必修2直线与平面垂直的判定与性质试题及答案

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人教版必修2《直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质》知识点练习答案

直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质一、知识点： 1、直线与平面垂直： ⑴空间中两直线垂直⎩⎨⎧异面垂直相交垂直⑵直线与平面垂直定义：如果直线l 与平面α内任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直；记作α⊥l ，l 叫α的垂线，α叫l 的垂面；垂线上任意一点M 到垂足P 之间的线段长度叫点M 到平面α的距离； ⑶如果α⊥l ，则l 与α内任意一条直线都垂直；⑷ ①直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；简称为“线线垂直⇒线面垂直”；用数学符号表示为：P ，n ，m ，n m =⊂⊂ ααm ，l ⊥n l ⊥（5个条件，特别是相交不能丢）⇒α⊥l ；②直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；用数学符号表示为：αα⊥⊥，b a a ⇒∥b ； 2、平面与平面垂直：⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；这条直线叫二面角的棱；这两个半平面叫二面角的面；记作二面角Q l P l ----或βα ⑵二面角的求法①作：在棱l 上任取一点O ，分别向两个半平面作棱l 的垂线OM ，ON ，则 MON ∠就是所求的二面角平面角； ②找：已经作好，把它找出来即可；⑶两个平面垂直定义：当两个平面相交，所成二面角平面角为90时，就说这两个平面互相垂直；⑷①两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；简称为“线面垂直⇒面面垂直”；用数学符号表示为：，a α⊂⇒⊥βa βα⊥；②两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；简称为“面面垂直⇒线面垂直”；用数学符号表示为：l ，，=⊥βαβα ，a α⊂l a ⊥（4个条件，缺一不可）⇒β⊥a3、求角：①直线与直线所成的角[]900，∈θ；②直线与平面所成的角：直线和它在平面内的射所成的角[]900，∈θ；③平面与平面所成的角（二面角）[]1800，∈θ4、求距离：①点到直线的距离:从一点作直线的垂线,该点到垂足间的线段长度.②点到平面的距离：从一点向平面作垂线，该点到垂足间的线段长度。

高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案

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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
知识梳理
直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
L 与平面 α 互相垂
直，记作 L⊥ α，直线 L 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面
垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。
B．如果平面 α 不垂直于平面 β ，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β
C．如果平面 α ⊥ 平面 γ ，平面 β ⊥ 平面 γ ， α ∩ β =l ，那么 l ⊥ 平面 γ
D．如果平面 α ⊥ 平面 β ，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β
．Байду номын сангаас
25．如图，正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是棱 BC、DD 1 上的点，如果 B 1E ⊥平面 ABF ，
则 CE 与 DF 的和的值等于
．
26．如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a ， PB=PD=
5 个面中，互相垂直的面有
∵ AD 1 ∥ BC 1 ，且 F 、 P 分别是 AD 、 DD 1 的中点， ∴ FP∥ AD 1 ， ∴ BC 1 ∥ FP ，又 FP? 平面 EFPQ ，且 BC 1 ?平面 EFPQ ， ∴ 直线 BC 1 ∥ 平面 EFPQ ；
（ Ⅱ）如图，
连接 AC 、 BD ，则 AC ⊥ BD ， ∵ CC 1 ⊥ 平面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD ， ∴ CC 1 ⊥ BD ；又 AC ∩ CC 1 =C ， ∴ BD ⊥ 平面 ACC 1 ，

高中数学必修2考点知识专题训练12---直线与平面垂直的性质(含答案解析)

高中数学必直线一、基础巩固1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D A.B 1B ⊥lB.B 1B ∥lC.B 1B 与l 异面但不垂直D.B 1B 与l 相交但不垂直解析:因为B 1B ⊥平面A 1C 1,又因答案:B2.若直线l 垂直于梯形ABCD 面的位置关系是( ) A.相交但不垂直 B.平行C.垂直 D.在平面答案:C3.如图, ADEF 的边AF ⊥平面数学必修2考点知识专题训练直线与平面垂直的性质课时过关·能力提升1中,若直线l (与直线BB 1不重合)⊥平面A 1又因为l ⊥平面A 1C 1,所以l ∥B 1B. BCD 的两腰AB 和CD ,直线m ∥l,则m 与梯形面ABCD 内平面ABCD ,且AF=2,CD=3,则CE=( )训练C 1,则( ) 形ABCD 所在的平A.2B.3C.√√13解析:因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF DE.因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CEൌ√ܥܦଶ൅ܦܧଶൌ√9൅4ൌ√13.答案:D4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是()①若m⊥n,n⊂α,则m⊥α;②若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;④若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n.A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④解析:①中,直线m垂直于平面α内的一条直线n,则直线m与平面α不一定垂直,所以①不是真命题;②是平面与平面垂直的判定定理,所以②是真命题;③是直线与平面垂直的性质定理,所以③是真命题;④中,分别在两个平行平面α,β内的直线m,n平行或异面,所以④不是真命题.答案:B5.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和c m(b>c),则它们顶端的距离为m.解析:如图,根据题意可知AD=b m,BC=c m,AB=a m.由线面垂直的性质定理可得AD∥BC.过点C向AD作垂线,设垂足为E,则在Rt△CDE中,CE=a m,DE=(b-c)m,所以CDൌටܽଶ൅(ܾ-ܿ)ଶሺmሻ.答案:ටܽଶ൅(ܾ-ܿ)ଶ6.已知直线l,m,a,b,l⊥a,l⊥b,m⊥a,m⊥b,且a,b是异面直线,求证:l∥m.证明:如图,在直线b上任取一点O,过点O作a'∥a,则直线b,a'确定一个平面α.∵a'∥a,l⊥a,∴l⊥a'.∵l⊥b,a'∩b=O,∴l⊥α.同理可证m⊥α,∴l∥m.7.如图,已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l.证明:因为EA⊥α,EB⊥β,α∩β=l,所以l⊥EA,l⊥EB.因为EA∩EB=E,EA⊂平面EAB,EB⊂平面EAB,所以l⊥平面EAB.因为a⊂α,EA⊥α,所以a⊥EA.因为a⊥AB,AB∩EA=A,AB⊂平面EAB,EA⊂平面EAB,所以a⊥平面EAB.所以a∥l.二、能力提升1.若a,b是互不相同的直线,α,β是不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b的是()A.a⊂α,b⊂β,α∥βB.a∥α,b⊂αC.a⊥α,b⊥αD.a⊥α,b⊂α答案:C★2.已知直线l∩平面α=点O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=()A.2B.1C.ଷଶD.ଵଶ解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以ை஺ൌ஺஼஻஽.ை஻因为OA=AB,所以ை஺ൌଵଶ.ை஻因为AC=1,所以BD=2.答案:A3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC 的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是.解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC.答案:平行4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,l⊥平面PCD.求证:l∥AE.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD.因为PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD,所以AE⊥DC.因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD,所以l∥AE.5.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:஼ி஽஼ൌ஼ா஻஼.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,׵஼ி஽஼ൌ஼ா஻஼.★6.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.证明:(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.因为F为BE的中点,所以FG∥AE,FGൌଵܣܧ.ଶ因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.因为CDൌଵܣܧ,ଶ所以FG∥CD,FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点, 所以AF⊥BE.因为△ABC是等边三角形,所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.因为FG⊥平面ABC,所以FG⊥GC,FG⊥DF.因为FG∩AB=G,所以DF⊥平面ABE.因为AF⊂平面ABE,所以DF⊥AF.因为BE∩DF=F,所以AF⊥平面BDF.因为BD⊂平面BDF,所以AF⊥BD.。

