2020学年高中数学第2章概率2.6正态分布学案苏教版选修2_3

2．6 正态分布3．掌握运用正态分布解决实际问题的方法．1．正态密度曲线x － μ )2μ ，x ∈ R ，其中实数 μ 和 σ 为参数， P (x ) x的图象为正2．正态分布3．正态曲线的性质(1) 当 x <μ 时，曲线上升；当 x >μ 时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线；(2) 正态曲线关于直线 x ＝μ 对称；(3) σ 越大，正态曲线越扁平； σ 越小，正态曲线越尖陡；(4) 在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 落在区间 ( μ－σ，μ＋σ) 上的概率约为 68.3%， 落在区间 ( μ－2σ，μ＋2σ) 上的概率约为 95.4%， 落在区间 ( μ－3σ，μ＋3σ) 上的概率约为 99.7%.义． 1. 了解正态密度函数的概念．2. 理解正态密度函数的特点及曲线所表示的意1函数 P (x ) ＝ e － 2πσ 态密度曲线 (如图所2σ2 正态分布完全由参数 服从正态分布，记为 X ～ N (和σ 确定，因此正态分布记作 2μ，σ ) ．N ( μ， σ2) ．如果随机变量 X1．判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 函数 p ( x ) 中参数 μ，σ的意义分别是样本的均值与方差． ( ) (2) 正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数 μ，σ的变化而变化的． ( )(3) 正态曲线可以关于 y 轴对称． ( ) 答案： (1) × (2) × (3) √ 2．设随机变量 X ～N (μ，σ2) ，且 P ( X ≤ C ) ＝ P ( X > C ) ，则 C ＝( )答案： D答案： D【解】 (1) 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数， 所以其图象关于 y 轴对称， 即 μ＝0.A ．0B ．σC ．－ μD ．μ3．已知随机变量 X 服从正态分布 N (3， )，则 P ( X < 3) ＝(1A.5B. C.1D.124．已知正态分布密度函2xx ∈ ( －∞，＋∞ ) ，则该正态分布的均P(x)＝2πe －4π正态分布密度函数与正态所以 P ( x )为偶函数．2x(2) 令 t ＝ 2，当 x ＝0时，因为 e t 是关于 t 的增函数， 当 x ≠0时， t >0，e t>1.2xe2 ＝ e 取最小值．1x2所以当 x ＝0时，P (x )＝ 2π·e －x 2取得最大值 2π . (3) 任取 x 1<0， x 2<0，且 x 1<x 2，222 2x 1 x 2则 x 12>x 22，－ 2<－ 2，22x 1 x 2所以 e － x 2 <e － x 2 .所以 P ( x 1)< P ( x 2) ，即当 x <0时， P ( x )递增．又 P (x ) 为偶函数，由偶函数的性质得：当 x >0 时， P (x ) 递减．正态分布的计算 设 X ～ N (6 ，1) ，求 P (4<X <5) ．【解】 由已知 μ＝ 6，σ＝ 1，因为 P (5<X <7)＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683 ，P (4< X <8) ＝ P ( μ－2σ <X <μ＋ 2σ) ＝0.954 ，故该正态分布的概率密度函数的解析式是P ( x )＝4 12πe －3x2，x ∈( －∞，＋∞ ) ．(2) P ( － 4<X ≤4) ＝ P (0 －4<X ≤0＋4)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.683.要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数 ，σ 的值，其中 μ 决定曲线的对称轴的位置， σ则与曲线的形状和最大值有关．1. 标准正态分布的概率密度函数是P (x ) ＝ 1 ·e －x 2(x ∈R)2π(1) 求证： P ( x ) 是偶函数； (2) 求 P ( x ) 的最大值；(3) 利用指数函数的性质说明 P ( x )的增减性． 解： (1) 证明：对任意 x ∈R ，有 P (－x ) ＝ 21π－ x ) 22x e－ 22πe －2 P (x )， t ＝ 0，e t ＝1.所以当 x ＝0，即 t ＝0 时，P(4< X<5) ＋P(7< X<8) ＝P(4<X<8) －P(5< X<7) ＝ 0.271.如图，由正态密度曲线的对称性知P (4< X <5) ＝ P (7< X <8) ，1所以 P (4< X <5) ＝ 2[ P (4< X <8) － P (5< X <7)] ＝ 12× 0.271 ＝ 0.135 5.