201X年中考数学总复习第一部分基础知识复习第6章圆第1讲圆的有关概念及性质课件

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2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第六单元圆微专题辅助圆问题

动点轨迹：如图①，点C在以点O为圆心， AB为直径的圆上运动(不含A，B两点)；
图①
微专题辅助圆问题
情形2：∠C为锐角
动点轨迹：如图②，点C在以点O为圆心，圆心角为360°－2α 的优弧 AB 上运动(不含A，B两点)；
图②
微专题辅助圆问题
情形3：∠C为钝角
动点轨迹：如图③，点C在以点O为圆心，圆心角为(360°－2α) 的劣弧 AB上运动(不含A，B两点).
解：这四个点所在的圆如解
例7题图
图所示．
例7解题图
【判断依据】__圆__内__接__四__边__形__的__对__角__互__补______．
微专题辅助圆问题
二阶利用辅助圆求最值方法一点圆最值(2021.10、17，2020.17)
方法解读
已知平面内一定点D和⊙O，点E为⊙O上一动点，设点O与点D 之间的距离为d，⊙O的半径为r.
微专题辅助圆问题
(2)异侧型：如图③，由点A，B，C，D构成的四边形中，若∠D ＋∠B＝180°，则A，B，C，D四点共圆，∠A＋∠C＝180°.
提示：可用反证法证明图③
微专题辅助圆问题
例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为平面内一点，
∠ADC＝∠BAC，过点C作CD的垂线，
ห้องสมุดไป่ตู้
微专题辅助圆问题
位置关系点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
图示
DE的最大值此时点E的位置
DE的最小值
d＋r
2r
d＋r
连接DO并延长交⊙O于点E
r－d
0
d－r
此时点E的位置连接OD并延长点E与点D重合连接OD交⊙O

中考数学总复习第一部分基础知识复习第6章圆第1讲圆的有关概念及性质课件

初三《圆》章节知识点总结

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

中考数学总复习知识点大全圆

几何部分第六章：圆知识点：一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。

由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。

心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和＞180°与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

初中数学中考圆的知识点总结归纳(中考必备)

中考数学圆的知识点总结归纳一、圆的定义（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

二、圆心（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。

计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

三、周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径四、面积计算公式1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方五、点、直线、圆和圆的位置关系1、点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

中考圆知识点总结复习

中考圆知识点总结复习圆是数学中重要的基本概念之一，也是我们日常生活中经常遇到的形状。

在中考数学中，圆的知识点是不可避免的，掌握好圆的相关知识对于中考数学的考试至关重要。

本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结复习，希望对同学们的复习有所帮助。

一、圆的基本概念1. 圆的定义：在平面上的所有到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定的点叫作圆心，这个相等的距离叫作圆的半径。

2. 直径、半径和周长的关系：圆的直径是通过圆心的两个相对的点之间的线段，它等于半径的两倍，周长等于直径的π倍或者半径的两倍π。

二、圆的性质1. 圆心角的性质：圆内切于同一弧上的两条弦所对圆心的两个角是相等的，当圆心角的度数是180°时，这两条弦构成的角是直角。

2. 圆周角的性质：位于圆的同一弧上的两条弦所对的圆周角相等。

3. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和等于180°。

4. 弦长定理：圆内一条弦和它所对的两个圆周角的性质。

5. 弦切定理和切割定理：切割定理：切线与过切点作直径的两个弧所对的圆周角等于90°。

三、圆的相关计算1. 圆的周长和面积的计算公式：周长C=2πr面积S=πr²2. 圆的内、外接正多边形的周长和面积的计算四、圆的位置关系1. 圆的位置关系的判定：“点和圆的位置关系”、“直线和圆的位置关系”、“圆和圆的位置关系”。

五、圆的几何变换1. 圆的平移、旋转、对称的基本概念。

2. 圆的平移、旋转、对称的性质。

六、圆的应用.1. 圆的应用在实际生活和工作中运用。

2. 圆在建筑、设计、制图中的应用。

3. 圆的运动的应用。

七、典型例题解析1. 利用圆的数学知识解决问题的方法。

2. 典型例题的解题思路和方法。

3. 典型例题的解题技巧和技巧。

八、练习题1. 适当安排时间，每天复习一定的题目，加深对知识点的理解和掌握。

2. 定期进行模拟考试，检测自己对圆的知识点的掌握情况。

3. 及时总结巩固，弥补知识点的不足。

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本概念与性质

十年真题精选
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重难考点突破
-3-
6.1 圆的基本概念与性质
2.(2021·安徽第20题)如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交
于点E.
(1)M是CD的中点,OM＝3,CD＝12,求圆O的半径长;
(2)点F在CD上,且CE＝EF,求证:AF⊥BD.
十年真题精选
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在Rt△AOD中,∵AD＝ AB＝3,∠OAD＝41.3°,

