数理统计典型例题分析

典型例题分析

例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。

解 以21

S 和22

S 分别表示两个（修正）样本方差。由22

22

12σσy x S S F =知统计量

22

2

1222175.13520S S S S F ==

服从F 分布，自由度为（7，9）。

1） 事件{}2

2

212S S =的概率 {}{}05.32035235

20222221222122

2

1

===⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P

因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。

2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：

{}

{}5.322

221≥=≥=F P S S P p 。

由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：

)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。

由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<

例2．设n X X X ，，

， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式

95.05.122≥⎭⎬⎫

⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。

解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度

1-=n v ，于是，有

{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.0222

2=≤≥-≤=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2

,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水

平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。我们欲求满足

2,05.015.1v n χ≥-）（

的最小1+=v n 值，由附表可见

2

26,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。

于是，所求27=n 。

例3．假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布，其中θ未知：

)(1n X X ，， 是来自X 的简单随机样本，X 是样本的均值，{}

n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。证明

21ˆ1-=X θ 和 11ˆ12+-=n X ）

（θ 都是θ的无偏估计量。

解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布，知2/)12(+==θEX EX i 。 1） 由

θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2

121212221211ˆ111n i n i i n EX n E ， 可见1ˆθ是θ的无偏估计量。

2） 为证明2ˆθ是θ的无偏估计。我们先求统计量)1(X 的概率分布。

{}⎪⎩

⎪

⎨⎧>+≤≤-<=≤=。若，；若；若）（111,,0θθθθθx x x x X P x F

其密度为

⎩

⎨⎧+≤≤=。其他，

若,01,1)(θθx x f

由于n X X ，，

1独立且与X 同分布，知)1(X 的分布函数为 {}{}{}x X x X P x X P x X P x F n >>-=>-=≤=,,111)1()1(1 ）

（）（ {}{}x X P x X P n >>-= 11 []n

x F )(11--=；

[])1()1()()(1)()(1

1

)1()1(+≤≤-+=-='=--θθθx x n x f x F n x F x f n n

于是，有

⎰

⎰

+-+-+==1

11)1()1()1()(θθ

θθ

θdx x x n dx x xf EX n

⎰

⎰

+-+-+++-+-+=111

)1)(1()1()1(θθ

θθ

θθθθdx x n x d x n n n

θθ++=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+++-=11111n n n n 。 θθ=+-=1

1

ˆ)

1(2n EX E ， 从而2ˆθ是θ的无偏估计。

在证2ˆθ的无偏估计时，先求估计量分布再求其数学期望。此外，下面将看到，1ˆθ是矩估计量，)1(X 是最大似然估计量。

3） 有效性的验证，即验证两个无偏估计量哪一个更有效（方差较小），只需 计算它们的方差并加以比较，验证估计量的最小方差超出了本课程的要求。读者只需了解一些常用的最小方差估计量。例如，对于正态分布总体),(2σμN ，样本

均值X 和修正样本方差2S 相应为μ和2σ的最小方差无偏估计量；事件频率n p

ˆ

是它的概率p 的最小方差无偏估计量。 如果要求有效率，则用公式

)ˆ()(0θ

θD D 计算，其中()2

),(ln 1

)()ˆ(⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∂∂=≥θθθθx f nE D D ——称为罗.克拉美不等式。

例4．设总X 服从正态分布），（2

0σμN ，其中方差20σ为已知常数；关于未

知数学期望μ有两个二者必居其一的假设： 1100μμμμ==：，：H H ，

其中0μ和1μ都有已知常数，并且10μμ<。根据来自总体X 的简单随机样本

n X X X ，，， 21，确定假设0H 的α水平否定域（即拒绝域），并计算第二类错误

概率。

解 取统计量 n

X U 0

σμ-=

做检验的统计量。在假设00μμ=：H 成立的条件下，），（10~N U 。 由于

{}{}{}{}ααααα=≤=-≤=≥=≥-122u U p u U P u U P u U P 。 所以以下四种都是假设0H 的水平α的否定域： {}{}αα221u U V u U V ≥=≥=；； {}{}αα-≤=-≤=1423u U V u U V ；， 其中αu 是标准正态分布α水平双侧分位数（见附表）。

在假设11:μμ=H 成立的条件下，统计量)1,(~∆N U ，其中

001/)(σμμ-=∆n 。因此，以)4,3,2,1(=i V i 为假设否定域的检验的第二类错误概率为：