（1） 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1；（2） 正态曲线关于直线 x ＝μ对称，从而在关于 x ＝μ对称的区间上概率相等．2.已知ξ～N （0，σ2），且 P （ ξ>2）＝ 0.2 ，则 P （0≤ξ ≤2） ＝ ____________________________________________解析：因为ξ～N （0 ，σ2）， 所以 P （ξ <－2）＝P （ξ >2） ＝0.2， 答案： 0.3正态分布的实际应用 设在一次数学考试中，某班学生的分数ξ～ N（110 ，202） ，且知满分 150分，这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中及格 （不小于 90 分）的人数和 130分以上的 人数．2【解】 因为ξ～N (110，202)，所以μ＝110，σ＝20. 所以 P (110 －20<ξ≤110＋ 20) ＝0.683.1所以ξ>130 的概率为 2(1 － 0.683) ＝ 0.158 5. 所以ξ≥90 的概率为 0.683 ＋0.158 5 ＝ 0.841 5.所以及格人数为 54×0.841 5 ≈45（人 ） ， 130分以上的人数为 54×0.158 5 ≈9（人 ）．正态分布是最常见、应用最广泛的一种分布，人的身高、体重，学生的学习成P (0≤ξ≤2)＝ 1－P （ξ <－2）－P（ξ >2）21－2×0.2 ＝0.3.绩，产品的尺寸等一般都服从正态分布，在解决此类问题时，利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率的值求概率．3. 若一批白炽灯共有 10 000 只，其光通量 ξ 服从正态分布，其概率 密度函数是 P (x ) ＝(1)209 － 6～ 209＋ 6； (2)209 －18～ 209＋ 18. 解：由于 ξ 的概率密度函数为2x －209)2，72，所以 μ＝209，σ＝ 6.所以 μ－σ＝209－ 6，μ＋ σ＝209＋6.μ－3σ＝209－6×3＝ 209－18， μ＋3σ ＝209＋6×3＝ 209＋ 18. 因此光通量 ξ 的取值在区间 (209－6，209＋6] ，(209－18，209＋18]内的概率应分别 是 0.683 和 0.997.(1) 光通量 ξ 在209－6～209＋6范围内的灯泡个数大约是 10 000 ×0.683 ＝6 830.(2) 光通量 ξ 在209－18～209＋18范围内的灯泡个数大约是 10 000 ×0.997＝9 970.正态分布的再认识(1) 参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． μ＝0， σ＝1 的正 态分布叫做标准正态分布．(2) 正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在 (a ，b ] 上的概率等于总体 密度函数在 [ a ，b ] 上的定积分值．(3) 从正态曲线可以看出， 对于固定的 μ 而言，随机变量在 ( μ－σ，μ＋σ)上取值的 概率随着 σ 的减小而增大． 这说明 σ 越小，X 取值落在区间 ( μ－σ，μ＋σ)的概率越大， 即 X 集中在 μ 周围的概率越大．对于固定的 μ 和σ，随机变量 X 取值区间越大，所对应 的概率就越大，即 3σ 原则．随机变量 X 服从正态分布 N (0 ，1) ，如果 P ( X <1) ＝ 0.841 3，21(x － 209)2e － ， x ∈ R. 试求光通量在下列范围内的灯72P (x )＝求P( －1<X< 0) ．【解】如图所示，因为P( X<1) ＝ 0.841 3 ，所以P( X≥1) ＝ 1－ 0.841 3 ＝ 0.158 7.所以P(X≤－ 1) ＝ 0.158 7.所以 P (－1<X <0)＝0.5 － 0.158 7 ＝0.341 3.(1) 错因： X ～ N (0 ，1) ，则正态曲线关于 y 轴对称， 应结合图象找出各区间的对称关系． (2)正态密度曲线的性质可以用来求参数 μ和 σ.具体方法如下： ①正态曲线是单峰的，它关于直线 x ＝μ 对称．由此性质结合图象可求μ.1②正态曲线在 x ＝ μ 处达到峰值 ，由此性质，结合图象可求 σ.σ 2 π (3) 正态总体在某个区间内取值的概率求法：①熟记 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ) ，P ( μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值．② P ( X <a ) ＝ 1 － P (X ≥ a ) ， P (X <μ － a ) ＝ P ( X ≥ μ ＋ a ) ， 若b <μ ， 则 P ( X <b ) ＝ 1－ P （ μ － b <X <μ ＋ b ）A ．