高一数学必修2线、面垂直的判定与性质

α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式：如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。

高中数学必修二《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷及答案解析

2019-2020学年高中数学必修二《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．填空题（共23小题）1．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为1+．【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC 为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ACO＝θ，B（x，y），则有：x＝AC cosθ+BC sinθ＝2cosθ+sinθ，y＝BC cosθ＝cosθ．∴x2+y2＝4cos2θ+4sinθcosθ+1＝2cos2θ+2sin2θ+3＝2sin（2θ+）+3，当sin（2θ+）＝1时，x2+y2最大，为2+3，则B、O两点间的最大距离为1+．故答案为1+．【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．2．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．【分析】先求出DE，可得AE，即可求出PE．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，PE⊥BE，∴AE⊥BE，∵AB＝4，AD＝2，∴4＝DE（4﹣DE），∴DE＝2，∴AE＝2，∵P A＝3，∴PE＝＝，故答案为．【点评】本题考查空间距离的计算，考查线面垂直的性质，属于中档题．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有8条．【分析】利用正方体的结构特征求解．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AA1垂直的棱有：A1D1，AD，B1C1，BC，A1B1，AB，C1D1，CD．故答案为：8．。

高中数学必修二同步练习直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)

【解析】（1）∵ 平面，平面，所以．
在中，，
同理，得，又，则即，
又，故平面．
又平面，故．
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点是的中点，作，交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面．
【解析】（1）连接，与相交于，连接，则为的中位线，，又平面平面，由线面平行的判定定理知平面．
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中表述正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
5．正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
【答案】B
【解析】因为分别是的中点，所以DF//BC，所以平面，则A正确；
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；
由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；
根据异面直线所成角的定义可知，C正确；
（2）∵ ，且底面，∴ 为等腰直角三角形，
是的中点，，又底面为正方形，，
由，得平面，而平面，
又平面，又平面，故平面平面．
（3）由（2）知，平面平面，
又，平面．
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，若PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是

