线性系统理论课件
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结论5.12[李亚普诺夫主稳定性定理]时不变系统， f ( x)存在具有连续一阶导数的标量函数V(x)， x V(0) = 0。且对一切非零点x满足 (i) V(x)正定； ( x)dV ( x) / dt 为负半定； (ii) V (f (t; x ,0)) 0； (iii)对任意x0 Rn， V 0 (iv)当||x|| 时，有V(x) 。 则系统原点平衡状态x = 0为大范围渐近稳定。
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结论5.14[小范围渐近稳定性定理]时不变系统，存在 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0) = 0，围 绕状态空间原点的吸引区W ，满足 (i) V(x)正定； ( x)dV ( x) / dt 为负定； (ii) V 则系统原点平衡状态x = 0在W域内为渐近稳定。 结论5.15[小范围渐近稳定性定理]时不变系统，存在 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0) = 0， 围绕状态空间原点的吸引区W ，满足 (i) V(x)正定； (ii) V ( x)dV ( x) / dt 为负半定； (f (t; x ,0)) 0 (iii)对任意非零x0 W， V 0 则系统原点平衡状态x = 0在W域内为渐近稳定。
15
小范围渐近稳定的判别定理
结论5.13[小范围渐近稳定性定理]时变系统，存在具 有连续一阶偏导数的标量函数V(x，t)，V(0，t) = 0， 围绕状态空间原点的吸引区W ，满足 (i) V(x)正定且有界； ( x)dV ( x) / dt 为负定且有界； (ii) V 则系统原点平衡状态x = 0在W域内为一致渐近稳定。
0
t
系统BIBO稳定
必要性 反证法，已知系统BIBO稳定，设存在t1 [t0, ]，使
t1 t0 | h(t ,t ) | dt
3
定义
1, u (t ) sgn h(t1 , t ) 0, 1,
t t
h(t1 , t ) 0 h(t1 , t ) 0 h(t1 , t ) 0
几何含义
10
渐近稳定
称xe是渐近稳定的，如果(i) xe是 李亚普诺夫意义下稳定的；(ii) 对d(e,t0)和任一给定实数m > 0， 对应存在实数T(m,d,t0)>0，使满 足不等式 x0 xe d (e , t0 ) 的任一初态x0出发的受扰运动都 满足 f (t; x0 , t0 ) xe m ,
2
结论5.1[时变情况] 零初始条件线性时变系统，H(t,t) 为其脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是 存在，t [t0, ]， H(t,t)的每一个元hij(t,t)均满足
t t0 | hij (t ,t ) | dt
(i 1,, q; j 1,, p)
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f ( x) ，存在具有连续一 结论5.17[稳定性定理]系统 x 阶偏导数的标量函数V(x)，V(0) = 0，和围绕原点的一 个吸引区W，使对一切非零x W 和t0 满足 (i) V(x)正定； ( x) (ii) V 为负半定； 则系统原点平衡状态为W域内李亚普诺夫意义下稳定。
1
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义5.1 线性因果系统初始条件为零，对应有界输入 u(t)，即满足 u(t ) 1 , t [t0 , ) 所产生的输出y(t)也是有界的，即成立
y(t ) 2 , t [t0 , )
称此因果系统是外部稳定的，也即有界输入-有界输 出稳定的，简称BIBO稳定。
内部稳定 lim e At 0 结论5.5 线性时不变系统，
t
t
lim x0u (t ) 0
结论5.6 线性时不变系统为渐近稳定的充要条件是 矩阵A的所有特征值均具有负实部，即 Re{i ( A)} 0, i 1,2,, n 判断系统的渐近稳定性，可用劳斯-霍尔维茨(Routh6 Hurwitz)判据
t
内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论5.7 线性时不变系统是内部稳定的，则其必是 BIBO稳定的。
结论5.8 线性时不变系统是BIBO稳定不能保证其必是 渐近稳定的。 结论5.9 线性时不变系统是能控能观测的，则其内部 稳定性与外部稳定性必是等价的。
返回
7
5,2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的 基本概念
结论5.11[李亚普诺夫主稳定性定理]时不变系统， f ( x) ，存在具有连续一阶导数的标量函数V(x)， x V(0) = 0。且满足 (i) V(x)正定； ( x)dV ( x) / dt 为负定； (ii) V (iii)当||x|| 时，有V(x) 。 则系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。 例
不稳定的判别定理
