总体参数的区间估计
吴喜之-统计学基本概念和方法-总体参数的区间估计
x
s
n
15
2
53.87
样本标准差 误差边际
( x x)
n 1
s 6.82 x t 2 2.145* 3.78 n 15
651.73 6.82 14
95%的置信区间为
53.87 ±3.78
即（50.09，57.65）天。
确定样本容量
确定样本容量 误差边际 Z x 2 n
根据选择的在 x1 、x2 、x3
位置的样本均值建立的区间
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度 的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估 计量与总体参数之间的最大误差范围。 总结： 已知时的大样本下的区间估计
•
•
q=1-p
n表示样本容量（试验重复次数）
总体比率的区间估计
• 以比率的抽样分布为理论依据，按一定的概
率要求估计总体比率的所在范围就叫做总体比率
的区间估计。
正态近似法
• 当样本容量n比较大，np和nq中较小的那个数
等于或大于5时，二项分布已经接近于正态分布，
此时可以按照正态分布来估计总体比率0.95和
总体参数的区间估计必须具备的三个要素
一、概述总体参数的区间估计是统计学中一个重要的概念，在实际应用中具有广泛的应用。
区间估计的目的是利用样本数据对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。
在进行区间估计时，需要考虑三个重要的要素，以确保估计结果的准确性和可靠性。
二、总体参数的定义在统计学中，总体参数指的是对整个总体的某一特征进行描述的指标。
例如总体均值、总体比例等。
总体参数通常是未知的，需要通过样本数据来进行估计。
区间估计就是利用样本数据对总体参数进行估计，给出一个区间，以确定参数的取值范围。
三、区间估计的三个要素1. 置信水平置信水平是区间估计中非常重要的一个要素。
它指的是对总体参数估计的准确程度的度量，通常用1-α来表示，其中α称为显著性水平，通常取0.05或0.01。
置信水平越高，说明对总体参数的估计越可信。
在实际应用中，常用的置信水平为95或99。
2. 样本容量样本容量是另一个影响区间估计结果的重要要素。
样本容量的大小直接影响了估计结果的精确度。
通常来说，样本容量越大，估计结果越精确。
在进行区间估计时，一般需要根据置信水平和总体参数的方差来确定合适的样本容量。
3. 统计分布在进行区间估计时，需要考虑所使用的统计分布。
常用的统计分布包括正态分布、t分布、F分布等。
选择合适的统计分布对区间估计的结果具有重要影响。
通常在实际应用中，根据样本容量和总体参数的分布情况来选择合适的统计分布。
四、区间估计的计算方法区间估计的计算方法通常包括以下几个步骤：1. 确定置信水平，通常取95或99。
2. 根据置信水平和总体参数的分布情况，选择合适的统计分布。
3. 根据样本数据计算得到统计量的值。
比如样本均值、样本比例等。
4. 根据统计量的值，计算得到区间估计的上限和下限。
通常使用公式：点估计值±临界值×标准误差。
五、实际应用区间估计在实际应用中具有广泛的应用，比如医学研究、市场调研、经济预测等领域。
在这些领域中，通常需要对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计点估计的基本思想是根据样本数据，通过统计量来估计总体参数的值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是找到一个参数值，使得样本观察值的概率最大。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数的值。
例如，如果总体服从正态分布，那么样本均值和样本方差就是总体均值和总体方差的估计量。
区间估计的基本思想是给出一个区间，使得总体参数落在该区间内的概率达到一定的置信水平。
在区间估计中，置信水平通常是根据统计学的理论设定的，常见的有95%和99%置信水平。
区间估计的计算方法主要有正态分布法和t分布法。
正态分布法适用于大样本情况下，而t分布法适用于小样本情况下。
对于点估计，我们需要考虑估计量的偏倚和方差。
偏倚表示估计量的期望值与总体参数的真实值之间的差异。
