《圆周角》专题
专题4 圆周角
专题4 圆周角1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OA ，OC ，若∠AOC ：∠ADC ＝2：3，则∠ABC 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°【分析】设，∠，根据圆周角定理求出 ，根据圆内接四边形的性质得出 ，即可求出答案． 【解析】设，，∵圆心角∠AOC 和圆周角∠ABC 都对着，∴， ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC ＝180°， ∴3x +x ＝180， 解得：x ＝45， 即∠ABC ＝45°， 选C ．【小结】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能根据定理求出和 是解此题的关键．2．如图，是的直径，是的弦，的是（ ）2AOC x ∠=︒3ADC x =︒12ABC AOC x ∠=∠=︒180ADC ABC ∠+∠=︒2AOC x ∠=︒3ADC x ∠=︒ADC 12ABC AOC x ∠=∠=︒12ABC AOC ∠=∠180ADC ABC ∠+∠=︒AB O CD O 30,ACD AD ∠=︒=A ．B ．C ．D ．【分析】根据圆周角定理得到∠ADB =90°，∠B =∠ACD =30°，再利用互余可计算出∠BAD 的度数，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BD 、AB 的长即可． 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∵∠B=∠ACD =30°，∴∠BAD =90°-∠B =90°-30°=60°，故选项A 、B 不符合题意， 在Rt △ADB 中，BD =3，AB =2AD =2C 符合题意，选项D 不符合题意，选C ．【小结】本题考查圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．如图，是的直径，点在上，若，则 的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据圆周角定理求解． 【解析】∵∠AOC =120° ， ∴∠BOC =60°，∴ ∠D =∠BOC =30°，故选B ．【小结】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周角定理是解题关键 ．4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF ＝40°，则∠OFE 的度数是（ ）30B ∠=︒60BAD ∠=︒23BD =23AB =33AB O D O 120AOC ∠=︒D ∠20︒3040︒45︒12A ．30°B ．20°C ．40°D ．35°【分析】连接BF ，OE ．证明△OEF ≌△OEB （SSS ），推出∠OFE =∠OBE ，由OE =OB =OF ，推出∠OEF =∠OFE =∠OEB =∠OBE ，∠OFB =∠OBF ，由∠ABF =∠AOF =20°，推出∠OFB =∠OBF =20°，根据三角形内角和定理构建方程求出∠EFO 即可． 【解析】如图，连接BF ，OE ．在△OEF 和△OEB 中，，∴△OEF ≌△OEB （SSS ），∴∠OFE ＝∠OBE ，∵OE ＝OB ＝OF ，∴∠OEF ＝∠OFE ＝∠OEB ＝∠OBE ，∠OFB ＝∠OBF ， ∵∠ABF ＝∠AOF ＝20°，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°， ∵∠OFB +∠OBF +∠OFE +∠OBE +∠BEF ＝180°，∴4∠EFO +40°＝180°，∴∠OFE ＝35°， 选D ．【小结】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．已知，如图， AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°，给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE ＝BC ，其中正确的有( )个12EF EB OE OE OF OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩12AE BDA ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断； 【解析】连接AD ，AB 是直径 则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD =CD ，故②正确；∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知， ∠EBC =∠DAC = ∠BAC =22.5°，故①正确； ∵∠ABE =90°-∠EBC -∠BAD =45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC =22.5°，2EC ≠BE ，AE =BE ，∴ AE ≠2CE ，③不正确； ∴ AE =BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误 综上所述，正确的结论是：①②④，选C ．【小结】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等，利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解；6．如图，AB 为☉O 的直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ，点D 与圆心O 不重合，∠BAC =26°，则∠DCA 的度数为 ( )12A ．38°B ．40°C ．42°D ．44°【分析】连接BC ，由题意易得∠ACB =90°，则有∠B =90°-∠BAC =90°-26°=64°，根据翻折的性质，弧AC 所对的圆周角为∠B ，弧AC 所对的圆周角为∠ADC ，进而可得∠ADC +∠B =180°，∠ADC =180°-64°=116°，然后问题可求解． 【解析】连接BC ，如图所示：∵AB 是直径， ∴∠ACB =90°， 又∵∠BAC =26°，∴∠B =90°-∠BAC =90°-26°=64°，根据翻折的性质，弧AC 所对的圆周角为∠B ，弧AC 所对的圆周角为∠ADC ， ∴∠ADC +∠B =180°， ∴∠ADC =180°-64°=116°．在△ADC 中，∠BAC =26°，∠ADC =116°， ∴∠DCA =180°-116°-26°=38°，选A【小结】本题主要考查圆周角定理及折叠的性质，熟练掌握圆周角定理及折叠的性质是解题的关键．7．如图，点，，，为上的四个点，平分，交于点，，，则的长为（ ）A B C D O AC BAD ∠AC BD E 4CE =6CD =ACA ．7B ．8C ．9D ．10【分析】首先连接BC ，由AC 平分∠BAD ，易证得∠BDC =∠CAD ，继而证得△CDE ∽△CAD ，然后由相似三角形的对应边成比例求得AE 的长，进而求出AC 的长．【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠CAD ，∴，∴∠BDC =∠CAD ， ∵∠ACD =∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD ， ∴CD ：AC =CE ：CD ， ∴CD 2=AC •CE ， ∴62=4（4+AE ）， ∴AE =5， ∴AC =AE +CE =9， 选C ．【小结】此题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，四边形ABCD 是☉O 的内接正方形，点P 是上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的大小是（ ）A ．22.5°B ．45°C ．30°D ．50°【分析】连接OB 、OC ，首先根据正方形的性质，得∠BOC =90°，再根据圆周角定理，得∠=BCCDBPC =45°．【解析】如图，连接OB 、OC ，则∠BOC =90°，根据圆周角定理，得：∠BPC =∠BOC =45°，选B ． 【小结】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．9．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD 等于（ ）A ．37°B ．74°C ．54°D ．64°【分析】由∠BAC =27°，∠BEC =64°，根据三角形外角的性质，即可求得∠C 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOD 的度数． 【解析】∵∠BEC 是△AEC 的外角， ∴∠BEC =∠C +∠BAC ， ∵∠BAC =27°，∠BEC =64°， ∴∠C =∠BEC -∠BAC =64°-27°=37°， ∴∠AOD =2∠C =2×37°=74°． 选B ．【小结】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．1210．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB //CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于（ ）A ．64°B ．48°C ．32°D ．76°【分析】由AB //CD ，∠BAC ＝32°，根据平行线的性质，即可求得∠ACD 的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOD 的度数．【解析】∵弦AB //CD ，∠BAC =32°，∴∠ACD ＝∠BAD ＝32°，∴ ∠AOD =2∠ACD ＝2×32°＝64°，选A【小结】此题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．11．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC =α，则（ ）A ．∠A =αB ．∠A =90°－αC ．∠ABD =α D ．∠【分析】由直线EC 是⊙O 的切线，根据切线的性质可得：AB ⊥EC ，继而求得α+∠ABD =90°，又由AB 是⊙O 的直径，根据圆周角定理，即可求得∠A +∠ABD =90°，继而可得∠A ＝α． 【解析】∵直线EC 切⊙O 于B 点， ∴∠ABC =90°，即α+∠ABD =90°，1902α︒=-ABD又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，∴∠A=α，选A.【小结】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝35°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．70°C．55°D．50°【分析】由圆周角定理可以求得∠CAB的度数，再由AB是⊙O的直径可得△ABC是直角三角形，再由直角三角形的性质即可得到∠ABC的度数．【解析】由圆周角定理可得：∠CAB＝∠BDC＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-35°=55°，选C．【小结】本题考查圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角的性质和定理、直角三角形的性质是解题关键．13．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，∠C＝65°，点D是的中点，则∠OADBC的大小为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【分析】连接OB ，根据圆周角定理求出∠AOB ，得到∠OAB 的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据圆周角定理求出∠BAD ，结合图形计算，得到答案． 【解析】连接OB ，由圆周角定理得，∠AOB =2∠C =130°， ∵OA =OB ， ∴∠OAB =×（180°-130°）=25°， ∵∠ABC =45°，∠C =65°， ∴∠BAC =180°-45°-65°=70°， ∵点D 是的中点， ∴∠BAD =∠CAD =35°， ∴∠OAD =∠BAD -∠OAB =10°， 选B ．【小结】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．14．如图，是的直径，点、是上的点，，连接，若，则的度数为（ ）12BC AB O C D O OD AC ⊥DC 30COB ∠=︒ACD ∠A ．30°B ．37.5°C ．45°D ．60°【分析】根据圆周角定理可知：∠BAC ＝∠BOC ，根据垂直定义和三角形内角和可知∠AOD ，继而根据圆周角定理可知∠ACD ． 【解析】∵∠COB ＝30°, ∴∠BAC ＝∠BOC ＝15°, ∵,∴∠AOD ＝180°－15°－90°＝75°, ∴∠ACD ＝∠AOD ＝37.5° 选B ．【小结】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于这条弧所对的圆周角的一半，还涉及到垂直定义和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．15．如图，已知为上一点，若，则的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°【分析】根据圆周角定理即可求出答案． 【解析】∵，1212OD AC ⊥12C AB 100AOB ∠=︒ACB∠100AOB ∠=︒∴优弧所对的圆心角为：， ∴由圆周角定理可知：∠ACB =×260°=130°，选D 【小结】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理，本题属于基础题型．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠BCD =36°，则∠ABD 等于（ ）A ．54°B ．56°C ．64°D ．66°【分析】根据圆周角定理得到∠ADB =90°，∠A =∠BCD =36°，然后利用互余计算∠ABD 的度数．【解析】∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°， ∵∠A =∠BCD =36°，∴∠ABD =90°-∠A =90°-36°=54°． 选A ．【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．17．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，若∠C =63º，则∠DAB 等于（ ）AB 360100260︒-︒=︒12A ．27 ºB ．31.5 ºC ．37 ºD ．63 º【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D =63º，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【解析】∵AD 是⊙O 的直径， ∴， ∵∠C =63º， ∴∠D =63º，∴， 选A ．【小结】本题考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等是解题的关键．18．如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，其中C 、D 在AB 下方，E 在AB 上方，则∠C +∠D 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．80°D ．90°【分析】连接OE ，根据圆周角定理即可求出答案． 【解析】连接OE ，根据圆周角定理可知：90ABD ∠=︒90ABD ∠=︒9027DAB D ∠=︒-∠=︒∠C ＝∠AOE ，∠D ＝∠BOE ， 则∠C +∠D ＝（∠AOE +∠BOE ）＝90°，选D ．【小结】本题考查了圆周角的性质，解题关键是连接半径，构造圆心角，依据圆周角与圆心角的关系进行计算．19．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论： ①AD ⊥BD ；②BC 平分∠ABD ；③BD =2OF =CF ；④△AOF ≌△BED ，其中一定成立的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．③④【分析】根据直径的性质，垂径定理等知识一一判断即可； 【解析】∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴AD ⊥BD ，故①正确， ∵OC ∥BD ，BD ⊥AD ， ∴OC ⊥AD ， ∴， ∴∠ABC ＝∠CBD ，∴BC 平分∠ABD ，故②正确， ∵AF ＝DF ，AO ＝OB ， ∴BD ＝2OF≠CF ，故③错误，△AOF 和△BED 中，没有对应边相等，故④错误，选A ．【小结】本题考查直径的性质、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所121212AC CD学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点，∠AOB =70º，∠OBC =50º，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50ºB ．25ºC ．35ºD ．70º 【分析】直接根据圆周角定理判断即可． 【解析】根据圆周角定理，，选C ． 【小结】本题主要考查圆周角定理，理解并熟练运用圆周角定理是解题关键．21．如图，内接于⊙O ，∠A ＝74°，则∠OBC 等于（ ）A ．17°B ．16°C ．15°D ．14°【分析】如图，连接 先求解 再利用 可得从而可得答案． 【解析】如图，连接11703522ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒ABC ,OC 2274148,BOC A ∠=∠=⨯︒=︒,OB OC =()1180,2OBC BOC ∠=︒-∠,OC 74,A BC BC ∠=︒=，选【小结】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．22．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝26°，过点C 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ，则∠D 的大小为（ ）A ．26°B ．52°C ．28°D ．38°【分析】连接OC ，由切线的性质得∠OCD ＝90°，再由圆周角定理得∠COD ＝52°，最后由三角形内角和定理即可求出答案． 【解析】连接OC ，如图所示：2274148,BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒,OB OC =()111803216.22OBC BOC ∴∠=︒-∠=⨯︒=︒.B∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，由圆周角定理可知：∠COD＝2∠CBA＝52°，∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣52°＝38°，选D．【小结】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．23．如图，AB是半圆的直径，CD为半圆的弦，且CD//AB，∠ACD=26°，则∠B等于（）A．26° B．36° C．64° D．74°【分析】利用平行线的性质，得∠ACD=∠CAB=26°，根据直径上的圆周角为直角，得∠ACB=90°，利用直角三角形的性质计算即可．【解析】∵CD//AB，∠ACD=26°，∴∠ACD=∠CAB=26°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=64°，故选C．【小结】本题考查了平行线的性质，圆周角的原理，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用是解题的关键．24．如图，是的直径，点，在上．若，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB =90°，利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ACD =∠ABD ，再由∠BCD =∠ACB -∠ACD 求出即可. 【解析】∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°，∵∠ACD =∠ABD =50°， ∴∠BCD =∠ACB -∠ACD =40°， 选D .【小结】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．25．如图内接于⊙O ，于点H ，若AC ＝10，AH ＝8，⊙O 的半径为17，则AB ＝___________．【分析】作直径AD ，连接BD ，根据圆周角定理得到∠ABD ＝90°，∠D ＝∠C ，证明ABD ∽AHC ，根据相似三角形的性质解答即可． 【解析】连接AO 并延长，交⊙O 于点D ， 则AD ＝2AO ＝34， ∵AD 为直径， ∴∠ABD ＝90°， 又AH ⊥BC ，AB O C D O 50ABD ∠=︒BCD∠25︒3035︒40︒ABC AH BC⊥∴∠AHC ＝90°，∴∠AHC ＝∠ABD ， 由圆周角定理得，∠D ＝∠C ， ∴ABD ∽AHC ， ∴， 即， 解得，AB ＝，【小结】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 是OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ．若DEEM ＞MC ），则sin ∠EOM 的值为_____．【分析】根据圆周角定理及勾股定理求出CE ，根据相交弦定理可得求出EM ，继而证得△OEM 为等腰三角形，过E 作EF ⊥OM 于F ，垂足为F ，根据等腰三角形的性质及勾股定理可得OF ，EF ，继而即可求解． 【解析】∵DC 为⊙O 的直径，AB ADAH AC=34810AB =1365∴∠CED ＝90°， ∵DC ＝8，DE∴EC7．设EM ＝x ，由于M 为OB 的中点， ∴BM ＝2，AM ＝6∴AM •MB ＝x •（7﹣x ），即6×2＝x （7﹣x），x 2﹣7x +12＝0， 解得；x 1＝3，x 2＝4， ∵EM ＞MC ∴EM ＝4 ∵OE ＝EM ＝4∴△OEM 为等腰三角形， 过E 作EF ⊥OM 于F ，垂足为F ， 则OF ＝OM ＝1 ∴EF∴sin ∠EOM ＝＝；【小结】本题考查圆周角定理、勾股定理及等腰三角形的判定及其性质，解题的关键是求出OF ，EF ．27．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB =120°，则∠ACB =______度．12EF OE 4【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案． 【解析】∵∠AOB =120°， ∴∠ACB =120°×=60°， 【小结】此题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．28．如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为，点从出发沿方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，经过______秒后，为等腰三角形．【分析】作OD ⊥AC 于D ，利用勾股定理计算出AD =3，则AC =2AD =6，然后分类讨论：当CP =CA 或P A =PC 或AP =AC 时，求出时间即可． 【解析】作OD ⊥AC 于D ，如图， ∵OD ⊥AC ， ∴AD ＝CD ，在Rt △ADO 中，∵OA ＝5，OD ＝4， ∴AD， ∴AC ＝2AD ＝6，当CP ＝CA 时，作CE ⊥AB 于E ，连接BC ，12AB 10AB =O AC 4P B BA A 1CP APC ∆3=∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC，∴CE•AB＝AC•BC，∴CE＝，在Rt△ACE中，AE，∵AE＝PE，∴BP＝AB﹣2AE＝，∴运动时间为s；当P A＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时运动时间为5s；当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时运动时间为4s，综上所述，运动时间为s或4s或5s．【小结】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定，解题关键是根据等腰三角形底的不同，进行分类讨论，熟练运用勾股定理求出线段长.29．如图，是的直径，点是上半圆的中点，，点是下半圆上一点（不与点，重合），平分交于点，则的最大值为______．8=12126824105⨯=185=145145145AB O C1AC=PA B AD PAB∠PC D PD【分析】由同弧所得的圆周角相等得到，直径所得的圆周角是90°得到，继而证明，再根据角平分线的性质解得，结合三角形外角的性质可证，接着由线段的和差解得，由此可知当为直径时值最大，然后证明为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解题． 【解析】点是上半圆的中点，是的直径，平分要使最大，即使得最大， 当为直径时值最大APC ABC ∠=∠90ACB ∠=︒45APC ABC BAD DAP ∠=∠CAD ADC ∠=∠1PD CP CD CP =-=-CP PD ACB △C AC BC ∴=APCABC 1AC BC ∴==AB O 90ACB ∴∠=︒45CAB CBA ∴∠=∠=︒45APC ABC AD PAB ∠12BAD DAP BAP ∴∠=∠=∠45,45ADC APC DAP DAP CAD CAB BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠∠=∠+∠=︒+∠CAD ADC ∴∠=∠1AC AD ∴==1PD CP CD CP ∴=-=-PD CP CP在中，为等腰直角三角形【小结】本题考查同弧所得的圆周角相等、直径所得的圆周角是90°、角平分线的性质、三角形外角的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．