公开课圆锥曲线综合问题之用定义解题20181128
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1 2 ,1
N
（N） l M A （M） o F x
1 2
探 索 提 高
练习7.
x2 y2 设点P是椭圆 1上的动 9 4
点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求 cos∠F1PF2的最小值.
1 9
探 索 提 高
x y2 练习8. 已知F1、F2分别是椭圆 1的左右焦点， 4 2 1 A 1, ，P是椭圆上的动点，求 PA PF2 的最小值. 2 y 解： PA PF2 PF1 F1A PF2 P
F1 B
x2 y2 2 1, 2 a b
y
A o F2 x
探 索 提 高
x2 y 2 练习3. 双曲线 1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线 9 16 上，直线PF1，PF2的倾斜角之差为 ，则PF1F2的面积为 3 A.16 3 B.32 3 C.32 D.42
解析：数形结合.易得F1PF2
2 2 2 2 2
答案：A
类型二
利用定义法求最值
例4. 定长为3的线段AB的两端点在抛 物线 y 2 x 上移动，AB的中点为M，求
M到y轴的最短距离。
y A1 M1 B1 N
A
1 AA1 BB1 1 MN MM 1 4 2 4 AF BF 1 AB 1 5 2 4 2 4 4
四、练习
探 索 提 高
练习1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点
A(-4,0) 和C(4,0) ，顶点B在椭圆
则 sin A sin C
sin B
x2 y2 1 25 9
上，
5 4
.
y B A C x
探 索 提 高
练习2. 已知双曲线 过左焦点F1 作一 弦与左支相交于A,B两点，若|AB|=m ,求ΔAF2 B 的周长 . 4a+2m
l
y B
x O A
F
| AB | 只需比较 | MN | 与 的大小 2 / /
| AA | BB | 而 | MN | , 2
例6.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B 两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位 置关系,并证明你的结论. 分析 如图,设AB中点为M,A、B、M在准线L上的射 y l 影为A’、B’、N, B
37 2a F1A 2 5 .当且仅当 2 F1、P、A共线，且P在y轴左侧时
P A F1 o F2 x
2
37 取“=”， PA PF2 最小值为2 5 . 2
2018年12月7日星期W
[针对训练 ] x2 y2 1． (2017· 郑州模拟 )已知椭圆 2＋ 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 别为 F1， F2， 过 F2 的直线与椭圆交于 A， B 两点， 若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ( 2 A． 2 C． 5－ 2 B． 2－ 3 D． 6－ 3 )
由抛物线的定义知|MF|＝ |MB|＝3， 故|FN |＝2|MF|＝6.
答案：6
x2 y2 练习．(2016· 全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是双曲线 E： 2－ 2＝1 的左、 a b 1 右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝ ，则 3 E 的离心率为 ( ) 3 A． 2 B． C． 3 D．2 2
B’
N A’ O A
M
x
|AA’|=|AF|,|BB’|=|BF|
| AF | | BF | | AB | | MN | , 2 2
F
故以AB为直径的圆与l相切.
变式：1、以抛物Baidu Nhomakorabeay2=2px(p>0)的焦半径|PF|
为直径的圆与y轴位置关系是:
Y
2
相切 .
S
Q N O
P M
MN
3 m n 6, m 2 2mn n 2 36,由余弦定理得： 100 m 2 n 2 mn，
，设 PF1 =m， PF2 n,
1 两式相减得mn 64, PF1F2的面积S= mn sin 16 3. 2 3
探 索 提 高
练习4.ABC中, BC长为a, 顶点A在移动过程中满 1 足条件 sin C sin B sin A, 求点A的轨迹方程. 2
y P
解：设F1为右焦点，连结PF1，OT, 则OM//PF1，OT PF， OT =a, OF c, TF b, OM TM 1 1 PF1 PF TF 2 2 b a.
T
M
F
o
F1
x
例 3．(2017· 全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的 中点，则|FN|＝________.