如果估计量的期望值与总体参数的真实值之间没有差异，就称为无偏估计；否则，就称为有偏估计。
方差表示估计量的离散程度。
我们通常希望找到无偏估计，并且方差越小越好。
对于区间估计，我们需要考虑置信水平和置信区间的宽度。
置信区间的宽度越小，说明估计的精度越高。
但是，要得到一个狭窄的置信区间就需要使用更大的样本量，或者降低置信水平。
在进行区间估计时，需要根据具体需求平衡估计的精度和置信水平。
在实际应用中，点估计和区间估计通常是一起使用的。
点估计提供了一个具体的估计值，而区间估计提供了一个参数值可能的范围。
通过点估计和区间估计，我们可以对总体参数进行合理的估计，并且给出估计的精度和可靠性的度量。
总之，参数的点估计和区间估计是统计学中常用的两种估计方法。
点估计通过选择适当的统计量来估计总体参数的值，而区间估计通过给出参数值可能的范围来表示估计的不确定性。
点估计和区间估计是统计学中重要的概念，对于数据分析和决策制定具有重要的指导意义。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
点估计与区间估计的概念
点估计与区间估计的概念统计学是研究收集、整理、分析、解释数据的学科。
在统计分析中，点估计和区间估计是重要的概念。
本文将介绍点估计和区间估计的含义和应用，并探讨它们在统计推断中的作用。
一、点估计点估计是一种利用样本数据估计总体参数的方法。
总体参数是指关于总体某个特征的数值度量，例如总体均值、总体比例等。
通过抽取一个或多个样本，统计学家可以使用样本统计量来估计总体参数。
点估计的目标是通过样本数据得到尽可能接近总体参数的估计值。
一个常用的点估计方法是使用样本均值作为总体均值的估计值。
假设我们要估计某商品的平均价格，我们可以通过随机抽取一些商品并计算它们的平均价格来得到一个点估计。
然而，点估计并不完美。
由于点估计仅使用单个值来估计总体参数，它无法提供关于估计值的可信度信息。
因此，为了更好地评估估计的准确性，我们需要使用区间估计。
二、区间估计区间估计是一种利用样本数据构建一个区间范围，使得总体参数有一定概率落在该范围内的方法。
与点估计不同，区间估计提供了总体参数估计值的置信区间，即估计参数与真实参数之间的一定范围。
区间估计有两个关键要素：置信水平和置信区间。
置信水平是一个概率，表示我们对估计结果的可信程度。
常用的置信水平是95%或99%。
置信区间是一个包含参数估计值的范围，根据样本数据计算得出。
例如，假设我们随机抽取一批学生的成绩，想要估计全校学生的平均成绩。
通过计算样本均值和标准差，我们可以构建一个置信水平为95%的置信区间，例如（80，85），表示我们有95%的信心认为全校学生的平均成绩在80到85之间。
区间估计的优势在于能够提供对估计结果的置信度信息。
当置信水平提高时，置信区间会变得更宽，因为我们对估计结果的可信程度要求更高。
三、点估计与区间估计的应用点估计和区间估计在统计分析中有广泛的应用。
它们可以用于研究各种领域的问题，例如医学、经济学和社会科学等。
在医学研究中，点估计和区间估计可以用于估计一种药物的治疗效果。
专题20 单个总体参数的区间估计
解:(1)总体N , 2 的的置信水平为1的双侧
置信区间分两种情况:
2已知时，为 X
n
z 2 , X &#
t
2
它们都关于X 对称，所以
(n 1), X + 区间长度
S n
t
2 (n
1)
11.46 7.54
置信下限 9.5 (11.46 9.5) 7.54; 3.92. 17
本X1,..., X n的观测值，若样本均值x 9.5,且参数
的置信水平为1 的双侧置信区间的置信上限
为11.46.(其中(1.96) 0.975) (1)求该双侧置信区间的置信下限及区间长度l；
（2）若已知 4,为使双侧置信区间的置信度达
到0.95, 且区间长度不超过l，求最小样本容量n.
16
22
总结： （1）正确理解置信区间的含义， （2）正确运用置信区间的公式
确定参数
2已知 2未知
的置信区间.
2
23
21
解：总体X ~ B(1, p),均值 p,方差 2 p(1 p), p的置信度为1 的近似置信区间为
X z /2S / n , X z /2S / n
n
650,
pˆ
x
52 650
0.08,
s2
pˆ (1
pˆ )
0.0736,
查表知 z0.025 1.96，代入得(0.059,0.101).