30．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AD 是∠BAC 的角平分线，若∠BOC ＝120°，则∠CAD 的度数为______．【分析】先根据圆周角定理得到∠BAC =∠BOC =60°，然后利用角平分线的定义确定∠CAD 的度数．【解析】∵∠BAC=∠BOC=×120°＝60°， 而AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠CAD=∠BAC ＝30°．【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．31．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC ＝120°，则∠AOC 的度数为_____．Rt ACB 45,CAB AC BC ∠=︒=ACB ∴AB ∴==CP ∴PD ∴112121212【分析】先依据内接四边形的性质求得∠B 的度数，然后再依据圆周角定理求得∠AOC 的度数即可．【解析】∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠B +∠ADC =180°， ∴∠B =180°120°=60°， ∴∠AOC =2∠B =120°． 故答案为：120°．【小结】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得∠B 的度数是解题的关键．32．如图，ABC 的内切圆与三边分别相切于点D 、E 、F ，若∠B ＝50°，则∠EDF ＝_____度．【分析】设△ABC 的内切圆圆心为O ，连接OE ，OF ，根据△ABC 的内切圆与三边分别相切于点D 、E 、F ，可得OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，再根据四边形内角和可得∠EOF 的度数，再根据圆周角定理即可得结论．【解析】如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ，连接OE ，OF ，-∵△ABC 的内切圆与三边分别相切于点D 、E 、F ， ∴OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠OEB ＝∠OFB ＝90°， ∵∠B ＝50°，∴∠EOF ＝180°﹣50°＝130°，∴∠EDF ＝∠EOF ＝65°． 【小结】本题考查切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和，掌握切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和是解题关键．33．如图，、是的两条弦，连接、．若，则的度数为______度．【分析】利用同圆中，同弧上的圆周角相等求解即可． 【解析】∵，12AB CD O AD BC 60BAD ∠=︒BCD∠BAD ∠=BCD ∠60BAD ∠=︒∴，【小结】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．34．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，四边形OBCD 是平行四边形，则∠A 的大小为________．【分析】连接OC ，根据平行四边形的性质得到BC =OD ，得到△OBC 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC =60°，根据圆周角定理解答即可. 【解析】连接OC ，∵四边形OBCD 是平行四边形 ∴BC =OD ， ∴BC =OB =OC ，∴△OBC 为等边三角形，∠BOC =60°， 由圆周角定理得，∠A =∠BOC =30°， 【小结】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键.35．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =16，点O 为斜边AB 的中点，以O 为圆心，5为半径的圆与BC 相交于E 、F 两点，连结OE 、OC ．60BCD ∠=︒12（1）求EF 的长； （2）求∠COE 的正弦值． 【分析】（1）过点O 作OG ⊥EF 于点G ，根据垂径定理得到EG =FG ，利用三角形中位线得到OG =4，然后根据勾股定理计算EG ，从而得到EF 的长；（2）利用CE =OE =5得到∠COE =∠OCE ，再利用勾股定理计算OC =，然后利用正弦的定义求出sin ∠OCE ，从而得到∠COE 的正弦值； 【解析】（1）过点O 作OG ⊥EF于点G ，∴EG =FG ，OG ∥AC ， 又O 为AB 的中点，∴G 为BC 的中点，即OG 为△ABC 的中位线， ∴OG =AC =4， 在Rt △OEG 中，由勾股定理得，EG =3，∴EF =2EG =6；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB ，又O 为AB 的中点，12=∴CO =BO，又OG ⊥BC ，∴CG =BG =BC=8， ∴CE =CG -EG =8-3=5， ∴CE =EO ， ∴∠COE =∠OCE ， ∴sin ∠OCE =． ∴∠COE ． 【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理和解直角三角形；36．如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO =90°，再利用垂径定理证明即可． （2）根据S 阴=S 扇形OAD -S △ADO 计算即可． 【解析】 证明：（1）是的直径，， ，12OG OC ==AB O C D O //OC BD AD E BC AE DE =8AB =30CBD ∠=︒AB O 90ADB ∴∠=︒//OC BD，即，；（2）连接，，，， ，， ，，在直角三角形AOE 中，AO =4，∠BAD =30°， ∴OE =2，，∴【小结】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．37．如图1，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．90AEO ADB∴∠=∠=︒OC AD ⊥AE DE ∴=CD OD //OC BD 30OCB CBD ∴∠=∠=︒OC OB =30OCBOBC60AOC OCB OBC ∴∠=∠+∠=︒260COD CBD ∠=∠=︒120AOD ∴∠=︒AE =AD =21204116236023ADOOAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯=-阴扇形ABC ACB 90∠=︒D AB CD O BC E AE CD G O F DF BAC EFD ∠=∠（1）求证：与相切；（2）如图2，若， ①若，求线段的长； ②求的值． 【分析】（1）由余角的定义得到，由三角形外角性质得到，结合已知条件可证得，再由同弧所对的圆周角相对可得，由此证明即可解题；（2）①连接，由直径所得的圆周角是90°可证，继而证明，由相似三角形对应边成比例解得，据此解题即可； ②过点作，继而证明，根据相似三角形的性质可得，整理得，再证明，得到，在中，根据勾股定理解得，继而得到，由已知条件设，，整理得到，根据公式法解关于字母m 的一元二次方程，得到，最后根据等角的正切值相等解题即可． 【解析】 （1）AB O AF:FG 3:2=6AF =CG tan CAE ∠1290∠+∠=︒3+4EFD ∠=∠∠2=4∠∠1=FDC ∠∠490FDC ∠+∠=︒CF 90FCD CDF ∠+∠=︒FGC CGA FG CGCG GA=F FN CD ⊥FCNDFN FN CNDN FN =2FN DN CN =⋅FGC CGA 2252CG FG =Rt FNG 222FN FG GN =-DN CN ⋅=22FG GN -2,3GN x ND x ==CG m =22231005m xm x --=10,12,6CG x CN x FN DN CN x ===⋅=,EFD ECD BAC EFD ∠=∠∠=∠BAC ECD ∴∠=∠90ACB ∠=︒与相切；（2）①连接为直径②过点作，90CEA CAE ∴∠+∠=︒90ECD ACD BAC ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒90ADC ∴∠=︒CD AB ∴⊥AB ∴O :3:2,6AF FG AF ==4FG ∴=10AG ∴=CF CD 90CFD ∴∠=︒90FCD CDF ∴∠+∠=︒90,CEA CAE CEA CDF ∠+∠=︒∠=∠CAE FCD ∴∠=∠FGC FGC ∠=∠FGCCGA ∴FG GCCG AG∴=241040CG FG GA ∴=⋅=⨯=GC ∴=F FN CD ⊥与相切，设，在中，AB O AB CD ∴⊥//FN AB ∴32AF DN FG GN ∴==2,3(0)GN x ND x x ==>90CNF FND ∠=∠=︒+=90FCN CFN CFN NFD ∠∠=∠+∠︒FCN NFD ∴∠=∠FCNDFN ∴FN CNDN FN∴=2FN DN CN ∴=⋅CAE FCD ∠=∠FGC FGC ∠=∠FGCCGA ∴FG GCCG AG∴=:3:2AF FG =2252CG FG ∴=Rt FNG 222FN FG GN =-DN CN ∴⋅=22FG GN -即 设即（舍去）． 【小结】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．38．有一些代数问题，我们也可以通过几何的方法进行求解，例如下面的问题：2223()45x CG GN CG x ∴⋅+=-2223(2)45x CG x CG x ⋅+=-CG m =22223645xm x m x ∴+=-22231005m xm x --=22,3,105a b x c x ==-=-222224(3)4(10)255b ac xx x ∴∆=-=--⨯⨯-=1351045x xm x+∴===23554225b x x m xa --===-10,12,6CG x CN x FN DN CN x ∴===⋅=61tan 122FN x FCN CN x ∠===CAE FCN ∠=∠2ta 1ta n n FCN CAE ∴∠==∠已知：a b0，求证：经过思考，小宇给出了几何方法的证明，如图：①在直线1上依次取AB＝a，BC＝b；②以AC为直径作半圆，圆心为O；③过点B作直线l的垂线，与半圆交于点D；④连接OD．请回答：（1）连接AD，CD，由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是_____；（2）OD为半圆的半径，故OD＝AC＝；又在（1）的基础上由∠ABD＝90°，进而可证△ABD∽△DBC，得＝，于是BD＝_____（用a，b的代数式表示）；（3）由BD⊥AC，可知BD OD，其依据是_____，由此即证明了这个不等式．【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角解答即可；（2）证明△即可；（3）根据直线外一点到直线的距离中，垂线段最短解答即可．【解析】（1）由图可知，∠ADC是直径所对的圆周角，所以，应该为直角，故答案为：直径所对圆周角是直角；（2）∵∠，即∠，又∵∠∴∠>>2a b+>122a b+ABBDBDBC<ABD DBC∆∽90ADC︒=90ADB BDC︒+∠=90DBC︒=90DCB BDC︒+∠=∴∠ ∵∠ ∴△ ∴，即 ∴．（3）因为直线外一点到直线的距离中，垂线段最短， 所以，，即证． 故答案为：直线外一点到直线的距离中，垂线段最短．【小结】此题主要考查了直径所对的圆周角是直角，以及相似三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想．39．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接AC ，BC ，D 是AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线，与线段BC 交于点E ，点F 在线段DE 的延长线上，且满足FC ＝FE ． （1）求直线CF 与⊙O 的公共点个数；（2）当点E 恰为BC 中点时，若⊙O 的半径为5，tanA ＝，求线段CF 的长．【分析】（1）连接 证明 再证明可得 从而可得结论；（2）如图，过作于 证明 再求解ADB DCB =∠90ABD DBC ︒=∠=ABD DBC ∆∽AB BDBD BC=2BD AB BC =⋅BD =BD OD <1()2a b <+43,OC ,,FC FE OC OB ==,,FCE FEC OCB OBC ∠=∠∠=∠90,DEB DBE FEC DBE ∠+∠=︒=∠+∠90,FCE OCB ∠+∠=︒F FQ BC ⊥,Q 90,ACB ∠=︒,A DEB ∠=∠证明 利用 求解 从而可得答案．【解析】 （1）连接为半径， 是的切线， 与有一个公共点．（2）如图，过作于为的直径，8,6,BC AC ==4,BE CE ==1612,,55DB DE ==2,CQ EQ ==4tan tan ,3FEQ DEB ∠=∠=8,3QF=10,3EF ==,OC ,,FC FE OC OB ==,,FCE FEC OCB OBC ∴∠=∠∠=∠,,FD AB FEC DEB ⊥∠=∠90,DEB DBE FEC DBE ∴∠+∠=︒=∠+∠90,FCE OCB ∴∠+∠=︒,OC CF ∴⊥OC CF ∴O CF ∴O F FQ BC ⊥,Q AB O的半径为 设 则为的中点，由 设 则而90,ACB ∴∠=︒90,B A ∴∠+∠=︒,FD AB ⊥90,B DEB ∴∠+∠=︒,A DEB ∴∠=∠O 5,4tan tan ,3A DEB ==∠410,,3BC AB AC ∴==4,BC n =3,AC n =510,AB n ∴===2,n ∴=8,6,BC AC ∴==E BC 4,BE CE ∴==4tan =,3DB DEB DE ∠=4,DB m =3,DE m=5=4,BE m ∴==41612,,,555m DB DE ∴===,,FE FC FQ CE =⊥2,CQ EQ ∴==4tan tan ,3FEQ DEB ∠=∠=43QF QE ∴=，8,3QF ∴=【小结】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，圆的切线的判定，圆周角定理的应用，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．40．在△ABC 中，AB <AC ，点D 在AC 边上，AD =AB ，点E 在BC 边上，连接ED ，满足∠DEC =∠BAC ，连接AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ． （1）如图1，已知∠BAC =90°，∠C =30°，且AFDC 的长；（2）如图2，已知∠B+∠C =∠BAC ，求证：BE +ED ； （3）如图3，在（1）问的条件下，△ABC 内有点P ，连接AP 、BP ，满足∠APB =120°，过点P 作PM ⊥AC 交于点M ，过点P 作PN ⊥BC 交于点N ，连接MN ，直接写出MN 的最小值．【分析】（1）由 求解 而解方程可求可得 由从而可得答案； 10,3EF ∴==10.3CF ∴=12,30,AF AF BC C =⊥∠=︒6,AC CF ==tan tan 30ABC AC∠==︒，,AB ,AD DC AC AD =-（2）先求解 延长至 使 可得再证明 证明 可得 再求解 可得 由等腰三角形的性质可得 从而得答案；（3） 如图，取的中点 连接 证明在以为圆心，为直径的圆上，可得 证明为等边三角形，可得最短，即最短，作的外接圆连接 过作于 则求解 证明 求解 当为于的交点时，最短，此时： 从而可得答案． 【解析】 （1）而=120,BAC DEC ∠=∠︒FB ,M ,BM DE =,BE DE BE BM ME +=+=,ABM ADE ∠=∠,ABM ADE ≌,AM AE =,MAB EAD ∠=∠30,M AEM ∠=∠=︒,MF=2,ME MF ==PC ,T ,,TM TN ,,,P N C M T CP 260,MTN ACB ∠=∠=︒MTN MN CP ABP △,O ,,,OA OB OC O OQ AB ⊥,Q 2,AQ BQ ==()118012030,2OAB OBA ∠=∠=︒-︒=︒BO =90,OBC ∠=︒OC ==P OC OCP 333CP CO PO =-=-=2,30,AFAF BC C =⊥∠=︒26,AC AF CF ∴====90BAC ∠=︒，tan tan30ABC AC∠==︒，,3=4,3AB ∴==,AB AD =4,AD ∴=（2）延长至 使4.DC ∴=1,2ABC C BAC ∠+∠=∠1180,2BAC BAC ∴︒-∠=∠120,60,BAC ABC C ∴∠=︒∠+∠=︒,BAC DEC ∠=∠120,DEC ∴∠=︒FB ,M ,BM DE=∴,BE DE BE BM ME +=+=()180********,ABM ABC C C ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠120,ADE DEC C C ∠=∠+∠=︒+∠,ABM ADE ∴∠=∠,AB AD =(),ABM ADE SAS ∴≌,AM AE ∴=,MAB EAD ∠=∠120MAB BAE BAE EAD BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，()118012030,2M AEM ∴∠=∠=︒-︒=︒tan tan 30,AF M MF ∴∠=︒=,MF ∴=,,AF BC AM AE ⊥=（3）由（1）得：如图，取的中点 连接在以为圆心，为直径的圆上，为等边三角形，当最短，即最短，作的外接圆 连接 过作于 则经检验：2,ME MF∴==.BE DE ∴+=4,AC AB ==90,30,BAC ACB ∠=︒∠=︒28,60,BC AB ABC ∴==∠=︒PC ,T ,,TM TN ,,PM AC PN BC ⊥⊥TM TP TC TN ∴===,,,P N C M ∴T CP 260,MTN ACB ∴∠=∠=︒MTN ∴,MT NT MN ∴==∴MN CP ABP △,O ,,,OA OB OC O OQ AB ⊥,Q 2,AQ BQ ==120,APB ∠=︒3602120,AOB APB ∴∠=︒-∠=︒,OA OB =()118012030,2OAB OBA ∴∠=∠=︒-︒=︒2cos cos30,BQ OBA BO BO∴∠=︒==BO ∴=BO =90,OBC OBQ ABC ∠=∠+∠=︒OC ∴===当为于的交点时，最短，此时： 的最小值为： 【小结】本题考查的是三角形全等的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，圆的基本性质，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．P OC OCP CP CO PO =-==MN∴12CP =。
专题24.4 圆周角定理【十大题型】(人教版)(原卷版)
专题24.4 圆周角定理【十大题型】【人教版】【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 (2)【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 (3)【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 (4)【题型4 翻折中的圆周角的运用】 (5)【题型5 利用圆周角求最值】 (6)【题型6 圆周角中的证明】 (7)【题型7 圆周角中的多结论问题】 (9)【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 (10)【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 (11)【题型10 利用圆周角求取值范围】 (12)∠AB是O的直径是AB所对的圆周角90︒∠AB所对的圆周角=︒90是O的直径【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）A．12°B．22°C．24°D．44°【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（）A．100°B．70°C．55°D．65°【变式1-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（）A．2√5B．2√7C．2√153D．2√213【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42°B．45°C．48°D．52°【变式2-1】（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（）A．70°B．65°C．50°D．45°【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CÊ=CD̂，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙O中，AB̂=BĈ，直径CD⊥AB于点N，P是AĈ上一点，则∠BPD的度数是．【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】【例3】（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4B．5C．√3D．2√3【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（）A．32°B．27°C．24°D．18°【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙O的直径AB为8，D为AĈ上的一点，DE⊥AC于点E，若CE＝3AE，∠BAC＝30°，则DE的长是（）A．85B．√13−2C．√3D．32【变式3-3】（2022秋•如皋市校级期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．【题型4 翻折中的圆周角的运用】̂沿BC翻折交AB于【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BĈ沿AB翻折交BC于点E．若BÊ=DÊ，则∠BCD的度数是（）点D，再将BDA．22.5°B．30°C．45°D．60°【变式4-1】（2022秋•萧山区期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC 翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．70°【变式4-2】（2022秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【变式4-3】（2022秋•丹江口市期中）已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（）A．4√5B．2√5或4√5C．2√5D．2√5或4√3【题型5 利用圆周角求最值】【例5】（2022•瑶海区三模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．̂的【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1B．√2C．√3D．2，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=32连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．【题型6 圆周角中的证明】̂上运动，连接【例6】（2022秋•定陶区期末）如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧ACEC，BE，交AC于点F．（1）求∠E的度数；（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．【变式6-1】（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求证：∠D＝30°；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．【变式6-2】（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2√10，求BC的长．【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中点，则从M 向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN＝AB，连接MA，MB，MC，MN．小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC．任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程．（2）就图3证明：MC2﹣MB2＝BC•AB．【题型7 圆周角中的多结论问题】【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC ̂=CD ̂=DB ̂，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝30°；②∠DOB ＝2∠CED ；③DM ⊥CE ；④CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式7-1】（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB ＝CD ，下列结论：①∠AOC ＝∠BOD ；②∠BOD ＝2∠BAD ；③AC ＝BD ；④∠CAB ＝∠BDC ；⑤∠CAO +∠CDO ＝180°．其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式7-2】（2022秋•厦门期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 边于点D ．要使得⊙O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC ＞60°；②45°＜∠ABC ＜60°；③BD ＞12AB ；④12AB ＜DE ＜√22AB ． 【变式7-3】（2022秋•东台市月考）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 与BC ，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是．（填序号）【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例8】（2022春•杏花岭区校级月考）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y 轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（）A．（0，7）B．（0，2√10）C．（0，6）D．（0，3√5）【变式8-1】（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC ＝°．【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．【变式8-3】（2022春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE ＝30°，则EP的长为．【题型9 圆周角与量角器的综合运用】【例9】（2022•南召县模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（）A．100°B．110°C．115°D．130°【变式9-1】（2022秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A＝．【变式9-2】（2022秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为．【变式9-3】（2022秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是°．【题型10 利用圆周角求取值范围】【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，点P不与O，D重合，连接P A．设∠P AB＝β，则β的取值范围是．̂上，∠ACB＝30°，【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在ACAC＝2．点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m．连接BD，点A关于BD的̂围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的取对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦AB，BC值范围是．【变式10-2】（2022秋•台州期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧ACB上的一个动点（不与A，B不重合），（1）设∠ACB的平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由（2）如图②，设AB＝8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围．【变式10-3】（2022秋•高新区校级期末）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．若⊙O的半径是1，√2≤AB≤√3，则∠APB的取值范围为．。