高中数学必修2单元配套练习试题2.3.1直线与平面垂直的判定及参考答案解析

2.3.1直线与平面垂直的判定姓名:___________班级:______________________1.下列条件中,能使直线m⊥平面α的是( )A.m⊥b ,m⊥c ,b ⊂α,c ⊂αB.m⊥b ,b∥αC.m∩b＝A,b⊥αD.m∥b ,b⊥α2.下列说法中正确的个数是( )①若直线l 与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l 与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α③若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α.A.4B.2C.3D.13.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定4.如图,1111D C B A ABCD -为正方体,下面结论:①//BD 平面11D CB ;②BD AC ⊥1;③⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.35.如图(1),在正方形SG 1G 2G 3中,E,F 分别是边G 1G 2,G 2G 3的中点,沿SE,SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G 1,G 2,G 3三点重合于G,下面结论成立的是( )A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF6.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1AC 与平面1111A B C D 所成角的正弦值为( )B.2313 7.已知P 为△ABC 所在平面外一点,且PA ,PB ,PC 两两垂直,则下列结论:①PA BC ⊥;②PB AC ⊥;③PC AB ⊥;④AB BC ⊥.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④8.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )C.239.已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________.10.在Rt△ABC 中,D 是斜边AB 的中点,AC ＝6,BC ＝8,EC⊥平面ABC,且EC ＝12,则ED ＝_______.11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD 1,则动点P 的轨迹是________.12.如图所示,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC,AB ＝AC ＝1,AA 1＝2,∠B 1A 1C 1＝90°,D 为BB 1的中点.求证:AD⊥平面A 1DC 1.13.如图,ABCD 为正方形,过A 作线段SA⊥平面ABCD,过A 作与SC 垂直的平面交SB,SC,SD 于E,K,H,求证:E 是点A 在直线SB 上的射影.14.如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD 为矩形,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(2)若∠PDA＝45°,求证:MN⊥平面PCD.参考答案1.D【解析】对于选项A:如果直线b,c 不相交,则m 不一定垂直于平面α;对于选项B:显然不正确;对于选项C:显然不正确,故选D.考点:线面垂直的判定.2.B【解析】对于①②,不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,也可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的,③④是正确的,故选B.考点:线面垂直的判定.3.A【解析】梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知A 正确.考点:线面垂直的判定.4.D【解析】由正方体的性质得,BD ∥B 1D 1,结合线面平行的判定定理可得BD ∥平面CB 1D 1,所以①正确;由正方体的性质得 AC ⊥BD,因为AC 是AC 1在底面ABCD 内的射影,所以由三垂线定理可得AC 1⊥BD,所以②正确;由正方体的性质得 BD ∥B 1D 1,由②可得AC 1⊥BD,所以AC 1⊥B 1D 1,同理可得AC 1⊥CB 1,进而结合线面垂直的判定定理得到AC 1⊥平面CB 1D 1,所以③正确.考点:直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定.5.A【解析】由折叠前后不变的元素关系,知SG⊥GE ,SG⊥GF ,又GE∩GF＝G,所以SG⊥平面GEF,故选A.考点:线面垂直的判定.6.D【解析】连接11A C ,因为1111ABCD A B C D -是长方体,所以1AA ⊥平面1111A B C D ,所以11A C 是1AC 在平面1111A B C D 内的射影,所以11A C A ∠为1AC 与平面1111A B C D 所成的角.在11Rt AAC 中,11AA =,13AC ==,1190AAC ∠=︒,所以11111sin 3AA A C A AC ∠==. 考点:线面角的求法.7.A【解析】由PA ,PB ,PC 两两垂直可得PA ⊥平面PBC ,PB ⊥平面PAC ,PC ⊥平面PAB ,所以PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,①②③正确.④错误,假设AB BC ⊥,由PA ⊥平面PBC 得PA BC ⊥,又PA AB A =,所以BC ⊥平面PAB ,又PC ⊥平面PAB ,这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾.考点:线面垂直.8.D【解析】解法一:如图,设正方体的棱长为1,上,下底面的中心分别为1O ,O ,则11OO BB ,1O O 与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角,即∠O 1OD 1,cos∠O 1OD 1＝11O OOD =.解法二:画出图形,如图,BB 1与平面ACD 1所成的角等于DD 1与平面ACD 1所成的角,在三棱锥D －ACD 1中,由三条侧棱两两垂直且相等得点D 在底面ACD 1内的射影为等边三角形ACD 1的重心,即中心H,连接D 1H,DH,则∠DD 1H 为DD 1与平面ACD 1所成的角,设正方体的棱长为a,则cos∠DD 1H＝3a =考点:求线面角的余弦值9.外心【解析】P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等,所以是外心.考点:线面垂直的应用.10.13【解析】如图,∵AC＝6,BC ＝8,∴AB＝10,∴CD＝5.在Rt△ECD 中,EC ＝12,13.考点:线面垂直的应用.11.B1C【解析】BD1⊥平面B1AC,平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C,所以P为B1C上任何一点时,均有AP⊥BD1.考点:线面垂直的应用.12.见解析【解析】证明:∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC, ∴AA1⊥平面A1B1C1,∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°,∴A1C1⊥A1B1,又A1B1∩AA1＝A1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,又AD⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2,A1D＝2,又AA1＝2,∴AD2＋A1D2＝AA21,∴A1D⊥AD,∵A1C1∩A1D＝A1,∴AD⊥平面A1DC1.考点:线面垂直的判定.13.见解析【解析】证明:SA ABCDBC ABCD⊥⎫⎬⊂⎭平面平面⇒SA⊥BC,又∵AB⊥BC,SA∩AB＝A,∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SAB,∴BC⊥AE,∵SC⊥平面AHKE,AE⊂平面AHKE,∴SC⊥AE.又BC∩SC＝C,∴AE⊥平面SBC,∵SB⊂平面SBC,∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.考点:线面垂直的应用.14.见解析【解析】证明:(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE、NE,∵N为PC的中点,E为PD的中点,∴NE∥CD且NE＝12CD,而AM∥CD且AM＝12AB＝12CD,∴NE∥AM且NE＝AM,∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,又∵ABCD为矩形,∴AD⊥CD,又AD∩PA＝A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,又AE∥MN,∴MN⊥CD.(2)由(1)可知CD⊥AE,MN∥AE.又∠PDA＝45°,∴△PAD为等腰直角三角形,又E为PD的中点,∴AE⊥PD,∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.【考点】线面垂直的证明.。

人教A版高中数学必修二 2-3-1 直线与平面垂直的判定检测含答案精品

2.3.1 直线与平面垂直的判定时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．下列命题中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个 C．4个D．5个【答案】C【解析】②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立.2.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )A．(0°，90°) B．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°]【答案】B【解析】由线面角的定义知B正确．3.如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( )A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】C【解析】∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．.4.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．5.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面 ( )A．有且只有一个 B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个 D．一定不存在【答案】B【解析】当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a 且与b垂直的平面不存在．故选B。

高中数学(人教版必修2)配套练习第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质试题解析

§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．一个或无数个D ．可能不存在 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )A ．两个平面相交，所成二面角是直二面角B ．一个平面经过另一个平面的一条垂线C ．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D ．平面α内的直线a 与平面β内的直线b 是垂直的 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .求证：平面EFG ⊥平面PDC . 8. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，P A＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．13．(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，P A＝PC＝5，∴PD⊥AC.∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．7. 如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.8. 如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶310．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么() A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝22a，C1D＝2a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.。

高中数学必修2考点知识专题训练11---直线与平面垂直的判定(含答案解析)

