第4章 电磁波的传播
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波矢量 k --沿电磁波传播方向的一个矢量 2 k 大小为圆波数 ek --沿波传播方向的单位矢量
i k r t 磁场 Br , t ek E B0 e
v
平面电磁波特性：
E 1）横波， , B与波传播方向都垂直；
J t
电荷守恒定律 得：
t 0et
即使导体内部当初存在电荷，总是随时间指数地衰减，与电磁场的
具体分布无关。↑，衰减变快，↑， 由于极化电荷对的屏蔽作用增强，
使得电场的散度减小，衰减变慢。
弛豫时间--衰减到初始值的
1 所需时间 e
第四章 电磁波的传播
内容结构
单色平面电磁波
无界空间
绝 缘 介 质 导 电 介 质 金 属 导 体 半无界空间边界 +
边值关系
有界空间 谐 振 腔 波 导 管
反射、折射定律
菲涅耳公式
§4.1 单色平面电磁波
一、电磁场波动方程
1.介质色散的影响
以一定频率作正弦振荡的波—定态电磁波（单色波） 以圆频率为振荡的正弦波入射介质，介电常数=（） 磁导率=（）. 和随频率而变的现象--介质的色散 对于一般非正弦变化的电场，色散介质的电位移矢量与电场不成瞬
2 1 cos E // 2 cos sin E // 2 cos 1 cos sin cos
讨论：
1）若入射波为自然光，反射波、折射波都变为部分偏振波； 0, E 0 ,反射波为完全偏振波--布儒斯特定律， 2）如果 ， E// 2 sin B sin 起偏角--布儒斯特角 B tg B 2 n21 cos B sin 1
借助折射定律，得 菲涅耳公式
1 cos 2 cos E sin E sin 1 cos 2 cos
2 1 cos E 2 cos sin E 1 cos 2 cos sin
1 2 , 位相不变 1 2 , 位相改变，电场反相
三、全反射
2 sin n21 由折射定律 sin 1
若 1 2
有
当 （掠射）后
2
增大
z
sin n21
x
sin 1
v1
v
其中 k k
k
v2
电磁波相速度
1
所以
，
v sin 1 sin v 2
2 2 1 1
n21
1 2 0 ，即得光学中的反射、折射定律） （一般非铁磁质，
E cos H cos E E H cos H
介质1,2分界面为无穷大平面（xy平面），
k
x k
z轴沿界面法向， 入射波
n 为法向单位矢。
反射波 折射波
E, k , , E , k , , E , k , ,
由
E E 0 e i k r t n e i k r t 及边值关系 n E E0 E 0 e i k r t E
代入麦氏方程组，消去时间因子e it ，得
取第一式的旋度，应用第二式，得 E 2 E
引入
E iH H iE E 0 H 0
k
有
2 Ek E 0
E, B，ek 满足右手螺旋关系； E, B 互相垂直， 2）
E, B同相，振幅比为电磁波的传播速度v 3）
k
四、电磁波的能量与能流
单色平面电磁波入射线性均匀介质，电磁场的能量密度
1 2 1 2 1 2 2 w E B E B 2
真空中
2 1 E 2 c 1 2 B 2 c
E 0 2 t 2 B 0 2 t
2
二、时谐电磁波——定态波动方程（亥姆霍兹方程）
it Er , t Er e
it Br , t Br e
E E n E H H n H
z=0平面上任一点任意时刻都要满足，要求各个指数因子相等。 结论：1）