圆周角定理 专题练习
圆周角定理专题练习1.在圆周角定理中，已知∠CBO=45°，∠CAO=15°，求∠AOB的度数。
答案：B.60°。
2.在平面直角坐标系中，已知⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，），C（，6），求⊙A的半径。
答案：C.5.3.在圆周角定理中，已知点A,B,C在⊙O上，且∠A=50°，求∠BOC的度数。
答案：A.130°。
4.已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，求∠BCD的度数。
答案：A.116°。
5.已知圆心角∠BOC=78°，求圆周角∠BAC的度数。
答案：A.156°。
6.在圆周角定理中，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，求∠XXX的度数。
答案：D.20°。
7.在圆周角定理中，已知AB是半圆的直径，点D是AC 的中点，∠ABC=50°，求∠DAB的度数。
答案：XXX°。
8.在圆周角定理中，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，求∠XXX的度数。
答案：D.40°。
9.已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，求⊙O的半径。
答案：B.5.10.在圆周角定理中，已知DC是⊙O直径，XXX⊥CD于F，连接BC，DB，判断下列结论错误的是：答案：B.AF=XXX。
11.在圆周角定理中，已知点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，求AE的长。
答案：B.5.12.在圆周角定理中，已知点A、B、C在⊙O上，且∠C=30°，求∠AOB的度数。
答案：XXX°。
13.在圆周角定理中，已知⊙O中∠BAC=∠CDA=20°，求∠ABO的度数。
答案：B.70°。
专题11 圆周角压轴题七种模型全攻略(解析版)
专题11圆周角压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一圆周角的概念辨析】 (1)【考点二圆周角定理】 (2)【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】 (5)【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】 (7)【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】 (10)【考点六已知圆内接四边形求角度】 (12)【考点七求四边形外接圆的直径】 (15)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一圆周角的概念辨析】例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角的定义判断即可．【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．故选C．【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．【变式训练】∠是圆周角的是（）1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，BACA．B．C．D．【答案】B【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．∠是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．【详解】解：根据圆周角定义：可得BAC故选B．【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．2．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可．【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．【考点二圆周角定理】【答案】52︒【分析】由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：26ABC ∠=︒ ，252AOC ABC ∴∠=∠=︒，故答案为：52︒．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．【变式训练】【答案】20【分析】连接OD ，由圆周角定理可得25ODC OCD ∠=∠=︒，再由【详解】解：连接OD ，如图，，【答案】1【分析】连接OB 角三角形中30︒角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解：如图，连接∵60ACB ∠=︒，∴2AOB ACB ∠=∠∵OD AB ⊥，∴ AD BD=，∠【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】【变式训练】【答案】40︒/40度【分析】连接CD，根据圆周角定理的推论得出【详解】解：连接CD的直径，∵AD为O【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．2．（2023春·江西上饶的延长线与CB的延长线交于点【答案】43︒/43度【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠=∠=︒，再根据等边对等角得出BAC BAD23.5∵47BOC ∠=︒，∴123.52BAC BOC ∠=∠=︒，∵ BCBD =，∴23.5BAC BAD ∠=∠=︒，【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】【答案】61︒/61度【分析】如图，连接BC【详解】解：如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴9061ABC CAB ∠=︒-∠=︒，∴61D ABC ∠=∠=︒，故答案为：61︒．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．【变式训练】(1)求BAD ∠的度数．(2)若2AD =，求DB 【答案】(1)60︒(2)23(1)求证：点D为弧AC的中点；AC=，求(2)若4DF=，16【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据圆周角定理可得∴()22=64OA OD DF+-，∴()22=644OA OA +-，∴10OA =，∴O 的直径为20．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】【答案】132-/213-+【分析】由90APB ∠= ，可知勾股定理求OC 的长，根据P C '【详解】解：∵90APB ∠= ，∴P 在以AB 为直径的O 上运动，如图，∴当O P C 、、三点共线时，∵222313OC =+=，∴132P C '=-，【变式训练】【答案】733-/3-+【分析】根据BE CD ⊥交O 于点F ，连接OE F 重合时，AE 取得最小值，进行求解即可．【详解】解：∵BE CD ⊥∴当且仅当,,O A E 三点共线时，∵90ABC ∠=︒，AB ∴3OF BO ==，AO ∴AE 的最小值为：【答案】2102-/2210-+【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以取最小值，根据勾股定理进行计算即可．=-=∴CG最小值为：CG CH r故答案为：2102-．【考点六已知圆内接四边形求角度】【答案】70【分析】根据圆周角定理得到【详解】解：∵140AOC ∠=∴7201B AOC ∠∠=︒=，ABCD O 【变式训练】【答案】140︒【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出补求出，BCD ∠的度数．【详解】解∶12A ∠=∠【答案】34︒【分析】利用等腰三角形的性质可得然后根据圆内接四边形对角互补求出求出DAB ∠的度数．【详解】解：AC CD = 28CAD CDA ∴∠=∠=︒，180ACD CAD ∴∠=︒-∠-∠【考点七求四边形外接圆的直径】A．3【答案】D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠性质得出OD=OA=AD=∵四边形ABCD是⊙O∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，【变式训练】A．2πA ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D ＝∠CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE ＝60°，可得∠A ＝60°，点C 为 BD的中点，可得出∠BDC ＝∠CBD ＝30°，进而得出∠ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CBE ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠A∵:2:1ABC ADC ∠∠=∴:2:1ABC CBE ∠∠=∴∠CBE ＝∠ADC=60°，∠CBA ＝120°∵60E ∠=o∴△CBE 为等边三角形∴∠BCE ＝∠A=60°，∵点C 为 BD的中点，∴∠CDB ＝∠DBC=30°∴∠ABD =90°，∠ADB =30°∴AD 为直径∵AB =2∴AD =2AB =4∴O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，APB ∠是圆周角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断．【详解】解：A 、B 顶点没在圆上，C 虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D 符合圆周角的概念，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念．2．（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，已知AB 为O 的直径，点P 、点C 在圆上，且位于AB 异侧．若40POA ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．90︒B ．80︒C ．70︒D ．60︒【答案】C 【分析】根据邻补角得出140POB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵40POA ∠=︒，∴140POB ∠=︒，∵ PBPB =，∴2701P C OB ∠∠==︒，A．160︒【答案】A【分析】根据圆内接四边形的性质证得∠【详解】解：∵DCE∠=∠A DCEA．43【答案】B【分析】如图：连接【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．5．（2023秋·山西吕梁示的位置放置，其中锐角顶点A．2B．【答案】B【分析】连接OD，根据圆周角定理得出二、填空题【答案】90︒/90度【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵ BC∴2BOC A ∠=∠=∵30C ∠=︒，∴根据圆周角定理可知∵OB OA =，∴AOB 是等边三角形，【答案】26【分析】连接AC 理求出AD ，继而求出结果．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋·湖北十堰一点，EC 交O 于点【答案】20︒【分析】连接AD ,则ADB ∠【详解】如图所示：连接AD ,∵AB 是O 的直径,∴90ADB ∠=︒,【答案】1266+【分析】连接AD ，交OE 周角定理得出90ADB ∠=O B 、两点是线段AC 的三等分点，OB CB ∴=，点D 恰为线段CE 中点，BD ∴为OCE △的中位线，三、解答题11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在ABC 中，AB AC =．O 是ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：AE BC=；(2)若AE23=，求 【答案】(1)见解析∵AB ，CD 为O 的直径，∴90AEB ABD ∠=∠=∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∴DOB EOB ∠=∠∵AE 垂直于直径CD【答案】（1）110︒，35︒；（2）43【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠ADC ∠；②根据 AD DC =得到AD DC =（2）连接OA ，根据弦AB 垂直平分半径【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2023·江苏泰州知识回顾(1)如图①，O 中，B 、C 位于直线AO 异侧，AOB ∠+∠①求C ∠的度数；②若O 的半径为5，8AC =，求BC 的长；逆向思考AC=45，8∠=︒C∴ 是等腰直角三角形，且ACM∠=∠=AOB C290∴ 是等腰直角三角形，AOB∴==AB OA252在直角三角形ABM∴=+=BC CM BM（2）证明：延长AP，∠=∠APB C2∴∠=∠，2APB N，APB N PBN∠=∠+∠∴∠=∠，N PBN∴=，PN PB，PA PB=∴==，PA PB PN∴为该圆的圆心．P（3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，∠=︒，APB90∴∠=︒，45C∴△是等腰直角三角形，BCE∴=，BE BC=，，PA PFBP AF⊥∴=，BA BF是直径，AF∴∠=︒，90ABF∴∠=∠=︒，EBC ABF90∴∠=∠，EBA CBF△△，∴≌(SAS)EBA CBF【答案】（1）120，332；（2）2AM AB AC =+，理由见解析；【分析】（1）由AB 是O 的直径，得到90BAD ∠=︒，求出接四边形对角互补求出BDC ∠，根据直角三角形30度角的性质求出点（2）如图，连接DB DC 、，过点D 作DN AC ⊥，垂足为N ．由角平分线性质定理得到22故答案为：120，332；（2）如图，连接DB 、∵AD 平分BAC ∠．∴BAD CAD ∠=∠，∴DM DN AM ==，∵BAD CAD ∠=∠．由（2）可知2AM ∴2155AM x =-+∵AC 平分BAD ∠。
圆周角专题训练
与点 ０重合 ． ｉ角板 ＡＢ 将 Ｃ沿 Ｏ Ｅ方 向平
Ｔｈｅｈ ｒｚ ｎｏ ｆ ｓｂ ｏ ｄｅ ｄｃ ｅ ｙｂｙｔｅ ｅ ｌｒ ｅ ｎｔ ｆｔ ｅ ｒ． ｏ ｉｏ ｆｌ ｅｉ ｒ ａ ｎｅ ｈｉｆ ｈ ｎａ ｇ ｍｅ ｈ ａ ｔ ｉ ｌ ｏ ｈｅ
４ 如 图 ，在 ＧＯ 中 ， ．
Ａ． ０≤ ≤ ６ ３ ０ Ｃ． ０≤ ≤ １ Ｏ ３ ２
） 度．
点 Ｄ， 接 Ｄ 则 ／ＤＣ ＝ 连 Ｃ， ＿ Ｂ
Ｂ． ０≤ ≤ ９ ３ ０ Ｄ． ０≤ ≤ １ ０ ６ ２
３如图， Ｂ ． △Ａ Ｃ内接 于 ｏ０， Ｐ是Ａ 上任 意 点 Ｃ
Ｃ
一
点 （ 与 点 ４， 不 Ｃ重 合 ） Ａ Ｃ ５ 。 则 ， Ｂ ＝５ ， ／Ｐ Ｃ的取 值范 围是 ＿ Ｏ
Ｉ ２－如 图 ， 知 点 已
Ｅ 是 ｏ（ 上 的 点 ， ， ） Ｃ分 别 是
劣 弧 Ｄ 的 三 等 分 点 ． Ｂ Ｃ－ ６ 则 Ｏ － 。， ４ ／Ａ Ｄ的度数 为 ＿ Ｅ ３如图， ． ＡＢ是 ｏＤ 的 直 径 ， Ｃ Ｂ－ ０ ， Ｏ － 。 则 ７
Ａ＝ ．
1
．
I
面
c D
OF
：
g
＆嘴
熏
（ ｌ题 ） 第
（ ２题 ） 第
２ 如 ， ． 已知 Ｅ Ｆ是 ｏ 的直 径 ， 把 ４ 为 ６ 。 ０
的 直 角 ： 角 板 ＡＢ 的 一 条 直 角 边 Ｂ ＝ 三 Ｃ Ｃ放 在
直 线
上， 斜边 ，口与 ｏ（交 于点 Ｊ 点 ４ ） ｐ ．
（ ３题 ） 第 （ ４题 ） 第
） ．
Ｂ． ０ ６。 Ｄ． ０。 ３
Ｂ ＝（ ＡＣ
《圆周角的定义及定理》
02 圆周角定理
圆周角定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：圆周角定理是几何学中的基本定理之一，它表述了圆周角与其所夹弧 所对的中心角之间的关系。具体来说，对于同圆或等圆中的任意一个圆周角，其 所夹的弧所对的中心角等于这个圆周角。
圆周角定理的证明
总结词：逻辑严密
详细描述：圆周角定理的证明过程涉及到了角的相等性质和圆的性质。首先，通过角的相等性质，将 圆周角所夹的弧所对的中心角平分，得到两个相等的角。然后，利用圆的性质，证明这两个相等的角 与圆周角相等。
多少倍？
题目2
如果一个圆周角等于45度， 它所对的弦等于半径的多少倍
？
题目3
在圆中，如果一个圆周角等于 90度，它所对的弦与半径的
比值是多少？
综合练习题
总结词
考察圆周角定理与其他知识的综合运用
题目1
在圆中，如果一个圆周角等于60度，它所 对的弦与半径的比值为多少？同时求出这 个弦所对的弧的度数。
题目2
在圆或圆弧上选择一个点，作为 角的顶点。
通过该点和圆心画出射线，作为 角的边。
圆周角的分类
根据圆心与角的边的位置关系， 可以将圆周角分为三种类型： 优弧圆周角、劣弧圆周角和直 角圆周角。
根据角的度数，可以将圆周角 分为锐角、直角、钝角和优角 等类型。
根据角的数量，可以将圆周角 分为单角和复角等类型。
03 圆周角定理的推论
推论一：直径所对的圆周角是直角
总结词
直径所对的圆周角是直角，这是 圆周角定理的一个直接推论。
详细描述
根据圆周角的定义，我们知道直 径将圆分成两个相等的部分，因 此直径所对的圆周角必然是直角 。
推论二
总结词
在同一个圆或相等的圆中，如果两个 圆周角的大小相等，那么这两个圆周 角所对的弧也相等。
中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案
圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 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专题 圆周角压轴题五种模型全攻略(学生版)
专题06圆周角压轴题五种模型全攻略考点一圆周角概念辨析考点二同弧或等弧所对的圆周角相等考点三直径所对的圆周角是直角，考点四90°的圆周角所对的弦是直径考点五圆内接四边形对角互补考点一圆周角概念辨析例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（）A ．B．C．D ．【变式训练】1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心2．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC 内接于圆，弦BD 交AC 于点P ，连接AD ．下列角中，AB 所对圆周角的是（）A ．∠APB B ．∠ABDC ．∠ACBD ．∠BAC3．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？典型例题考点二同弧或等弧所对的圆周角相等例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若80AOB ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．30°B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°3．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，且AC 的长是BC 长的2倍，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，则CBD ∠的度数为（）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°考点三直径所对的圆周角是直角例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB 、CD 分别是⊙O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，则下列结论错误的是（）A ．CB ⊥BD B ．∠CBA ＝31°C ．AC AED ．BD ＝DE【变式训练】1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AB 另一侧半圆的中点，若CD =BC =4，则⊙O 的半径长为（）AB ．CD ．2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，边长BCP 为弧AD 上一点且AP =1，则PC =________________．3．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在O 中，弦CD 与直径AB 相交于点E ，连接OC AD BD 、、．若,20AD ED B =∠=︒，则BOC ∠的大小为_________度．考点四90°的圆周角所对的弦是直径例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，O 的弦AB 垂直于AC ，6cm,4cm AB AC ==，则O 的半径等于（）ABC D ．4【变式训练】1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，12AD =，P 为矩形内一点，90APB ∠=︒，连接PD ，则PD 的最小值为（）A ．8B ．C ．10D2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =5，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值为__________.考点五圆内接四边形对角互补例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若130BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．100°【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC 上，则ADC ∠的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点E 为边CD 上任意一点（不与点C ，点D 重合），连接BE ，若∠A =60°，则∠BED 的度数可以是（）．A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°一、选择题1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若ACB ∠＝36°，则∠OAB ＝（）A ．18°B ．54°C ．36°D ．72°2．（2022·山西·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是O 的直径，若20B ∠=︒，则CAD ∠的度数是（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°3．