常取a 和b 满足
P此(G时( X，1,P...,XˆL
n
(
; ) a)
X1,, X
n)
P(G(X11,...,2X,
n
;
)
b)
2
.
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
区间估计的名词解释
区间估计的名词解释区间估计是统计学中一种常用的推断方法，用于根据样本数据对总体参数进行估计，给出一个包含真实参数值可能范围的区间。
区间估计的目的是在不完全了解总体参数的情况下，通过样本数据来推断总体参数的值范围。
在进行区间估计时，首先需要选择一个适当的置信水平（confidence level），通常选择的置信水平为95%或99%。
置信水平代表了对总体参数估计的可信程度，例如95%的置信水平意味着有95%的可能性真实参数位于构建的区间内。
区间估计的步骤如下：1. 收集样本数据。
从总体中随机抽取样本，获取样本数据。
2. 选择合适的估计方法。
根据问题的具体情况，选择适合的估计方法，如均值估计、比例估计、标准差估计等。
3. 计算样本统计量。
使用选择的估计方法，计算得到样本的统计量，如样本均值、样本比例、样本标准差等。
4. 确定置信水平。
选择适当的置信水平，通常选择95%或99%。
5. 确定临界值。
根据置信水平和样本量，查找临界值。
临界值以正态分布或t分布的分位数形式给出。
6. 计算估计区间。
使用样本统计量和临界值，计算得到估计区间。
估计区间的计算公式根据不同的估计方法而定。
7. 解释估计结果。
根据计算得到的估计区间，给出估计结果的解释。
例如，可以说在95%置信水平下，总体参数的真实值有95%的可能性位于估计区间内。
区间估计的优点是可以提供对总体参数的估计范围，以及估计结果的可信程度。
通过给出一个区间，可以更全面地理解总体参数的不确定性。
但区间估计也存在一定的局限性，例如需要大样本量才能得到较窄的估计区间，对总体分布的假设要求较高等。
因此，区间估计只能提供对总体参数的近似估计，而无法给出准确的参数值。
正态总体参数的区间估计
总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
THANKS
感谢观看
实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
区间估计法
区间估计法在统计分析中，区间估计法是一种常用的方法，它可以通过一个样本来推断总体的特征。
区间估计法通常被用于描述某个总体的性质，例如总体平均数、总体比例等。
与点估计法不同，区间估计法提供了一个某一参数的估计区间，这个区间内有一定置信度我们可以认为总体参数落在这个区间内。
在进行区间估计的时候，我们需要考虑两个重要因素：置信度和样本大小。
置信度是指我们对估计结果的信心程度，通常用一个百分数来表示，比如95%、99%等。
样本大小则是指我们用来做估计的观测值的数量，样本大小越大，结果的精度也越高。
区间估计最常见的应用就是对一个总体的平均值进行估计。
当我们要估计一个总体的平均值时，我们需要知道这个总体的标准差。
然后，通过对样本的平均值和标准差以及置信度进行一些计算，我们就可以得到这个总体平均值的区间估计。
例如，当我们用95%的置信度对某个总体的平均值进行估计的时候，我们可以说这个总体的真实平均值有95%的可能性在我们计算出来的区间范围内。
除了对平均值进行估计之外，区间估计法还可以用来对总体比例、总体方差、总体标准差等进行估计。
对于总体比例的估计，我们需要知道样本中具有某种属性的比例，然后通过计算这个比例的方差和样本大小等可以得到总体比例的区间估计。
在实际应用中，区间估计法的应用非常广泛。
比如在市场调研中，我们可以通过样本来估计某一产品的受欢迎程度；在医学研究中，我们可以通过样本来估计某种治疗方法的有效性等。
值得注意的是，在使用区间估计法进行数据分析时，我们需要注意样本大小和置信度的选择。
样本量越大，我们得出的结论就越准确；置信度越高，我们得出的结论就越可靠。
但是，高置信度往往需要更大的样本量，这个在实际应用中需要谨慎考虑。
总之，区间估计法是一种非常有用的数据分析方法，它可以使我们通过少量的观测数据来推断总体的性质，为我们进行科学研究和决策提供了有力的支持。