任何电磁波在界面反射、折射时不会改变频率；（原因：它们都 是由波源发射的波与介质1、2中作受迫振动的电子发射的波的叠加， 力学中受迫振动与外力的频率相同，
自由电子作周期运动
周期性的传导电流 焦耳热不断放出 H i E E 圆频率为 的单色平面波入射导体 电磁波衰减 1.引入复介电常数 i
定态波动方程为 2.复波矢量
2 2 2
2 Ek E 0
2
k i
B E t D H t D 0 B 0
2 2 E E 2 0 波动方程 t 2 2 B B 0 t 2
2. E // 入射面
E cos E cos E cos
H H H
2
也可写为
1 ‘‘
1 E E 2 E
借助折射定律，得菲涅耳公式
2 cos 1 cos tg E // E // 2 cos 1 cos tg
由电磁场的边值关系导出的光学中的这些定律及公式，又一次有力地说明了光就是电磁波。
3）从光疏正射到光密介质时，存在半波损失—反射过程中的半波损失。
E 入射面
0
1 2 E E 1 2
2 1 E E 1 2
对于透明介质，折射波位相与 入射波相同，反射波视 1， 2 关系而定：
时关系；而对线性均匀介质和某一频率的正弦波而言，和均为常量。
it Er , t Er e
it Br , t Br e
2.导电介质中的自由电荷分布 变化的电磁场 电荷、电流
传导电流
电磁场
J
E 单色波入射线性均匀介质
2
亥姆霍兹（Helmholtz）方程--一定频率下电磁波的基本方程 方程每个满足的解都对应一种可能存在的波膜 ，或将麦氏方程化为
2 Bk B 0
2
i B 满足 B 0 ，同时 E
三、单色平面电磁波
沿x轴传播的平面波,定态波动方程变为一维常微分方程 。
能流密度
--电场、磁场能量相等
1 E 2 S E H E B E ek E ek vwek
2 2 0 2
1 2 能量密度瞬时值 w E E cos k r t 2 E 0 1 cos 2 k r t
一般金属导体，只要电磁波的频率<<1017秒，就可以认为 0 。
结论：、皆为实常数的导体（与瞬时成正比），无论电磁场的初 状态如何，其内部都不会积累电荷，电荷只能累积在导体表面上。
3.波动方程
单色波入射导体或均匀绝缘介质，麦氏方程组 其中
D E, B H
2 E - 2 E E H 2 t t 2 B - 2 B B H 2 t
2 cos i sin 2 n21 2 cos i sin 2 n21
e 2i
反射波与入射波有相同振幅， 同时有一定的相位差，反射波平 均能流密度与入射波相等，电磁 能量被全部反射出去--全反射
（例：光纤中光的传播）。
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
电磁波
导体
k v2
将为复数
kn21 k x k x k sin
2 k 2 k x 2 ik sin 2 n21 kz
折射波电场沿x方向传播，在z方向衰减
若 E 入射面
E cos n21 cos cos n21 1 sin 2 E cos n21 cos cos n21 1 sin 2
Er , t Ex, t 满足 E 0
i kxt 时谐波全式 Ex, t E0 e
ikx E x E 的一个解 0e
E0
--电场振幅
E0 z 0
e i kxt --振荡的相位因子 i kr t 一般坐标系下平面波的表示式 Er , t E0 e
二、菲涅耳公式（振幅关系）--应用边值关系讨论
对每一波矢都有两个独立的偏振波
H
E,并取
0
1.
