函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学2011年 6 月关于一致连续函数的判据万鑫摘 要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。

这两个概念来自于实际问题，现实问题。

我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。

数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。

我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。

关键词：一致连续 非一致连续 判别依据 比较判别法 比值判别法。

一 函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f ax =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点.用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续⇔0>∀ε,0>∃δ，x ∀：,δ<-a x 时，有()()ε<a f x f -定义2： 设函数()x f 在区间I （开区间，闭区间，半开区间及无穷区间）上有定义，若0>∀ε,0>∃δ，I x x ∈∀21,,δ<-XX 21时，有()()ε<x x f f 21-可以看出，函数c 在I 上一直连续是指：不管x 1,x 2在I 中的位置如何，只要他们的距离小于δ，可使()()ε<x x f f 21-，其中x 1,x 2都可变，δ依赖于ε而与x 1,x 2无关。

定义3： 设函数()x f 在区间I 上有定义，若0>∃ε,0>∀δ ,I x x ∈∃21, ,δ<-XX 21时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。

对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与x 1x2,虽然δ<-XX 21，但()()ε≥-x x f f 21。

评注1：一直连续的实在，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小。

用定义证明函数)(x f 在I 上一致连续，通常的方法是设法证明函数)(x f 在I 上满足lipschitz 条件，)()(x f x f ''-'≤x x ''-'，∀x '，x ''∈I ，其中L 为某一常值函数，此条件必成立。

特别的若函数)(x f '在I 上是有界函数，则函数)(x f 在I 上lipschitz 条件成立。

二 函数一致性连续的判断依据（一）一致连续函数()x f 的运算性质性质1 设函数()x f 与()x g 在区间I 上一致连续，则()()x bg x af +在区间I 上也一致连续（b a ,为任意常数）。

性质 2 设函数()x f 与()x g 在区间r 上一致连续且有界,则()()x g x f *在区间r 上一致连续且有界。

性质3 设函数()x f 在区间I （有限或无限）上一致连续，且有正的下确界（或负的上确界），则()x f 1在区间I 上也一致连续。

性质 4 设函数()x f 在区间I 上一致连续，()x g 在区间u 上一致连续，且()I u g ∈,则复合函数()()x g f 在区间u 上一致连续。

性质5 设函数()x f 与()x g 在有限区间I 上一致连续，则()()x g x f *在有限区间I 上也一致连续。

必需指出，对于一致连续函数的反函数的一致连续性未必成立。

例如函数()x x f =在()+∞,0上一致连续，而它的反函数在()+∞,0上非一致连续。

但可以证明在有限区间上此结论为真。

例1 若函数()x f 是有限区间I 上的一直连续函数，()x g 在I 上非一致连续，问：()()x g x f ±在区间I 上一致连续性？解：假设()()x g x f +在区间I 上一致连续，又()x f 是有限I 上的一直连续函数，由性质1可得()()()[]()x f x g x f x g -+=在I 的一致连续，这与条件矛盾！所以()()x g x f +在区间I 上非一致连续，同理()()x g x f -在区间I 上非一致连续，所以()()x g x f ±在区间I 上非一致连续性.（二）一致连续的判断依据命题 1 若函数()x f 在区间I 上满足lipschitz 条件，即I y x ∈∀,,有()()y x k y f x f -<-,其中k 为常数，则函数()x f 在区间I 上一致连续。

证明：因为函数在区间I 上满足lipschitz 条件，即I y x ∈∀,,有()()y x k y f x f -<-，于是，0>∀ε,由于()()ε<-<-y x k y f x f ,有ky x ε<-,取0>=kεδ,且δ与y x ,无关，从而0>∀ε, 0>=∃kεδ，I x x ∈∀21,：δ<-XX 21,有()()ε<x x f f 21-，故函数()x f 在区间I 上一致连续。