在实际应用中，我们需要灵活使用区间估计法，并在进行数据分析时注意样本大小和置信度的选择，以达到更准确的结果。
点估计和区间估计的概念
点估计和区间估计的概念
点估计和区间估计是统计学中两种常用的参数估计方法。
点估计是通过样本数据来估计总体参数的一个单独的数值，即给出一个“点”的估计值。
点估计可以基于不同的方法，如最大似然估计、矩估计等。
例如，样本均值是对总体均值的点估计，样本方差是对总体方差的点估计。
区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一个范围，即给出一个“区间”的估计范围。
区间估计常常包括置信区间和预测区间。
置信区间是关于总体参数的一个估计范围，表示我们对该参数的估计值有一定的置信程度。
预测区间是对未来的预测范围，考虑了总体参数的不确定性以及未来的随机变化。
例如，95%的置信区间是指我们有95%的置信度认为总体参数在该区间内。
点估计和区间估计都是利用样本数据对总体参数进行估计，但点估计给出了单个估计值，而区间估计给出了一个范围，更全面地描述了不确定性。
点估计只提供了估计值，没有考虑估计的精度和可信度；而区间估计提供了一个范围，可以反映估计的置信度或预测的可信度。
区间估计基本原理
区间估计基本原理
区间估计是指通过样本数据对总体参数进行估计时，给出一个区间范围，以及一个置信度。
区间估计的基本原理是利用样本统计量来估计总体参数，并给出一个置信区间，即有一定置信度的总体参数在该区间内。
在进行区间估计时，通常会使用样本均值、样本比例或样本方差等统计量作为总体参数的点估计。
然后结合样本大小、总体标准差或其估计值，以及所选取的置信水平，利用统计分布的性质进行计算，得到一个区间范围。
置信度是指在重复抽样的情况下，得到的置信区间能够包含真实总体参数的概率。
通常使用的置信度为95%或99%。
即如果重复进行抽样，有95%或99%的抽样结果都能够包含真实总体参数。
区间估计的基本原理是建立在大数定律和中心极限定理的基础上。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会趋近于总体参数的分布。
而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会近似服从正态分布。
因此，可以利用正态分布或t分布来进行区间估计。
当给出一个置信度时，可以根据正态分布或t分布的性质，计算出一个临界值，即一个与置信度对应的取值。
然后根据样本统计量的分布情况，在样本统计量的点估计上加减一个与临界值相乘的标准误差，得到一个区间范围。
通过区间估计，可以对总体参数进行更全面、更准确的估计。
同时，区间估计也可以告诉我们有多大的把握认为总体参数在给定的区间范围内。
统计中的区间估计与假设检验
统计中的区间估计与假设检验统计学是一门应用广泛的学科，其中的区间估计与假设检验是统计学中常用的两种方法。
这两种方法在研究和实践中被广泛应用，用于推断总体参数、比较样本之间的差异以及验证科学假设的有效性。
本文将介绍统计中的区间估计与假设检验的概念、原理以及应用。
一、区间估计区间估计是基于样本数据推断总体参数的取值范围。
在统计学中，常常无法获得整个总体的完整数据，而只能通过抽取部分样本数据，利用样本数据来推断总体的特征。
区间估计给出了参数估计的下限和上限，以一定的置信水平表示。
一般而言，置信水平常用的有95%和99%。
在区间估计中，经常使用的方法有点估计法和区间估计法。
点估计法基于样本数据对总体参数进行点估计，即使用样本数据作为总体参数的估计值。
而区间估计法则给出一个区间范围，以包含总体参数真实值的可能性，而不仅仅是一个点估计的值。
区间估计的步骤可以总结为以下几个：1. 选择合适的抽样方法，获取样本数据；2. 根据样本数据计算参数的点估计值；3. 根据样本数据计算置信水平和抽样误差等；4. 根据置信水平和抽样误差计算置信区间。
二、假设检验假设检验是一种用于验证科学假设的统计方法。
在假设检验中，我们根据样本数据对总体参数或者总体分布是否满足某种假设进行判断。
假设检验通常包括原假设（H0）和备择假设（H1）两个假设。
