第4、5讲 插值与拟合 作业参考答案
其他例题和练习(拟合与插值)讲义共46页文档
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。—命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
插值和拟合参考答案
插值和拟合实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：一、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；·构造一个相对简单的函数y=P(x)；·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·用P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．用MA TLAB作一维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加工问题机翼断面下的轮廓线上的数据如下表：x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 用程控铣床加工机翼断面的下轮廓线时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加工所需的数据，画出曲线.步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on>> x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];>> y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];>> x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0510150.511.522.53．用MA TLAB 作网格节点数据的插值(二维) z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) 注：z —被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x ，y —被插值点；method —插值方法（‘nearest’ ：最邻近插值；‘linear’ ：双线性插值； ‘cubic’ ：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
练习2--插值与拟合
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
用MATLAB作非线性最小二乘拟合
Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m， 在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参 考例题. 1. lsqcurvefit 已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
n 2
( F ( x, xdata ) ydata )
i 1 i i
最小
输入格式为: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’); (4) [x, options] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); (5) [x, options,funval] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); (6) [x, options,funval, Jacob] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); 说明：x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options); fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata 选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
插值与拟合习题课
一、已知sin x 在30,45,60的值分别为1,,222，分别用一次插值和二次插值求sin 50的近似值，并估计截断误差.解：一次插值时，取靠近50 的两个角度45,60作节点，将角度化为弧度为5,,1843πππ，此时有()134224334x x L x ππππππ--=+--155sin 50sin 0.7600801818L ππ⎛⎫=≈= ⎪⎝⎭由截断误差公式()()()()()()()101...1!n n n fR x x x x x x x n ξ+=---+ 有()()()101"()2f R x x x x x ξ=--代入值即得15155()sin 0.006595161823184183R ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二次插值时，取012,,643xx x πππ===，此时有21436364()222646346433634x x x x x x L x ππππππππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭55sin 50sin()0.7654341818L ππ∴=≈=+其截断误差为351555()cos 183!618618418315550.767382103!186184183R ππππππππππππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤---=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）二、设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证：21m ax ()()m ax ()8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤-证：以a ，b 为插值节点进行线性插值，有1()()()()()(,)2!f f x L x x a x b a b ξξ''-=--∈因为1()()()0x bx a L x f a f b a bb a--=+=--，有1m ax ()m ax ()m ax ()()2a x ba x ba x bf x f x x a x b ≤≤≤≤≤≤''≤⋅--21()m ax ()8a x bb a f x ≤≤''=-因为函数()()x a x b --在1()2x a b =+处取最大值。
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
matlab插值拟合答案
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考虑下列类型的函数，计算误差平方和，并作图比较效果：
（1）二次函数；
（2）三次函数；