高中数学必修2考点知识专题训练直线与平面垂直的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.下面条件中,能判定直线l⊥α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案:D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6解析:仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.答案:B3.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.答案:B4.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A .平行B .垂直且相交C .垂直但不相交D .相交但不垂直解析:连接AC ,因为ABCD 是菱AC ∩MC=C ,所以BD ⊥平面AM BD 不共面,因此直线MA 与答案:C5.已知线段AB 的长等于它在平的角为( ) A .30°B .45°解析:如图,AC ⊥α,AB ∩α=B ,则所以∠ABC=60°,它是AB 所在答案:C6.如图,在正方形ABCD 中,EF 把这个正方形折成一个空间间图形中必有( )是菱形,所以BD ⊥AC.又MC ⊥平面ABCD ,AMC.又MA ⊂平面AMC ,所以MA ⊥BD.显然直BD 的位置关系是垂直但不相交. 它在平面α内的射影长的2倍,则AB 所在的直线C .60°D .120°则BC 是AB 在平面α内的射影.因为BC ൌ所在的直线与平面α所成的角.E ,F 分别是BC ,CD 的中点,G 是EF 的中点,现在个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为则BD ⊥MC.因为显然直线MA 与直线的直线与平面α所成ଵଶܣܤ, 现在沿AE ,AF 及点记为H ,则在这个空A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF解析:在平面图形中,AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.答案:A7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为ଶଷ,则该四棱柱的侧棱长等于__________________.解析:由题意得tan∠DBD1ൌ஽஽భ஻஽ൌଶଷ,因为BD=3√2,所以DD1ൌଶଷܤܦൌଶଷൈ3√2ൌ2√2.答案:2√28.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD的形状一定是.解析:由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.证明:B1C⊥AB.证明:如图,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.因为BC1∩AO=O,所以B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.10.有一根旗杆高12 m,在它的顶端处系两条长13 m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?解:能.如图,设地面为平面α,PO表示旗杆,PA,PB表示两条绳子,A,B,O三点不共线.∵PO=12 m,PA=13 m,OA=5 m,∴PO2+OA2=PA2,∠POA=90°,即OP⊥OA.同理可证OP⊥OB.∵OA∩OB=O,OA⊂α,OB⊂α,∴PO⊥α.故由此能断定旗杆与地面垂直.二、能力提升1.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是()A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD解析:由六边形ABCDEF是正六边形,可得CF∥AB,利用线面平行的判定定理可得CF∥平面PAB,C正确;同理可得CD∥平面PAF,A正确;在正六边形ABCDEF中,易得DF⊥AF.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,且PA∩AF=A.由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,B正确.由排除法可知选D.答案:D2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的位置关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:如图,取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO.因为AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.答案:C★3.如果P是等边三角形ABC所在平面外一点,且PA=PB=PCൌଶଷ,△ABC的边长为1,那么PA与底面ABC所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图,记O 为点P 在△ABC 内的射影.易知O 为△ABC 的中心,且PO ⊥平面ABC ,则PA 与底面ABC 所成的角即为∠PAO ,AO ൌ√ଷଷܣܤൌ√ଷଷ,ܲܣൌଶଷ,所以cos ∠PAO ൌ஺ை௉஺ൌ√ଷଶ,故∠PAO=30°.故选A .答案:A4.如图,PA ⊥平面ABC ,BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数为 . 解析:ܲܣ٣平面ܣܤܥܤܥ⊂平面ܣܤܥൠ֜ܲܣ٣ܤܥܣܥ٣ܤܥܲܣځܣܥൌܣൡ֜BC ⊥平面PAC ֜BC ⊥PC , 所以直角三角形有△PAB ,△PAC ,△ABC ,△PBC. 答案:45.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,P 为空间一点,且AC=BC=5√2,ܲܥ⊥AC ,PC ⊥BC , PC=5,AB 的中点为M ,连接PM ,CM ,则PM 与平面ABC 所成的角的大小为 .解析:由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,所以∠PMC为PM与平面ABC 所成的角.因为△ABC为等腰直角三角形,M是AB的中点,所以ABൌට(5√2)ଶ൅(5√2)ଶൌ10,CMൌଵଶܣܤൌ5.又PC=5,所以∠PMC=45°.答案:45°6.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是.(只填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.解析:由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,又B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确; 由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.答案:④7.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC 的中点,连接AE,AC.求证:AE⊥PD.证明:因为四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.★8. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD.(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA.因为CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.11 / 11。

人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定同步练习(含答案

人教版高中数学必修第二册8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为()A.40°B.50°C.90°D.150°2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:①m⊥n,m∥α,α∥β⇒n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α∥β⇒n⊥β;③m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.其中正确的是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为()A.72°B.90°C.108°D.180°5.如图L8-6-10所示,若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍,则AB与平面α所成的角是()图L8-6-10A.60°B.45°C.30°D.120°6.如图L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O,则下列说法中正确的是()图L8-6-11A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心7.如图L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,则()图L8-6-12A.AB·BC=1B.AB·BC=2C.AE·CD=1D.AE·CD=28.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD,E为CD的中点,则()A.A1E⊥DD1B.A1E⊥DBC.A1E⊥D1C1D.A1E⊥DB1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如图L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况)图L8-6-1310.平行四边形ABCD对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是.11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等,则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-6-14,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=12BC=1,PA=5,△PBC是正三角形.(1)求证:AB⊥平面PBC;(2)求点P到平面ABC的距离.图L8-6-1414.(10分)如图L8-6-15所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点.(1)求证:AF⊥平面BB1D1D;(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.图L8-6-15=3 ,点P在棱AB 15.(5分)如图L8-6-16,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ,则sinθ的最大值为.图L8-6-1616.(15分)已知AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点.(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;(2)当△VAB是边长为22的正三角形时,求四面体V-DEB的体积.参考答案与解析1.B[解析]若两条直线平行,则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.2.D[解析]若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n⊂β,故②错误;若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β,故④正确.故选D.3.C[解析]∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.4.B[解析]当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时,直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0°,90°],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.故选B.5.A[解析]∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.故选A.6.A[解析]由题意可知PA,PE,PF两两垂直,则PA⊥平面PEF,则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.7.D[解析]取AC的中点O,连接OB,OE,记OE与AD的交点为F,则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB⊂平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴ = ,即1 = 2,∴AE·CD=2.故选D.8.B[解析]连接AE.因为AB=2AD,E为CD的中点,所以 = =2,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E⊥DB.9.AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形)10.垂直[解析]∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO ⊥平面ABCD.11.32[解析]记该正四棱锥为S-ABCD,设其高SO=h,则13a2·h=a3,可得h=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO,且tan∠SCO=3 =32.12[解析]如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O= 1 =13.解:(1)证明:∵AB=12BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2.∵PA=5,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AB⊥平面PBC.(2)设点P到平面ABC的距离为h.由(1)知AB⊥平面PBC,由V P-ABC=V A-PBC,得13S△ABC·h=13S△PBC·AB,即13×12×1×2×h=13×12×2×21,解得h=3,则点P到平面ABC的距离为3.14.解:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,因为F为BD的中点,所以AF⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD,AF⊂平面ABCD,所以AF⊥DD1.又DB∩DD1=D,DB⊂平面BB1D1D,DD1⊂平面BB1D1D,所以AF⊥平面BB1D1D.(2)连接D1B,D1C,如图所示.因为E,F分别为DD1,BD的中点,所以EF∥D1B,故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.又BC⊥平面D1DCC1,D1C⊂平面D1DCC1,所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC= 1 =2.15[解析]依题意可知,该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O,则O是底面的中心,连接OB,过P作PH∥AO,交OB于H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(0<x ≤4a).在三角形PBE中,∠PBE=π3,由余弦定理得PE= 2+ 2- .因为AO⊥平面BCD,PH∥AO,所以PH⊥平面BCD,所以PH⊥HE,所以∠PEH是直线EP与平面BCD所成的角θ.在三角形AOB,又 = 4 ,所以所以sinθ= =中,x=2a时,sinθ16.解:(1)DE⊥平面VBC,证明如下:∵AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,∴AC⊥BC.∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,AC⊂平面ABC,∴AC⊥VC,∵BC∩VC=C,∴AC⊥平面VBC.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE∥AC,∴DE⊥平面VBC.(2)∵△VAB是边长为22的正三角形,∴VB=VA,又∠VCB=∠VCA=90°,VC=VC,∴△VBC≌△VAC,∴BC=AC.∵BC2+AC2=AB2=8,∴AC=BC=2,∴VC=(22)2-22=2.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE=12AC=1,∴四面体V-DEB的体积V V-DEB=V D-VBE=13×S△BEV×DE=13×12×S△VBC×DE=13×12×12×2×2×1=13.。