原假设通常是关于总体参数的一个陈述，而备择假设则是关于总体参数的一个替代陈述。
我们根据样本数据的表现来判断原假设是否应该被拒绝，从而接受备择假设。
通常使用统计量和p值来进行假设检验。
假设检验的步骤可以总结为以下几个：1. 建立原假设和备择假设；2. 选择适当的假设检验方法；3. 设置显著性水平，通常为0.05或0.01；4. 根据样本数据计算统计量的值；5. 根据统计量的值和显著性水平，判断原假设是否应该被拒绝。
三、区间估计与假设检验的应用区间估计与假设检验在实际应用中有着广泛的领域。
比如，在医学研究中，我们可以利用区间估计来估计某种治疗方法的疗效范围；在市场调研中，我们可以利用假设检验来判断广告的效果是否显著。
正态总体参数的区间估计
第19讲 正态总体参数的区间估计教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。
教学重点：置信区间的确定。
教学难点：对置信区间的理解。
教学时数： 2学时。
教学过程：第六章 参数估计§6.3正态总体参数的区间估计1. 区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。
因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计ˆθ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。
设ˆθ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即ˆ{||}1P θθεα-<=-或αεθθεθ-=+<<-1)ˆˆ(P这表明，随机区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。
定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。
若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得12{}1P θθθα<<=-则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。
注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。
按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。
例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。
（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。
第4节正态总体参数的区间估计
3
, 给定 ,0 1 ， 定义 设是总体的一个未知参数
确定两个统计量
ˆ , ˆ 分别称为置信下限和置信上限. 区间. 1 2
ˆ , ˆ ]为 的 置信水平为 1 的 置信 则称区间 [ 1 2
1.75 1.96 1.96 0.49, n 50
所以 的置信区间为
（4.10 0.49, 4.10 0.49 ） （3.61, 4.59 ） .
10
例3 在上例中 , 为使 的置信水平是 0.95 的置信区间
的长度 L 1.5, 求样本容量 .
， u0.025 1.96, 1.75, 解 0.05
u / 2
x
X | | u / 2 X u / 2 X u / 2 / n n n
于是所求 的置信区间为 ( X u 有时简记为 ( X u / 2
2
n
, X u 2 )， n n
7
).
2 某厂生产滚珠，直径 X 服从正态分布 N ( , ). 例1 为了估计 ， 抽检 6 个滚珠， 测得直径为 ( mm) ： 14.70， 15.21，14.90，14.91，15.32，15.32，
对给定的置信水平 1 ,
按标准正态分布的 水平双侧分位数的定义,
查正态分布表得 u 2 ,
6
1.
已知时 的置信区间
2
/2
( x)
X U ~ N (0,1) ， / n
1
O
/2
X P{ | | u 2 } 1 ， n
点估计与区间估计的基本概念
