的一个分支，它探讨物体、图形、点、线、面等在空间中的形状和位置的关系。

在初中数学课程中，几何是一个非常重要的部分，学习几何可以帮助学生理解空间和形状的概念，提高他们的空间想象力和逻辑思维能力。

在本文中，我们将为大家介绍初中数学几何模型的大汇总。

1. 线段模型线段是几何中最基本的概念之一，它是由两个端点和连接它们的线段构成的。

线段模型是一个简单但非常有用的模型，可以用来表示物体的长度、高度、宽度等。

例如，可以使用线段模型来表示一个长方体的长度、宽度和高度，或者两个物体之间的距离。

在计算时，可以使用勾股定理或三角函数来计算线段的长度或距离。

2. 直线模型直线是另一个基本概念，它是由一系列无数个点构成的，可以延伸到无限远。

直线模型可以用来表示物体的方向、位置和路径。

在计算时，可以使用线性方程组等方法来计算直线的方程和交点。

3. 射线模型射线是由一个起点和沿着一定方向延伸的直线组成的。

射线模型可以用来表示物体的运动方向、时间、距离等。

在计算时，可以使用向量的知识来计算射线的长度和方向。

4. 平面模型平面是一个由无数点构成的二维图形，它可以延伸到无限远。

平面模型可以用来表示物体的表面、面积、颜色等。

在计算时，可以使用平面几何的知识来计算平面的面积、周长、形状等。

5. 角度模型角度是由两条射线组成的，它们共同的起点被称为顶点，可以用来表示物体的转角、扭曲、旋转等。

角度模型可以用来表示物体之间的角度关系，在计算时，可以使用三角函数或向量的知识来计算度数或角度。

6. 圆模型圆是一个由一条曲线和其中心点构成的图形，可以用来表示物体的轮廓、圆周、面积等。

圆模型在计算时，可以使用圆的周长公式、面积公式等来计算圆的半径、直径、周长、面积等。

7. 圆锥模型圆锥是由一个圆和一个尖顶点构成的三维图形，可以用来表示物体的立体形状、体积等。

在计算时，可以使用圆锥的体积公式来计算圆锥的体积。

8. 圆柱模型圆柱是由两个平行圆面和一个侧面构成的三维图形，可以用来表示物体的管道、柱状物体等。

初中数学几何经典模型精编版

初中数学几何经典模型精编版几何经典模型在初中数学中占有重要的地位，通过这些模型的学习，可以帮助学生更好地理解几何图形的性质及其变化规律，提高几何思维能力。

下面是初中数学几何经典模型精编版。

一、相似三角形模型1、比例模型：在一个园中，如何取一个点，使得从这个点出发，分别向圆上和圆外伸出两条射线，使得这两条射线的长度之比最大？求出这个比例。

说明：这是相似三角形模型中比例模型的典型问题。

解答：设这个点为P，圆心为O，射线与圆相交于A、B两点，如图所示。

设OP=r，则PA=x，PB=y，由于PA、OP、OB与PB、OP、OA相似，因此有：PA：OP=OP：OB即：x：r=r：y化简得：x:y=r²:（OE²-r²）当x+y最大时，OE=√(r²+xy)，代入得x∶y=r²∶（r²+xy），即：x+y=√(r²+xy)=r√(1+(x∶r)·(y∶r))，因此，此时x∶y=r²∶2r²=1∶2。

(注：该问题也可通过悬臂悬链线模型求解)2、面积模型1：已知ABC内接于⊙O，求AO∶OC。

解答：利用相似性质得：AB∶BC=AO∶CO，AB∶AC=AO∶OA即：AB²=AO·OC，AB²=AO²+OC²-2AO·OCcos∠AOC化简得：AO(OC-2r)=(r+AO)(r-AO)因为r>AO，所以有AO∶CO=r-AO∶r+AO3、面积模型2：已知三角形ABC中∠A=60°, AC=2，AB=a，BC=b，则COSB=log⁡[（a²+b²-4）/6]，计算 COSB。

解答：应用余弦定理和海龙公式，得：①cosB=(4-b²-a²)/(4a)②S(ABC)=[a²√3]/4③S(ABC)=bhA/2|hA=√(a²-1)∵S(ABC)=S(A′B′C′)∴a′b′/A′B′=(√3a/4)/(a/2)=√3/2设h′是A′B′上的高，由相似关系得：=[S(ABC)/2+√3S(ABC)/2]/2=3S(ABC)/4∵A′B′=a/2，设A′O=x∴B′O^2+AO^2=(a/2)^2；AO+x=b；Hence，x=(b²-a²+1)/2b∴cosB′=2x/a=(b²-a²-1)/ab，∴cosB=log⁡[（a²+b²-4）/6]二、圆1、切线定理：如图，⊙O的两条切线AP、BP（AP>BP），AB的中点为C,OC与BP交于K，求证：AK=KC。