高一必修2-直线、平面垂直的性质及判定(习题及答案)

高一必修2 直线、平面垂直的性质及判定（习题及答案）典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）．A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线B ．过直线外一点与该直线平行的平面C ．过平面外一点与平面平行的直线D ．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）．A ．（1）、（2）B ．（2）、（3）C ．（3）、（4）D ．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D ．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．典型例题三例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中，∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点，∴D B EO 1//．∵⊥11A B 面D D AA 11，∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影．又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥．同理可证，C D D B 11⊥．又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ，∴⊥D B 1平面1ACD ．∵EO D B //1，∴⊥EO 平面1ACD ．另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =．又∵OC AO =，∴AC OE ⊥．在正方体1DB 中易求出： a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=，a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=， ()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=． ∵21221E D OE O D =+，∴OE O D ⊥1． ∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ，∴⊥OE 平面1ACD ．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图，在△ABC 中，90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥．∵ 90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ．∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ．∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，∴⊥SC 平面AMN ．∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．典型例题五例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．∵α⊥AH ，∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α⊂BC ，∴AD BC ⊥．在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ① 在Rt △BHD 中有：BHBD =αcos ② 在Rt △ABD 中有：BA BD =βcos ③ 由①、②、③可得：αθβcos cos cos ⋅=．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ，．典型例题六例6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ．∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，∴BD EF //，H 为AO 中点．∵EF BD //，⊄BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ．∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥．∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ．∵⊂OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离．∵正方形边长为4，2=CG ， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG ．在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK ．说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作ME BP ⊥于P ，作CG BN //交MG 于N ，连结PN ，再作PN BH ⊥于H ，可得⊥BH 平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SAC ∆中，D 为AC 中点，∴AC SD ⊥．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵BC ED //，AB BC ⊥，∴AB DE ⊥．又AB SE ⊥，∴AB ⊥面SED ，∴SD AB ⊥．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BC BA =，∴AC BD ⊥．又∵SD ⊥面ABC ，∴BD SD ⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥．证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面．∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的．典型例题十例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴AN BM ⊥．∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥．解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ．∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形．综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥．由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥．由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥．由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥．综上，图中共有11对互相垂直的直线．说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角．作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．由PAC PAB ∠=∠，︒=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =，可得PMA ∆≌PNA ∆，∴PN PM =．∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设a PA =，又︒=∠60PAM ，∴a AM 21=，︒=∠45OAM ， ∴a AM AO 222==．在POA ∆中，22cos ==∠PA AO PAO ， ∴︒=∠45PAO ，即PA 与α所成角为︒45．说明：(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角，此时︒==∠60θPAC ，α=∠PAO ，︒==∠45βCAO ．(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心．典型例题十二例12 如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求点S 与直线AB 的距离．分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==， ∴cm SO 5=．因此，点S 到AB 的距离为cm 5．说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．典型例题十三例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ．∵⊂AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥．又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥．∴⊥AE 平面SBC ．又∵⊂SB 平面SBC ，∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．典型例题十四例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知：BAC ∠在平面α内，点α∉P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．证明：∵α⊥PO ，∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面⊂AB ，∴OE AB ⊥．同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =，∴CAO BAO ∠=∠．说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知︒=∠90ACB ，S 为平面ACB 外一点，︒=∠=∠60SCB SCA ，求SC 与平面ACB 所成角．典型例题十五例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面，因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ，同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ，∵BC AC =，∴AB CF ⊥．又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥，又CDF CD 平面⊂，∴AB CD ⊥又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥，又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证．证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交，则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵．典型例题十八例18 如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ∆的垂心．分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．证明：如图所示，假设H 是DBC ∆的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥，∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥，∴DAC AB 平面⊥，∴AC AB ⊥，这与已知︒=∠60BAC 矛盾，∴假设不成立，故H 不可能是DBC ∆的垂心．说明：本题只要满足︒≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间，下列哪些命题是正确的（）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．∴应选B ．例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线(1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．图１图２证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ，设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'//b b又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥，∴α⊥AB ．(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'，则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面．∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'BB ，∴c BB ⊥'．∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面．故AB c //．说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ①∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ②由①、②可知：1//BD EF ．例22 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ，∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥∵a PC PB PA ===，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆，∴OC OB OA ==，∴O 为ABC ∆的外心．∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴a CA BC AB 2===，ABC ∆为正三角形， ∴a AB AO 3633==，∴a AO PA PO 3322=-=．因此点P 到平面ABC 的距离a 33．说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂，∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求．过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂，∴E B BC 1⊥．又B B A BC =1 ，∴111BCD A E B 平面⊥．即线段E B 1的长即为所求，在B B A Rt 11∆中，13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ， ∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360．说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解．例24 AD 、BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为︒30，cm AD 8=，BC AB ⊥，BC DC ⊥．求线段BC 的长．分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD 、BC 所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC 之长．解：如图，在平面α内，过A 作BC AE //，过C 作AB CE //，两线交于E ． ∵BC AE //，∴DAE ∠就是AD 、BC 所成的角，︒=∠30DAE ．∵BC AB ⊥，∴四边形ABCE 是矩形．连DE ，∵CD BC ⊥，CE BC ⊥，且C CE CD = ，∴CDE BC 平面⊥．∵BC AE //，∴CDE AE 平面⊥．∵CDE DE 平面⊂，∴DE AE ⊥．在AED Rt ∆中，得34=AE ，∴)(34cm AE BC ==．说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．。