（2022·浙江丽水·三模）如图，A ，B ，C ，D 四个点均在O 上，AO DC ∥，BO AD ∥，若70AOB ∠=︒，则B Ð的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒课后训练4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，,AB CD 是O 的两条直径，E 是劣弧BC 的中点，连接BC ，DE ．若22ABC ∠=︒，则CDE ∠的度数为（）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．44︒5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD 是O 的直径，弦AC 交BD 于点G ．连接OC ，若126COD ∠=︒，AB AD =，则AGB ∠的度数为（）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°二、填空题6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则∠C 的度数为___________．7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AD 所对的圆周角，则∠APD 的度数是______．8．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，90BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交O 于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，若O ，则DE 的长为_______．9．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，6BC =，120C ∠=︒，点E 是射线CD 上一点，连接BE ，点P 在BE 上，连接AP ，若BAP CBE ∠=∠，则ABP △面积的最大值为__________．10．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E 分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．三、解答题∠=∠．11．（2022·广东·中考真题）如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，ADB CDB(1)试判断ABC的形状，并给出证明；(2)若AB=，1AD=，求CD的长度．12．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，D 是弧AC 的中点，延长BC 到点E ，使CE AB =，连接BD ，ED ．(1)求证：BD ED =；(2)若60ABC ∠=︒，5AD =，⊙O 的直径长为．13．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB =AC ，BD 交AC 于点E ，延长AD ，BC 交于点F ，且CF =AC ．(1)求证∶CD =AD ；(2)若ADAB =，求FD 的长．14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）如图，AB 、CD 为O 的弦，AB 与CD 相交于点E ，AD BC =．(1)如图1，求证：BE DE =；(2)如图2，点F 在BC 上，连接DF 、AD ，若DF 为直径，AB CD ⊥，求证：45ADF ∠=；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF 、BF ，BF CF >，若8DE =，BCF △的面积为6，求AD 的长．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校模拟预测）如图，ABC 内接于圆O ，高AD 、CE 相交于点H ，延长AH 交圆O 于点G ．(1)如图1，求证：DG DH =；(2)如图2，连接CO ，求证：BCO HCA ∠=∠；(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO 交圆O 于点N ，连接GN 、DE ，若2NG DE ==，1CD =，求DH 的长．。
圆周角专题备战2023年中考数学考点微专题
考向4.9圆周角专题例1、（2020·江苏泰州·中考真题）如图，在O 中，点P 为AB 的中点，弦AD 、PC 互相垂直，垂足为M ，BC 分别与AD 、PD 相交于点E 、N ，连接BD 、MN ． （1）求证：N 为BE 的中点．（2）若O 的半径为8，AB 的度数为90︒，求线段MN 的长．（1）证明：∵点P 为AB 的中点∴AP PB =∴PCE PDE PDB ∠=∠=∠∵CEM DEN ∠=∠∴PCE CEM DEN PDE ∠+∠=∠+∠∴CME DNE ∠=∠∵PC AD ⊥∴90EMC DNE ∠=∠=° 在DEN 和DBN 中EDN BDN DN DNDNE DNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEN ≅DBN∴EN BN =∴点N 为BE 中点（2）解：连接CA ，AB ，OA ，OB ，如图所示：∵点P 为AB 的中点∴AP PB =ECM ACM ∠=∠在EMC △和AMC 中90EMC AMC CM CMECM ACM ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EMC △≅AMC∴EM AM =，即M 为AE 中点∵N 为BE 中点∴MN 为AEB △的中位线又∵O 的半径为8，AB 的度数为90︒∴90AOB ︒∠=，OA=OB=8∴82AB =∴1422MN AB ==本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长的计算，及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键．1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，特别注意：圆周角定理是指以同圆或等圆为前提；2、在同圆或等圆中，通过同弧或等弧对角的等量关系进行转换。
一、单选题1．（2021·浙江越城·一模）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠BOC=50°，则∠A 的度数是（ ）A ．25°B ．20°C ．80°D ．100°2．（2021·山东鄄城·一模）有一题目：“已知；点O 为ABC ∆的外心，130BOC ∠=︒，求A ∠．”嘉嘉的解答为：画ABC ∆以及它的外接圆O ，连接OB ，OC ，如图．由2130BOC A ∠=∠=︒，得65A ∠=︒．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A ∠还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）A ．淇淇说的对，且A ∠的另一个值是115°B ．淇淇说的不对，A ∠就得65°C ．嘉嘉求的结果不对，A ∠应得50°D ．两人都不对，A ∠应有3个不同值3．（2021·海南乐东·一模）如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为2cm ，若2cm BC =，则A ∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．15°D ．10°4．（2021·广东·模拟预测）如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC ＝140°，则∠D 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°5．（2021·山东济南·二模）如图．点A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上．∠BAC ＝15°，∠CED ＝30°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°6．（2021·福建·福州三牧中学二模）如图，在O 中，AB 所对的圆周角050ACB ∠=，若P 为AB 上一点，055AOP ∠=，则POB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°7．（2021·吉林省实验一模）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，120AOC ∠=︒，点B 是AC 的中点，则D ∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题 8．（2021·江苏·一模）如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.9．（2021·广东阳江·一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，四边形OBCD 是平行四边形，则∠A 的大小为________．10．（2021·黑龙江鹤岗·模拟预测）如图，在O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上，且30∠=︒，则O的半径为_____．ADC11．（2021·山东淄川·二模）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为___________.AD=，O的12．（2021·浙江杭州·一模）如图，C，D两点在以AB为直径的O上，若3半径为2，则tan ACD∠的值为________．13．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学三模）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为_____．BC=，E是矩14．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）如图，在矩形ABCD中，2AB=，3⊥，则线段CE的最小值为______．形内部的一个动点，且AE BE三、解答题=，D是AB上一点，⊙O经过点A、15．（2021·河北承德·一模）如图，在ABC中，AC BCDF BC，交⊙O于点F，求证：C、D，交BC于点E，过点D作//（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF EF=一、单选题1．（2021·广西桂林·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）A．60° B．90° C．120° D．150°2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（ ）A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若70O ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°4．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，点A ，B ，C 为⊙O 上的三点，∠AOB 13=∠BOC ，∠BAC ＝30°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．100°B ．90°C ．80°D ．60°5．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝8，若以AC 为直径的☉O 交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．125B ．135C ．245D ．56．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30 D ．45︒7．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（ ）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒8．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点（位于AB 下方），CD 交AB 于点E ，若∠BDC ＝45°，BC ＝62，CE ＝2DE ，则CE 的长为（ ）A ．26B ．42C ．35D ．439．（2021·辽宁盘锦·中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．同位角相等B ．相等的圆心角所对的弧相等C ．对角线相等的四边形是矩形D ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 10．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD 内接于⊙O ，∠D ＝70°，OA ⊥BC 交⨀O 于点A ，连接AC ，则∠OAC 的度数为（ ）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°11．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，连接AC ，BC ，O C ．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠BOC 的值是（ ）A ．1B ．2425C ．1625D ．92512．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆上，120ADC ∠=︒，点E 是AD 上任意一点，连接BE ，CE ，则BEC ∠的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．60°13．（2021·广西贵港·中考真题）如图，点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，直径AB ＝4，点C 是BD 的中点，点D 关于AB 对称的点为E ，若∠DCE ＝100°，则弦CE 的长是（ ）A ．23B ．2C ．3D ．114．（2021·广东·中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点，3,AC ABC =∠的平分线交AC 于点D ，1CD =，则⊙O 的直径为（ ）A ．3B ．23C ．1D ．215．（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （0，﹣5），若在x 轴正半轴上有一点C ，使∠ACB ＝30°，则点C 的横坐标是（ ）A ．33+42B ．12C ．6+33D ．63二、填空题 16．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以()23M ，为圆心，AB 为直径的圆与x 轴相切，与y 轴交于A ，C 两点，则点B 的坐标是____________．17．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠CAB ＝55°，则∠D 的度数是___．18．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C D 、在O 上，若58ADC ∠=︒，则BAC ∠=_________°．19．（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．20．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在O 中，3OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）21．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，⊙D 经过A ，B ，O ，C 四点，∠ACO ＝120°，AB ＝4，则圆心点D 的坐标是________22．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，四边形ABDC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD BD ⊥于点D ．若2BD =，42CD =，则线段AB 的长为_____________．23．（2021·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，2AB =，E 为边AB 上一点，F 为边BC 上一点．连接DE 和AF 交于点G ，连接BG ．若AE BF =，则BG 的最小值为__________________．24．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．1．A【详解】∵∠BOC=50°， ∴∠A=12∠BOC=25°．故选A．【点拨】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.2．A【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°−65°＝115°．故选：A．【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．3．A【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC=2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．【点拨】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．4．A【分析】根据邻补角的性质，求出∠BOC的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数即可．【详解】∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°，∵∠BOC 与∠BDC 都对BC，∴∠D＝1∠BOC＝20°，2故选A．【点拨】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．5．D【分析】首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.【详解】解：连接BE,∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,∴∠BOD＝2∠BED＝90°.故选:D.【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键. 6．B【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【详解】解：∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°，故选B．【点拨】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．7．A∠AOC，再根据圆周角定理解答．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝12【详解】连接OB，∵点B是AC的中点，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝12∠AOB＝30°，由圆周角定理得，∠D＝12故选：A．【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．8．2【详解】试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形，∵OC=2，∴OE=2.考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理9．30°【分析】连接OC，根据平行四边形的性质得到BC=OD，得到△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC=60°，根据圆周角定理解答即可.【详解】解：连接OC，∵四边形OBCD 是平行四边形，∴BC=OD ，∴BC=OB=OC ，∴△OBC 为等边三角形，∠BOC=60°，由圆周角定理得，∠A=12∠BOC=30°， 故答案为：30°.【点拨】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键.10．5cm【分析】连接BC ，由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：连接BC ，如图所示：∵30ADC ∠=︒，∴30ABC ADC ∠=∠=︒，∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵5cm AC =，∴210cm AB AC ==，∴O 的半径为5cm ；故答案为5cm ．【点拨】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．11．2【分析】连接AQ ，BQ ，根据圆周角定理可得出45QAB P ∠=∠= ，90AQB ∠= ，故AQB为等腰直角三角形，再根据锐角三角函数即可得出答案.【详解】连接AQ ，BQ，45P ∠= ，∴ 45QAB P ∠=∠= ，且90AQB ∠=，∴ AQB为等腰直角三角形2AB = ,∴2sin sin 4522QB QB QAB AB ∠==== 2QB ∴=【点拨】本题主要考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键. 12．377【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD=∠DBA ，根据AB 为⊙O 是直径，可知∠ADB=90°，然后利用勾股定理求出BD ，则tan ∠ACD=tan ∠DBA =AD BD． 【详解】解：∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ACD=∠DBA ，又∵AB 为⊙O 是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=3，AB=4， ∴BD=221697AB AD -=-=，∴tan ∠ACD=tan ∠DBA =33777AD BD ==， 故答案为：377． 【点拨】本题考查求一个角的正切及圆周角，解题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．13．42【分析】先求解 45,COE ∠=︒ 再由,AB CD ⊥ 可得,90,CE DE OEC =∠=︒ 再利用sin sin 45,4CE CE COE OC ∠===︒ 解方程，从而可得答案． 【详解】解：22.5A ∠=︒，45,COE ∴∠=︒,AB CD ⊥,90,CE DE OEC ∴=∠=︒4,OC =sin sin 45,4CE CE COE OC ∴∠===︒ 22,CE ∴=242,CD CE ∴==故答案为：4 2.【点拨】本题考查的是垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．14．101-【分析】根据AE BE ⊥，可得到点E 的运动轨迹是以AB 的中点O 为圆心，AB 长为直径的圆，连接OC 交圆O 于点E ' ，从而得到当点E 位于点E ' 位置时，线段CE 取最小值，再利用勾股定理即可求解【详解】解：∵AE BE ⊥，∴点E 的运动轨迹是以AB 的中点O 为圆心，AB 长为直径的圆，如图所示，连接OC 交圆O 于点E ' ，∴当点E 位于点E ' 位置时，线段CE 取最小值，在矩形ABCD 中，∠ABC =90°，∵2AB =，∴OA =OB =OE ' =1，∵3BC =，∴22221310OC OB BC =+=+= ，∴101CE OC OE''=-=- 故答案为：101- 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据AE BE ⊥，可得到点E 的运动轨迹是以AB 的中点O 为圆心，AB 长为直径的圆是解题的关键15．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAC B =∠∠，利用平行线证明ADF B ∠=∠，利用圆的性质证明BAC CFD ∠=∠，再证明//,BD CF 即可得到结论；（2）如图，连接AE ，利用平行线的性质及圆的基本性质AEF B ∠=∠，再利用圆内接四边形的性质证明EAF B ∠=∠，从而可得结论．【详解】证明：（1）AC BC =，BAC B ∴∠=∠，//DF BC ，ADF B ∴∠=∠，又BAC CFD ∠=∠,,ADF CFD ∴∠=∠//,BD CF ∴四边形DBCF 是平行四边形．（2）如图，连接AEADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠AEF B ∠∠∴=四边形AECF 是O 的内接四边形180ECF EAF ︒∴∠+∠=//BD CF180ECF B ︒∴∠+∠=EAF B ∴∠=∠AEF EAF ∴∠=∠AF EF ∴=【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．1．B【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，∴∠C =90°故选：B【点拨】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答此题的关键．2．B【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，C A ∠=∠，然后利用互余计算出A ∠，从而得到C ∠的度数．【详解】解：连接AD ，如图，AB为O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 90905436A ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，36C A ∴∠=∠=︒．故选B ．【点拨】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3．