命题2（康托定理）若函数()x f 在区间],[b a 上连续，则函数()x f 在区间],[b a 上也一致连续.证明（反证法） 假设函数()x f 在区间],[b a 非一致连续，取n1=δ，......)3,2,1(=n ,则在],[b a 区间内存在两点x n1,x n2......)3,2,1(=n ，有n x x n n121<-,但ε021≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x n n f f .根据魏斯特拉斯定理知，在有界数列}1{x n中存在一个收敛的子列x x n k01→ )(∞→k ,其中],[0b a x ∈,又由于nx x k n n k k 121<-即021→-x x n n k k )(∞→k ,因为x x nk01→)(∞→k ，并且ε021≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x nn f f 对一切k 都成立。

另外函数()x f 在点x 0连续，根据函数极限与数列极限的关系，有()x x f n f x kk 01lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛→,().20lim 0x x f nf x kk =⎪⎭⎫⎝⎛→于是021lim 0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x n f n f x kk k ，ε21≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x n n f f .所以函数()x f 在区间],[b a 上连续，则函数()x f 在区间],[b a 上也一致连续. 评注：命题2对开区间不成立。

例如函数)(x f =x1在)1,0(在区间上的每一个点都连续，但并非一致连续，事实上，对于任意小的0 δ，令δ=1x ，δ22=x ，则δ=-21x x ，则()()δ121=-x f x f ，这时21x x -可以任意小，而()()21x f x f -可以任意大。

函数)(x f =()x tan 在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，也有类似的情况，以上两类讨论的都是无界函数，而x1sin在)1,0(内的没一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一直连续性在这个区间内，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数1x 与2x 存在，使得11sinx =1，11sin x =-1 命题 3 若函数()x f 在区间I （有限或无限）上存在有界导数，即0>∃M .I x ∈∀,有()M x f <',则函数()x f 在区间I 上一致连续.证明 因为函数()x f 在区间I 上存在导数，所以函数()x f 在区间I 上连续又由于I x x ∈∀21,,函数()x f 在],[21x x 上满足拉格朗日定理的条件，即在],[21x x 上存在一点ζ，使()()()()x x x x f f f 2121-⋅'=-ζ，而()x f '在区间I 上有界,即>∃M ，Ix x ∈∀21,,有()Mx f <'，于是()()()()xx x x x x Mf f f 212121-≤-⋅'=-ζ,则由命题2可知函数()x f 在区间I 上一致连续.命题 4 若函数()x f 在开区间),(b a 一致连续⇔若函数()x f 在开区间),(b a 连续，且()0+a f 与()0-a f 都存在且有限。

证明 充分性：()0+a f 与()0-b f 都存在且有限，对()x f 做连续性开拓。

定义：当a x =时，()()0+=a f x F ；当)(b a x ,∈时，()()x f x F =；当b x =时，()()0-=b f x F ，易知()x F 在)(b a ,上一致连续，从而函数()x f 在开区间)(b a ,一致连续。

必要性：若函数()x f 在开区间)(b a ,一致连续，0>∀ε,0>∃δ()a b -<δ ,当)(b a x x ,,21∈，且δ<-XX 21时有()()ε<x x f f 21-，将x x 21,取在)(δ+a a ,内或)(b b ,δ-内，则由柯西收敛准则知()0+a f 与()0-b f 都存在且有限。

命题 5 函数()x f 在区间I 上一致连续⇔对区间I 上任意两个数列{}x n 与{}y n，当yx nnx -→∞lim 时，有()()0lim =-∞→y x nn x ff 。

证明 必要性.若函数()x f 在区间I 上一致连续，即0>∀ε,0>∃δ，:n ∀0=<-δyx nn时，有()()ε<-y x nn ff 。

也即对区间I 上的任意两个数列{}x n与{}y n，当∞→n 时，有||y x nn-，则()()0→-y x nnf f 。

充分性.（反证法）若两个数列{}x n与{}y n，当∞→n 时，有0→-y x nn，且()()0→-y x nnf f ，而函数)(x f 在区间I 上非一致连续，00>∃ε，0>∀d n,y x nn,∃ :δn nny x <-时，()()ε0≥-y x nnf f 。

取0→d n ，得两数列{}x n与{}y n，当∞→n 时，0→-y x nn，但()()ε0≥-y x nnf f 与假设矛盾，从而函数()x f 在区间I 上一致连续。