μ1<μ2， σ1<σ2B ．μ1<μ2， σ1>σ2C ．μ1>μ2， σ1<σ2D ．μ1>μ2， σ1>σ2 答案： A212．设随机变量 X ～ N (20 ，32) ，若 P (X ≤a ) ＝2，则 a ＝解析：由正态曲线关于 x ＝ μ 对称可知 a ＝ 20. 答案： 203．已知随机变量 x 服从正态分布 (3 ，1) ，且P (2 ≤ x ≤4) ＝ 0.683 ，则 P ( x >4) ＝ ______________________________________________________________11 解析： P ( x >4) ＝ 2[1 － P (2 ≤x ≤4)] ＝ 2×(1 －0.683) ＝0.1585.21．设两个正态分布N (μ1，σ12)( σ1>0)和N (μ2，σ22)( σ 2> 0)的密度函数图象如图所 示，则有( )[A 基础达标]答案：μ＝10，方差3．已知某批零件的长度误差 （ 单位：毫米 ）服从正态分布 N （0 ， 33 4） ，从中随机取一件， 其长度误差落在区间 （3 ，6） 内的概率为 （ ）3对称．因为 P (95 ≤ X ≤105) ＝ 0.32 ，所以 P ( X ≥115)＝ 2× 生数学成绩在 115 分以上的人数为 0.18 ×50＝ 9.5．设随机变量 ξ 服从正态分布 N （μ，σ2），且二次方程 x 2＋4x ＋ξ＝0 无实根的概率 1 为 2，则 μ＝ ___ ．解析：因为方程 x 2＋ 4x ＋ ξ＝ 0 无实根， 所以 Δ＝ 16－4ξ<0，所以 ξ>4，1．已知随机变量 X 服从正态分布 N （ a ，4） ，且P （ X >1） ＝ 0.5 ，则实数 a 的值为 （ ）A ．1 C ．2B. 3 D ．4解析：选 A.因为随机变量 X 服从正态分布 N （ a ，4） ，所以 P （ X >a ） ＝0.5. 由 P ( X >1) 0.5 ， 可知 a ＝ 1.2．设有一正态总体， 它的概率密度曲线是函数 f （x ）的图象，且 f （x ）＝1φ μ， σ(x ) ＝8π 2 （ x － 10） 2e － （ － ） ，则这个正态总体的均值与标准差分别是（ 8A ．10与8B ． 10 与 2C ．8 与 10D ． 2与 10解析：选 B. 由正态密度函数的定义可知，总体的均值 σ ＝ 4，即 σ ＝ 2.（ 附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N （ μ ，2σ2) ，则 P ( μ－σ<ξ<μ＋σ)1即 P (ξ>4)＝2＝1－P ( ξ≤4)． 1故 P (ξ≤4)＝ 2. 所以 μ＝ 4. 答案： 426．在某项测量中，测量结果 ξ 服从正态分布 N (1 ，σ2)( σ>0)．若 ξ 在(0 ，1)内取 值的概率为 0.4 ，则 ξ 在(2 ，＋∞ )上取值的概率为 ．11 解析：由正态分布的特征易得 P ( ξ>2)＝2×[1－2P (0<ξ<1)] ＝2× (1 － 0.8) ＝0.1. 答案： 0.17．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000名年龄在 17.5 岁至19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重 X (kg) 服从正态分布N ( μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数约为 ____________ ．解析：依题意可知， μ ＝ 60.5 ，σ＝2，故 P (58.5 < X ≤62.5) ＝ P ( μ－P ( μ－2σ< ξ<μ＋2σ)≈95.4 %.)A ．4.56%B ．13.55%C ．27.18%D ．31.74%解析：选 B.由正态分布的概率公式知 P （－3<ξ<3）≈0.683，P （－6<ξ<6）≈0.954 ， 故P （3<ξ<6）＝P （－6<ξ<6）－P （－3<ξ<3） ≈0.954 － 0.683＝ 0.135 5＝ 13.55%， 故选 B.4．某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩X 服从正态分布 N (105 ，102) ，已知 P （95 ≤ X ≤105）＝ 0.32 ，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为A ．10B ．C ．8D ．解析：选 B.因为考试的成绩 X 服从正态分布 N (105 ， 102） ，所以正态曲线关于 x ＝105 （1 －0.32 ×2） ＝ 0.18. 所以该班学σ<X≤μ＋σ) ＝0.683 ，从而属于正常情况的人数为 1 000 × 0.683 ＝683.答案： 6838．一批灯泡的使用时间X( 单位：小时 )服从正态分布N(10 000，4002) ，求这批灯泡中“使用时间超过 10 800 小时”的概率．