结论 时变或时不变系统，存在具有连续一阶偏导数 的标量函数V(x,t)或V(x)，V(0,t)=0或V(0)=0，和围绕 原点的一个吸引区W，使对一切x W 和t t0 满足 (i) V(x,t)正定且有界或V(x)正定； ( x, t ) 也为正定且有界或V ( x) 也为正定； (ii)V 则系统平衡状态为不稳定。
结论5.3[时不变情况] 零初始条件的线性时不变系统， 初始时刻t0 = 0，系统BIBO稳定的充要条件是真或严 真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
5
内部稳定性
定义5.2 线性时变系统，如果外输入 u (t ) 0 ，初始 状态x(t0) = x0为任意，且零输入响应满足 则称系统在t0时刻是内部稳定的，或渐近稳定的。 内部稳定 lim (t , t 0 ) 0 结论5.4 线性时变系统，
y (t1 ) t 1 h(t1 ,t )u (t )dt t 1 | h(t1 ,t ) | dt 0 0
与系统BIBO稳定矛盾，假设不成立
t t0 | h(t ,t ) | dt
,
tBiblioteka Baidu [t0 , )
II. 多输入-多输出情况
| yi (t ) | t [hi1 (t ,t )u1 (t ) hip (t ,t )u p (t )]dt 0 t hi1 (t ,t )u1 (t )dt t hip (t ,t )u p (t )dt 0 0
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李亚普诺夫意义下的稳定
称xe是李亚普诺夫意义下稳定 的，如果给定任一实数e > 0， 都对应存在实数d(e,t0) > 0，使 满足不等式 x0 xe d (e , t0 ) 的任一初态x0出发的受扰运动 都满足 f (t; x0 , t0 ) xe e , t t0 如果d只依赖于e而和t0无关，则 称xe是一致稳定的。
第五章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5,2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法 5.5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.6 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰 减性能估计 5.7 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据 5.8 小结和评述
13
( x, t ) (ii) V 负定且有界，即存在一个连续的非减标量函 数g(||x||)，其中g(0)=0，使对一切tt0和x 0，成立
( x, t ) g (|| x ||) 0 V (iii)当||x|| 时，有a(||x||) 即V(x,t) 。 则系统原点平衡状态x = 0为大范围一致渐近稳定。
步骤
20
选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度 V(x)
V ( x) x a11x1 a12 x2 a1n xn 1 V ( x) V ( x ) an1 x1 an 2 x2 ann xn xn 其中，待定量aij = 常数或{x1，…，xn}的函数
返回
12
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
大范围渐近稳定的判别定理
f ( x, t ) 结论5.10[李亚普诺夫主稳定性定理]时变系统x 存在对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)， V(0,t) = 0。且满足 (i) V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函 数a(||x||)和(||x||)，其中a(0)=0和(0)=0，使对一切t t0和x 0，成立 (|| x ||) V ( x, t ) a (|| x ||) 0
李亚普诺夫第一方法和第二方法
李亚普诺夫第一方法：间接法，是小范围稳定性 分析方法。思路为将非线性自治系统运动方程在 足够小邻域内进行泰勒展开导出一次近似线性化 系统，再根据线性化系统特征值在复平面上的分 布推断非线性系统在邻域内的稳定性。 李亚普诺夫第二方法：直接法，根据系统结构判 断内部稳定性，引入李亚普诺夫函数，受到广泛 应用
17
李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理
f ( x, t ) ，存在对x和t具 结论5.16[稳定性定理]系统 x 有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t) = 0，和 围绕原点的吸引区W，对一切非零x W 和t t0 满足 (i) V(x,t)正定且有界； ( x, t ) 为负半定且有界； (ii)V 则系统原点平衡状态x = 0为W域内李亚普诺夫意义 下一致稳定。
返回
19
5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法
变量梯度法
舒尔茨(Schultz)和吉布森(Gibson)1962年提出 原则：按定理条件构造候选李亚普诺夫函数的导 数，再定出李亚普诺夫函数，进一步判断候选李 亚普诺夫函数的正定性。判断成立则构造成功， 判断不成立则构造失败 条件：连续时间非线性时不变系统，自治方程为 f ( x), x f (0) 0, t 0