∴OD＝AD·tan

41.3°≈3×0.88＝2.64,OA＝
.°
≈

＝
.
4,
∴CD＝CO＋OD＝OA＋OD＝6.64米.
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
十年真题精选
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6.1
圆的基本概念与性质
6.1 圆的基本概念与性质
十年真题精选
十年真题精选(学用见P113~114)
命题点1垂径定理及其推论[10年7考]
1.(2022·安徽第7题)已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在
弦AB上.若PA＝4,PB＝6,则OP＝(
A.
B.4
C.
D.5
)D
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重难考点突破
-4-
6.1 圆的基本概念与性质
解:(1)如图,连接OC,OD.
因为M是CD的中点,且CD＝12,
所以CM＝DM＝6,且OM⊥DM.
在Rt△OMD中,由勾股定理,得OD＝＋＝＋
＝3 ,
所以圆O的半径长为3 .
十年真题精选
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中考圆形知识点总结归纳

中考圆形知识点总结归纳圆形是中学数学中一个重要的几何概念，在中考中也是一个常见的考点。

本文将对中考中涉及到的圆形知识进行总结和归纳，帮助考生复习和掌握这一部分内容。

一、圆的基本概念圆是由平面上任意一点到另一点的距离都相等的点的集合。

其中，距离相等的这个固定值称为圆的半径，用字母r表示。

圆心是圆上任意两点的连线的垂直平分线的交点。

二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离都等于圆的半径。

2. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，且圆心角所对的弧长等于圆的半径乘以圆心角的弧度值。

3. 相等弧所对的圆心角是相等的。

4. 圆的内切正多边形的中心与圆心重合。

三、弧1. 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点的角，它的两边是相交于圆上的两条弧。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数。

2. 弦：圆内部连接两点的线段称为弦。

弦分割出的两条弧叫做弦所对的弧。

3. 弧长：指圆上的一段弧所对应的圆周长度。

弧长等于圆心角的弧度值乘以圆的半径。

四、相交弦与切线的性质1. 相交弦定理：相交弦所对的弧相等，或者说两个相交弦所对应的圆心角相等。

2. 切线的性质：切线与半径的垂直分割线。

切线于半径的交点处所对应的圆心角为直角。

五、圆的面积和周长1. 圆的面积公式：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C为圆的周长。

六、圆的应用1. 圆的切线与圆的性质：切线与切点间的弦相等，切线切割出的小圆与大圆相似。

2. 弧长与扇形面积：扇形面积等于扇形所对的圆心角的弧长所占整个圆的比例乘以圆的面积。

总结：通过对中考圆形知识点的总结和归纳，我们可以看到，圆形在中考中的考点比较多，涉及到圆的基本概念、性质、弧、相交弦与切线的性质、面积和周长以及应用等方面的内容。