（3）四次函数；
（4）函数C=aexp(-b(t-c)^2)
问题5：
P685.1、某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5.这100次正面向上的次数为x,
(1)试计算x=45的概率和x<=45的概率；
(2)给出随机数x的概率累积函数分布图像和概率密度图像。
实验目的
掌握利用matlab软件解决概率统计基本问题的方法。
实验过程：（1）clear
>> p1=binopdf(45,100,0.5)
P63.1、已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3],y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5],求对x,y分别进行4,5,6阶多项式拟合的系数，并画出相应的图形。
问题4：
P63.2、假定某天的气温变化记录如表，试用最小二乘法找出这一天的气温变化规律。
>> p2=binocdf(45,100,0.5)
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
数值计算课后答案4
习题 四 解 答之勘阻及广创作1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。
设插值函数为1()L x ax b =+解之得111a eb -⎧=-⎨=⎩则11()(1)1L x e x -=-+因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为 所以010101()max max (1)2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=⨯⨯=。
2解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为 即解之得则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。
所以3、设(0,1,2,,)i x i n =是 n+1个互异节点，证明： （1）0()(0,1,2,,)nk k i i i x l x x k n ===∑；（2）0()()0(0,1,2,,)n k i i i x x l x k n =-==∑。
证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k作n 次插值，插值多项式为0()()nn i i i p x l x y ==∑，而y i =x i k,所以0()()()nnk n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑同时，插值余项 所以0()nk k i i i l x x x ==∑结论得证。
（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =，则对应的插值多项式为0()()()nk n i i i p x x t l x ==-∑，由余项公式，得(1)(1)011()()()()()()()()0(1)!(1)!nn kkn ki i i r x x t x t l x f x x t x n n ξξππ++==---==-=++∑所以令t=x ，4、给定数据（()f x =(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；(2)试用二次Newton 插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。
数学建模插值与拟合概要
cz =griddata〔x，y，z，cx，cy，‘method’〕
被插值点 的函数值插值 节点被插值点插值方法
‘nearest’最邻近插值
‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插值方法
缺省时, 双线性插值
要求cx取行向量，cy取为列向量．
▪ %给出〔xi，yj〕点的高程 zij：
▪>>[X，Y]=meshgrid(0:1:20,0:1:20); ▪ % 给出加密的插值坐标网格
第二十五页，共66页。
>>Z=interp2(x,y,z,X,Y,’spline’); %在坐标上进行样条插值
画图： >>clf;%清空图形坐标系中的内容
>>mesh(X,Y,Z) %在网格上画出插值的结果
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline'); plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')
%作图
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
第十三页，共66页。
第十四页，共66页。
返回
第三十一页，共66页。
%程序一：插值并作海底曲面图
x =[129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 ];
y =[ 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 ];
第4、5讲 插值与拟合 作业参考答案
第四、五讲作业题参考答案一、填空题1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。
2、当1,1,2x =-，时()034f x =-，，，则()f x 的二次插值多项式为 （2527633x x +- ）。
3、由下列数据所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。
4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x =（ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。
5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b =+，引入变量变换y =（ 1y），x =（1x）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。
6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。
8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为（ 321166x x x +-），其误差估计式为（4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导，(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,]k k x x +上是（ 三次多项式 ）。
11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的一次（线性）插值函数（公式）（ ()()x b x af a f b a b b a--+-- ），1()R x =（ 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ ）。
