2.3等差数列前n项和课件(公开课)

Q Sn a1 a2 a3 L an ①
Sn an a n1an2 L a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 L an a1
n(a1 an )
即Sn
n(a1 2
an )
4、推导公式
等差数列的前n项和的公式：Sn
n(a1 2
an )
由于an a1 n 1d,
na1
n(n 1) 2
d
例1 (1) 计算 5 6 7 79 80
(1)解：数列{an}中， a1 5, an 80, d 1
76 (5 80)
S76
2
an a1 (n 1) d 80 5 n 1
S76
765
76 (76 1) 2
n 76
3230
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
2.3 等差数列的前n项和
（第一课时）
1、复习回顾
(1) 等差数列概念： 即an－an－1 ＝d (n≥2且 n N*).
(2)等差数列通项公式： ①an＝a1＋(n－1)d (n≥1). ②an＝am＋(n－m)d . ③an＝pn＋q (p、q是常数).
(3)性质:
在等差数列 {an }中， 若m n r s 则 am an ar as
故
Snna1Fra bibliotekn(n 1) 2
d
还可以化为
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
例1 (1)在等差数列{an}中，an 2n 1,求Sn (结果用n表示).
(1)解： a1 1
Sn
n
1
2n
2
1
n 2n 2
n2
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
变式练习2 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一 层铺瓦 片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，
且a1=21，d=1，n=19.
于是，屋顶斜面共铺瓦片：
S19
19
21
19 19
2
1
1
570 块
校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的
总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标
准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费
为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金
都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该
市在“校校通”工程中的总投入是多少？
Sn n (n 1) (n 2) 2 1 ②
2Sn n (n 1)
n (n 1) Sn 2
在等差数列{an}中， 若m n r s 则 am an ar as
对一般的等差数列，有了这个性质， 就可以用倒序相加法求和：
4、推导公式
倒序相加法
已知等差数列{an }的首项为a1, 项数为n, 第n项为an , 求前n项和Sn.
Sn
na1
n(n 1) 2
d
例1 (2) 计算 5 6 7 79 80
解：(2)等差数列数列{an}中， a1 5, an 80, d 1 an a1 (n 1) d 80 5 n 1 n 76
S76
76 (5 2
80)
3230
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
4、推导公式
还有更好 的办法吗？
假如最上面一层有很多 支铅笔，老师说有n支。 问：这个V形架上共放 着多少支铅笔？
问题就是：
Sn 1 2 3 n ?
若用首尾配对相加法可以吗？
需要分类 讨论
配对时n是奇数还是偶数会有不同的结果
4、推导公式 这种办法叫：倒序相加法
Sn 1 2 3 (n 1) n ①
Sn
na1
n(n 1) 2
d
变式练习1： 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
(1) a1 5, an 95, n 10; 500 (2) a1 100, d 2, n 50. 2550
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金
构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为：
S10
10 500
10
10
2
1
50
7250 万元
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入
是7250万元.
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
n的值为9.
5、应用
Sn
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101 就 等 于 5050 了 。 高 斯 算 法 将 加 法 问 题
转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
3、数列前n项和的定义
一般地，我们称 a1 a2 a3 an
为数列{an}的前n项和，用Sn表示，
即：Sn a1 a2 a3 an
(4)等差中项
A a b a, A,b 成等差数列. 2
2、创设情景
高斯（Gauss,1777—1855）， 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，是历 史上最伟大的数学家之一，被 誉为“数学王子”.
2、创设情景
有一次，老师带高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
n(n 1) na1 2 d
例3 在等差数列{an}中，已知a1 10, d 4,
Sn 54,求n的值. 知三求一
解：Sn
na1
n(n 1) 2
d
10a1
n(n 1) 2
4
54
n2 6n 27 0
n 9或n 3 (舍去）
高斯很快就回答：5050支，
其实老师的问题就是：1 2 3 99100 ？
2、创设情景
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋ ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……