对于考生而言，要牢固掌握圆的基本概念和性质，熟练运用相关公式和定理，灵活应用于解题过程中。

只有通过不断的实践和练习，才能在考试中熟练运用所学的圆形知识，取得好的成绩。

中考圆知识点总结复习

中考圆知识点总结复习圆是初中数学中重要的一章，所以复习圆的知识点是中考复习的重点之一、下面是关于圆的相关知识点的总结复习。

1.圆的定义与要素圆是指平面上到一点距离等于固定的一点的所有点的集合。

在一个圆中，距离固定点（圆心）的距离叫做半径，而连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径。

圆上的任意一段弧称为弦，弦的中点称为弦的中点。

2.圆的性质(1)圆上的任意一条弦都小于等于圆的直径。

(2)如果两条弦等长，则它们所对应的弧相等。

(3)圆上的两个相邻的弧所对应的圆心角相等。

(4)圆上任意两条弦所对应的圆心角一定小于等于180°，当且仅当两条弦所对应的圆心角相等时，这两条弦等长。

(5)在同一个圆或等圆上，圆心角相等的弧相等，弦长相等的圆心角相等。

3.圆的证明(1)两个平行弦所对应的圆心角相等。

证明方法：连接两个圆心与平行弦的中点，用平行线性质证明两个等腰三角形的两个底角相等。

(2)相等弧的圆心角相等。

证明方法：用反证法，假设相等的弧对应的圆心角不相等，然后利用圆周角的性质推导出矛盾。

(3)等腰三角形的底角对应的圆心角相等。

证明方法：连接两个顶点与圆心，利用等腰三角形的性质证明两个三角形的两个底角相等。

(4)正三角形的顶角对应的圆心角为120°。

4.圆周角和弧度制(1)圆周角：一个圆周角等于360°，半圆角等于180°，直角等于90°。

(2)弧度制：角度制中一个圆周角等于360°，而弧度制中一个圆周角等于2π（即360°=2π）。

5.弧长和扇形面积(1)弧长：一个圆的弧长等于它的圆周角所对应的弧x半径。

弧长公式：弧长=圆周角/360°x2πr(2)扇形面积：一个圆的扇形面积等于它的圆周角所对应的扇形面积。

扇形面积公式：扇形面积=圆周角/360°xπr²6.圆的切线和切点(1)切线：圆上的一条切线与圆的切点只有一个。

2023最新中考数学总复习(精品课件)第六篇《圆》

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证垂直 .
(2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离
等于半径
.
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
_____p_r______
知识点5:五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段. (2)作一个角等于已知角. (3)作一个角的平分线. (4)经过一已知点作直线的垂线: ①经过已知直线上一点作这条直线的垂线; ②经过直线外一点做已知直线的垂线. (5)作已知线段的垂直平分线.
【注意】运用基本作图法作图时,一般先画出草图,分析作图步骤以及相应的字母表示,选择正确的作图程序,再按分析后编排的字母写出已知、求作,按步骤一边画图一边写好作法.
知识点5:圆心角与圆周角
________
∠_________________. ACB=90°
知识点6:圆内接四边形及其性质
___∠__D____
知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 ,所对的弦相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别相等 .
知识点4:垂径定理及推论
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心 ,并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.

中考数学总复习第一部分教材考点全解第六章圆第21讲圆的基础知识

12/9/2021
第二十八页，共三十八页。
巩固提升 2．(2017·毕节改编)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的
弦，∠ACD＝40°，则∠BAD为( B )
A．30°
C．60°
12/9/2021
B．50° D．70°
第二十九页，共三十八页。
类型
3 (lèixíng)
圆内接四边形的性质(xìngzhì) (2017·广东)如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝
【答案】 B
12/9/2021
第二十七页，共三十八页。
利用圆周角定理及其推论解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理及其推论进行求角度的相关计算.与圆周角有关的常用辅助线有：①过圆上某点作直径，连接过直径端点的弦；②弦垂直平分半径时可构造直角三角形；③构造同弧所对的圆周角.
12/9/2021
第四页，共三十八页。
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo 三 diǎn)
圆的有关概念
圆的对称性圆周角定理及推论(高频考点)
12/9/2021
第五页，共三十八页。
考点(kǎo 一 diǎn)
圆的有关(yǒuguān)概念
1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，这个定点叫做_圆__心__(_yu，ánx定īn) 长叫做__半__径___.
(2017·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点
P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B 的大小是( )
A．43° C．34°
B．35° D．44°
12/9/2021