B【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】∵70O ∠=︒，∴C ∠=1235O ∠=︒ 故选B ．【点拨】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质．4．C【分析】根据圆周角定理得出∠COB =2∠BAC =60°，结合已知得出∠AOB 13=∠BOC=20°，从而得出∠AOC 的度数【详解】解：∵BC 对的圆心角为∠BOC ，BC 对的圆周角为∠BAC ，∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠CAB =60°， ∵∠AOB 13=∠BOC ， ∴∠AOB =20°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC=80°，故选：C【点拨】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠COB =2∠CAB 是解此题的关键．5．C【分析】根据勾股定理求得AB 的长，然后根据直径所对圆周角为90︒得到90ADC ∠=︒，然后根据三角形面积即可求解．【详解】在Rt △ACB 中，22226810AB AC BC ， ∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠=︒， ∴1122ABC S AC BC AB CD ==， ∴6824105AC BC CD AB ⨯===， 故选C ．【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断90ADC ∠=︒．6．C【分析】连接OB ，由题意易得∠BOD =60°，然后根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：连接OB ，如图所示：∵()2,0A ，()4,0D ，∴2,4OA OB OE OD ====，∴12OA OB =， ∵四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，∴30OBA ∠=︒，∴9060BOD OBA ∠=︒-∠=︒，∴1302BED BOD ∠=∠=︒； 故选C ．【点拨】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．7．B【分析】首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．【详解】解：∵30BAC ∠=︒∴∠BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，∵90AOC ∠=︒，906030AOB AOC BOC ，故选：B ．【点拨】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键． 8．D【分析】连接CO ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，连接AD ，因为CE ＝2DE ，构造△DGE ∽△COE ，求出DG ＝3，设GE ＝x ，则OE ＝2x ，DG ＝3，则AG ＝6﹣3x ，BG ＝6＋3x ，再利用△AGD ∽△ADB ，列出方程即可解决．【详解】解：连接CO ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，连接AD，∵∠BDC ＝45°，∴∠CAO ＝∠CDB ＝45°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∵BC ＝62，∴AB ＝2BC ＝12，∵OA ＝OB ，∴CO ⊥AB ，∴∠COA ＝∠DGE ＝90°，∵∠DEG ＝∠CEO ，∴△DGE ∽△COE ，∴12DE GE CE OE ==＝DG CO， ∵CE ＝2DE ，设GE ＝x ，则OE ＝2x ，DG ＝3，∴AG ＝6﹣3x ，BG ＝6＋3x ，∵∠ADB ＝∠AGD ＝90°，∠DAG ＝∠BAD ，∴△AGD ∽△ADB ，∴DG 2＝AG •BG ，∴9＝（6﹣3x ）（6＋3x ），∵x ＞0，∴x ＝3，∴OE ＝23，在Rt △OCE 中，由勾股定理得：CE＝22123643OE OC+=+=，故选：D．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出△DGE∽△COE是解题关键9．D【分析】根据平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；故选：D．【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质等知识，难度不大．10．B【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA1702BOC=∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°， ∵OA⊥BC，∴∠COA1702BOC=∠=︒，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA12=（180°﹣70°）＝55°，故选：B．【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11．B【分析】如图，过点C 作CH ⊥AB 于H ．利用勾股定理求出AB ，再利用面积法求出CH ，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥AB 于H ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝2222435AC BC +=+=，∴OC ＝12AB ＝52， ∵ABC S ＝12•AB •CH ＝12•AC •BC ， ∴CH ＝341255⨯=， ∴sin ∠BOC ＝CH OC＝122455252=， 故选：B ．【点拨】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出CH 的长，属于中考常考题型．12．B【分析】根据圆内接四边形的性质可得60ABC ∠=︒，连接AC ，得90ACB ∠=︒，进一步得出30BAC ∠=︒，从而可得结论．【详解】解：连接AC ，如图，∵A ，B ，C ，D 在以AB 为直径的半圆上，∴180ADC ABC ∠+∠=︒∵120ADC =∠︒∴180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵AB 为半圆的直径∴90ACB ∠=︒，∴30BAC ∠=︒∴30BEC BAC ∠=∠=︒故选：B ．【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．13．A【分析】连接AD 、AE 、OD 、OC 、OE ，过点O 作OH CE ⊥于点H ，根据圆内接四边形的性质得80DAE ∠=︒，根据对称以及圆周角定理可得80BOD BOE ∠=∠=︒，由点C 是BD 的中点可得40BOC COD ∠=∠=︒，120COE BOC BOE ∠=∠+∠=︒，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AD 、AE 、OD 、OC 、OE ，过点O 作OH CE ⊥于点H ，100DCE ∠=︒，18080DAE DCE ∴∠=︒-∠=︒，点D 关于AB 对称的点为E ，40BAD BAE ∴∠=∠=︒，80BOD BOE ∴∠=∠=︒，点C 是BD 的中点，40BOC COD ∴∠=∠=︒，120COE BOC BOE ∴∠=∠+∠=︒，OE OC =，OH CE ⊥，EH CH ∴=，30OEC OCE ∠=∠=︒，直径4AB =，2OE OC ∴==，3EH CH ∴==，23CE ∴=．故选：A ．【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出120COE ∠=︒是解题的关键．14．B【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE =DC =1，再说明Rt △DEB ≌Rt △DCB 得到BE =BC ，然后再利用勾股定理求得AE ，设BE =BC =x ，AB =AE +BE =x +3，最后根据勾股定理列式求出x ，进而求得AB ．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB ，垂足为E∵AB 是直径∴∠ACB =90°∵∠ABC 的角平分线BD∴DE =DC =1在Rt △DEB 和Rt △DCB 中DE =DC 、BD =BD∴Rt △DEB ≌Rt △DCB （HL ）∴BE =BC在Rt △ADE 中，AD =AC -DC =3-1=2 AE =2222213AD DE -=-=设BE =BC =x ，AB =AE +BE =x +3在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2则（x +3）2=32+x 2，解得x =3∴AB =3+3=23 故填：23．【点拨】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．15．A【分析】如图，作ABC 的外接圆,D 连接,,,DA DB DC 过D 作DH x ⊥轴于,H 作DG y ⊥轴于,G 则四边形DGOH 是矩形，再证明ABD △是等边三角形，再分别求解,OH CH 即可得到答案.【详解】 解：如图，作ABC 的外接圆,D 连接,,,DA DB DC 过D 作DH x ⊥轴于,H 作DG y ⊥轴于,G 则四边形DGOH 是矩形，()()0,1,0,5,30,A B ACB -∠=︒6,60,,AB ADB DA DB ∴=∠=︒= ABD ∴是等边三角形，223,6333,AG BG DG ∴===-=33,2,OH DG DH OG AG AO ∴====-=22226242,CH CD DH ∴=-=-=334 2.OC OH CH ∴=+=+()3342,0.C ∴+ 故选：.A【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键. 16．(4,35)-【分析】如图，连接BC ，设圆与x 轴相切于点D ，连接MD 交BC 与点E ，结合已知条件，则可得BC MD ⊥，勾股定理求解EM ，进而即可求得B 的坐标．【详解】如图，连接BC ，设圆与x 轴相切于点D ，连接MD 交BC 与点E ，则MD x ⊥轴，AB 为直径，则90ACB ∠=︒，BC MD ∴⊥，//BC x ∴轴，()23M ，，3MB MD ∴==，2CE EB ==，2222325ME MB EB ∴=-=-=，CB 4=，35DE MD ME ∴=-=-，//BC x 轴，(4,35)B ∴-．故答案为：(4,35)-．【点拨】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．17．35°【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB ＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B ＝90°﹣∠CAB ＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D ＝∠B ＝35°．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠CAB ＝55°，∴∠B ＝90°﹣∠CAB ＝35°，∴∠D ＝∠B ＝35°．故答案为：35°．【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．32【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90°然后根据三角形内角和即可求出BAC ∠的度数．【详解】∵58ADC ∠=︒，∴58ABC ADC ∠=∠=︒，又∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴905832BAC =︒-︒=︒∠．故答案为：32．【点拨】此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质． 19．32【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得ABC ADC ∠=∠，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵ABC ADC ∠=∠，∴3tan =tan =2ADC ABC ∠∠， 故答案为：32． 【点拨】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 20．9942π- 【分析】由45C ∠=︒，根据圆周角定理得出90AOB ∠=︒，根据S 阴影=S 扇形AOB －AOB S可得出结论．【详解】解：∵45C ∠=︒，∴90AOB ∠=︒，∴S 阴影=S 扇形AOB －AOB S29031=333602π⨯⨯-⨯⨯ 99=42π-， 故答案为：9942π-． 【点拨】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．21．D （3-，1）【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO ＝60°，再根据圆周角定理得到AB 为⊙D 的直径，则D 点为AB 的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB ＝2，OA ＝23，所以A （−23，0），B （0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D 点坐标．【详解】解：∵四边形ABOC 为圆的内接四边形，∴∠ABO ＋∠ACO ＝180°，∴∠ABO ＝180°−120°＝60°，∵∠AOB ＝90°，∴AB 为⊙D 的直径，∴D 点为AB 的中点，在Rt △ABO 中，∵∠ABO ＝60°，∴OB ＝12AB ＝2， ∴OA ＝3OB ＝23，∴A （−23，0），B （0，2），∴D 点坐标为（−3，1）． 故答案为（−3，1）．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 22．226【分析】设AD BC 、交于点F ，过C 作CE AD ⊥，用CEF BDF △∽△求出CF BF 、，即求出BC 的长，又因为AC BC =，90ACB ∠=︒从而求得AB ．【详解】如图，设AD BC 、交于点F ，过C 作CE AD ⊥，90ACB ∠=︒AD BD ⊥A B C D ∴、、、在以AB 为直径的圆上AC BC =，90ACB ∠=︒45ABC ∴∠=︒AC AC =45ADC ABC ∴∠=∠=︒ 42CD = 4CE ED ∴== AD BD ⊥，CE AD ⊥//BD CE ∴CEF BDF ∴△∽△2142DF BD EF CE ∴=== 13DF DF EF ∴=+ 4833DF EF ∴==， 在Rt CEF 和Rt BDF 中222284134()33CF CE EF =+=+= 22224213()233BF DF BD =+=+= BC CF BF ∴=+=41332133+=213 AC BC =，90ACB ∠=︒226AB ∴=【点拨】本题考查了圆的直径所对的圆周角为90︒，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题能找到45∠=∠=︒ADC ABC 是解题的关键．23．51-．【分析】根据SAS 证明△DEA ≌△AFB ，得∠ADE =∠BAF ，再证明∠DGA =90°，进一步可得点G 在以AD 为直径的半圆上，且O ，G ，B 三点共线时BG 取得最小值．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC -∠DAE ，AD =AB ，∵AE =BF∴△DEA ≌△AFB ，,ADE BAF ∴∠=∠∴∠DAF +∠BAF =∠DAB =90°，∴ ∠ADE +∠DAF =90°∴∠DGA =90°∴点G 在以AD 为直径的圆上移动，连接OB ，OG ，如图：∴112OA OD OG AD ==== 在Rt △AOB 中，∠OAB =90°∴OB =22125+=∵BG O OB G ≥-∴当且公当O ，G ，B 三点共线时BG 取得最小值．∴BC 的最小值为：51-．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24．52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN == 22112AO ∴=+=112ON OM AB ===,3BC =221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=-线段CD 长度的最小值为:52- ．故答案为：52-．【点拨】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．。
《圆周角》 讲义
《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
需要注意的是，圆周角的两个特征：一是顶点在圆上；二是两边都和圆相交。
例如，在圆 O 中，∠AOB 是圆心角，而∠ACB 就是圆周角。
圆周角与圆心角是不同的概念，圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上。
二、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB，那么∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
证明圆周角定理可以通过分类讨论的方法：（1）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的一边上时，如∠ACB 的一边经过圆心 O，此时很容易证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
（2）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的内部时，连接 CO 并延长交圆于点 D，通过外角定理可以证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
（3）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的外部时，连接 CO 并交圆于点 D，同样通过外角定理可以证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
三、圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角有∠ACB、∠ADB 等，它们都相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
这是因为半圆所对的圆心角是 180°，所以圆周角就是 90°。
如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦就是直径。
四、圆周角定理的应用圆周角定理在解决与圆有关的几何问题中有着广泛的应用。
例如，已知圆中的一条弦和它所对的一个圆周角，可以求出圆心角的度数，进而求出其他相关角的度数。
在计算圆中的线段长度、角度大小以及证明一些几何关系时，圆周角定理也经常被用到。
比如，在一个圆中，已知一条弦的长度和它所对的圆周角的度数，可以通过圆周角定理和三角函数求出圆的半径，从而计算出其他相关线段的长度。
专题训练：28_3 圆周角(基础篇)
28.3 圆周角（基础篇）一、单选题1．如图，在⊙O 中，⊙BOC ＝130°，点A 在BAC 上，则⊙BAC 的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．130° 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，若⊙CAB ＝65°，则⊙ADC 的度数为（）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65° 3．如图，图中共有圆周角（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 4．下列图形中的角是圆周角的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图，四边形ABCD 内接于O ，连接OB ，OD ，BD ，若110C ∠=︒，则OBD ∠=（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．306．如图，AB 是⊙O 的直径，ACD CAB ∠=∠，2AD =，4AC =，则⊙O 的半径为（A ．B ．C ．D 7．如图，在⊙O 中，AB BC =，40AOB ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒8．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是圆周上的两点，若38ABC ∠=︒，则锐角⊙BDC 的度数为（ ）A ．57°B ．52°C ．38°D ．26°9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，20ABD ∠=，则BCD ∠的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120° 10．如图，直径为10的A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧A 优弧上一点，30OBC ∠=︒，则点C 的坐标为（ ）A ．()0,10B ．()0,5C ．(D ．( 11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，⊙CAB ＝55°，则⊙D 的度数是（ ）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°12．如图，直径为10的⊙A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，30OBC ∠=︒，则点C 的坐标为（ ）A ．(0,10)B ．(0,5)C ．(D ．( 二、填空题 13．如图，⊙O 是⊙ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，⊙OBA =68°，则⊙C 的度数为_____．14．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=_______________．15．如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，连接AC ，AD ．若28BAC ∠=︒，则D ∠=______°16．如图，ABC 内接于O ，AD 是O 的直径，35ABC ∠=︒，则CAD ∠=______．17．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，边长BC P 为弧AD 上一点且AP =1，则PC =________________．18．如图，ABC 内接于O ，AB BC =，AD 是O 的直径．若60DAB ∠=︒，则DBC ∠=______°．19．如图，四边形ABCD 内接于O ，90B ∠=︒，5AD =，4CD =，则OCD S 的值为________．20．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为(2，0)，点D 在⊙A 上，且⊙ODB ＝30°，求⊙A 的半径．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．解：如图2，连接BC ．⊙⊙BOC ＝90°，⊙BC 是⊙A 的直径（依据是_____）．⊙⊙ODB ＝30°，⊙⊙OCB ＝⊙ODB ＝30°（依据是_____）． ⊙12OB BC =． ⊙OB ＝2，⊙BC ＝4．即⊙A 的半径为2．三、解答题21．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，以腰AB 为直径作半圆O ，分别交,BC AC 于点D ，E ．(1)求证：BD DC =．(2)若40BAC ∠=︒，求圆弧,,BD DE AE 所对的圆心角的度数．22．如图，⊙O 的直径CD 分别与弦AB 、AF 交于点E 、H ，连接CF 、AD 、AO ，已知CF =CH 、FB BD =．(1)求证：AB ⊙CD ；(2)若AE =4、OH =1，求AO 的长；23．如图，AB为O的直径，点C在O上．(1)尺规作图：作BAC的平分线，与O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)探究OE与AC的位置和数量关系，并证明你的结论．参考答案1．B【分析】利用圆周角直接可得答案．解：⊙BOC＝130°，点A在BAC上，1BAC BOC65,2故选B【点拨】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．2．A【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定⊙ACB=90°，然后根据⊙CAB=65°求得⊙ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．解：⊙AB是直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙CAB=65°，⊙⊙ABC=90°-⊙CAB=25°，⊙⊙ADC=⊙ABC=25°，故选：A．【点拨】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．3．C【分析】根据圆周角的定义判断即可.解：图中的圆周角有：⊙FAE，⊙AEF，⊙AFE，⊙AED，⊙FED共5个故选C【点拨】本题考查的是找圆周角，熟练掌握圆周角的定义是关键.4．A【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角．故选：A．【点拨】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，根据圆周角定理可得BOD ∠，再根据OB OD =计算即可．