高中数学人教B版必修二同步练习：直线与平面垂直的性质 Word版含答案

人教B 版数学必修2：平面与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质一、选择题1. 已知l a a ⊥⊥,α，则l 与α的位置关系是 ( D )A ．l // αB ． α⊥lC ． α⊂lD ． l 与α不相交2. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角(D)A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不定3. 平面α，β分别过两条互相垂直的异面直线l 、m ，则下列情况：⑴α∥β；⑵α⊥β；⑶l ∥β；⑷m ⊥α中，可能发生的有 ( D )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4. (2003年上海卷)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ D ）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.5. 已知a ，b 是直线，α，β，γ是平面. 给出下列命题：①a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，则a ∥b ；②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④α∥β， β∥γ，a ⊥α，则a ⊥γ.其中错误命题的序号是（ B ）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题6. 如图，已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的值等于 2 .7. (2003年上海卷)在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）．8. 对四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）三、解答题9.已知正三棱锥ABC P -证明：BC PA ⊥.10. 如图，在空间四边形ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．求证：(1)EF ⊥DC ；(2)平面DBC ⊥平面AEF ．11. S 是△ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，求证平面ASC ⊥平面ABC ．12. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC，且CE=2AD ．求证：平面BDE ⊥平面BCE ．【课时40答案】1.D.2.D3.D4.D5.B6.27. arctg2.8. ①④9. 取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD ． ∴BC PA ⊥．10.11.12.。

高中数学必修二同步练习题库：直线、平面垂直的判定和性质(选择题：较难32,困难36)

直线、平面垂直的判定和性质（选择题：较难32，困难36）1、正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为A． B． C． D．2、如图，三棱柱中，侧棱底面，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直于；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43、如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D．4、平面过正方体的面对角线，且平面平面，平面平面，则的正切值为（）A． B． C． D．5、在底面是平行四边形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．6、如图所示，已知二面角的平面角为，为垂足，且，，设到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）A． B． C． D．7、如图，在四棱锥中，平面，为线段的中点，底面为菱形，若，，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8、如图，正四面体中，、、在棱、、上，且，，分别记二面角，，的平面角为、、，在（）A． B． C． D．9、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A． B． C． D．10、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A． B．C． D．11、已知直角三角形的两条直角边，，为斜边上一点，沿将三角形折成直二面角，此时二面角的正切值为，则翻折后的长为（）A．2 B． C． D．12、在四棱锥中，平面，底面为矩形，．若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（）A． B． C． D．13、如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④14、如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④15、如图，正四面体的顶点、、分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是( )A．是正三棱锥B．直线与平面相交C．直线与平面所成的角的正弦值为D．异面直线和所成角是16、在棱长为1的正方体中，是的中点，是三角形内的动点，，则的轨迹长为( )A． B． C． D．17、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为( )A． B． C． D．18、如图，把画有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、两点之间的空间距离为，则（）A．-2 B． C．-1 D．19、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．20、把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影，如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（）A． B． C．10 D．3021、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．22、已知为异面直线，平面a，平面b．直线满足，则（）A．a∥b，且l∥aB．，且C．与相交，且交线垂直于D．a与b相交，且交线平行于23、如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°24、如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BC="AC" ，AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1,②A1B⊥NB1 ,③平面AMC1⊥平面CBA1 ,其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．325、已知两条直线，两个平面，下面四个命题中不正确的是A．B．C．D．26、如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1//平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．327、在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（）A．对任意的，，存在点，使得B．当且仅当时，存在点，使得C．当且仅当时，存在点，使得D．当且仅当时，存在点，使得28、下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D．若直线不平行于平面，则在平面内不存在与平行的直线29、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )(1) AC⊥BE.(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.(3) 三棱锥A-B EF的体积为定值.(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.A．0 B．1 C．2 D．330、下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是A．①② B．②③ C．③④ D．②④31、已知是直线，是平面，、，则“平面”是“且”的…………………………………………………………………………（）A．充要条件． B．充分非必要条件． C．必要非充分条件． D．非充分非必要条件32、圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。

2024-2025年北师大版数学必修第二册6.5.1直线与平面垂直(带答案)