中考数学总复习第一部分复习第6章圆第1讲圆的有关概念及性质_5

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中考圆知识点归纳总结

中考圆知识点归纳总结中考圆是初中数学中非常重要的一个知识点，也是数学的基础。

掌握了中考圆的相关知识，不仅对于进一步学习数学有很大的帮助，也对于解决实际问题有很大的应用价值。

下面将对中考圆的知识点进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分内容。

1. 圆的基本概念圆是平面上距离一个固定点一定距离的点的集合，这个固定点叫做圆心，这个固定距离叫做半径。

圆通常用字母 O 表示圆心，用字母 r 表示圆的半径。

圆上的任一点到圆心的距离都等于半径，这一点是圆的重要性质之一。

2. 圆的相关线段在圆周上取两点 A、B，连接这两点和圆心 O，得到三条线段，分别是弧 AB、弦 AB 和半径 OB。

弧 AB 是连通 A、B 两点的曲线部分，弦 AB 是圆上连接 A、B 两点的线段，半径OB 是以 O 为端点的一段线段。

圆有很多重要的线段长度关系定理，比如：弦长定理、弦切定理、弦心定理等。

3. 圆的面积和周长圆的周长和面积是圆的重要特征。

圆的周长又叫做圆周长或者圆的周长，通常用字母 C 或者 P 表示，圆周长的计算公式是C=2πr，其中 r 表示圆的半径，π 是一个数学常数，约等于3.14。

圆的面积通常用 S 表示，圆的面积计算公式是S=πr²。

4. 圆中角的度量圆上的角分为圆心角、弧对应角和弦对应角。

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，弧对应角和弦对应角的度数相等。

圆心角、弧对应角和弦对应角之间有很多重要的关系，比如角度的计算，叠加与相交的等。

5. 圆的切线和切点在圆上一个点处的切线是与这个点的切线有且只有一个交点的直线。

圆上的切线长相等。

切点是与切线有且只有一个公共点的圆上的点。

圆的切线和切点有很多重要的定理，比如切线与半径垂直定理等。

中考圆的知识点比较基础但非常重要，掌握了这些知识对于学生进一步学习数学有很大的帮助。

希望同学们多加练习和实践，加强对中考圆知识点的理解和掌握，提高数学的应用能力。

2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第六单元圆第1课时与圆有关的性质

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名称
公式
中心角
360 正n边形的每个中心角θ为__n___
图例
正多边形与圆
边心距
正n边形的边心距r＝
R2
a 2
2
周长面积
正n边形的周长l＝na 1
正n边形的面积S＝__2___rl(l为
正n边形的周长)
R：半径 r：边心距 a：边长 θ：中心角
第1课时与圆有关的性质
一题串讲重难点
理及其推
_的__圆__心__角__的__一__半_____，
论(图③) 即∠BAC＝ 12∠BOC
图③
第1课时与圆有关的性质
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1.____同__弧__或__等__弧__所__对__的__圆__周__角__相__等_____，即
∠BAC＝∠BDC
推论 2．直径(或半圆)所对的圆周角是___直__角____，
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基础知识巩固
例1
如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的
直径，点D为劣弧 AC上一点，连接OD，BD.
(1)∠BAC＝__9_0___°；
(2)若∠COD＝70°，
则∠CBD＝___3_5__°，
∠BDO＝___3_5__°；
例1题图
第1课时与圆有关的性质
(3)如图②，点A为 BD的中点，若∠ACB＝20°，则∠ABD＝__2_0___°，∠CBD＝__5_0___°； (4)如图③，OD⊥AC交AC于点F，AC＝8. ①AF的长为__4____； ②若∠CBD＝27°，则∠ABD＝__2_7___°； ③若⊙O的直径为10，则DF的长为__2____．
尺规作图圆锥的侧面展开图是扇形
1 考点精讲 2 一题串讲重难点 3 广东8年真题子母题

初三数学圆知识点总结归纳

初三数学圆知识点总结归纳数学是一门重要的学科，其中圆是初三阶段的重点内容之一。

为了帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，本文将对初三数学圆的知识点进行总结和归纳。

下面将从圆的基本性质、圆的相关定理以及圆的应用三个方面进行详细介绍。

一、圆的基本性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，了解圆的基本性质对于理解和解题都非常重要。

1.圆的定义：圆是平面上一点到另一点距离保持不变的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。

圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点，常用字母O表示；半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示；直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。

3.弧与弦：圆上两点之间的线段叫做弦，圆上两点之间的弧是圆上除去弦包含的部分所剩下的弯曲部分。

4.圆周角：以圆心为顶点的角叫做圆周角，圆周角的度数是弧长所对应的圆心角的度数。

二、圆的相关定理熟练掌握圆的相关定理对于解题非常有帮助，下面将介绍常用的圆的定理。

1. 半径相等定理：同一个圆内，所有的半径相等。

2. 弦长定理：在同一个圆上，相等弧所对的弦相等，或者说弦相等所对的弧相等。

3. 切线定理：切线与半径垂直，半径与切线的交点恰好在切点上。

4. 弧度制与角度制转换：1 弧度＝180°/π，1 度＝π/180 弧度。

三、圆的应用圆的知识不仅仅用于理论中，还有很多实际应用场景。

下面将介绍几个常见的应用。

1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S表示面积，r表示半径。

2. 扇形面积：扇形是由圆心、弧和两条半径组成的区域，计算扇形的面积可以使用扇形面积公式S = (θ/360°) × πr^2。

3. 弧长公式：弧长公式为L = rθ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

4. 圆与三角形的关系：在三角形中，圆的内切圆是三角形内接圆，三角形的外接圆是三角形外接圆。

通过以上对圆的基本性质、相关定理和应用的总结归纳，我们可以更好地理解和掌握圆的知识点。

中考数学圆知识点总结5篇

中考数学圆知识点总结5篇第1篇示例：数学是中考考试的必考科目，而关于圆的知识点在数学中占有非常重要的地位。

掌握了圆的相关知识，不仅能够在中考中取得更好的成绩，也有助于我们理解和运用数学知识。

下面我们来总结一下关于中考数学圆知识点的内容。

一、圆的基本概念圆是由平面上距离给定点（圆心）的所有点构成的集合，圆心到圆上任意一点的距离称为半径，圆内不经过圆心的线段称为弦，圆内的一段是弦分成的弧，半径的两端和圆上的一点共线，相交于该点的两条切线长度相等等。