探 索 提 高
练习5. 直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛 物线交于A、B两点，若线段AB的长为8，AB的 中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程为 .
y2=8x
探 索 提 高
练习6、若点A 的坐标为（3，1），F 为抛 2 y 2 x的焦点，点M 在抛物线上移 物线 动时，求|MA|+|MF|的最小值，并求这时 M 的坐标. y
解析：法一：作出示意图如图所示， c 2c |F1F2| 离心率e＝a＝2a＝ ， |MF2|－|MF1| |F1F2| 由正弦定理得e＝ ＝ |MF2|－|MF1| 2 2 sin∠F1MF2 3 ＝ 1＝ 2. sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 1－ 3
b2 法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝ a . 1 |MF1| 1 又sin∠MF2F1＝ 3 ，所以 |MF | ＝ 3 ，即|MF2|＝3|MF1|.由双 2 2b2 曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝ a ，所以b2＝ c a ，所以c ＝b ＋a ＝2a ，所以离心率e＝a＝ 2.
解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，y A 1 建立直角坐标系. sin C sin B sin A, 2 C x 1 1 B AB AC BC a，由双曲线定义 2 2 A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点 x2 y2 其方程为 2 2 1 x 0 . a 3a 16 16
解析：法一： 依题意，抛物线 C：y2＝8x 的焦点 F(2,0)，因 为 M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N， M 为 FN 的 中点， 设 M(a， b)(b>0)， 所以 a＝1， b＝2 2， 所以 N(0,4 2)， |FN|＝ 4＋32＝6.
法二：如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物 线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂 线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，∴PM∥ OF.由 题意知，F(2,0)，|FO |＝ |AO |＝2. ∵点 M 为 FN 的中点，PM∥ OF， 1 ∴|MP |＝ |FO |＝1. 2 又|BP |＝ |AO |＝2， ∴|MB|＝ |MP|＋ |BP|＝3.
其中等号成立当且仅当A、 F 、 B三点共线 x
M F B
类型三
利用定义法求轨迹
例5已知命题：椭圆的两个焦点为F1、F2，Q为 椭圆上任意一点，从任一焦点向ΔF1QF2的顶点 Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹 为圆（除两点），类比上述命题，将“椭圆” 改为“双曲线”，“外角平分线”改成“内角 角平分线”点P的轨迹为 __________ . y
类型一 利用定义法求值
类型二
类型三
利用定义法求最值
利用定义法求轨迹
类型四
利用定义法判断位置关系
类型一
利用定义法求值
2 x2 x 例1. 已知椭圆 y 2 1和双曲线 2 y 2 1共焦点F1、F2， m n P为两曲线的一个公共点，求F1PF2的大小。
x2 y2 例2 . 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的左焦点F引圆 a b x 2 y 2 a 2的切线l , 切点为T，且l交双曲线的右支于点 P，M是线段FP的中点，O为坐标原点，求 OM TM 的值.
解析：设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角 顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝ 2m. 由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋ 2 m，即m＝(4－2 2 )a，则|AF2|＝2a－m＝(2 2 －2)a，在 Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－ 2 )2a2＋4( 2 －1)2a2，即有c2＝(9－6 2 )a2，即c＝( 6 － c 3)a，即e＝a＝ 6－ 3.
Y Q M P F1 O F2 X
F
1
Q
M
P
O
F
2
1 1 | OP | F1 M F1Q QF2 a 2 2
1 1 | OP | F1 M F1Q QF2 a 2 2
类型四
利用定义法判断位置关系
例6.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点, 研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系,并证 明你的结论.
一、知识回顾
M
F1 F2
M
1、椭圆的定义
MF1 MF1 2a 2a F1 F2 0
2、双曲线的定义
MF1 MF1 2a 0 2a F1 F2
F1
F2
l d
3、抛物线的定义
MF d F为焦点，d为动点M到准线l的距离
.
.M
F
二、用定义法解题的常见类型
X
1 ( PQ OF ) 2
F
QS OF
1 1 1 MN ( PQ QS ) PS PF 2 2 2
三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷； 2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用定义结合正余弦定理；涉及焦点、圆锥曲线上 的点, 要注意另一条两条焦半径结合使用。
答案：D
圆锥曲线综合问题之
用圆锥曲线的定义解题
季延中学 K二2 陈红玉 2018.11.28
在解题中,有的同学能自觉地根据问题 的特点应用公式, 定理, 法则; 但对数学定 义往往未加重视,以至不能及时地发现一 些促进问题迅速获解的隐含条件,造成舍 近求远,舍简求繁的情况. 因此合理应用定 义是寻求解题捷径的一种重要方法,灵活 运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来 极大方便,产生一种 “山重水复疑无路， 柳暗花明又一村”的美好感觉.
