“杨辉三角”与二项式系数的性质

n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的特点？ 对称性 2）上下两行有什么关系吗？ 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
r 20 20 r r r 1 20 20 r 1 r 1
11.6 r 12.6
12 20 8 12
系数最大的项是第 13项 即C 2 3
10 二项式系数最大的项为第11项,即 C20
所以它们的比是
12 8 12 C20 23 5 7 13 2 3 10 C20 11
C x
r 6
6 r 2
(2 x 1) 的通项是
5
C (2 x) (1) C (1) 2 x 5 ( x 1) (2 x 1) 的通项是
s 5 6 s s 5
5 s
s 5 s 5 s
C C (1) 2 x
s 5 r 6
s 5 s
16 r 2 s 2
由题意知 16 r 2 s 6 2
问题探究:
(1)今天是星期五，那么7天后
的这一天是星期几呢? （星期五）
（星期六） (2)如果是15天后的这一天呢？
(3)如果是24天后的这一天呢？ （星期一）
(4)如果是 8100 天后的这一天呢？
(4)今天是星期五，那么 的这一天是星期几？
8
100
天后
8
100
（7 1） 0 100 1 99 r 100 r C1 0 07 C1 0 07 C1 0 07 99 1 100 C1 0 07 C1 0 0 0 99 99 （ 7 C1 0 07 C1 0 0 ） 1
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
6
640
求展开式中系数最大(小)的项
例4.在(2 x 3) 的展开式中, 求其项的
20
最大系数与最大二项式系数的比.
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
3 C 2 3 C 2 r 20 r r r 1 20 r 1 r 1 3 C20 2 3 C20 2
100
余数是1， 所以是星期六
变式:若将8Baidu Nhomakorabea除以9，则得到的余数是多少？
100
变式:若将8 除以9，则得到的余数是多少？
100
8
100
C 9 C 9 C 9 C 9 C 9
0 100 1 99 100 100 99 1 100 0 100 100
（9 1）
100
例题点评
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
求多项式的展开式中特定的项(系数)
( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) 例2.
2 3 4
5
的展开式中, x 的系数等于___________
r 5 2
5r
r
要使x的指数为 1, 只需r 1
T2 C ( x 2) 3x
1 5 2 4
15x( x 4 2x 6 4x 4 8x 2 )
8 6 4 2 4
所以x的系数为 15 2 240
4
例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.
杨 辉
《详解九章算法》中记载的表
杨辉三角
(a + b )0 (a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
2 2
,
2.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
3 3 3 3 3 3 3 3 析: C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 330
3. 9192除以100的余数是＿＿＿＿. 92 92 0 92 1 91 91 92 分析： 91 (90 1) C92 90 C92 90 C92 90 C92 由此可见，除后两项外均能被100整除 91 92 C92 90 C92 8281 82 100 81 所以 9192除以100的余数是81
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值。
求奇数(次)项偶数(次)项系数的和 7 7 6 例1.已知(3 x 1) a0 x a1 x a6 x a7 求(1)a1 a3 a5 a7 (2)a0 a2 a4 a6
r n
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n 图象的对称轴： r 2
练习： 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 8 则n=__________
(3) a0 a1 a2 a7
f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7 （3）因为a1 , a3 , a5 , a7是负数
解 : 设f ( x) (3x 1)
7
所以 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 (a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47
0 1 2 n-1 n n Cn +Cn +Cn +…..+C n +Cn =2
n
第 0行
1
第 1行 第 2行
第 3行 第 4行 第 5行
第 6行
各斜线上的数字的和为 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
规律：斜线上各数字的和，从第3条斜 线上数字起，其后各斜线上 的和是前两 条斜线上数字之和，它们构成了著名的 斐波那契数列
r 2s 4 (r 0
r 0 解得 s 2
6, s 0
5)
r 2 s 1
r 4 s 0
x 的系数为: 0 4 0 5 1 2 4 2 0 2 3 C5 C6 (1) 2 C5C6 (1)2 C5 C6 (1) 2
所以 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
0 8
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
r 100 r 100
（ 1 ）
r
所以余数是1， 101 思 考 ： 若将 8 除以9，则得 8 到的余数还是1吗？
巩固练习: 4 2 3 4 1.若（2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x 则 （a0 a2 a4 ) (a1 a3 ) 的值是____.
解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x 的系 0 1 2 2 3 20 数是 C2 (1)C3 ( 1) C4 (1)3 C5
2
2
6 ( x 1) (2 x 1) 例 3:求 的展开式中 x 项
6
5
的系数. 解 ( x 1) 的通项是 C ( x )
6
r 6
6r
an-2+an-1=an(n≥2)
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是： 0,1,2,, n 当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
+ + + + + + + + + + + + + + +
①对称性： Cnm= Cnn-m ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和
m Cn+1 =
Cn
m
+ Cn
m-1
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行
1
2
（3）杨辉三角的第n行数字的和等于为2
由此确定r的取值
三项式转化为二项式
1 8 例6.求( x 1 ) 展开式中的常数项. x
1 8 1 ( x 1 ) [( x ) 1]8 x x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
1 8 1 1 7 1 7 C ( x ) C8 ( x ) C8 ( x ) C88 x x x 再利用二项式定理逐项分析常数项得
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
k n
k 1 n
是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值。
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n 2 n
系数 C 取得最大值； 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C
相等，且同时取得最大值。
n 1 2 n
C
n 1 2 n
练习
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
1
大
小
二项式系数的性质
②增减性与最大值 n(n 1)(n 2) ( n k 1) k k 1 n k 1 由于： Cn Cn k (k 1)! k
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定 k 由：n k 1 1 k n 1 k 2 n 1 可知，当 k 时， 即二项式系数前半部分 2
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
5 10
C C
6 11 .
；
2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式 系数最大，并求出其最大的二项式系数
7 8 解: 第8、9项的二项式系数 C15 与C15 最大。 即6435最大。
小结