插值与拟合专题
2、用MATLAB解插值计算 2.1 一维插值函数
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。
1.1.2 分段插值法
• 图中看到，随着节点的增加，Lagrange插值函数次 数越高，插值函数在两端容易产生龙格现象，为了 改进高次插值的缺陷，就产生了分段插值。 • 分段插值基本思想：将被插函数逐段多项式化。 • 处理过程：将区间[a,b ]划分： x0 xn b a • 在每个子段 [ xi , xi 1 ]上构造低次多项式，然后将其拼 接在一起作为整个区间[a,b ]上的插值函数，这样构 造出的插值函数称为分段多项式，改进了多项式插 值整体性太强的缺点，可以进行局部调整而不会影 响整体。
第二片(上三角形区域)：(x, y)满足 y j1 y j y (x x i ) y i x i 1 x i 插值函数为： f ( x, y) f1 (f 4 f1 )( y y j ) (f 3 f 4 )( x x i )
注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区 域内。显然，分片线性插值函数是连续的；
x x1 x 2 基函数为 l0 ( x) x x 1 2 2 x 0 1 x x0 x 1 l1 ( x) x 1 x1 x0 2 1
x0 1, y0 0.95 ; x1 2, y1 0.82
线性插值函数为
L1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) 0.95(2 x) 0.82( x 1) 0.13x 1.08
数据插值与曲线拟合习题
数据插值与曲线拟合习题(1) 已知下列表值试用线性与二次Lagrange 插值多项式分别计算当x =1.25时y 的值。
习题解答：一、（1）线性Lagrange 插值多项式 根据计算公式：得出该插值结果为：4.5。
（2）二次Lagrange 插值多项式 根据计算公式：得出该插值结果为：4.125. 二、输入命令：X=[1 2 4 7 9 12 13 15 17];211121221()x x x x P x y y x x x x --=+--020*******010*********()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x P x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------Y=[1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1];plot(X,Y,'*-');下面是显示f与x的散点图：不难看出图形近似为一条直线，因此猜测用一次多项式来拟合，输入命令：P=polyfit(X,Y,1)P =1.2918 1.7840下面绘出的是拟合曲线和散点图对比图形：可以看出拟合效果并不理想。
根据表格数据，我们用二次曲线来拟合，输入命令：P=polyfit(X,Y,2)P =-0.0592 2.3265 -0.9803得到拟合函数为：P(x)=-0.0592.*x.^2+2.3265.*x-0.9803;对比图形如下:可以看出拟合效果有明显改善，拟合曲线与散点图基本上是吻合的，因此f与x的关系式为f==-0.0592.*x.^2+2.3265.*x-0.9803;可见曲线拟合本身就是一个猜测的过程，通常是不地修正拟合函数，使拟合效果达到满意的程度。
插值与拟合例题
1 山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 14801500 1550 1510 1430 1300 1200 980 15001550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 15001200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 15001200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700Y/x1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 40002 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi 和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
如果作2或4次多项式拟合，结果如何？3 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。
试由下面一组t，V数据确定V0，。
2用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。
第4章_插值与拟合-牛顿法
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
第四章 自测题及答案
22. 已知 xi f ( xi ) -2 -1 0 1 2 4 2 1 3 5 求 f ( x ) 的二次拟合曲线 p 2 ( x) ，并求 f (0) 的近似值。 解： xi yi x i2 x i3 x i4 i 0 -2 4 4 -8 16 1 -1 2 1 -1 1 2 0 1 0 0 0 3 1 3 1 1 1 4 2 5 4 8 16 0 15 10 0 34
解：取 x0 0
l30
x1 2
x2 3
x3 5
l31 ( x x0 )( x x2 )( x x3 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 )
( x x1 )( x x2 )( x x3 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 x3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x3 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 )
当 n 4 时， ( xk4 xk2 3)l k ( x) _______________________________________.
k 0 n
答案: 1； x j ；
x4 x2 3
3. 设 li ( x ) 是以 xk k(k 0,1,, 9) 为节点的Lagrange插值基函数，则
1
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
x3 0 x 1 9. 已知 S ( x) 是三次样条函数，则 1 ( x 1) 3 a ( x 1) 2 b( x 1) c 1 x 3 2 =______ ； b =________; c =__________. a 答案: 3；3； 1
5实验五+数值微积分、插值与拟合(1)答案
实验五（1）：数值微积分、插值与拟合答案一、实验目的1. 掌握求数值导数的方法2. 掌握矩形域上数值积分的辛普森公式及其MATLAB 程序3. 掌握三重积分计算的MATLAB 指令4. 掌握常见插值方法及其MATLAB 程序二、实验内容1. 利用数值导数的方法判定函数22()cos(34)f x x x x =+−在[-2,2]内的图像特征，即单调区间、凹凸区间、极值等（注意不明确区间的进一步判定）。