点估计与区间估计的基本概念估计是统计学中重要的概念之一，通过样本数据对总体参数进行推断。
在统计推断的过程中，点估计和区间估计是两种常用的方法。
本文将介绍点估计和区间估计的基本概念及其在实际问题中的应用。
一、点估计点估计是根据样本数据，通过一个单一数值来估计总体参数的方法。
该点估计值通常使用样本统计量来表示，例如样本均值、样本方差等。
点估计的目标是选择一个无偏性且有效性较高的估计量。
在点估计中，我们往往考虑以下两个性质：1. 无偏性：估计量的期望值等于总体参数的真实值。
即E(θ̂) = θ，其中θ̂为估计量，θ为总体的真实参数值。
2. 有效性：估计量的方差越小越好，即估计结果越稳定。
一个有效的估计量能够较准确地刻画总体参数的真实情况。
通过点估计，我们可以根据样本数据得到一个具体的数值，对总体参数进行估计。
但是需要注意的是，点估计仅给出了一个估计值，并没有提供参数的误差范围。
为了更全面地推断总体参数，我们引入了区间估计方法。
二、区间估计区间估计是在点估计的基础上，进一步给出参数估计的置信区间。
置信区间是一个区间范围，我们相信总体参数在这个区间内的概率较大。
通常，我们使用样本统计量加减一个适当的值来构建置信区间。
区间估计的过程可以简单分为以下几步：1. 选择置信水平：置信水平反映了我们对置信区间的可信程度。
常用的置信水平有95%和99%。
2. 计算标准误差：标准误差是对总体参数估计的不确定性进行度量的指标。
通过样本数据计算得到。
3. 确定临界值：根据置信水平和自由度确定临界值，以对称分布的情况下，通常使用t分布或正态分布。
4. 构造置信区间：通过样本统计量、标准误差和临界值，计算得到置信区间。
置信区间提供了总体参数的一个范围估计，可以反映参数估计的不确定性。
它告诉我们在一定置信水平下，总体参数落在这个区间内的概率较大。
三、点估计与区间估计的应用点估计和区间估计在实际问题中具有广泛的应用。
下面以一个实例来说明。
简述区间估计的原理和依据
简述区间估计的原理和依据
区间估计是一种参数估计方法，它基于样本数据对总体分布中的未知参数进行推断。
在统计学中，参数估计是指根据样本数据来估计总体分布中的未知参数，例如均值、方差、比例等等。
区间估计则是在参数估计的基础上，通过给定的置信度，给出总体参数的某个取值在某个区间内的概率。
区间估计的原理是基于概率论和统计学的基本概念，例如大数定律、中心极限定理等等。
根据大数定律，样本数据越多，对总体参数的估计就越准确。
而中心极限定理则表明，当样本数据足够大时，总体分布中的未知参数可以被看作是一个随机变量，并且它的分布接近正态分布。
基于这些原理，区间估计的方法主要包括两种：点估计和区间估计。
点估计是指根据样本数据来估计总体分布中的未知参数，例如均值、方差等等。
而区间估计则是在点估计的基础上，通过给定的置信度，给出总体参数的某个取值在某个区间内的概率。
区间估计的依据是大数定律和中心极限定理。
当样本数据足够大时，区间估计的精度和可靠性就越高。
同时，区间估计还可以给出参数估计的不确定性，帮助我们更好地理解数据的特征和分布。
区间估计在统计学中有着广泛的应用，例如在医学研究中用来估计某种治疗方法的效果，在金融领域中用来估计股票价格的变化趋势等等。
7.9 单正态总体参数的区间估计(1)
概率论与数理统计
07
参数估计
问题
如何让与θ的误差体现在估计中？ˆθ•湖中鱼数的真值[ ]对给定的置信水平(置信度)1－α
办法称为未知参数θ的置信度为1－α的置信区间.12
ˆˆ(,)θθ置信下限(X 1, X 2, …, X n )和置信上限(X 1, X 2, …, X n )1ˆθ2
ˆθ12
ˆˆ()1P θθθα<<≥−使含义若1－α=0.95，抽样100次中约有95个包含θ.12
ˆˆ(,)θθ
单个正态总体均值的区间估计σ2已知μ的置信度为1－α的置信区间为2~(,)
X N n
σμ/2()1/X P u n
αμασ−<=−/2/2()1P X u X u n n αασσμα−<<+=−/2/2(,);X u X u n n αασσ−+/2()
X u n ασ±2~(0,1)n X N σμ−
➢置信区间长度注➢相同置信水平下，置信区间选取不唯一.