解：⊙四边形ABCD 内接于O ，⊙18070A BCD ∠︒-∠︒== ，由圆周角定理得，2140BOD A ∠=∠=︒ ，⊙OB OD = ⊙180202BOD OBD ODB ︒-∠∠=∠==︒ 故选：B ．【点拨】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．D【分析】连接CO 并延长CO 交⊙于点E ，连接AE ，根据OA =OC ，可得⊙ACD =⊙ACE ，从而得到AE =AD =2，然后根据勾股定理，即可求解．解：如图，连接CO 并延长CO 交⊙于点E ，连接AE ，⊙OA =OC ，⊙⊙ACE =⊙CAB ，⊙ACD CAB ∠=∠，⊙⊙ACD =⊙ACE ，⊙AD AE =，⊙AE =AD =2，⊙CE 是直径，⊙⊙CAE =90°，⊙CE⊙⊙O故选：D ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的7．B【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得BDC ∠的度数．解：AB BC =，40AOB ∠=︒，1202BDC AOB ∴∠=∠=︒． 故选：B ．【点拨】此题考查了圆周角定理,注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆周角的一半这个定理的应用．8．B【分析】由AB 是圆O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得⊙ACB =90°，又由⊙ABC =38°，即可求得⊙A 的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙BDC 的度数．解：连接AC ，AB 为⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒，38ABC ∠=︒，52BAC ∴∠=︒，52BDC BAC ∴∠=∠=︒，故选：B ．【点拨】本题考查了圆周角定，难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解题的关键．9．C【分析】因为AB 为⊙O 的直径，可得90ADB ∠=，70DAB ∠=，根据圆内接四边形的对角互补可得BCD ∠的度数，即可选出答案．解：⊙AB 为⊙O 的直径，⊙90∠=，ADB又⊙20ABD∠=，⊙90902070∠==，DAB ABD∠=--又⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙180∠+∠=，BCD DAB⊙0110--=，1801870∠=∠=BCD DAB故答案选：C．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．10．B【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由⊙COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙ODC的度数，继而求得点C的坐标．解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，⊙⊙COD＝90°，⊙CD是⊙A的直径，即CD＝10，⊙⊙OBC＝30°，⊙⊙ODC＝30°，⊙OC＝1CD＝5，2⊙点C的坐标为：（0，5）．故选：B．【点拨】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．11．C【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出⊙ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到⊙B=90°-⊙CAB=35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出⊙D=⊙B=35°．解：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙CAB=55°，⊙⊙B=90°-⊙CAB=35°，⊙⊙D=⊙B=35°．故选：C．【点拨】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出⊙ACB=90°及⊙D=⊙B，注意运用数形结合的思想方法．12．B【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由⊙COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙ODC的度数，继而求得点C的坐标．解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，⊙⊙COD＝90°，⊙CD是⊙A的直径，即CD＝10，⊙⊙OBC＝30°，⊙⊙ODC＝30°，CD＝5，⊙OC＝12⊙点C的坐标为：（0，5）．故选：B．【点拨】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．13．22°【分析】根据OA=OB，可得⊙OAB=⊙OBA=68°，从而得到⊙AOB=44°，再由圆周角定理，即可求解．解：⊙OA=OB，⊙OBA=68°，⊙⊙OAB=⊙OBA=68°，⊙⊙AOB =44°， ⊙1222C AOB ∠=∠=︒． 故答案为：22°【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．14．120°【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到⊙3和⊙1的关系，再结合平行四边形的性质和周角360°即可求出．解：如图，由题有平行四边形ABCO⊙⊙1=⊙2⊙AC AC =⊙2⊙1=⊙3=2⊙2⊙⊙3+⊙2=360°⊙⊙2+2⊙2=360°⊙⊙2=120°故答案为：120°【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．15．62【分析】连接BD ，根据直径所对的圆周角是90°，可得90ADB ∠=︒，由CB CB =，可得BAC BDC ∠=∠，进而可得90ADC BDC ∠=︒-∠．解：连接BD ，⊙AB 是O 的直径，⊙90ADB ∠=︒，CB CB =，∴28BAC BDC ∠==∠︒，∴90ADC BDC ∠=︒-∠62=︒故答案为：62【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．16．55°【分析】根据圆周角定理，得⊙ADC ＝⊙ABC ＝35°，再根据AD 是⊙O 的直径，则⊙ACD ＝90°，由三角形的内角和定理即可求得⊙CAD 的度数．解：⊙⊙ABC ＝35°，⊙⊙ADC ＝35°，⊙AD 是⊙O 的直径，⊙⊙ACD ＝90°，⊙⊙CAD ＝90°﹣35°＝55°．故答案为：55°．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：根据圆周角定理，求得⊙ADC ＝⊙ABC ＝35°．17．3【分析】连接AC ，易得AC 为直径，在Rt ABC 中利用勾股定理算出AC ，再在Rt ACP 中利用勾股定理算出PC ．解：连接AC ，四边形ABCD 是正方形， ∴AB AC ==90ABC ∠=︒，∴AC 是直径．∴90APC ∠=︒．在Rt ABC 中，AC ==在Rt APC 中，3PC ．故答案为：3．【点拨】本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．18．30【分析】根据圆周角定理得到90ABD ∠=︒，求得30C D ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到30BAC C ∠=∠=︒，可得到DAC DAB BAC ∠=∠-∠，再利用圆周角定理可得到结论． 解：⊙AD 是O 的直径，⊙90ABD ∠=︒，⊙60DAB ∠=︒，⊙906030C D ∠=∠=︒-︒=︒，⊙AB BC =，⊙30BAC C ∠=∠=︒，⊙603030DAC DAB BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙30DBC DAC ∠=∠=︒．故答案为：30．【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余等知识，注意数形结合思想的应用．灵活运用圆周角定理是解答本题的关键．19．5【分析】如图，连接,OA 证明AC 为直径，则,,A O C 三点共线，再证明90,ADC ∠=︒结合,OA OC =从而可得答案.解：如图，连接,OA90B ∠=︒AC ∴为直径，则,,A O C 三点共线，90,ADC ∴∠=︒5AD =，4CD =，14510,2ADC S ∴=⨯⨯= ,OA OC = 1 5.2DOC ADC S S ∴==故答案为：5【点拨】本题考查的是90︒的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解题的关键.20． 90°的圆周角所对的弦是直径 同弧或等弧所对的圆周角相等【分析】先利用圆周角定理判断BC 是⊙A 的直径，⊙OCB ＝⊙ODB ＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC 即可．解：如图2，连接BC ，⊙⊙BOC ＝90°，⊙BC 是⊙A 的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），⊙⊙ODB ＝30°，⊙⊙OCB ＝⊙ODB ＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），⊙12OB BC =． ⊙OB ＝2，⊙BC ＝4．即⊙A 的半径为2．故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．【点拨】本题考查圆周角性质，30°角直角三角形性质，推理的依据，掌握基础知识，基本定理是解题关键．21．(1)证明见解析(2)分别为40°、40°、100°【分析】（1）连接BE ，AD ，利用AB 是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据AB 是圆的直径可知90ADB AEB ∠=∠=︒，从而求出1202BAD DAC BAC ∠∠==∠=︒，再根据圆周角定理求解即可； (1)解：连接BE AD 、，⊙AB 是圆的直径，⊙90ADB ∠=︒，⊙AD 是ABC 的高，⊙AB AC =，⊙BD CD =．(2)解：⊙AB 是圆的直径，⊙90ADB AEB ∠=∠=︒，⊙90ADB AEB ∠=∠=︒，⊙,90,40AB AC ADB BAC =∠=︒∠=︒， ⊙1202BAD DAC BAC ∠∠==∠=︒， ⊙由圆周角定理得：BD 所对的圆心角的度数是240DAB ∠=︒，DE 所对的圆心角的度数是240DAE ∠=︒，AE 所对的圆心角的度数是(22900)4010ABE ∠=⨯︒-︒=︒【点拨】本题主要考查了圆的相关知识，掌握直径所对的圆周角是90︒ 、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)133【分析】（1）先证明AH =AD ，再证明⊙HAE =⊙DAE 即可得到结论；（2）证明HE =DE ，设OE =x ，得HE =DE =x +1，OD =AO =2x +1，再由勾股定理列方程求解即可．解：(1)⊙CF =CH ，⊙⊙F =⊙CHF ．⊙⊙F =⊙D ，⊙CHF =⊙AHD ，⊙⊙D =⊙AHD ，⊙AH =AD ．⊙FB =BD ，⊙⊙HAE =⊙DAE ．⊙AE ⊙HD ，即AB ⊙CD ．(2)⊙AH =AD ，⊙HAE =⊙DAE ，⊙HE =DE ．设OE =x ．⊙OH =1，⊙HE =x +1=DE ，⊙OD =2x +1=AO ．在Rt ⊙OAE 中，⊙OE 2+AE 2=AO 2，AE ＝4，⊙x 2+42=(2x +1)2，解得x 1=-3（舍去），x 2=53． ⊙AO =2×53+1=133， 即AO 的长等于133． 【点拨】可不是主要考查了圆周角定理，勾股定理运用，等腰三角形的性质等知识，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思想是解题的关键．23．(1)见解析(2)OE AC ∥，12OE AC =，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；（2）根据内错角相等两直线平行证明得到OE AC ∥，再根据三角形中位线的性质得到12OE AC =. (1)⊙如图所示为所求．(2)OE AC ∥，12OE AC =． 理由：⊙AB 为O 的直径，⊙90C ∠=︒，⊙OA OD =，⊙ODA OAD ∠=∠，⊙AD 平分BAC ∠，⊙BAD CAD ∠=∠，⊙ODA CAD ∠=∠，⊙OE AC ∥，⊙90OEB C ∠=∠=︒，则点E 为BC 中点，又⊙点O 为AB 中点， ⊙12OE AC =. 【点拨】此题考查了圆周角定理，角平分线的作图，三角形中位线的性质定理，熟记角平分线的作图方法及圆周角定理是解题的关键.。
专题17 圆周角重难点题型专训(八大题型)(解析版)
第二十四章圆专题17圆周角重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一圆周角的概念辨析题型二圆周角定理题型三同弧或等弧所对的圆周角相等问题题型四半圆所对的圆周角是直角问题题型五90°的圆周角所对的弦是直径问题题型六已知圆内接四边形求角度题型七求四边形外接圆的直径题型八圆周角综合问题【知识梳理】知识点一、圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
【经典例题一圆周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是()A ．∠ADEB ．∠AFEC ．∠ABED ．∠ABC【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.【详解】解：弧AE 所对的圆周角是：∠ABE 或∠ACE故选：C【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD 于点E ，对于下列说法：①圆上 AbB 是优弧；②圆上 AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD 和ADF 都是圆周角；⑤COA 是圆心角，其中正确的说法是．【答案】①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可【详解】解： AbB ， AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C ∵在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；∵,,C A D 都在圆上，CAD 是圆周角而F 点不在圆上，则ADF 不是圆周角故④不正确；∵O 是圆心，,C A 在圆上COA 是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线l 经过O 的圆心O ，且与O 交于A B 、两点，点C 在O 上，且30AOC ，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与O 相交于另一点Q ，如果QP QO ，则OCP .【答案】40°、20°、100°【分析】点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段AO 有三种位置关系，在线段AO 上，点P 在OB 延长线上，点P 在OA 的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【详解】解：①根据题意，画出图1，在QOC 中，OC OQ ，∴OQC OCP =，在OPQ △中，QP QO =，∴QOP QPO =，又∵30AOC ＝，∴30QPO OCP AOC OCP =+=+，在OPQ △中，180QOP QPO OQC ++=，即 3030180OCP OCP OCP ++＋+=，整理得，3120OCP =，∴40OCP ．②当P 在线段OA 的延长线上，如图21180211802OC OQ OQP QOC OQ PM OPQ OQP∵∵，①，，②，在OQP 中，30180QOC OQP OPQ +++=③，把①②代入③得20QOC =，则80OQP=∴100OCP =；③当P 在线段OA 的反向延长线上，如图3，1180211802301502OC OQ OCP OQC COQ OQ PQ P OQP AOC COQ POQ P POQ P OCP OQC∵∵∵∵，①，，②，，③，，④，①②③④联立得10P =，1801501020OCP ==．故答案为：40°、20°、100°．【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：作图区域：(1)M 的半径为1cm ，AB 是M 的一条弦（AB 不经过M ），AMB 、ACB 分别是劣弧 AB 所对应的圆心角和圆周角；(2) DE 是O 中的一条弧，且 AB DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）画非直径的弦AB ，在优弧 AB 上取点C ，连接AC ，BC ，即可解答；（2）在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，即可．【详解】（1）解：如图，AMB 和ACB 为所作；作图区域：（2）解：如图，在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，根据等弦对等弧，可得 AB DE， DE即为所作，作图区域：【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可．6．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．【答案】（1）45；（2）27°；（3）25﹣2【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=12AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝12∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝27°，∴∠BAC＝27°，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD BAD CDA AE DF，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴∠1＝∠2，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH +∠3＝∠BAD ＝90°，∴∠1+∠BAH ＝90°，∴∠AHB ＝180°﹣90°＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH ＝AO ＝12AB ＝2，在Rt △AOD 中，OD ＝22AO AD ＝2224 ＝25，根据三角形的三边关系，OH +DH ＞OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值＝OD ﹣OH ＝25﹣2．故答案为：25﹣2．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．【经典例题二圆周角定理】1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，140AOC ，B 是弧AC 的中点，则D 的度数是（）A ．30B ．35C ．45D ．70【答案】B 【分析】连接OB ，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：连接OB ，如图所示，∵B 是弧AC 的中点，即 AB BC ，∴111407022AOB COB AOC ，∵D 和AOB 都对 AB ，∴1352D AOB ．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，O 是ABC 的外接圆，且AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接OD 、BD ，且BD BC ，若50BOD ，则ABC 的度数为（）A ．65B ．50C ．30D ．25【答案】A 【分析】根据BD BC 得出1252BAC BOD ，根据AB 是O 的直径，得出90ACB ，最后根据直角三角形两锐角互余，即可解答．【详解】解：∵BD BC ，50BOD ，∴1252BAC BOD ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∴9065ABC ACB ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上，30AED ，10OB ，则弦AB 的长是．【答案】103【分析】根据垂径定理得到 AD BD，结合30AED 得到60BOD ，结合三角函数直接求解即可得到答案；【详解】解：∵OD AB ，∴ AD BD，2AB BC ，∵30AED ，∴60BOD ，∴30OBC ，∵10OB ，∴152OC OB ，∴2253BC OB OC ，∴103AB ，故答案为：103．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到 AD BD．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知,C D 是半圆O 上的三等分点，连接,,,,AC BC CD OD BC 和OD 相交于点E ，有下列结论：①30CBA ；②OD BC ；③12OE AC；④四边形AODC 是菱形．其中正确的有（填序号）．【答案】①②③④【分析】①首先根据点C ，D 是半圆O 上的三等分，求出AOC 的度数；然后根据圆周角定理，求出CBA 的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出90BEO ，即可判断出OD BC ；③根据垂径定理判断出E 是BC 的中点，然后得到OE 是ABC 的中位线，即可判断出12OE AC ，④先证明AC OD ∥，再证明AOC 是等边三角形，得到AC OA OD ，根据菱形的判定方法可判断四边形AODC 是菱形.【详解】解：连接OC ，∵已知,C D 是半圆O 上的三等分点，∴1180603AOC COD BOD ，∴11603022CBA AOC ，故①正确；∴180180603090BEO BOD CBA ，∴OD BC ，故②正确；∴BE CE ，OB OC ，∴OE 是ACB △的中位线，∴12OE AC ，故③正确；∵AB 是半圆O 的直径，∴AC BC ，又OD BC ，∴AC OD ∥，∵OC OA ，60AOC ，∴AOC 是等边三角形，∴AC OA OD ，∴四边形AODC 是平行四边形，又AC OA ，∴四边形AODC 是菱形．故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知AB 为O 的直径，C 为O 上一点，CE AB 于E ，D 为弧BC 的中点，连接AD ，分别交CE CB 、于点F 和点G ．(1)求证：CF CG ；(2)如图2，若AF DG ，连接OG ，求证：OG AB ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AC ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ，从而可得∠CAG +∠AGC ＝90°，根据垂直定义可得90CEA ，从而可得90FAE AFE ，然后根据已知可得 DCDB ，从而可得CAG FAE ，进而可得AGC AFE ，最后根据对顶角相等可得AFE CFG ，从而可得AGC CFG 进而根据等角对等边即可解答；（2）连接,AC CD ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得AFC CGD ，然后根据SAS 证明AFC DGC ≌，从而可得AC CD ，进而可得 AC DCDB ，最后根据等弧所对的圆周角相等可得ABC DAB ，从而可得GA GB ，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∴90CAG AGC ，∵CE AB ，∴90CEA ，∴90FAE AFE ，∵D 为弧BC 的中点，∴ DCDB ，∴CAG FAE ，∴AGC AFE ，∵AFE CFG ，∴AGC CFG ，∴CF CG ；（2）解：连接,AC CD ，∵CFG CGF ，∴180180CFG CGF ，∴AFC CGD ，∵CF CG ，AF DC ，∴ SAS AFC DGC ≌，∴AC CD ，∴ AC DC，∵ DCDB ，∴ AC DB，∴ABC DAB ，∴GA GB ，∵OA OB ，∴GO AB ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上．(1)若50AOD Ð=°，求DEB 的度数；(2)若6OC ，10OA ，求AB 的长．【答案】(1)25(2)AB 的长为16【分析】（1）根据垂径定理的推论可得 AD DB，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出AC ，根据垂径定理的推论可得AC BC ，即可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴ AD DB，又∵50AOD Ð=°，∴11502522DEB AOD ．（2）解：∵OD AB ，∴=90AOC ，在Rt AOC 中，22221068AC OA OC ，∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴AC BC ，则216AB AC CB AC ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【经典例题三同弧或等弧所对的圆周角相等问题】1．（2021春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，ACD 是O 的内接三角形，AC CD ，连接AO 并延长交O 于点B ，连接BC ，若32BAC ，则ACD 等于（）A ．64B ．62C ．60D ．58【答案】A 【分析】先证明90ACB ，可得903258ADC ABC ，证明58CAD ADC ，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∵32BAC ，∴903258ADC ABC ，∵AC CD ，∴58CAD ADC ，∴18025864ACD ；故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解本题的关键．