§5垂直关系5．1 直线与平面垂直必备知识基础练知识点一直线与平面垂直的性质1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.A．1 B．2 C．3 D．02．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是( )A．①④B．②③ C．①②D．③④知识点二直线与平面垂直的判定3．已知α，β，γ为平面，l，m，n为直线，则下列条件能推出l⊥β的是( ) A．α⊥β，α∩β＝n，l⊥n B．α⊥γ，β⊥γ，l⊥αC．m⊥α，m⊥β，l⊥α D．α⊥γ，α∩γ＝l，β⊥γ4.如图，在三棱锥S ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.知识点三直线与平面所成的角5．(多选题)已知正方体ABCDA1B1C1D1，则( )A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°6．在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于点M，AN⊥PC于点N.求证：(1)BC⊥平面PAC；(2)若AB＝2 AP，求直线AB与平面AMN所成角的正切值．关键能力综合练一、选择题1．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n ⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中正确说法的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．在正方体ABCD A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB3．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( ) A．平行 B．垂直C．在平面α内 D．无法确定4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则( )A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°5．(探究题)如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是________．7．如图，若正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是________；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是________．8．(易错题)给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边．其中能够推出l⊥α的所有条件的序号是________．三、解答题9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.学科素养升级练1.(多选题)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝CC1，点D，O分别是AB，BC1的中点，则下列结论正确的是( )A．AC1与平面ABC所成的角为60°B.AC1∥平面CDB1C．AC1与BB1所成的角为45°D．AC1∥OD2．(学科素养——逻辑推理)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF.(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．5．1 直线与平面垂直必备知识基础练1．答案：B解析：由线面垂直的性质知①④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误，③中b与α可能斜交，也可能平行，还可能在α内，故③不正确．故选B.2．答案：B解析：过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．答案：C解析：对于A，只有l⊂α时才能推出l⊥β，故错误；对于B，垂直于同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；对于C，可确定α∥β，则l⊥β，故正确；对于D，垂直于同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误．故选C.4．证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以易证△ADS≌△BDS.所以∠SDA＝∠SDB＝90°.所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.5．答案：ABD解析：如图(1)，连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．如图(2)，连接B1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，CA1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确，如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC ＝45°，所以D正确．故选ABD.6．证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA ⊥BC ，∵△ABC 是直角三角形，AB 为斜边，∴BC ⊥AC .又AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC . (2)由(1)知BC ⊥平面PAC ， ∵AN ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AN .又AN ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，BC ，PC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴AN ⊥平面PBC ，∴AN ⊥PB .又PB ⊥AM ，AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂平面AMN ， ∴PB ⊥平面AMN .∵MN ⊂平面AMN ，∴PB ⊥MN ，即∠BAM 是AB 与平面AMN 所成的角． ∵△AMB ∽△PAB ，∴∠APB ＝∠MAB ，在Rt△APB 中，AB ＝2 AP ，∴tan ∠APB ＝2 . 故直线AB 与平面AMN 所成角的正切值为2 .关键能力综合练1．答案：B解析：①正确，因为n ∥β，α∥β，所以n 在α内或在α内有与n 平行的直线，又m ⊥α，所以m ⊥n ；②错误，α∥β，m ⊥α⇒m ⊥β，因为m ⊥n ，所以n ∥β或n ⊂β；③错误，因为m ⊥n ，α∥β，m ∥α，则n ⊂β或n ∥β或n 与β相交； ④正确，由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，因为m ∥n ，则n ⊥β.故选B. 2．答案：B解析：如图，由正方体ABCD A 1B 1C 1D 1可知A 1B 1⊥AD 1，AD 1⊥A 1D . 又A 1B 1∩A 1D ＝A 1，A 1B 1，A 1D ⊂平面A 1DB 1，∴AD 1⊥平面A 1DB 1.故选B. 3．答案：D 解析：当平面α内的两条直线相交时，直线l ⊥平面α，当平面α内的两直线平行时，l ⊂α或l ∥α或l 与α垂直或l 与α斜交．故选D.4．答案：D解析：连接BD ，则∠B 1DB ，∠DB 1A 分别是B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角，所以∠B 1DB ＝∠DB 1A ＝30°.所以BB 1＝12 DB 1，BD ＝32 DB 1，AD ＝12DB 1.设BB 1＝a ，则DB 1＝2a ，AD ＝BC ＝a ，BD ＝3 a ，所以AB ＝BD 2－AD 2 ＝2 a ，AC ＝BD ＝3 a ，CB 1＝BB 21 ＋BC2 ＝2 a .所以AB ＝2 AD ，AC ≠CB 1 ，因此A ，C 项错误．易知∠DB 1C 是B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角，且为锐角．因为DC ＝2 a ，DB 1＝2a ，CB 1＝2 a ，所以DC 2＋CB 21 ＝DB 21 ，所以DC ⊥CB 1.在Rt△DCB 1中，sin ∠DB 1C ＝DC DB 1 ＝22，所以∠DB 1C ＝45°，即B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，因此D 项正确．因为AD ⊥平面ABB 1A 1，AD ⊂平面AB 1C 1D ，所以平面AB 1C 1D ⊥平面ABB 1A 1，所以∠B 1AB 是AB 与平面AB 1C 1D 所成的角．在Rt△ABB 1中，AB ＝2 a ，BB 1＝a ，所以tan ∠B 1AB＝BB 1AB ＝22 ≠33，所以∠B 1AB ≠30°，即AB 与平面AB 1C 1D 所成的角不是30°，因此B 项错误．故选D.5．答案：B 解析：因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH .故B 正确．故选B.6．答案：垂直解析：连接B 1D 1，BD ，∵几何体是正方体，底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又B 1B ⊥AC ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∵B 1H ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥B 1H .∵B 1H ⊥D 1O ，AC ∩D 1O ＝O ，∴B 1H ⊥平面AD 1C .7．答案：π3 π4解析：作图：连接B 1C ，BC 1交B 1C 于O ，连接A 1O ，①在正方体中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，易得△A 1BC 1为等边三角形，∠BA 1C 1＝π3，由AA 1与CC 1平行且相等，则四边形ACC 1A 1为平行四边形，CA ∥C 1A 1，直线A 1B 与直线AC 所成角即直线A 1B 与直线A 1C 1所成角，所以所成角为π3；②正方体中，A 1A ⊥平面ABCD ，所以∠A 1BA 就是直线A 1B 和平面ABCD 所成的角，由于AA 1＝AB ，A 1A ⊥AB ，△AA 1B 是等腰直角三角形，所以∠A 1BA ＝π4，所以直线A 1B 和底面ABCD 所成的角的大小为π4.8．答案：②④解析：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平行直线，不能推出l ⊥α.9．证明：因为SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥BC .因为SA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面SAB .因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE，AE⊂平面AGFE，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.学科素养升级练1．答案：BCD解析：A中，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴∠C1AC是AC1与平面ABC所成的角．∵AC＝CC1，∴∠C1AC＝45°，∴AC1与平面ABC所成的角为45°，故A错误．B、D中，∵点D，O分别是AB，BC1的中点，∴OD∥AC1.∵OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1，故B，D正确．C中，∵CC1∥BB1，∴∠AC1C是AC1与BB1所成的角．∵AC＝CC1，∴∠AC1C＝45°，∴AC1与BB1所成的角为45°，故C正确．故选BCD.2．解析：(1)证明：①由AD∥BC，BC∥B1C1可得AD∥B1C1，又B1C1⊄平面AA1D1D，AD⊂平面AA1D1D，所以B1C1∥平面AA1D1D，又平面B1C1E∩平面AA1D1D＝EF，所以B1C1∥EF，又A1D1∥B1C1，所以EF∥A1D1.②在Rt△FA1B1和Rt△A1B1B中，FA1 A1B1＝A1B1BB1＝12，所以Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B，所以∠A1FB1＝∠BA1B1，因为∠A1FB1＋∠A1B1F＝90°，所以∠BA1B1＋∠A1B1F＝90°，所以A1B⊥B1F，由AD⊥AB可得B1C1⊥A1B1，又B1C1⊥BB1，所以B1C1⊥平面A1B1B，又A1B⊂平面A1B1B，可得BA1⊥B1C1，又BA1⊥B1F，且B1F∩B1C1＝B1，B1C1，B1F⊂平面B1C1EF，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设A1B∩B1F＝O，连接C1O，由(1)可知BC1与平面B1C1EF所成的角为∠BC1O，在Rt△A1B1B中，cos ∠A1BB1＝BOB1B ＝BB1 BA1，则BB21＝BO·BA1，即22＝BO·6，解得BO＝46，所以sin ∠BC1O＝BOBC1＝4625＝3015，所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为3015.。