二、圆的性质1. 同圆的弦长相等，异圆的弦长不等。

2. 相等圆的半径相等，而且圆周相等。

3. 圆内角、弦的角平分线和半径三者相交于一点。

4. 圆的外接角是对半的，即半径与切线相交于90度，弦与弦的夹角、切线与切线的夹角相等。

5. 内角落在圆弧内的叫做圆心角。

三、圆的相关定理1. 存在唯一的过三点的圆定理（就是圆的唯一性）。

2. 切、割定理（切线与切线、弦、割线各自乘积相等）。

3. 平行/相似判定定理（有什么情况判断两个圆是否平行或相似）。

4. 余弦定理（三角形当中，直角三角形含有的一种特殊情况）。

5. 弦切角定理（描述弦在圆内部与对应的两平行切线的关系）。

6. 余切定理（指两个切线、或一条切线和半径之间的倍率关系）。

7. 切线定理（圆外一点到圆的切线与切点连线的长度之积）。

四、圆的应用1. 圆的相关计算问题：包括求圆周长、面积等。

2. 圆与三角形、正方形/矩形的结合题：针对圆与其他几何形状的相互作用问题。

3. 圆与证明题：利用圆的性质，进行证明题目。

圆的知识点在中考数学中具有非常重要的地位，掌握了圆的相关知识，可以更好地完成相关题目。

在复习中，我们需要通过大量的练习，加深对圆的概念和性质的理解，提高解题的能力和速度。

希望同学们能够认真学习和练习，取得优异的成绩，顺利通过中考。

第2篇示例：中考数学圆知识点总结圆是我们日常生活中常见的几何图形之一，具有许多特殊性质和规律。

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本概念与性质

第六章圆6.1圆的基本概念与性质1.(2022·辽宁营口)如图,点A,B,C,D在☉O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC的长为 (A)A.4√3B.8C.4√2D.42.(2021·合肥庐江期末)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC.若AB=10,∠P=30°,则AC的长度是(A)A.5√3B.5√2C.5D.523.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°,以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD.连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为(C)A.92°B.108°C.112°D.124°4.如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接BE,CE.若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为(A)A.12B.15C.16D.18【解析】∵OD⊥AB,∴AC=BC=12AB=4.设半径OA=OD=x,则OC=x-2.在Rt△AOC中,根据勾股定理,得(x-2)2+42=x2,解得x=5,∴AE=10.∵AE是☉O的直径,∴∠ABE=90°,∴BE=6,∴S△BCE=12BC·BE=12×4×6=12.5.(2021·四川自贡)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E.若OE=3,OB=5,则CD的长度是(A)A.9.6B.4√5C.5√3D.10【解析】∵OE⊥AC,∴AE=EC.∵OE=3,OA=OB=5,∴AE=√OA2−OE2=4,∴AC=8.∵∠A=∠A,∠AEO=∠AFC,∴△AEO∽△AFC,∴AOAC =EOFC,即58=3FC,∴FC=4.8.∵CD⊥AB,∴CD=2CF=9.6.6.(2022·合肥四十五中一模)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BAC=35°,∠CBD=70°,则∠BCD的度数为75°.【解析】由题得∠BDC=∠BAC=35°,在△BCD中,∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=75°.7.[HK版教材九下P31练习第1题改编]如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OA,OC,OD.若四边形OABC是平行四边形,∠AOD=90°,则∠OCD的度数为15°.【解析】连接OB.∵四边形OABC是平行四边形,OA=OC,∴四边形OABC是菱形,∴OA=AB=BC=OC=OB,∴∠OAB=∠OCB=60°.∵∠AOD=90°,OD=OA,∴∠OAD=∠ODA=45°,∴∠DAB=∠OAD+∠OAB=105°,∴∠BCD=180°-∠DAB=75°,∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=15°.8.(2022·芜湖二模)如图,C,D为☉O的直径AB同侧的两个点,连接AD,BC交于点F,E为直径AB上一点,连接DE交BC于点G,且∠DGF=∠CAB.(1)求证:DE⊥AB;(2)若AD平分∠CAB,求证:BC=2DE.解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.∵∠DGF=∠CAB,∠DGF=∠BGE,∴∠BGE+∠CBA=90°,∴∠GEB=90°,∴DE⊥AB.(2)解法1:延长DE交☉O于点H.∵DE⊥AB,∴DH=2DE,BD=BH.∵AD平分∠CAB,∴CD=BD,∴BC=DH,∴BC=DH,∴BC=2DE.解法2:连接OD,交BC于点P.由AD平分∠CAB,OA=OD知OD∥AC.∵AC⊥BC,∴OD⊥BC,∴BC=2BP.易证得△ODE≌△OBP,∴DE=BP,∴BC=2DE.9.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,D为AB的中点,过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E.(1)求证:△ADC∽△DEC;(2)若☉O的半径为3,求CA·CE的最大值.解:(1)∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEC.∵∠ADC=∠ABC,∴∠ADC=∠DEC.∵D为AB的中点,∴∠ACD=∠DCE, ∴△ADC∽△DEC.(2)由(1)知△ADC∽△DEC,∴CACD =CDCE,即CD2=CA·CE.∵☉O的半径为3,∴当CD为直径时,CD最大为6,∴CA·CE=CD2≤62=36,即CA·CE的最大值为36.10.如图,在☉O中,C为弦AB的中点,连接OC,OB,∠COB=56°,D是劣弧AB上任意一点,则∠ADB的度数为(B)A.112°B.124°C.122°D.134°【解析】如图,在优弧AB上取一点P,连接AP,BP,OA.∵AC=BC,∴OC⊥AB,∴OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC=56°,∴∠APB=12∠AOB=56°.∵∠APB+∠ADB=180°,∴∠ADB=180°-56°=124°.11.如图,AB是☉O的直径,C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则☉O的直径为(B)A.√3B.2√3C.1D.2【解析】过点D作DT⊥AB于点T.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴DC⊥BC.∵DB平分∠ABC,∴DT=CD=1.∵AC=3,∴AD=AC-CD=2,∴AD=2DT,∴∠A=30°,∴AB=2√3.12.[一题多解]如图,点A,B,C在☉O上,CA⊥BD,BA⊥CE,垂足分别为点D,E,延长BD,CE交于点F.若∠BFC=50°,则∠BOC的度数为100°.【解析】由题意,得∠DAE=360°-90°-90°-50°=130°,∴∠BAC=∠DAE=130°.解法1:在优弧BC上取一点M,连接BM,CM,∴∠BMC=180°-∠BAC=50°,∴∠BOC=2∠BMC=100°.解法2:连接OA.∵OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC=130°,∴∠BOC=360°-130°-130°=100°.解法1:在优弧BC上取一点M,连接BM,CM,利用圆内接四边形的性质即可求解;解法2:连接OA,利用△AOB,△AOC均为等腰三角形以及四边形内角和为360°即可求解.13.(2021·蚌埠经开区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,过点B 作BF⊥AB交AC的延长线于点F.(1)求证:∠BAC=2∠CBF;(2)若AB=3,CF=2,求tan ∠CBF.解:(1)如图,连接AE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠1=90°-∠2.∵AB=AC,∴∠BAC=2∠1.∵AB⊥BF,∴∠CBF=90°-∠2,∴∠1=∠CBF,∴∠BAC=2∠CBF.(2)过点C作CH⊥BF于点H.∵AB=AC=3,CF=2,∴AF=AC+CF=5.∵AB⊥BF,∴BF=4.∵CH∥AB,∴△FCH∽△FAB,∴CHAB =CFAF=HFBF,即CH3=25=HF4,∴CH=65,HF=85,BH=BF-HF=125,∴tan ∠CBF=CHBH=12.14.(2022·武汉)如图,以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交☉O于点D,连接BD.(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论;(2)若AB=10,BE=2√10,求BC的长.解:(1)△BDE为等腰直角三角形.证明:∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠EBC,∴∠BED=∠DBE,∴BD=ED.∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴△BDE是等腰直角三角形.(2)连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.∵∠CBD=∠CAD=∠BAD=∠BCD,∴BD=DC.又∵OB=OC,∴OD垂直平分BC.∵BE=2√10,∴BD=2√5.∵AB=10,∴OB=OD=5.设OF=t,则DF=5-t.在Rt△BOF和Rt△BDF中,52-t2=(2√5)2-(5-t)2,解得t=3,∴BF=4,∴BC=8.。