8
自治系统、平衡状态和受扰运动
自治系统：没有外输入作用时的系统 A(t ) x f ( x, t ), 线性时变 x 非线性时变 x 平衡状态：状态xe成立 e f ( xe , t ) 0, x t t0 则称xe为系统的一个平衡状态。 受扰运动：由初始状态x0引起的运动，等同于零输 入响应 x0u(t) = f(t; x0, t0), t t0 系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性， 即偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部结构 因素而返回到平衡状态，或者限制在一个有限邻域内。
证明：I. 单输入-单输出情况 充分性
u(t ) 1 ,
t
t [t0 , )
t
| y(t ) | t h(t ,t )u (t )dt t | h(t ,t ) || u (t ) | dt 0 0
1 t | h(t ,t ) | dt 1 2
有限个有界函数之和仍为有界，所以原题得证
4
t
t
t
结论5.2[时不变情况] 零初始条件的线性时不变系统， 初始时刻t0 = 0，H(t)为其脉冲响应矩阵，则系统 BIBO稳定的充要条件是，存在有限常数，H(t)的每 一个元hij(t)均满足 0 | hij (t ) | dt (i 1,, q; j 1,, p)
几何含义
t t0 T ( m , d , t0 ) 如果d和T都不依赖于t0，则称xe 是一致渐近稳定的。
11
大范围渐近稳定
如果以状态空间任一有限非零点为x0的受扰运动都是有 界的，且 lim f (t ; x0 , t 0 ) 0
t
称系统的原点平衡状态xe=0 是大范围渐近稳定的。 称xe是不稳定的，如果给定任 不稳定 意大的有限实数e > 0，都不可 能找到实数d(e,t0) > 0，使满足 不等式 x0 xe d (e , t0 ) 的任一初态x0出发的受扰运动 满足 f (t; x0 , t0 ) xe e , t t0
结论5.12[李亚普诺夫主稳定性定理]时不变系统， f ( x)存在具有连续一阶导数的标量函数V(x)， x V(0) = 0。且对一切非零点x满足 (i) V(x)正定； ( x)dV ( x) / dt 为负半定； (ii) V (f (t; x ,0)) 0； (iii)对任意x0 Rn， V 0 (iv)当||x|| 时，有V(x) 。 则系统原点平衡状态x = 0为大范围渐近稳定。
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结论5.14[小范围渐近稳定性定理]时不变系统，存在 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0) = 0，围 绕状态空间原点的吸引区W ，满足 (i) V(x)正定； ( x)dV ( x) / dt 为负定； (ii) V 则系统原点平衡状态x = 0在W域内为渐近稳定。 结论5.15[小范围渐近稳定性定理]时不变系统，存在 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0) = 0， 围绕状态空间原点的吸引区W ，满足 (i) V(x)正定； (ii) V ( x)dV ( x) / dt 为负半定； (f (t; x ,0)) 0 (iii)对任意非零x0 W， V 0 则系统原点平衡状态x = 0在W域内为渐近稳定。
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小范围渐近稳定的判别定理
结论5.13[小范围渐近稳定性定理]时变系统，存在具 有连续一阶偏导数的标量函数V(x，t)，V(0，t) = 0， 围绕状态空间原点的吸引区W ，满足 (i) V(x)正定且有界； ( x)dV ( x) / dt 为负定且有界； (ii) V 则系统原点平衡状态x = 0在W域内为一致渐近稳定。
0
t
系统BIBO稳定
必要性 反证法，已知系统BIBO稳定，设存在t1 [t0, ]，使
t1 t0 | h(t ,t ) | dt
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定义
1, u (t ) sgn h(t1 , t ) 0, 1,
t t
h(t1 , t ) 0 h(t1 , t ) 0 h(t1 , t ) 0
几何含义
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渐近稳定
称xe是渐近稳定的，如果(i) xe是 李亚普诺夫意义下稳定的；(ii) 对d(e,t0)和任一给定实数m > 0， 对应存在实数T(m,d,t0)>0，使满 足不等式 x0 xe d (e , t0 ) 的任一初态x0出发的受扰运动都 满足 f (t; x0 , t0 ) xe m ,
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结论5.1[时变情况] 零初始条件线性时变系统，H(t,t) 为其脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是 存在，t [t0, ]， H(t,t)的每一个元hij(t,t)均满足
t t0 | hij (t ,t ) | dt
(i 1,, q; j 1,, p)