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直线与平面垂直的判定与性质
一、选择题
1．两异面直线在平面α内的射影（）
A．相交直线B．平行直线
C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能
2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）
A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个D．—定不存在
3．在空间，下列哪些命题是正确的（）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．
A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确
4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定
5．下列命题
①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；
②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；
③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；
④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．
其中，正确的命题有（）
A．1个B．2个C．3个n 4个
6．在下列四个命题中，假命题为（）
A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD 内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）
A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离等于（）
2C．35D．45
A．5B．5
二、填空题
9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．
10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论：
①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）
11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．
12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且P A⊥平面A BCD则在△P AB、△PBC、△PCD、△P AD、△P AC及△PBD中，为直角三角形有_________个．
13．给出以下四个命题
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；
（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；
（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；
（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．
其中假命题的共有_________个．
14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________．
三、解答题
15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b．
16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EB l D1
17．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB 上的射影分别是P、Q．
求证：PQ⊥SC．
18．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点P α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，
求证：∠BAO＝∠CAO，
19．已知：点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面．
20．四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2＋BD2＝AD2＋BC2．
四、思考题
对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展．
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D
二、填空题
9．2
2b a － 10．③、④ 11．4 12．5 13．4 14．180°
三、解答题
15．证明：设β为过a 的平面，且α∩β＝l ．
∵a ∥α，∴a ∥l ．
∵b ⊥l ，∴b ⊥a ．
16．证明：∵AB ⊥面B 1C ，BC 1为AC 1在平面B 1C 上的射影，且B 1E ⊥BC 1，∴由三垂线定理知B 1E ⊥AC 1．
又∵AA 1⊥面A 1C 1，AB ＝BC ，A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1是AC 1在面A 1C 1上的射影
∴由三垂线定理得AC 1⊥B 1D 1．
又∵B 1E ∩B 1D 1＝B 1，
∴AC 1⊥平面EB 1D 1．
17．证明：∵SA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，
∴SA ⊥BC ．
又∵AB ⊥BC 且SA ∩AB ＝A ，
∴BC ⊥面SAB ，AQ ⊂面SAB ．
∴BC ⊥AQ ，又AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ．
∵AQ ⊥面SBC ．
∴PQ 是斜线AP 在平面SBC 上的射影，
又∵AQ ⊥SC ，
∴由三垂线定理的逆定理可得PQ ⊥SC ．
18．证明：∵PO ⊥α，PE ＝PF ，
∴OE ＝OF ，
又∵PE ⊥AB 、PF ⊥AC ，
∴OE ⊥AB 、OF ⊥AC ．
故Rt △AOE ≌Rt △AOF ，
∴∠BAO ＝∠CAO ．
19．证明：如图，在点P 和直线a 所在的平面β内，过点P 作直线a 的垂线b ，设垂足为A ．设过点P 与β垂直的直线为c ，则必有c ⊥a ，再设由b 、c 确定的平面为α，则必有a ⊥α．设l 是过点P 与a 垂直的直线，下证：l ⊂α．
若l ⊄α，设由l 与c 确定的平面为α′，
则由a ⊥l ，a ⊥c ，l ∩c ＝P ，
∴a ⊥α′，这样平面α与α′都是过点P 与直线a 垂直的平面．这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有l ⊂α，也就是说过点P 与a 垂直的直线均在平面α内，于是本题获证．
20．证明：先证必要性：过B作CD的垂线，垂足E，连AE，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥平面ABE，
∴CD⊥AE．
∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2；
又有AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2．
∴AC2＋BD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，
而AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2．
∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2．
再证充分性：过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：
AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2；
AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2；
∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2；
∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2
∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2，
∴DF2―CF2＝DE2―CE2，
∴（DF＋CF）（DF－CF）＝（DE＋CE）（DE－CE），
∴DF－CF＝DE－CE．
∴DF＋CE＝DE＋CF．
∴E、F只能重合于一点，故有CD⊥平面ABE，
∴CD⊥AB．
四、思考题
我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体．
可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体．。