解：a=-2:0.01:2;f0=a.^2.*cos(a.^2+3*a-4);plot(a,f0)pause;x=-2:0.01:2.01;f=x.^2.*cos(x.^2+3*x-4);df1=diff(f);hold onplot(a,df1,’r’)pausex=-2:0.01:2.02;f=x.^2.*cos(x.^2+3*x-4);df2=diff(f,2);hold onplot(a,df2,’k’)2. 用数值方法求定积分。
(1) 210I π∫的近似值。
(2) 2220ln(1)1x I dt x π+=+∫ 解：M 文件：运行结果：3． 用梯形公式和辛普森公式（取精度410−）计算定积分∫π=2/0I e x sin d x解 （1）用梯形求积公式计算定积分. 输入程序>> h=pi/500; x=0:h:pi/2; y=exp(sin(x));zt=trapz(x,y), plot(x, ztc,'ro')运行后屏幕显示用函数trapzzt =3.10437572798742（2）用辛普森求积公式计算定积分. 输入程序>>L=inline(' exp(sin(x))'); [QS,FCNTS] =quad(L,0, pi/2,1.e-4)运行后屏幕显示用辛普森求积公式计算定积分的值QS 和递归次数FCNTS 分别如下QS = FCNTS =3.10438133817254 134. 用MATLAB 函数dblquad 计算∫∫+=+−xyD y x y x e I )(22d σ的值，取误差限为tol =410−，其中D xy 是矩形区域21,40≤≤≤≤y x .解 建立并保存被积函数的M 文件function z=integrnd(x,y)z=exp(-(x.^2+y.^2))./(x+y);在MATLAB 工作窗口输入程序>> a=0;b=4;c=1;d=2; Q2=dblquad(@integrnd,a,b,c,d,1.e-4)5. 用MATLAB 函数triplequad 计算∫∫∫+=V x f I ()(e )sin z y +d x d y d z 的值，取误差限为tol =410−，其中V 是三维长方体区域40,22,22≤≤≤≤−≤≤−z y x .解 建立并保存被积函数的M 文件function u=integrnd1(x,y,z)u=x+exp(y)+sin(z);在MATLAB 工作窗口输入程序>> a= -2;b=2;c=-2;d=2;p=0;q=4;Q3=triplequad(@integrnd1,a,b,c,d,p,q,1.e-4)6. 有一正弦衰减数据y=sin(x).*exp(-x/10)，其中x=0:pi/5:4*pi ，用三种插值法进行插值，比较差异。
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第四、五讲作业题参考答案一、填空题1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。
2、当1,1,2x =-，时()034f x =-，，，则()f x 的二次插值多项式为 （2527633x x +- ）。
3、由下列数据所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。
4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x =（ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。
5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b =+，引入变量变换y =（ 1y），x =（1x）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。
6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。
8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为（ 321166x x x +-），其误差估计式为（4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导，(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,]k k x x +上是（ 三次多项式 ）。
11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的一次（线性）插值函数（公式）（ ()()x b x af a f b a b b a--+-- ），1()R x =（ 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ ）。
1()ln(2)[01]()f x x L x =+=函数在区间，上的线性插值函数（ln 2(ln 3ln 2)x +- ），其余项估计1()R x ≤（ 132）。
12、设(0)0,(1)16,(2)46[0,1]f f f f ====，则（ 16 ），[0,1,2]f =（ 7 ），()f x 的二次牛顿插值多项式为（ 167(-1)x x x +或016-0)7(-0)(-1)x x x +＋（或279x x + ）。
13、已知332201()12x x S x x ax bx c x ⎧≤≤=⎨+++≤≤⎩ 是三次样条函数，则a =( 3 )，b =( -3 )，c =( 1 )。
14、已知33201()1(1)(1)(1)132x x S x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+-+≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =（ 3 ），b =（ 3 ），c =（ 1 ）。
15、过n 对不同数据1001(,),1,2,,i i x y i n y a x a a a ==+，的拟合直线那么，满足的法方程组是（ 0111201111n ni i i i n n ni i i i i i i na a x y ax a x x y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ ） 16、已知函数()(0),(2),(3),(5),(6)f x f f f f f 的函数值，以及差商如下(0)0,(0,2)4,(0,2,3)5,(0,2,3,5)1,(0,2,3,5,6)0f f f f f =====那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是（ 1 ）。
17、区间],[b a 上的三次样条插值函数)(x S 在],[b a 具有直到（ 二 ）阶的连续导数。
18、设)(x f 和)(x g 都是n 次多项式，如果在n+1个不同节点{}ni i x 0=上都有()(g x f i =)i x ，i=0,1,2,…n ，则有（)()(x g x f ≡）。