N
（N） l M A （M） o F x
1 2
探 索 提 高
练习7.
x2 y2 设点P是椭圆 1上的动 9 4
点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求 cos∠F1PF2的最小值.
1 9
探 索 提 高
x y2 练习8. 已知F1、F2分别是椭圆 1的左右焦点， 4 2 1 A 1, ，P是椭圆上的动点，求 PA PF2 的最小值. 2 y 解： PA PF2 PF1 F1A PF2 P
F1 B
x2 y2 2 1, 2 a b
y
A o F2 x
探 索 提 高
x2 y 2 练习3. 双曲线 1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线 9 16 上，直线PF1，PF2的倾斜角之差为 ，则PF1F2的面积为 3 A.16 3 B.32 3 C.32 D.42
解析：数形结合.易得F1PF2
2 2 2 2 2
答案：A
类型二
利用定义法求最值
例4. 定长为3的线段AB的两端点在抛 物线 y 2 x 上移动，AB的中点为M，求
M到y轴的最短距离。
y A1 M1 B1 N
A
1 AA1 BB1 1 MN MM 1 4 2 4 AF BF 1 AB 1 5 2 4 2 4 4
四、练习
探 索 提 高
练习1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点
A(-4,0) 和C(4,0) ，顶点B在椭圆
则 sin A sin C
sin B
x2 y2 1 25 9
上，
5 4
.
y B A C x
探 索 提 高
练习2. 已知双曲线 过左焦点F1 作一 弦与左支相交于A,B两点，若|AB|=m ,求ΔAF2 B 的周长 . 4a+2m
l
y B
x O A
F
| AB | 只需比较 | MN | 与 的大小 2 / /
| AA | BB | 而 | MN | , 2
例6.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B 两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位 置关系,并证明你的结论. 分析 如图,设AB中点为M,A、B、M在准线L上的射 y l 影为A’、B’、N, B
37 2a F1A 2 5 .当且仅当 2 F1、P、A共线，且P在y轴左侧时
P A F1 o F2 x
2
37 取“=”， PA PF2 最小值为2 5 . 2
2018年12月7日星期W
[针对训练 ] x2 y2 1． (2017· 郑州模拟 )已知椭圆 2＋ 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 别为 F1， F2， 过 F2 的直线与椭圆交于 A， B 两点， 若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ( 2 A． 2 C． 5－ 2 B． 2－ 3 D． 6－ 3 )
由抛物线的定义知|MF|＝ |MB|＝3， 故|FN |＝2|MF|＝6.
答案：6
x2 y2 练习．(2016· 全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是双曲线 E： 2－ 2＝1 的左、 a b 1 右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝ ，则 3 E 的离心率为 ( ) 3 A． 2 B． C． 3 D．2 2
B’
N A’ O A
M
x
|AA’|=|AF|,|BB’|=|BF|
| AF | | BF | | AB | | MN | , 2 2
F
故以AB为直径的圆与l相切.
变式：1、以抛物Baidu Nhomakorabeay2=2px(p>0)的焦半径|PF|
为直径的圆与y轴位置关系是:
Y
2
相切 .
S
Q N O
P M
MN
3 m n 6, m 2 2mn n 2 36,由余弦定理得： 100 m 2 n 2 mn，
，设 PF1 =m， PF2 n,
1 两式相减得mn 64, PF1F2的面积S= mn sin 16 3. 2 3
探 索 提 高
练习4.ABC中, BC长为a, 顶点A在移动过程中满 1 足条件 sin C sin B sin A, 求点A的轨迹方程. 2
y P
解：设F1为右焦点，连结PF1，OT, 则OM//PF1，OT PF， OT =a, OF c, TF b, OM TM 1 1 PF1 PF TF 2 2 b a.
T
M
F
o
F1
x
例 3．(2017· 全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的 中点，则|FN|＝________.