中考数学一轮复习第六章圆第一节圆的有关概念及性质课件

等弧只存在同圆或等圆中，大小不等圆中不存在等弧．
(5)圆心角：顶点在__圆__心___的角叫做圆心角． (6)圆周角：顶点在__圆__上___，两边分别与圆还有另一个交点．像这样的角，叫做圆周角．
知识点二圆的有关性质 1．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _过__直__径__的直线，有__无__数___条对称轴． (2)圆是中心对称图形，对称中心为__圆__心__．
3．垂径定理及其推论 (1)垂径定理：垂直于弦的直径__平__分___这条弦，并且__平__分__
弦所对的弧． (2)推论：①平分弦(不是直径)的直径__垂__直___于弦，并且 __平__分___弦所对的弧； ②弦的垂直平分线经过_圆__心__，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且__平__分___另一条弧．
2
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也分别相等．
1．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点．已知 AB ，CD 的度数别为88°，32°，则∠P的度数为
( B)
A．26° B．28° C．30° D．32°
2．如图，已知⊙O的半径等于1 cm，AB是直径，C，D是⊙O
7．(2017·遵义)如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA 的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为____1_4__．
根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合．
2．圆心角、弧、弦之间的关系 (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相__等___，所对的弦__相__等___． (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 __相__等___．

初中圆知识点总结复习

初中圆知识点总结复习圆是初中数学中很重要的一个知识点，也是初中数学的基础内容之一。

圆的相关知识点主要涉及到圆的基本概念、圆的性质、圆的相关定理和应用等方面。

下面我将对圆的知识点进行总结复习，以便同学们更好地掌握和理解这一重要的数学知识。

一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是平面上到一个确定点的距离恒定的所有点的集合。

这个确定点叫做圆心，恒定的距离叫做半径。

2. 圆的元素圆由圆心和半径组成，圆心用符号O表示，半径用符号r表示。

3. 圆周圆的周长叫做圆周，用符号C表示。

4. 圆面积圆的面积叫做圆面积，用符号S表示。

5. 圆的直径以圆心为端点的两条相交的直径互相垂直，且一定相等。

6. 圆的弦在圆内连接圆上的两点的线段叫做弦。

7. 圆的弧圆的部分叫做圆弧。

圆弧的长用符号l表示。

8. 圆心角以圆心为顶点的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对的圆周弧所对应的圆心角的长度。

