复变函数第五章(1)

fห้องสมุดไป่ตู้
(m)
( z0 ) 0.
证明： 充分性
( z0 ) f ( m 1) ( z0 ) 0, f ( m ) ( z0 ) 0. 已知 f ( z0 ) f
f ( z)在 z0 解析
n 0
f (z)在z0的泰勒展开式存在，
n 0
f ( z ) cn ( z z0 ) n
m
g(z)为幂级数的和函数， (z)在z0解析，g(z0 ) cm 0 g
根据m 级零点的定义，得到结 论。
例： 函数 f ( z) z sin z 在z 0的情形？
解： f (0) 0 z 0是 f ( z) 的零点。
f ' (0) [sin z z cos z] |
e 1 (e 1)' z lim lim e 1 lim z 0 z 0 z 0 z ( z )'
z
z
（洛必达法则）
z 0为函数的可去奇点。
(2) e
1 z 1
解： z 1 为孤立奇点
lim e
z 1
1 z 1
0
1 z 1
z 沿x 轴从点1的左侧趋向于点 1 z 沿x 轴从点1的右侧趋向于点 1
注： z0 是 f ( z ) 0的m重根 例: 零点
函数 f ( z) z( z 1)3
m 级零点 m 重根
z 0 是f (z)的 一 级零点。
z 1
是f (z)的 三 级零点。
定理1.3
若 f ( z) 在 z0 解析，则
z0为 f ( z ) 的m 级零点的充要条件是
f ( z0 ) f ( z0 ) f ( m 1) ( z0 ) 0,
c m cm 1 c1 f (z) m m 1 ( z z0 ) ( z z0 ) z z0
cm 0
c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )
n
1 f (z) [ cm c m 1 ( z z0 ) c0 ( z z0 ) m ( z z0 ) m cn ( z z0 ) nm ] 1 (z) m ( z z0 )
1 其中， ( z) z2
根据定理1.2，得 z 0为f (z )的三级极点。 1 对于点 z 2 有 f ( z ) g( z ) z2
1 其中，g ( z ) 3 z
在点z 2 处解析，且 g(2) 0
根据定理1.2，得 z 2为f (z )的一级极点。
注： 对于不可约有理分式函 f ( z ) , 极点 z 0 的级 m 等于 数
( z) f (z) ( z)
则
(1) 当m n时，z0 为 f ( z ) 的(m n)级零点， (2) 当m n时，z0 为 f ( z ) 的(n m)级极点，
(3) 当m n时，z0 为 f ( z ) 的可去奇点。
注： 定理1.2与定理 .4均可看作定理 .5的特例， 1 1
有无限多负幂项，所以 z 1为本性奇点
2 n 1
1.2 函数的零点与极点的关系
定义1.5 若不恒等于零的解析函 f (z) 在 z0 的邻域内能表示成 数
f ( z ) ( z z0 ) m g ( z )
(m 1)
其中g( z) 在 z0 解析且 g(z0 ) 0, 则称 z0 为 f ( z) 的m 级零点 .

( 洛朗展开式 cn ( z z0 ) n中 含有有限多个 z z0 )负幂项,
n
即有正整数m，cm 0,而当n m时cn 0,
则称 z0 是 f ( z) 的 m 级极点.
注： 为负幂项的最高次数， m 而不是负幂项的项数。
若z0是f (z)的m级极点，则在z0去心邻域内的洛朗展开 式
定理1.2
若函数 f (z) 在孤立奇点z0 的去心邻域 0 z z0 ( 0)内解析，
则 z0 是 f ( z ) 的m 级极点的充要条件是 f (z)可表示为 1 f (z) (z) m ( z z0 ) 的形式，其中， ( z )在 z0 解析， ( z0 ) 0. 推论1.2
z z 0 m 当 n m 时， f ( z ) z z 0 m
z z0
注：此时 f ( z ) 在点 z 0 不解析 （没有定义）
1 lim f ( z ) 1 根据定理 .1得，z 0 为 f (z )的可去奇点。
定理1.5
设 ( z)与 ( z )分别以 z0 为m 级零点和n 级零点，
lim e
z 1
不存在
z 1 为本性奇点
1 (3) ( z 1) sin z 1
解：
注： 三角函数在复数域内是 无界的。
z 1为孤立奇点
1 ( z 1) sin 在z 1的去心邻域内的洛朗展开式为 z 1
1 1 n z 1 ( z 1) sin ( z 1) ( 1) z 1 ( 2n 1)! n 0
lim z0 是 f ( z ) 的极点的充要条件是 z z f ( z )
0
1 例1.2： f ( z ) 3 的孤立奇点类型。 z ( z 2)
解： f ( z )的孤立奇点： 0, z 2 z
对于点 z 0 有
1 f (z) 3 (z) z
在点z 0 处解析，且 (0) 0
分别是 m 0 和 (z ) 1的情况。
若 z 0 是 f ( z ) 极点，极点的级m 的判定(即 m 级极点的判定： )
分母中相应的因式z z 0 的次数
e z 1 f (z) 3 z
问题：对于可约的有理函数或其它函数，结论如何？（定理1.5）
z2 1 例： f ( z ) (z i )2
(3) 本性奇点-第三种类型的孤立奇点
定义1.4
若函数 f ( z ) 在孤立奇点z0 的去心邻域内的
(1)
( 2)
主要部分 对孤立奇点分类： 根据主要部分中( z z0 )负幂项的多少，
孤 立 奇 点