2．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，ADC △内接于O ，BC 是O 的直径，若66A ，则BCD 等于（）A ．66B ．34C ．24D ．14【答案】C 【分析】根据同弧所对圆周角相等得到66B A ，根据直径所对的圆周角是直角得到=90BDC ，根据直角三角形两锐角互余，得到24BCD ．【详解】∵66A ，∴66B A ，∵BC 是O 的直径，∴=90BDC ，∴906624BCD ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ，则ABC °．【答案】35【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：AB ∵是O 的直径，90ACB ，55A D ∵==，18035ABC ACB A ==，故答案为：35．【点睛】本题考查了考查了圆周角定理、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2023·云南德宏·统考一模）已知：如图，AB 是O 的直径，AB 垂直弦CD 于点E ，则在不添加辅助线的情况下，图中与CDB 相等的角是（写出一个即可）．【答案】CAB 或BCD 或DAB【分析】利用垂径定理和圆周角定理即可求解．【详解】∵AB CD ，AB 是O 直径，∴ BCBD ，∴CDB CAB BCD DAB ，故答案为：CAB 或BCD 或DAB ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上定理的应用．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形ABCD 内接于O ，50,25,65B ACD BAD ．求证：(1)AD CD ；(2)AB 是O 的直径．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理得125ACD ，再由50ABC 可计算出225 ，则 AD CD，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD CD ；（2）根据三角形内角和定理可计算出180190ADB BAD ，则根据圆周角的推理即可得到AB 为O 的直径．【详解】（1）证明：连接BD ，如图，125ACD ∵，而50ABC ，21502525ABC ，12 ，AD CD，AD CD ；（2）65BAD ∵，125 ，1801180652590ADB BAD ，AB 为O 的直径．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知：O 的两条弦AB ，CD 相交于点M ，且AB CD ．(1)如图1，连接AD .求证：AM DM ．(2)如图2.若AB CD ．在 BD 上取一点E ，使 BE BC ，AE 交CD 于点F ，连接AD 、DE ．判断E 与DFE 是否相等，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)E 与DFE 相等．理由见解析【分析】（1）根据AB CD 得 AB CD ，即 AC BC BC BD ， AC BD，得A D ，即可得；（2）连接AC ，根据 BEBC 得CAB EAB ，根据AB CD 得AC AF ，即ACF AFC ，根据,ACF E AFC DFE ，即可得．【详解】（1）证明：AB CD ∵，C AB D即 AC BCBC BD ， AC BD ，A D ，AM DM ．（2）E 与DFE 相等．理由如下：解：连接AC ，如图，BEBC ∵，CAB EAB ，AB CD ∵，AC AF ，ACF AFC ，,ACF E AFC DFE ∵，DFE E ．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．【经典例题四半圆所对的圆周角是直角问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AC BC ，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接CD 交AB 于点E ，连接OD ，若120BOD ，则BED 的度数为（）A ．60B ．75C ．100D ．105【答案】D 【分析】连接BD ，根据等腰三角形的性质得到30OBD ODB ，根据平角的定义得到18012060AOD ，根据圆周角定理得到90ACB ，求得45A ，根据圆周角定理得到45CDB A ，根据三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：连接BD ，OD OB ∵，120BOD ，30OBD ODB ，18012060AOD ，AB ∵是O 的直径，45A ABC ，AC BC ∵，45A ，45CDB A ，15CDO CDB ODB ，1806015105BED ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，点A ，B ，C 在O 上，BC OA ∥，连接BO 并延长，交O 于点D ，连接AC ，.DC 若40D ，下列结论不正确的是（）A ．50BB ．直线AO 垂直平分CDC ．12A BD ．30ACB【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得90BCD ，从而根据三角形内角和求出B ，A 选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设A ACB x ，则2BOA x ，根据三角形内角和即可求出x 的值，从而求出A ，ACB ，AOB ，从而可判断C 、D 选项；延长AO 交CD 于点E ，根据对顶角相等可得到DOE ，从而求出90OED ，再结合垂径定理可判断出AO 与CD 的关系，即可判断出选项B ．【详解】解：如图，延长AO 交CD 于点E ，BD Q 是O 的直径，90BCD ，180180904050B BCD D ，故A 选项正确，不符合题意；BC OA ∥∵，设A ACB x ，则2BOA x ，250x x x∵25x ，25ACB A ，50BOA故D 选项不正确，符合题意；50B ∵，12A B ；故C 选项正确，不符合题意；根据对顶角相等可得：50DOE BOA ，180504090OED ，OE CD ，O ∵是圆心，DE CE ，直线AO 垂直平分CD ；故B 选项正确，不符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理．3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ，4AC ，则O 的直径AD ．【答案】42【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90 可得=90ACD ，根据圆周角定理可得COD COA ，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD ，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ，∵DAC ABC ，∴COD COA ，∴AC CD ，又∵4AC ，∴4CD ，在Rt ACD △中，22224442AD AC CD，故答案为：42．【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90 ，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知O 的直径AB ，D 为O 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ．弦DC 平分ADB ，交AB 于点E ，过点A 作AF CD 于点F ，交O 于点G ，连接DG ，若DG AE ，则G 的度数为 ．【答案】67.5【分析】DG 交AB 于H ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ，则=45ADC ，再证明45DAF ，AF DF ，则可判断Rt Rt AEF DGF ≌，所以EAF GDF ，接着证明90DHE AFE ，则根据垂径定理得到 BDBG ，然后根据圆周角定理得到22.5BAG BAD ，最后利用互余可计算出G 的度数．【详解】解：DG 交AB 于H ，如图，O ∵ 的直径AB ，90ADB ，∵弦DC 平分ADB ，45ADC ，AF CD ∵，90AFD ，45DAF ，AF DF ，在Rt AEF 和Rt DGF △中，AE DG AF DF， Rt Rt HL AEF DGF ≌，EAF GDF ，AEF DEH ∵，90DHE AFE ，AB DG ，BDBG ，122.52BAG BAD DAG ，9067.5G GAH ．故答案为：67.5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．5．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E 是边长为2的正方形ABCD 中AB 边上一点（不与A 、B 重合），以CE 为直径的O 分别交DE 和CD 于点F 、M ，DH CE 于点H ．(1)求证：BE CM(2)猜想AE 与HE 的大小关系，并说明理由．(3)当DF CH 时，求DEH △的面积．【答案】(1)见解析(2)AE HE ，理由见解析(3)65【分析】（1）连接EM ，根据正方形性质得出90B BCM ，根据直径所对圆周角为直角得出90CM E ，证明四边形BEMC 为矩形，即可求证BE CM ；（2）根据题意可得90A DHE ，AD CD ，在Rt DCH △中，DH CD ，则DH AD ，根据勾股定理得出222AE DE AD ，222HE DE DH ，得出22AE HE ，则AE HE ；（3）连接CF ，证明 Rt Rt HL CDF DCH ≌，得出DCH CDE ，则DE CE ，根据三线合一得出112CM DM CD ，即可用勾股定理求出5DE CE ，根据1122DCE S DC EM CE DH ，求出455DH ，在Rt DEH △中，用勾股定理求出355EH ，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接EM ，∵四边形ABCD 为正方形，，∴90B BCM ，∵CE 为O 直径，∴90CM E ，∴四边形BEMC 为矩形，∴BE CM ；（2）解：AE HE ，理由如下，∵四边形ABCD 是正方形，DH CE ，∴90A DHE ，AD CD ，∵在Rt DCH △中，DH CD ，∴DH AD ，在Rt ADE △中，根据勾股定理可得：222AE DE AD ，在Rt HDE △中，根据勾股定理可得：222HE DE DH ，∴22AE HE ，即AE HE ；（3）解：连接CF ，∵CE 为O 直径，∴90CFE CFD ，在Rt CDF △和Rt DCH △中，CD DC CH DE，∴ Rt Rt HL CDF DCH ≌，∴DCH CDE ，则DE CE ，由（1）可得90CM E ，∴112CM DM CD ，∵四边形BEMC 为矩形，∴2EM BC ，在Rt CME △中，根据勾股定理可得：225CE CM EM ，则5DE CE ，∵1122DCE S DC EM CE DH ，∴DC EM CE DH ，即225DH ，解得：455DH ，在Rt DEH △中，22355EH DE DH，∴113545622555DEH S EH DH ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并熟练运用，正确作出辅助线，构造矩形和全等三角形．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B ，C 为O 上两定点，点A 为O 上一动点，过点B 作BE AC ∥，交O 于点E ，点D 为射线BC 上一动点，且AC 平分BAD ，连接CE ．(1)求证：AD EC ∥；(2)连接EA ，若BC CD ，试判断四边形EBCA 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形EBCA 是矩形，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据圆周角定理可得E BAC ，再根据平行线的性质可得E ECA ，进而得到ECA DAC ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明结论；（2）由角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得90ACB ACD ，即90AEB ，进而得到90EBC ACD ，再根据矩形的判定定理，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，∵E BAC ，∴E DAC ，∵BE AC ∥，∴E ECA ，∴ECA DAC ，∴EC AD ∥．（2）解：四边形EBCA 是矩形，理由如下：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，又∵BC CD ，∴90ACB ACD ，∴AB 为O 的直径．∴90AEB ，又∵BE AC ∥，∴90EBC ACD ，∴四边形EBCA 是矩形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运用相关知识是解答本题的关键．【经典例题五90°的圆周角所对的弦是直径问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，ABC 是等边三角形，2AB ，点P 是ABC 内一点，且30BAP CBP ，连接CP ，则CP 的最小值为（）A ．12B ．32C ．23D ．31【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到60ABC ，AB BC AC ，继而推出90APB ，可得点P 在以AB 为直径的圆上，得知当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ，AB BC AC ，∵30BAP CBP ，∴ 6030BAP ABP ，整理得：90BAP ABP ，则90APB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，如图，设AB 的中点为D ，连接DP ，即DP 长度不变，∴CP DP CD ，∴当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，此时CD AB ，∵2AB BC AC ，∴112DP AB ，223CD BC BD ，∴CP 的最小值为31CD DP ，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出90APB ，得到点P 在以AB 为直径的圆上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 中，12AB ，点P 为边DA 上一个动点，连接CP ，点E 为CD 上一点，且4DE ，在AB 上截取点Q 使EQ CP ，交CP 于点M ，连接BM ，则BM 的最小值为（）A ．8B ．12C ．4104D ．835【答案】C 【分析】如图所示，过点E 作EF AB 于F ，当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上，即点M 在圆心为O 的半圆上运动，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，根据题意可证Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，由此可证CEM 是直角三角形，可得点M 在以CE 为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在Rt BCO △中，可求出OB 的长，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB 于F ，连接BO ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴12AB BC CD AD ====，90A ABC BCD D EFQ ，∵EF AB ，∴四边形AFED 是矩形，则AD EF CD ，在Rt EFQ △和Rt CDP △中，EQ CP EF CD，∴Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，∴FEQ DCP ，∵90FEQ CEM CEF +，∴90DCP CEM +，∴90EMC ，即CEM 是直角三角形，∴当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上运动，设圆心为O ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∵12,4CD DE ，∴1248CE CD DE ，则半圆的半径118422OE OC CE ，在Rt BCO △中，2222412410OB OC BC ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∴BM 的最小值为4104 ，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形ABCD 是矩形，4,6AB AD ，点E 是平面内的一个动点，连接AE DE 、，在运动的过程中，AE 始终垂直于DE ，将AE 绕点A 顺时针旋转90 得到AF ，连接CF ，则CF 的最大值为．【答案】373【分析】先通过AE DE ，则可判断点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，则点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，最后利用勾股定理即可求解．【详解】如图，∵AE DE ，∴90AED ，∴点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，又∵AE AF ，∴由题意可知点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，∵四边形ABCD 是矩形，∴6AD BC ，4AB ，90ABC ，∵6AD AD ，M 为'AD 中点，∴3AM ，1BM ，在Rt MBC 中，由勾股定理得：22221637CM BM BC，∴CF 的最大值为：373 ．【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点E ，F 的运动路径是圆．4．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE ∠∠，则线段BF 的最小值为．。
《圆周角》知识全解
圆周角概念定理推论满足两个条件计算与证明计算与证明《圆周角》知识全解课标要求1．理解圆周角的概念，让学生探索和掌握圆周角定理，并能灵活地应用圆周角定理解决圆的有关说理和计算问题；2．让学生在探究过程中体会“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想；3．培养学生观察、比较、分析、推理及小组合作交流的能力和创新能力，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣．知识结构内容解析一、圆心角、圆周角的定义及其度量1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．区别：(1)顶点的位置不同：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆周上．(2)与所对弧的关系不同：圆心角的度数与它所对弧的度数相等，圆周角的度数是它所对弧度数的一半．联系：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．二、圆周角与圆心角的关系1．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；它包含两层含义：（1）圆周角与圆周角的关系：同弧或等弧所对的圆周角相等．这是圆中论证角相等非常重要的依据．（2）圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角和圆心角关系的纽带是“弧”，该“弧”确定了圆周角和圆心角的位置关系．2．半圆（或直径）所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；90°（直角）的圆周角所对的弦是直径．它包含两层含义：（1）这时圆中最特殊的弦（直径）产生了最特殊的角（直角），体现了特殊的位置确定特殊的结果；（2）这个结论为在圆中确立直角，构造垂直关系创造了条件．在圆中见直径应联想到直角，圆周角是直角联想到直径，简记为：直径对直角，直角对直径．重点难点本节的重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程；教学重点的解决方法：为了突出重点，我设计了一系列的探究活动由浅入深，循序渐进．①一条弧对的圆心角有几个，圆周角有几个？②圆心与圆周角有几种位置关系? 当学生摆出三种位置关系时，教师提问是否还存在其他的位置关系，是否有遗漏？当确定只有这三种位置时，作出三个图中的圆心角，③同一条弧所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC 的度数，你有什么发现等等．本节的难点是：了解圆周角的分类，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”．教学难点的解决方法：为突破难点，在学生验证猜想时，教师要给学生充分探索的时间和空间，因为难点处是学生互相学习互相交流思维的最佳时机，相信学生的思维闪光点也正是在学生互相讨论中挖掘出来的．若学生一时难以找到证明的途径，教师提示可把第二类圆内部的图形想象成一面三角旗、则第一类、第三类分别想象成两面三角旗合并、两面三角旗叠成，化抽象为具体、化一般为特殊．向学生有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想．教法导引根据教材本身探究性较强的特点，我以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合的教学模式实施教学，由浅入深，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方式，让学生经历数学知识的形成与应用过程．俗话说：“听不如看，看不如做”．在新课教学时，借助教具学具的演示，使学生非常直观地掌握圆周角的特征，并且为学生如何使用学具完成一系列的探究活动做了很好的示范．为了简便快捷地充分利用好学具，我将学具中的塑料棒改为皮筋．学具的使用不仅激发了学生兴趣，充分调动了学生的学习积极性，使学生乐于探索，还体现了自主、探索、合作与实践的学习方式，让学生成为了学习的主人，让学生的主体意识、能动性得到了发展．学法建议探究式学习和有意义接受式学习都是学生的重要学习方式，本课尝试做两者相结合的学习方式的指导．力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式．引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程．。
专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)
专题04 圆周角定理1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）（2）圆心O 在∠BAC 的 内部（如图乙）（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）甲 乙 丙4.圆周角和直径的关系概念规律 重在理解12BAC BOC ∠=∠半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.5.方法总结在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．6.圆内接四边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.推论1：圆的内接四边形的对角互补.推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．典例解析掌握方法【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．【答案】5．【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？【答案】见解析。
专题24.2 圆周角(专项拔高卷)-2023-2024学年九年级数学上册真题汇编专项拔高卷(学生版)