二、圆的性质1. 圆的性质（1）任意一条弦都在一个圆内。

（2）圆周定理：圆周内的任意点到圆心的距离都相等。

（3）圆内外点定理：圆外一点到圆的两个切点的距离相等。

（4）同样长度的圆周弧所对的圆心角的大小是相等的。

2. 圆的三要素圆的三要素包括圆心、半径和圆周。

3. 圆的相交（1）相交圆：包括相交内切圆、相交外切圆、相交且不相切的圆。

（2）不相交圆：包括包含关系、内含关系和相离关系。

4. 圆的切线（1）切线的性质：切线与半径垂直，切线与切点的切线相等。

（2）切线定理：圆外一点的切线与圆心的连线垂直。

5. 圆的相似对于两个圆，如果它们的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。

三、圆的相关定理1. 圆上的弦定理圆上的弦所夹的圆心角等于它所对的圆周角。

2. 正多边形内接圆和外接圆正多边形内接圆的半径和外接圆的半径之比为$\sqrt{2+\sqrt{2}}$。

3. 等角的圆周弧对于等角的圆周弧，它所对应的圆心角的大小是相等的。

4. 弦切角定理相同弦切圆的两个等角，它对应的弦相等。

2024年中考数学复习-圆知识点复习讲义

圆知识点复习讲义第1 节圆的认识一、知识梳理1.圆的基本概念弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦.直径：经过圆心的弦叫作直径.圆弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧 .弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.2.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.3.点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r.【例】如图1-1所示,AB是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O. 若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为( ).A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm解:如图1-2所示,连接OD,OC.∵AB是⊙O的直径,四边形ABCD 内接于⊙O, BC=CD=DA=4cm,̂=CD̂=BĈ.∴AD∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°.又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴OA=AD=4cm.∴⊙O 的周长=2π×4=8π(cm).故选 D.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列命题正确的个数是( )个.①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧；A. 2B. 3C. 4D. 52.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1-3 所示 .为了在商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明要选择携带的应该是( ).A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块3. 如图1-4所示,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为点D.已知CD=4,OD=3,则AB的长为 .4. 如图1-5所示,AB是⊙O的直径,点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC. 若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为 .欲穷千里目，更上一层楼5. 如图1-6所示,AB,CD是⊙O的直径, AÊ=BD̂.若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( ).A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°6. 如图1-7所示,AB是⊙O的直径, BĈ=CD̂=DÊ,∠COD=35∘,则∠AOE 的度数是( ).A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°̂=DĈ=CB̂,则四边7. 如图1-8所示,已知⊙O的半径为2cm,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点，且AD形ABCD的周长为( ).A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm̂=2AĈ,那么( ).8. 如图1-9所示,在⊙O 中,如果ABA.AB=ACB.AB=2ACC.AB<2ACD.AB>2AC9. 如图1-10 所示,在矩形ABCD中, AB=8,BC=3√5,点 P 在边 AB 上,且BP=3AP.如果圆P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( ).A. 点B,C均在圆P外B. 点 B在圆 P 外,点 C在圆 P 内C. 点B在圆P内,点C在圆P外D. 点 B,C均在圆P内10. 如图1-11所示，城市A的正北方向50km的B处，有一无线电信号发射塔，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条直达C 城的公路，从A城开往C城的班车速度为60km/h.(1)当班车从A城出发开往C城时，有人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h时接收信号最强，则此时班车到发射塔的距离是多少?(离发射塔越近，信号越强)(2)班车从 A城到C城共行驶2h，请你判断，班车到C城后还能接收到信号吗?请说明理由.会当凌绝顶，一览众山小̂的中点，点P 是直径MN上一动点，⊙O 的半径11.如图1-12所示，已知点A是半圆上的三等分点，点B是AN为1.请问：点 P 在MN上什么位置时，AP+BP的值最小?并给出AP+BP的最小值.第2 节垂径定理一、知识梳理(一)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：∵AB是直径,AB⊥CD于点 E,∴CE=DE,CB̂=DB̂,AĈ=AD̂.(二)垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.【例】如图2-2所示,AB是⊙O 的弦,点 C,D是直线AB上的两点,且AC=BD,求证:OC=OD.证明:如图2-3所示,过点O作OE⊥AB于点E.∵OE⊥AB,∴AE=BE.又∵AC=BD,∴CE=DE.∴OE是CD的中垂线.∴OC=OD.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列判断中正确的是( ).A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图2-4所示，已知AB=16m,,半径OA为10m,则中间柱CD的高度为( )m.A. 6B. 4C. 8D. 53. 