二、判断题1、试判断下面的函数哪一个为三次样条函数？（ C ）2332330100()B ()01sin 0(1)122110()22101x x x A f x f x x x x x x x x x x x C f x D x x x -≤<⎧⎧≥⎪==≤<⎨⎨<⎩⎪+-≤≤⎩⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩、、、、无2、过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数()P x =（ A ）A 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x xB 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x xC 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x xD 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x3、()P x 下列条件中，不是分段线性插值函数必须满足的条件为（ D ）A (),(0,1,,)()[,]()()k k P x y k n B P x a b P x P x ==、、在上连续C 、在各子区间上是线性函数D 、在各节点处可导4、函数345345(),,[,,]f x x x x f x x x ≠在结点处的二阶差商（ B ）3554335()()f[,,]B f x f x A x x x x x --、、344543543535[,][,][,][,]CD f x x f x x f x x f x x x x x x ----、、5、已知,,1,2,,k k n x y k n n =对观测数据（）这个点的拟合直线0101,,y a x a a a =+是使（ D ）最小的解。
010111A ()nnk kk k k k y a a x B y a a x ==----∑∑、、22010111()()nnk kk k k k y a a x y a x a ==----∑∑C 、D 、6、已知函数()y f x =的数据表则()y f x =的拉格朗日插值基函数2()l x =（ A ）A 、(2)(1)5(52)(51)x x x ---- B 、(2)(5)(1)(02)(05)(01)x x x ------C 、(5)(1)2(25)(21)x x x ---- D 、(2)(5)1(12)(15)x x x ----三、问答题1、依据如下函数值表建立不超过三次的拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式，解：（1插值基函数320(1)(2)(4)177()1(01)(02)(04)884x x x l x x x x ---==-+-+---321(0)(2)(4)18()2(10)(12)(14)33x x x l x x x x ---==-+---322(0)(1)(4)15()(21)(21)(24)44x x x l x x x x ---==-+----323(0)(1)(2)111()(40)(41)(42)24812x x x l x x x x ---==-+---拉格朗日插值多项式为：3300123()()()1()9()23()3()i i i L x f x l x l x l x l x l x ===⨯+⨯+⨯+⨯∑32114511442x x x =-+-+ （2）牛顿插值多项式建立差商表：()i i x f x 一阶差商二阶差商三阶差商0124 1923381410－ 38－ 114－ 牛顿插值多项式：30010012010123012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()()1118(0)3(0)(1)(0)(1)(2)4N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=+-+------32114511442x x x =-+-+ （3）惟一性验证通过比较牛顿多项式和拉格朗日插值多项式，知 33()()N x L x ≡这一事实和插值多项式的惟一性一致。
2、3()3N (x)f x Newton 写成的次插值多项式。
解：先建立差商表：()ii x f x 一阶差商二阶差商三阶差商2351342－－ 213－－ 1343 15牛顿插值多项式：3001001201012301232()[][,]()[,,]()()[,,,]()()()1112(0)(0)(2)(0)(2)(3)3512221)5315N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=-+-------+－＋（＝ 3、求三次多项式3()P x ，使满足插值条件3333P 0=P 0=0P 1=1P 2=1'（）（），（），（）解：法一、求插值多项式（用牛顿插值法或拉格朗日插值法，求出经过（0，0），（1，1），（2，1）这三点的插值函数），记为2()L x ，2213L ()22x x x =-+。
3232P ()()(),Q()P ()()x L x Q x x x L x =+=-设即，为一不超过３次的多项式。
323232(0)(0)-(0)0,(1)(1)(1)0,(2)(2)(2)0Q P L Q P L Q P L ===-==-=且。
0,1,2()()(-0)(-1)(-2),Q x Q x A x x x A =即为的３个零点，于是可设待定常数。
2222213()()()(1)(2)223()()()(362)23(0)(0)(0)0,20234x L x Q x x x Ax x x x L x Q x x A x x L Q A =+=-++--'''=+=-++-+'''=+=+=３３３ＰＰＰ得解得A=- 233233()(1)(2)4133()(1)(2)2247()4Q x x x x P x x x x x x P x x x =---=-+---=+所以３整理后即－４2323333()()23(0)0(0)0(1)1(2)2481730,0,,44P x a bx cx dxP x b cx dx P a P b P a b c d P a b c d a b c d '=++=++=='===+++==+++=====-法二、设＋故四个未知量，四个方程，解方程组得4、用最小二乘法求拟合函数1y=使其与下列数据相拟合1/y a bx y y ''=+=-------------- ----------------------（2分） 504701037a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ------------------------------------（6分） a=9.4 b=3.7 ----------------------- ---------（2分）5、用最小二乘法求形如bx y ae =的经验公式，使它与下列数据相拟合：解：所求拟合公式是一个指数函数，对它两边取自然对数，得到ln ln y a bx =+相应的对应关系为0101ln ,ln ,,Y y A a A b Y A A x====+记则有于是原问题转化为求上面数据表的一次拟合多项式。