E 入射面
E E E
2 1 ‘‘
H cos H cos H cos
也可写为
1 E Ecos 2 E cos
1 2 1 2 w E B0 0 一个周期内能量密度平均值 2 2
能流密度平均值 S 1 1 2 1 E0 ek 2 2
2 Ewenku.baidu.com0 ek
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
本节介绍波在不同均匀介质界面上的传播--反射、折射规律
一、反射和折射定律
n E 2 E1 0 一定频率的电磁波入射两绝缘介质界面，由边值关系 n H H 2 1 0 n D2 D1 0 可导出其他两式
n B2 B1 0
z 2 1 k
一旦改变，便是对宏观电动
力学的挑战！）
2） k x
kx kx
ky k y ky
x k 因为 k x x k y y k x y y k x x k y y 且x, y任意，所以系数应各自相等；
取
k y k 得 k sin k sin k sin y ky 0
大小
k
k 2i 2 i
电磁波沿z轴垂直入射导体
i k r t 磁场 Br , t ek E B0 e
v
平面电磁波特性：
E 1）横波， , B与波传播方向都垂直；
J t
电荷守恒定律 得：
t 0et
即使导体内部当初存在电荷，总是随时间指数地衰减，与电磁场的
具体分布无关。↑，衰减变快，↑， 由于极化电荷对的屏蔽作用增强，
使得电场的散度减小，衰减变慢。
弛豫时间--衰减到初始值的
1 所需时间 e
第四章 电磁波的传播
内容结构
单色平面电磁波
无界空间
绝 缘 介 质 导 电 介 质 金 属 导 体 半无界空间边界 +
边值关系
有界空间 谐 振 腔 波 导 管
反射、折射定律
菲涅耳公式
§4.1 单色平面电磁波
一、电磁场波动方程
1.介质色散的影响
以一定频率作正弦振荡的波—定态电磁波（单色波） 以圆频率为振荡的正弦波入射介质，介电常数=（） 磁导率=（）. 和随频率而变的现象--介质的色散 对于一般非正弦变化的电场，色散介质的电位移矢量与电场不成瞬
2 1 cos E // 2 cos sin E // 2 cos 1 cos sin cos
讨论：
1）若入射波为自然光，反射波、折射波都变为部分偏振波； 0, E 0 ,反射波为完全偏振波--布儒斯特定律， 2）如果 ， E// 2 sin B sin 起偏角--布儒斯特角 B tg B 2 n21 cos B sin 1
借助折射定律，得 菲涅耳公式
1 cos 2 cos E sin E sin 1 cos 2 cos
2 1 cos E 2 cos sin E 1 cos 2 cos sin
1 2 , 位相不变 1 2 , 位相改变，电场反相
三、全反射
2 sin n21 由折射定律 sin 1
若 1 2
有
当 （掠射）后
2
增大
z
sin n21
x
sin 1
v1
v
其中 k k
k
v2
电磁波相速度
1
所以
，
v sin 1 sin v 2
2 2 1 1
n21
1 2 0 ，即得光学中的反射、折射定律） （一般非铁磁质，
E cos H cos E E H cos H
介质1,2分界面为无穷大平面（xy平面），
k
x k
z轴沿界面法向， 入射波
n 为法向单位矢。
反射波 折射波
E, k , , E , k , , E , k , ,
由
E E 0 e i k r t n e i k r t 及边值关系 n E E0 E 0 e i k r t E
代入麦氏方程组，消去时间因子e it ，得
取第一式的旋度，应用第二式，得 E 2 E
引入
E iH H iE E 0 H 0
k
有
2 Ek E 0
E, B，ek 满足右手螺旋关系； E, B 互相垂直， 2）
E, B同相，振幅比为电磁波的传播速度v 3）
k
四、电磁波的能量与能流
单色平面电磁波入射线性均匀介质，电磁场的能量密度
1 2 1 2 1 2 2 w E B E B 2
真空中
2 1 E 2 c 1 2 B 2 c
E 0 2 t 2 B 0 2 t
2
二、时谐电磁波——定态波动方程（亥姆霍兹方程）
it Er , t Er e
it Br , t Br e
E E n E H H n H
z=0平面上任一点任意时刻都要满足，要求各个指数因子相等。 结论：1）
任何电磁波在界面反射、折射时不会改变频率；（原因：它们都 是由波源发射的波与介质1、2中作受迫振动的电子发射的波的叠加， 力学中受迫振动与外力的频率相同，