如图2-5所示,点A,B是⊙O上的两点,AB=10,点P是⊙O上的动点(点 P与点A,B不重合). 连接AP,PB,过点O 分别作OE⊥AP于点E,( OF⊥PB于点F,连接EF,则EF长为( ).A. 4B. 5C. 5.5D. 64. 点P为⊙O内一点，且OP=4. 若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为( ).A. 12B.2√30C. 8D. 10.5欲穷千里目，更上一层楼5.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图2-6所示，设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 (结果保留根号).6. 如图2-7所示，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AD=2√2,AB=2√3,则∠DAB的度数为( ).A.105°B.60°C.75°D.70°7. 如图2-8所示, ∠PAC=30°,，在射线AC 上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作⊙O 交射线AP于点 E,F.(1)求圆心 O到AP的距离;(2)求弦 EF的长.8. 如图2-9所示,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点 P, AP=2,BP=6,∠APC=30°,,则 CD的长为( ).A.√15B.2√5C.2√15D. 89. 如图2-10所示,在半径为√5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点 P,且AB=CD=4,则OP的长为( ).A. 1B.√2C. 2D.2√210. 如图2-11所示,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为y=x2√3,,则a的值是( ).A.2√2B.2+√2C.2√3D.2+√311. 如图2-12所示，△ABC外接圆的半径为5，其圆心O恰好在中线CD上.若AB=CD,则△ABC的面积为( ).A. 36B. 32C. 24D.1812.圆柱形油槽内装有一些油，截面如图2-13所示，油面宽AB 为6dm，再注入一些油后，油面 AB 上升1dm，油面宽变为 8dm，则圆柱形油槽直径 MN 为( ).A. 6dmB. 8dmC. 10dmD. 12dm会当凌绝顶，一览众山小13.如图2-14所示，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx-3k+44与⊙O 相交于点B，C，则弦BC的长的最小值为 .第3 节圆周角定理(1)一、知识梳理圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【例】如图3-1所示,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),点B 是y轴右侧⊙A优弧上的一点，则∠OBC的余弦值为( ).A.12B.34C.√32D.54解:如图3-2 所示,连接CA 并延长交⊙A 于点D.∵CD为直径,∴∠COD=∠yOx=90°.∵直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),∴CD=10,CO=5.∴DO=√CD2−CO2=5√3.∵∠OBC=∠CDO,∴cos∠OBC=cos∠CDO=ODCD =5√310=√32.故选 C.二、分层练习☆万丈高楼平地起1. 如图3-3所示,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点. 若∠CAB=25°,则∠ADC 的度数为 .2.如图3-4所示，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上,则tan∠CBD 的值等于( ).A.2√55B.3√55C. 2D.123. 如图3-5 所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AC是⊙O的直径, ∠C=50°,∠ABC的角平分线BD交⊙O 于点D,则∠BAD的度数为( ).A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°4. 如图3-6所示,△ABC内接于⊙O, AB=AC,,连接BO 并延长交AC 于点 D. 若∠A=50°,,则∠BDC 的度数为( ).A. 75°B.76°C.65°D.70°5. 如图3-7所示,点A,B,C,D在⊙O上,直径AB交CD于点E. 已知∠C=57°,∠D=45°,则∠CEB=.6. 如图3-8所示，AB是半圆的直径，点D是AĈ的中点，∠ABC=50°,则∠DAB等于( ).A.55°B.60°C.65°D.70°欲穷千里目，更上一层楼7. 如图3-9所示,若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°,,连接OB,OC,则边 BC的长为( ).A.√2RRB.√32RC.√22D.√3R8. 如图3-10所示,在⊙O中, AC‖OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( ).A.25°B. 50°C. 60°D. 30°9. 如图3-11 所示,AD 是半圆的直径,点 C 是弧 BD 的中点, ∠ADC=55°,则∠BAD 等于( ).A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°̂=2BĈ,∠C=20∘, 10. 如图3-12所示,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,连接AC,CD,CD交AB于点 E.若BD则∠AED的度数为( ).A. 50°B. 53°C. 55°D. 58°11. 如图3-13所示,AB是⊙O的弦,( OH⊥AB于点H，点P是优弧上的一点.若AB=2√3,OH=1,则∠APB的度数为 .12. 如图3-14所示,⊙O的半径为2,. △ABC是⊙O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦BC的长为( ).A.4√3B.3√3C.2√3D.√3☆会当凌绝顶，一览众山小13. 如图3-15所示,在Rt△ABC中,. ∠ACB=90°,∠A=56°.. 以 BC 为直径的⊙O交AB 于点 D. 点 E 是⊙O 上的一点,且CÊ=CD̂,连接 OE. 过点 E 作. EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( ).A. 92°B. 108°C. 112°D. 124°14. 如图3-16所示,点B,C在⊙A上,AB的垂直平分线交⊙A于点E,F,交线段AC 于点 D. 若∠BFC=20°,则∠DBC=(A. 30°B.29°C.28°D. 20°。

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