x 1
,x 2
无关。
定义3： 设函数()x f 在区间I 上有定义，若0>∃ε,0>∀δ ,I x x ∈∃21, ,
δ<-X
X 2
1
时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。
对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε
，不论任何的
正数δ，在区间I 内至少存在两点与
x 1
x
2
,虽然
δ<-X
X 2
1
，但
()()ε≥-x x f f 21。
评注1：一直连续的实在，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小。
用定义证明函数)(x f 在I 上一致连续，通常的方法是设法证明函数)(x f 在I 上满足lipschitz 条件，)()(x f x f ''-'≤x x ''-'，∀x '，x ''∈I ，其中L 为某一常值函数，此条件必成立。特别的若函数)(x f '在I 上是有界函数，则函数)(x f 在I 上lipschitz 条件成立。
二 函数一致性连续的判断依据
（一）一致连续函数()x f 的运算性质
性质1 设函数()x f 与()x g 在区间I 上一致连续，则()()x bg x af +在区间I 上也一致连续（b a ,为任意常数）。
性质 2 设函数()x f 与()x g 在区间r 上一致连续且有界,则()()x g x f *在区间r 上一致连续且有界。
性质3 设函数()x f 在区间I （有限或无限）上一致连续，且有正的下确界（或负的上确界），则
()
x f 1
在区间I 上也一致连续。 性质 4 设函数()x f 在区间I 上一致连续，()x g 在区间u 上一致连续，且
()I u g ∈
,则复合函数()()x g f 在区间u 上一致连续。
性质5 设函数()x f 与()x g 在有限区间I 上一致连续，则()()x g x f *在有限区间I 上也一致连续。
必需指出，对于一致连续函数的反函数的一致连续性未必成立。例如函数
()x x f =在()+∞,0上一致连续，而它的反函数在()+∞,0上非一致连续。但可以证明在有限区间上此结论为真。
例1 若函数()x f 是有限区间I 上的一直连续函数，()x g 在I 上非一致连续，问：()()x g x f ±在区间I 上一致连续性？
解：假设()()x g x f +在区间I 上一致连续，又()x f 是有限I 上的一直连续函数，由性质1可得()()()[]()x f x g x f x g -+=在I 的一致连续，这与条件矛盾！所以()()x g x f +在区间I 上非一致连续，同理()()x g x f -在区间I 上非一致连续，所以()()x g x f ±在区间I 上非一致连续性.
（二）一致连续的判断依据
命题 1 若函数()x f 在区间I 上满足lipschitz 条件，即I y x ∈∀,,有
()()y x k y f x f -<-,其中k 为常数，则函数()x f 在区间I 上一致连续。 证明：因为函数在区间I 上满足lipschitz 条件，即I y x ∈∀,,有()()y x k y f x f -<-，于是，0>∀ε,由于()()ε<-<-y x k y f x f ,有k
y x ε
<-,
取0>=
k
ε
δ,且δ与y x ,无关，从而0>∀ε, 0>=
∃k
ε
δ，I x x ∈∀21,：
δ<-X
X 2
1
,有()()ε命题2（康托定理）若函数()x f 在区间],[b a 上连续，则函数()x f 在区间],[b a 上也一致连续.
证明（反证法） 假设函数()x f 在区间],[b a 非一致连续，取n
1
=
δ，......)3,2,1(=n ,则在],[b a 区间内存在两点
x n
1,
x n
2
......)3,2,1(=n ，有
n x x n n
121<-,但ε021≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x n n f f .根据魏斯特拉斯定理知，在有界数列}1{x n
中存在一个收敛的子列x x n k
01
→ )(∞→k ,其中
],[0
b a x ∈,又由于
n
x x k n n k k 121<-即021→-x x n n k k )(∞→k ,因为x x n
k
01→)(∞→k ，并且
ε021≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x n
n f f 对一切k 都成立。另外函数()x f 在点x 0连续，根据函数极限与数列极限的关系，有()x x f n f x k
k 01lim 0=⎪⎭⎫
⎝⎛→,().20lim 0
x x f n
f x k
k =⎪⎭
⎫
⎝
⎛→于是