自由电子作周期运动
周期性的传导电流 焦耳热不断放出 H i E E 圆频率为 的单色平面波入射导体 电磁波衰减 1.引入复介电常数 i
定态波动方程为 2.复波矢量
2 2 2
2 Ek E 0
2
k i
B E t D H t D 0 B 0
2 2 E E 2 0 波动方程 t 2 2 B B 0 t 2
2. E // 入射面
E cos E cos E cos
H H H
2
也可写为
1 ‘‘
1 E E 2 E
借助折射定律，得菲涅耳公式
2 cos 1 cos tg E // E // 2 cos 1 cos tg
由电磁场的边值关系导出的光学中的这些定律及公式，又一次有力地说明了光就是电磁波。
3）从光疏正射到光密介质时，存在半波损失—反射过程中的半波损失。
E 入射面
0
1 2 E E 1 2
2 1 E E 1 2
对于透明介质，折射波位相与 入射波相同，反射波视 1， 2 关系而定：
时关系；而对线性均匀介质和某一频率的正弦波而言，和均为常量。
it Er , t Er e
it Br , t Br e
2.导电介质中的自由电荷分布 变化的电磁场 电荷、电流
传导电流
电磁场
J
E 单色波入射线性均匀介质
2
亥姆霍兹（Helmholtz）方程--一定频率下电磁波的基本方程 方程每个满足的解都对应一种可能存在的波膜 ，或将麦氏方程化为
2 Bk B 0
2
i B 满足 B 0 ，同时 E
三、单色平面电磁波
沿x轴传播的平面波,定态波动方程变为一维常微分方程 。
能流密度
--电场、磁场能量相等
1 E 2 S E H E B E ek E ek vwek
2 2 0 2
1 2 能量密度瞬时值 w E E cos k r t 2 E 0 1 cos 2 k r t
一般金属导体，只要电磁波的频率<<1017秒，就可以认为 0 。
结论：、皆为实常数的导体（与瞬时成正比），无论电磁场的初 状态如何，其内部都不会积累电荷，电荷只能累积在导体表面上。
3.波动方程
单色波入射导体或均匀绝缘介质，麦氏方程组 其中
D E, B H
2 E - 2 E E H 2 t t 2 B - 2 B B H 2 t
2 cos i sin 2 n21 2 cos i sin 2 n21
e 2i
反射波与入射波有相同振幅， 同时有一定的相位差，反射波平 均能流密度与入射波相等，电磁 能量被全部反射出去--全反射
（例：光纤中光的传播）。
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
电磁波
导体
k v2
将为复数
kn21 k x k x k sin
2 k 2 k x 2 ik sin 2 n21 kz
折射波电场沿x方向传播，在z方向衰减
若 E 入射面
E cos n21 cos cos n21 1 sin 2 E cos n21 cos cos n21 1 sin 2
Er , t Ex, t 满足 E 0
i kxt 时谐波全式 Ex, t E0 e
ikx E x E 的一个解 0e
E0
--电场振幅
E0 z 0
e i kxt --振荡的相位因子 i kr t 一般坐标系下平面波的表示式 Er , t E0 e
二、菲涅耳公式（振幅关系）--应用边值关系讨论
对每一波矢都有两个独立的偏振波
H
E,并取
0
1.
E 入射面
E E E
2 1 ‘‘
H cos H cos H cos
也可写为
1 E Ecos 2 E cos
1 2 1 2 w E B0 0 一个周期内能量密度平均值 2 2
能流密度平均值 S 1 1 2 1 E0 ek 2 2
2 Ewenku.baidu.com0 ek
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
本节介绍波在不同均匀介质界面上的传播--反射、折射规律
一、反射和折射定律
n E 2 E1 0 一定频率的电磁波入射两绝缘介质界面，由边值关系 n H H 2 1 0 n D2 D1 0 可导出其他两式
n B2 B1 0
z 2 1 k
一旦改变，便是对宏观电动
力学的挑战！）
2） k x
kx kx
ky k y ky
x k 因为 k x x k y y k x y y k x x k y y 且x, y任意，所以系数应各自相等；
取
k y k 得 k sin k sin k sin y ky 0
大小
k
k 2i 2 i
电磁波沿z轴垂直入射导体