探 索 提 高
练习5. 直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛 物线交于A、B两点，若线段AB的长为8，AB的 中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程为 .
y2=8x
探 索 提 高
练习6、若点A 的坐标为（3，1），F 为抛 2 y 2 x的焦点，点M 在抛物线上移 物线 动时，求|MA|+|MF|的最小值，并求这时 M 的坐标. y
解析：法一：作出示意图如图所示， c 2c |F1F2| 离心率e＝a＝2a＝ ， |MF2|－|MF1| |F1F2| 由正弦定理得e＝ ＝ |MF2|－|MF1| 2 2 sin∠F1MF2 3 ＝ 1＝ 2. sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 1－ 3
b2 法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝ a . 1 |MF1| 1 又sin∠MF2F1＝ 3 ，所以 |MF | ＝ 3 ，即|MF2|＝3|MF1|.由双 2 2b2 曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝ a ，所以b2＝ c a ，所以c ＝b ＋a ＝2a ，所以离心率e＝a＝ 2.
解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，y A 1 建立直角坐标系. sin C sin B sin A, 2 C x 1 1 B AB AC BC a，由双曲线定义 2 2 A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点 x2 y2 其方程为 2 2 1 x 0 . a 3a 16 16
解析：法一： 依题意，抛物线 C：y2＝8x 的焦点 F(2,0)，因 为 M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N， M 为 FN 的 中点， 设 M(a， b)(b>0)， 所以 a＝1， b＝2 2， 所以 N(0,4 2)， |FN|＝ 4＋32＝6.
法二：如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物 线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂 线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，∴PM∥ OF.由 题意知，F(2,0)，|FO |＝ |AO |＝2. ∵点 M 为 FN 的中点，PM∥ OF， 1 ∴|MP |＝ |FO |＝1. 2 又|BP |＝ |AO |＝2， ∴|MB|＝ |MP|＋ |BP|＝3.
其中等号成立当且仅当A、 F 、 B三点共线 x
M F B
类型三
利用定义法求轨迹
例5已知命题：椭圆的两个焦点为F1、F2，Q为 椭圆上任意一点，从任一焦点向ΔF1QF2的顶点 Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹 为圆（除两点），类比上述命题，将“椭圆” 改为“双曲线”，“外角平分线”改成“内角 角平分线”点P的轨迹为 __________ . y
类型一 利用定义法求值
类型二
类型三
利用定义法求最值
利用定义法求轨迹
类型四
利用定义法判断位置关系
类型一
利用定义法求值
2 x2 x 例1. 已知椭圆 y 2 1和双曲线 2 y 2 1共焦点F1、F2， m n P为两曲线的一个公共点，求F1PF2的大小。
x2 y2 例2 . 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的左焦点F引圆 a b x 2 y 2 a 2的切线l , 切点为T，且l交双曲线的右支于点 P，M是线段FP的中点，O为坐标原点，求 OM TM 的值.
解析：设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角 顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝ 2m. 由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋ 2 m，即m＝(4－2 2 )a，则|AF2|＝2a－m＝(2 2 －2)a，在 Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－ 2 )2a2＋4( 2 －1)2a2，即有c2＝(9－6 2 )a2，即c＝( 6 － c 3)a，即e＝a＝ 6－ 3.
Y Q M P F1 O F2 X
F
1
Q
M
P
O
F
2
1 1 | OP | F1 M F1Q QF2 a 2 2
1 1 | OP | F1 M F1Q QF2 a 2 2
类型四
利用定义法判断位置关系
例6.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点, 研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系,并证 明你的结论.
一、知识回顾
M
F1 F2
M
1、椭圆的定义
MF1 MF1 2a 2a F1 F2 0
2、双曲线的定义
MF1 MF1 2a 0 2a F1 F2
F1
F2
l d
3、抛物线的定义
MF d F为焦点，d为动点M到准线l的距离
.
.M
F
二、用定义法解题的常见类型
X
1 ( PQ OF ) 2
F
QS OF
1 1 1 MN ( PQ QS ) PS PF 2 2 2
三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷； 2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用定义结合正余弦定理；涉及焦点、圆锥曲线上 的点, 要注意另一条两条焦半径结合使用。
答案：D
圆锥曲线综合问题之
用圆锥曲线的定义解题
季延中学 K二2 陈红玉 2018.11.28
在解题中,有的同学能自觉地根据问题 的特点应用公式, 定理, 法则; 但对数学定 义往往未加重视,以至不能及时地发现一 些促进问题迅速获解的隐含条件,造成舍 近求远,舍简求繁的情况. 因此合理应用定 义是寻求解题捷径的一种重要方法,灵活 运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来 极大方便,产生一种 “山重水复疑无路， 柳暗花明又一村”的美好感觉.