4解：依题意μ＝10 ，σ＝400，所以P(10 4－ 800<X≤104＋ 800)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ) ＝0.954.由正态分布性质知44P( X≤104－800) ＝P( X>104＋ 800) ，故 2P( X>10 800) ＋P(104－800<X≤104＋800) ＝1，1－ 0.954所以P( X>10 800) ＝2＝0.023.所以使用时间超过 10 800 小时的概率为 0.023.9．如图为某地成年男性体重的正态密度曲线图，试根据图象写出其正态密度函数，并求出随机变量的期望与方差．1 解：由图易知，该正态密度曲线关于x ＝ 72 对称，最大值为 ，所以 μ＝72.10 2π1因为 ＝ ，所以 σ＝ 10，2π σ 10 2π 所以正态密度函数的解析式是21－（ x － 72 ）P （x ）＝ ·e 200 ， x ∈（ －∞，＋∞ ）．10 2 π总体随机变量的期望是 μ＝ 72，方差是 σ2＝100.[B 能力提升 ]1．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件元件 3 正常工作， 则部件正常工作， 设三个电子元件的使用寿命 （ 单位：小时） 均服从正态分 布 N （1 000 ，502） ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 小时的概率为使用寿命超过 1 000 小时的概率为 p ＝ 12，超过 1 0003率 p 1＝1－（1－p ） 2＝43，那么该部件的使用寿命超过 1答案：382．工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N 4，19 ，则在一次正常的试验中，取 1000 个零件时，不属于区间 （3，5） 这个尺寸范围的零件大约有 个．11解析：因为 X ～N 4， 9 ，所以 μ＝4，σ＝3.1 或元件2 正常工作，且1 000 解析：由三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N （1 000 ，502） 得：三个电子元件的小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概3000 小时的概率为 p 2＝ p 1×所以不属于区间（3 ，5）的概率为P（X≤3）＋P（X≥5）＝ 1－P（3 < X<5）＝1－P（4 －1<X<4＋1）＝1－P（μ － 3σ< X< μ＋ 3σ ）＝ 1－ 0.997 ＝ 0.003.1 000 × 0.003 ＝3（个）．即不属于（3 ， 5）这个尺寸范围的零件大约有 3 个．答案： 33．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80 ，52），现已知该班同学中成绩在 80～85分（包括 85分，但不包括 80分）的有 17人，试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人？解：因为成绩服从正态分布N（80 ，52 *），所以μ＝ 80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在（75 ， 85] 内的同学约占全班同学的 68.3%.这样成绩在（80 ， 85] 内的同学约占全班同学的 34.15%. 设该班有x 人，则x×34.15 %＝ 17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋ 10＝ 90，1（人），所以成绩在 90分以上的仅有 1 人．4．（选做题）已知某种零件的尺寸ξ（单位： mm）服从正态分布，其正态曲线在（0 ，80）112π· σ 8 2π所以＝8.所以成绩在（70 ， 90] 内的同学约占全班同学的95.4%.12(1－95.4%)＝2.3%.所以上是增函数，在（80 ，＋∞ ）上是减函数，且1P(80) ＝812π .P (x ) ＝ 1 e －(x －12880)8 2 π 128σ＝8 得 μ－σ＝80－8＝72，μ＋ σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸位于区间 （72 ， 88] 内的概率是 0.683.因此尺寸在 72 mm ～ 88 mm 之间的零件大约占总数的 68.3%.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为(1) 求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2) 求正态总体在 ( －4，4] 上的概率．故概率密度函数解析式是 (2) 由 μ＝ 80，。