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f ( x) ，存在具有连续一 结论5.17[稳定性定理]系统 x 阶偏导数的标量函数V(x)，V(0) = 0，和围绕原点的一 个吸引区W，使对一切非零x W 和t0 满足 (i) V(x)正定； ( x) (ii) V 为负半定； 则系统原点平衡状态为W域内李亚普诺夫意义下稳定。
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5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义5.1 线性因果系统初始条件为零，对应有界输入 u(t)，即满足 u(t ) 1 , t [t0 , ) 所产生的输出y(t)也是有界的，即成立
y(t ) 2 , t [t0 , )
称此因果系统是外部稳定的，也即有界输入-有界输 出稳定的，简称BIBO稳定。
内部稳定 lim e At 0 结论5.5 线性时不变系统，
t
t
lim x0u (t ) 0
结论5.6 线性时不变系统为渐近稳定的充要条件是 矩阵A的所有特征值均具有负实部，即 Re{i ( A)} 0, i 1,2,, n 判断系统的渐近稳定性，可用劳斯-霍尔维茨(Routh6 Hurwitz)判据
t
内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论5.7 线性时不变系统是内部稳定的，则其必是 BIBO稳定的。
结论5.8 线性时不变系统是BIBO稳定不能保证其必是 渐近稳定的。 结论5.9 线性时不变系统是能控能观测的，则其内部 稳定性与外部稳定性必是等价的。
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5,2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的 基本概念
结论5.11[李亚普诺夫主稳定性定理]时不变系统， f ( x) ，存在具有连续一阶导数的标量函数V(x)， x V(0) = 0。且满足 (i) V(x)正定； ( x)dV ( x) / dt 为负定； (ii) V (iii)当||x|| 时，有V(x) 。 则系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。 例
不稳定的判别定理
结论 时变或时不变系统，存在具有连续一阶偏导数 的标量函数V(x,t)或V(x)，V(0,t)=0或V(0)=0，和围绕 原点的一个吸引区W，使对一切x W 和t t0 满足 (i) V(x,t)正定且有界或V(x)正定； ( x, t ) 也为正定且有界或V ( x) 也为正定； (ii)V 则系统平衡状态为不稳定。
结论5.3[时不变情况] 零初始条件的线性时不变系统， 初始时刻t0 = 0，系统BIBO稳定的充要条件是真或严 真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
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内部稳定性
定义5.2 线性时变系统，如果外输入 u (t ) 0 ，初始 状态x(t0) = x0为任意，且零输入响应满足 则称系统在t0时刻是内部稳定的，或渐近稳定的。 内部稳定 lim (t , t 0 ) 0 结论5.4 线性时变系统，
y (t1 ) t 1 h(t1 ,t )u (t )dt t 1 | h(t1 ,t ) | dt 0 0
与系统BIBO稳定矛盾，假设不成立
t t0 | h(t ,t ) | dt
,
tBiblioteka Baidu [t0 , )
II. 多输入-多输出情况
| yi (t ) | t [hi1 (t ,t )u1 (t ) hip (t ,t )u p (t )]dt 0 t hi1 (t ,t )u1 (t )dt t hip (t ,t )u p (t )dt 0 0
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李亚普诺夫意义下的稳定
称xe是李亚普诺夫意义下稳定 的，如果给定任一实数e > 0， 都对应存在实数d(e,t0) > 0，使 满足不等式 x0 xe d (e , t0 ) 的任一初态x0出发的受扰运动 都满足 f (t; x0 , t0 ) xe e , t t0 如果d只依赖于e而和t0无关，则 称xe是一致稳定的。
第五章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5,2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法 5.5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.6 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰 减性能估计 5.7 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据 5.8 小结和评述
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( x, t ) (ii) V 负定且有界，即存在一个连续的非减标量函 数g(||x||)，其中g(0)=0，使对一切tt0和x 0，成立