可去奇点： 不包含负幂项
极点：
有限多个负幂项
本性奇点： 无穷多个负幂项
(1)
可去奇点-第一种类型的孤立奇点
定义1.2 若函数 f ( z) 在孤立奇点z0 的去心邻域0 z z0 内
注：(1) 不是所有的奇点都是孤立奇点； （2）孤立奇点的简单判定方法：

z0
若函数 f ( z ) 有有限多个奇点， 则它们全都是 f ( z ) 的孤立奇点。
本章所讨论的函数的奇点假定均是函数的孤立奇点。
孤立奇点的类型：若 z0 为 f (z)的一个孤立奇点，
f ( z)在圆环域0 z z0 内解析
z 0
0
f ' ' (0) [cosz cos z z sin z]
|z 0 0
z 0是 f ( z) 的二 级零点。
函数的零点与极点之间的关系: 1 例子: 函数 ( z 1) 2 的孤立奇点？
函数 ( z 1) 2 的零点？
z 1 二级极点 z 1 二级零点
显然， f ( z ) c0 . lim
z z0
则 定理1.1 若 z0 为函数 f (z )的孤立奇点，
的充要条件是： z0 是 f ( z ) 的可去奇点
存在极限 lim
z z0
f ( z ) c0 , 其中c0为一复常数。
（2）极点-第二种类型的孤立奇点 定义1.3 若函数 f ( z) 在孤立奇点z0 的去心邻域0 z z0 内
z
z0 0 是其可去奇点。
sinz 令 g( z ) z 1
z0
则：“原来的奇点0”就“可去 z 0 掉”，变为“解析点”。
f ( z)在0 z z0 内的洛朗展开式:
f (z)= c0 + c1(zz0) +...+ cn(zz0)n +....
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
c0 c1 cm1 0,
cm 0,
m
f (z ) cm (z z0 )m cm1 (z z0 )m1
( z z0 ) [cm cm 1 ( z z0 ) ] ( z z0 ) g ( z )
n
洛朗展开式 cn ( z z0 ) n中含有无穷多个 z z0 )负幂项 ( .
则称 z 0 为 f (z ) 的本性奇点
结论： z0为f ( z )本性奇点 的充要条件是
z z0
lim f ( z ) 不存在(也不为）。
f ( z )的孤立奇点z0类型的判定:
(1)定义：根据f ( z )在 z0 的去心邻域0 z z0 内的洛朗展开式中负幂 项的多少
第五章
一.奇点的分类
留 数
二.留数的定义,计算，留数定理
（计算复变函数积分的重要工具）
三.利用留数定理计算定积分
第一节 孤立奇点
1. 孤立奇点的定义及类型
定义1.1：若 f ( z）在 z0不解析，但在 z0的某个去心邻域
. 0 z z0 内解析，则称z0为f ( z)的一个孤立奇点
f ( z )对应的洛朗展开式 cn ( z z0 ) n 存在。
n

c (z z )
n 0

n -
n
解析部分
n

cn ( z z 0 ) n c n ( z z0 ) n0 n 1
1 (z) 反之，若函数 f (z ) 具有上述表达式： f ( z ) m ( z z0 )
且其中函数 ( z )在收敛圆z z 0 内解析，且 ( z 0 ) 0，
和函数 ( z)在收敛圆z z0 内解析，且 ( z0 ) cm 0。
根据定义，可判定 z0 是f ( z )的m级极点.
1 的m级零点 . 定理1.4 z0 是f ( z )的m级极点 z0 是 f (z)
这个定理为判断函数的 m 级极点提供了一种方法.
1 例： 函数 f ( z ) 的孤立奇点z 0的类型？ z sinz
解：
1 z 0是 z sinz 的二级零点 f (z)
由定理1.4得，z 0 为 f (z ) 的二级极点
洛朗展开式中不含有z z0 )负幂项, 称z0为f ( z)的可去奇点 ( .
例1.1：f ( z ) si nz
解： f ( z)在0 z 内的洛朗展开式为：
2 n 1 si nz 1 z n 1 2n 1! z z n 0

z z 0 n m
1
根据定理1.4得， z 0 为 f ( z ) 的 n m 级极点
z z 0 m z z m n f (z) 0 n z z 0 z 0 为 f ( z ) 的 m n 级零点
z 0 为 f (z ) 的可去奇点。
可去奇点 有限多负幂项 极点 本性奇点 无限多负幂项 没有负幂项 （洛必达法则） (2) 根据极限 lim f ( z ) 的取值情况。
可去奇点 无穷大 极点 不存在，且不是无穷大 本性奇点
有限值
z z0
例 判定下列函数的孤立奇点的类型。
e 1 (1) z
z
解： z 0为孤立奇点
下面我们利用零点来分析可约有理函数的极点：
例： 函数
z z 0 m 解： 当 n m 时， f ( z ) z z 0 n
当 n m 时，
根据定义1.5得，
另外 lim f ( z ) 0
z z0
z z 0 m 的孤立奇点z 的类型？ f (z) 0 n z z 0