2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题24.2圆周角（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.48姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•新疆一模）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC＝25°，在⊙O上任取一点D，且点D 与点C位于直径AB的两侧，连接AD和DC，则∠D的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．75°2．（2分）（2023•芜湖三模）如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则tan∠OEC为（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•金台区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连接AC、AD、CD，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．100°C．110°D．70°4．（2分）（2023•五通桥区模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝15°，则∠BAD的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．（2分）（2023•福州模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（）A．68°B．62°C．58°D．52°6．（2分）（2022秋•建昌县期末）如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．60°7．（2分）（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是的中点，点B是的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（）A．3B．4C．6D．88．（2分）（2023•全椒县三模）如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上．将该纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，则∠B的度数为（）A．24°B．30°C．36°D．44°9．（2分）（2023•洪山区校级模拟）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD，已知BD＝8，CD＝5，AB＝6，∠BDC ＝60°，则AD＝（）A．B．C．D．10．（2分）（2023•洪山区模拟）如图，等腰△ABC的顶点B、C在圆O上，点A在圆O外，OD⊥AC于D点，若BC＝8，sin∠ABC＝，OD＝3，则圆O的半径为（）A．3B．4C．5D．6评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•丹徒区二模）如图，菱形ABCD的顶点A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设AC与⊙O交于点E，则∠AEB的度数是．12．（2分）（2023•沭阳县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF＝，则AB＝．13．（2分）（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为．14．（2分）（2023•宿迁一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝°．15．（2分）（2023•朝天区模拟）如图，是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，的值等于．16．（2分）（2023•唐河县模拟）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是．17．（2分）（2023•盐都区三模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为．18．（2分）（2023•锡山区校级三模）如图15个形状大小相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角为60°，A，B，C都在格点上，点D在上，若E也在格点上，且∠AED＝∠ACD，则tan ∠AEC＝．19．（2分）（2023•安徽模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为．20．（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则EO的最小值为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•利川市期末）如图所示，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）判断△ADB的形状，并证明；（2）求BD的长．22．（6分）（2023•新会区二模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N．（1）证明：OD⊥AC；（2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明．23．（8分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．24．（8分）（2023•河西区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．（Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求∠AGF的度数；（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．25．（8分）（2023•江汉区模拟）已知AB是⊙O的直径，C，D，E是半圆上三点，且AC＝CD，DE＝BE．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若AC＝1，BE＝，求cos∠ABE的值．26．（8分）（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．（1）若AB＝10，，求AC的长；（2）求证：EF⊥BD．27．（8分）（2023•诸暨市模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．记tan∠DGF＝m（m为常数，且m＞1）．（1）求证：∠AGC＝∠ACF；（2）求的值（用含m的式子表示）．28．（8分）（2022秋•望城区期末）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB＝60°，DH＝1，∠OHD＝80°，①求⊙O的半径；②求∠BDE的大小．。
圆周角专题
圆周角专题一、填空题1．如图1，A,B,C 是⊙O 上的三点，30BAC ︒∠=，则BOC ∠= ，BDC ∠= ；图1 图2 图3 图4 2．如图2，AB 是⊙O 的直径，45B ︒∠=,AB=2,则∠C= ，AC=3．如图3，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，连结CA ，CB ，DC ，DB ．已知∠D =30°，BC ＝3，则弦AC 的长是 ． 4．如图4，△ABC 内接于⊙O ，BC =12cm ，∠A =60°．⊙O 的直径________． 二、选择题5．如图5，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，∠AOC=140︒，则∠CBA 的度数为（ ） A 70° B 90° C 100° D 110°图5 图6 图76．如图6，若AB 是⊙0的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠BCD =（ ）A 116° B 32° C 58° D 64° 7. 如图7，OA ⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC 等于（ ）A ．20° B ．25° C ．30° D ．50° 8．在⊙O 中，若圆心角∠AOB =100°，C 是圆上一点，则∠ACB 等于( )．A ．50°B ．100°C ．130°D ．50°或130° 三、解答题9．如图,在⊙O 中，∠AOC=150°，∠ACB=35°, 求：（1）∠D （2）∠B （3）∠OCB （4）∠BAC www .xk 10.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.11．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 长．BDAEOCO CBD AAOD BCOACBOCABOACBDO ABDCDCBA OP O B AEFBA CEDOF 12.已知：如图，∆ABC 错误！未找到引用源。
高考数学一圆周角定理专题1
高考数学一圆周角定理专题12020.031,已知)(x f y =是偶函数，当,0时>x mx f n x x x x f ≤≤--∈+=)(,]1,3[,4)(时且当恒成立，则n m -的最小值是（ ）A ．31B ．32C ．1D ．342,若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）A．B ．12-C ．12 D．3,已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．4,对任意R x ∈,给定区间)](21,21[z k k k ∈+-,设函数)(x f 表示实数x 与x 的给定区间内整数之差的绝对值.（1）当)(,]21,21[x f x 求出时-∈的解析式；当∈+-∈k k k x ](21,21[Z ）时，写出用绝对值符号表示的)(x f 的解析式，并说明理由； （2）判断函数)(x f ∈x (R ）的奇偶性,并证明你的结论；（3）求方程0log )(21=-x x f 的实根.（要求说明理由）5,在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，则n a = 6,已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin （βα+）=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα=________. 7,若函数)0)(43sin(2>+=ωπωx y 在]1,0[∈x 上至少出现20个最大值,则ω的最小值为 （结果用π表示）8,设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且4,3,3321++a a a 构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项．（2）令31ln 12n n b a n +==L ，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9,已知函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=.（1）求函数f （x ）的定义域；．（2）解关于x 的不等式:)422(log )(22-->x x x f （3）求函数f （x ）的值域10,将函数sin(2)3y x π=+的图象经怎样平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称（ ）A ．向左平移12πB ．向左平移6πC ．向右平移12πD ．向右平移6π11,数122log sin(2)3y x π=-的一个单调递减区间是（ ）A ． (,)612ππ-B ．(,)126ππ-C ． (,)63ππD ．25(,)36ππ12,已知锐角△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B tan =.3222b c a ac-+（1）求B ∠；（2）求)]10tan(31)[10sin(︒--︒+B B .13,等差数列,}{中n a n S a a a a ,,0,010111110>><且为数列}{n a 的前n 项和，则使>n S 的n 的最小值为（ ）A ．21B ．20C ．10D ．1114,若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意的R x ∈都有)()3(x f x f -=+,若2tan ,1)1(==αf ,则=)cos sin 2005(ααf 15,已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= 16,已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．2317,在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 _______________18,对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点)0,1(A 对称. ②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数. ③若对R x ∈，有)(),()1(x f x f x f 则-=-的周期为2. ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线0=x 对称. 其中正确命题的序号是19,设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-= M C U =}7,5{，则a 的值为（ ） A ．2或8-B ．8-或－2C ．－2或8D ．2或820,函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =, 则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．无数个21,已知)(x f y =是定义在R 上的单调增函数,)1(11,1-≠+=+=λλβλλα,若)0()1()()(f f f f ->-βα,则λ的取值范围为（ ） A ．0<λ B ． 1-<λ C ． 10<<λ D ． 1>λ22,已知,0)4()4(),1,0(||log )(,)(2<-≠>==-g f a a x x g a x f a x 若则)(),(x g y x f y ==在同一坐标系内的图象大致是（ ）答案1, C 2, C3, （Ⅰ）π()1cos 2321sin 2322f x x x x x⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．4, （1）当]21,21[-∈x 时，由定义知：x 与0距离最近，||)(x x f = ].21,21[-∈x 当)](21,21[Z k k k x ∈+-∈时，由定义知：x k 为与最近的一个整数，故)](21,21[||)(Z k k k x k x x f ∈+-∈-=（2）对任何∈x R ，函数)(x f 都存在，且存在∈k Z ，满足∈+-≤-≤--+≤≤--=+≤≤-k k x k k x k k x x f k x k (21212121.||)(,2121可以得出由Z ）即∈-+---∈-k k k x ](21,21[Z ）.由（Ⅰ）的结论，),(|||||)(1)(x f k x x k k x x f =-=-=---=-即)(x f 是偶函数.（3）.21,1==x x5, n ln 2+6, 6556-7, π41598, （1）12-=n n a （2）)1(2ln 23+•=n n T n9, （1）由1011111010x x x x x x x x p p x x p+⎧>⎪><-⎧->⎪⎧⎪->⇒>⇒⎨⎨⎨<⎩⎪⎪-><⎩⎪⎩或∵ 函数的定义域不能为空集，故1p >，函数的定义域为(1,)p ．（2）φ解集若,21≤<P)34,2(,2pP +>解集若（3）22221()log [(1)()]log (1)()log (1)]1x f x x p x x p x x p x p x +=⋅-⋅-=+-+-+-＝[－令2221(1)(1)()()24p p x p x p x g x -++-+=--+=t =－ ①当1121p p -⎧<⎪⎨⎪>⎩，即13p <<时，t 在(1,)p 上单调减，()(1)g p t g <<，即022t p <<-，∴ 2()1log (1)f x p <+-， 函数()f x 的值域为2(,1log (1))p -∞+-；②当111221p p p -+⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩即3p ≥时，1()()2p g p t g -<≤， 即2(1)04p t +<≤∴ 2()2log (1)2f x p ≤+-，函数()f x 的值域为2(,2log (1)2)p -∞+-．综上：当13p <<时，函数()f x 的值域为2(,1log (1))p -∞+-；当3p ≥时，函数()f x 的值域为2(,2log (1)2)p -∞+-10, C 11, A12, （1）060 （2）-113, B 14, -1 15, 7 16, B17, {0,-1}18, （1）（2）（3）19, D20, B21, A22, B。
专题2.2 圆周角(专项拔高卷)学生版
2023-2024学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.2 圆周角（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.52姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•成武县校级期末）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝128°，则∠B的度数为（）A．128°B．126°C．118°D．116°2．（2分）（2023•遵义模拟）如图点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，则∠ACB的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．90°3．（2分）（2023•岷县校级三模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（）A．5 B．10 C．5D．104．（2分）（2022秋•邯山区校级期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．27°C．26°D．56°5．（2分）（2023•泸县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（）A．3 B．C．D．6．（2分）（2023•封开县一模）已知：如图OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 的度数为（）A．45°B．40°C．35°D．50°7．（2分）（2022秋•高邑县期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．56°B．34°C．29°D．28°8．（2分）（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16°B．24°C．12°D．14°9．（2分）（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，有下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD ＝2OF；⑥△CEF≌△BED．其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③④⑤C．②③④⑥D．①③⑤⑥10．（2分）（2021•汉阳区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•浑江区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．12．（2分）（2023春•兴宁区校级期中）如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为．13．（2分）（2023•宁江区三模）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B ＝°．14．（2分）（2023•阜新一模）如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD ＝．15．（2分）（2023春•青山区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．16．（2分）（2023•二道区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为°．17．（2分）（2022秋•盘山县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝34°，则∠ABD的度数为．18．（2分）（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为．19．（2分）（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG＝120°．若CD＝4+2，则△DEG的面积的最小值是．20．（2分）（2021秋•斗门区期末）如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B 重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•新抚区期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的半径．22．（6分）（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径；（2）连接CD，交⊙O于点G，求证：G是CD的中点．23．（8分）（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．（1）求△ABC的面积；（2）求CE的长．24．（8分）（2022秋•烟台期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．25．（8分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD，CD．（1）求证：DB＝DE；（2）若，，求BC的长．26．（8分）（2023•方城县模拟）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O的直径，∠BAC＝∠ADB．（1）试说明△ABC的形状；（2）若，．①求CD的长度；②将△ABD沿BD所在的直线折叠，点A的对应点是A′，连接BA′、CA′，直接写出∠BA′C的度数．27．（8分）（2023•遵义一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．（1）∠DAB的度数为度．（2）求证：DC＝DM；（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD＝，求ME的长．28．（8分）（2022•芙蓉区模拟）如图，AB＝4，点P是⊙O上一点（不与点A、B重合），PC平分∠APB交⊙O于点C，交AB于点D，∠BAC＝60°．（1）连接OA，OB，求∠AOB的度数；（2）求DC•PC的值；（3）若设AP+BP＝x，△PAB的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．。
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《圆周角》专题
班级姓名
一、基础知识填空
1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．
2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．
3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．
4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．
5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．
5题图
6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠F AE=______，∠DAB=______，∠EF A=______．
6题图
7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______．
7题图
二、选择题
8．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．
A．80°B．100°C．130°D．140°
9．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°
10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．
10题图
A．64°B．48°C．32°D．76°
11．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．
A．37°B．74°C．54°D．64°
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．
A．69°B．42°C．48°D．38°
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC 于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．
A．70°B．90°C．110°D．120°
14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．
15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB 长．
16．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．
求证：FE=EH．
17．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．
18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．
19．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M ．
求证：∠AMD =∠FMC ．
20．如图，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点．求证：AB 2=AD·AE ；
21．如图，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC.BD 交于点E ．（1）求证：△
ABE ∽△DBC ；（2）AD 2=DE·DB ；⑶已知BC=2
5，CD=25，求弦AB 的长．
思考题：如图，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 点作EF ⊥BC ，
垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．。