( x, t ) g (|| x ||) 0 V (iii)当||x|| 时，有a(||x||) 即V(x,t) 。 则系统原点平衡状态x = 0为大范围一致渐近稳定。
步骤
20
选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度 V(x)
V ( x) x a11x1 a12 x2 a1n xn 1 V ( x) V ( x ) an1 x1 an 2 x2 ann xn xn 其中，待定量aij = 常数或{x1，…，xn}的函数
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5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
大范围渐近稳定的判别定理
f ( x, t ) 结论5.10[李亚普诺夫主稳定性定理]时变系统x 存在对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)， V(0,t) = 0。且满足 (i) V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函 数a(||x||)和(||x||)，其中a(0)=0和(0)=0，使对一切t t0和x 0，成立 (|| x ||) V ( x, t ) a (|| x ||) 0
李亚普诺夫第一方法和第二方法
李亚普诺夫第一方法：间接法，是小范围稳定性 分析方法。思路为将非线性自治系统运动方程在 足够小邻域内进行泰勒展开导出一次近似线性化 系统，再根据线性化系统特征值在复平面上的分 布推断非线性系统在邻域内的稳定性。 李亚普诺夫第二方法：直接法，根据系统结构判 断内部稳定性，引入李亚普诺夫函数，受到广泛 应用
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李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理
f ( x, t ) ，存在对x和t具 结论5.16[稳定性定理]系统 x 有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t) = 0，和 围绕原点的吸引区W，对一切非零x W 和t t0 满足 (i) V(x,t)正定且有界； ( x, t ) 为负半定且有界； (ii)V 则系统原点平衡状态x = 0为W域内李亚普诺夫意义 下一致稳定。
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5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法
变量梯度法
舒尔茨(Schultz)和吉布森(Gibson)1962年提出 原则：按定理条件构造候选李亚普诺夫函数的导 数，再定出李亚普诺夫函数，进一步判断候选李 亚普诺夫函数的正定性。判断成立则构造成功， 判断不成立则构造失败 条件：连续时间非线性时不变系统，自治方程为 f ( x), x f (0) 0, t 0
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自治系统、平衡状态和受扰运动
自治系统：没有外输入作用时的系统 A(t ) x f ( x, t ), 线性时变 x 非线性时变 x 平衡状态：状态xe成立 e f ( xe , t ) 0, x t t0 则称xe为系统的一个平衡状态。 受扰运动：由初始状态x0引起的运动，等同于零输 入响应 x0u(t) = f(t; x0, t0), t t0 系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性， 即偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部结构 因素而返回到平衡状态，或者限制在一个有限邻域内。
证明：I. 单输入-单输出情况 充分性
u(t ) 1 ,
t
t [t0 , )
t
| y(t ) | t h(t ,t )u (t )dt t | h(t ,t ) || u (t ) | dt 0 0
1 t | h(t ,t ) | dt 1 2
有限个有界函数之和仍为有界，所以原题得证
4
t
t
t
结论5.2[时不变情况] 零初始条件的线性时不变系统， 初始时刻t0 = 0，H(t)为其脉冲响应矩阵，则系统 BIBO稳定的充要条件是，存在有限常数，H(t)的每 一个元hij(t)均满足 0 | hij (t ) | dt (i 1,, q; j 1,, p)
几何含义
t t0 T ( m , d , t0 ) 如果d和T都不依赖于t0，则称xe 是一致渐近稳定的。
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大范围渐近稳定
如果以状态空间任一有限非零点为x0的受扰运动都是有 界的，且 lim f (t ; x0 , t 0 ) 0
t
称系统的原点平衡状态xe=0 是大范围渐近稳定的。 称xe是不稳定的，如果给定任 不稳定 意大的有限实数e > 0，都不可 能找到实数d(e,t0) > 0，使满足 不等式 x0 xe d (e , t0 ) 的任一初态x0出发的受扰运动 满足 f (t; x0 , t0 ) xe e , t t0