l = 2σn u α/2 /2/2(,)
X u X u n n αασσ−+单个正态总体均值的区间估计
例滚珠直径X ~N (μ, 0.0006)，从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为(单位：mm) 1.46 1.51 1.49 1.48 1.52 1.51
求μ 的置信度为95%的置信区间.解/2/2(,)
X u X u n n αασσ−+单个正态总体均值的区间估计
1.495x =，0.05α=，
0.05/20.025 1.96u u ==0.0006(1.495 1.96)6±⨯(1.4754,1.5146)=。
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三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。
三、总体参数的区间估计
2. 总体比率的区间估计
解:由样本数据计算得到S2=1.585，α=0.10，n-1=80%的置信区间为（0.818，4.640）。
三、总体参数的区间估计
4. 区间估计在SPSS软件中的应用
利用SPSS软件的探索功能对变量进行 更深入详尽的描述性统计分析，称为探索性 统计。它在一般描述性统计指标的基础上， 增加了有关数据其他特征的文字和图形描述 ，显得更加细致和全面，有助于确定对数据 进行进一步分析的方案。
解：已知总体X～N(μ,0.152)， =23.4，n=9，1－α=0.95，zα/2=1.96。 总体均值μ的置信区间为
即（23.302,23.498)。 根据95%的概率保证程度，估计该批零件的平均厚度为23.302～23.498 mm。
三、总体参数的区间估计
【例5-13】 某大学生记录了自己一个月（按31d计）所花的伙食 费，经计算得出了这个月平均每天花费10.2元，标准差为2.4元，若显 著性水平为99%，试估计该学生每天伙食费的置信区间。
三、总体参数的区间估计
【例5-15】 某工厂生产电子仪器设备，在一次抽检中，从抽出的 136件样品中检验出7件不合格品，显著性水平为95%。试估计该厂电子 仪器设备不合格率的置信区间。
解：已知n=136,zα/2=1.96,根据抽样结果计算的样本比率p= （7/136）×100%=5.15%，则其95%的置信区间为
表5-1 参数的总体均值的区间估计
三、总体参数的区间估计
当总体服从正态分布且σ2已知时，或
总体不是正态分布且为大样本时，样本均值
的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总
体均值μ，方差为
，而样本均值经过
标准化以后的随机变量则服从标准正态分布
。
三、总体参数的区间估计
如果总体服从正态分布，则无论是大样本还是小样本，样本均值 的抽样分布都服从正态分布，这时，只要总体方差σ2已知，即使是小样 本，也可以按式（5-25）来建立总体均值的置信区间。
（5-25） 但是如果总体方差σ2未知，而且是在小样本的情况下，则需要用 样本方差s2代替总体方差σ2，这时样本均值经过标准化后的随机变量服 从自由度为(n－1)的t分布，即
（5-26）
三、总体参数的区间估计
【例5-11】 某种零件的长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取9件，测得平均 长度为23.4 mm。已知总体的标准差σ=0.15 mm，试估计该批零件厚度的区间范围， 给定的置信水平为95%。
即该厂电子仪器的不合格率的置信区间为（1.44%，8.86%）。
三、总体参数的区间估计
3. 总体方差的区间估计
由抽样分布的知识可知，样本方差服 从自由度为（n－1）的χ2分布，因此可用 χ2分布构造总体方差的置信区间。在给定 显著性水平α的条件下，用χ2分布构造的总 体方差σ2的置信区间如图5-9所示。
三、总体参数的区间估计
图5-9 自由度为(n－1)的χ2分布
三、总体参数的区间估计
【例5-16】 某药厂对某批已打包药品进行随机抽检，测得9包药 的重量（单位：kg）为 49.2、48.9、50.2、51.4、47.9、51.5、49.2 、50.4、48.5，试求该批已打包药品重量总体方差90%的置信区间。
三、总体参数的区间估计
项目
总体参数的区间估计
三、总体参数的区间估计
一 、 一个总体参数的区间估计
当研究一个总体时，所关心的参 数主要有总体均值μ、总体比率π、总 体方差σ2等。下面就如何用样本统计量 来构造总体参数的置信区间进行说明。
三、总体参数的区间估计
1. 总体均值的区间估计
在对总体均值进行区间估计时，需要考虑总体是否为正态分布、总体方差是否已知 、用于构造估计量的样本是大样本还是小样本。参数的总体均值的区间估计见表5-1。
根据样本比率的抽样分布，当样本足够大时，样本 比率的抽样分布可用正态分布近似代替。对于总体比率 的估计，确定样本量是否足够大的一般经验是要求np≥5 和n(1－p)≥5。实践中经常会遇到这样的问题，如一批种 子的发芽率、全部产品的合格率、某地区义务教育阶段 适龄儿童的入学率、全部职工中女职工所占的比例等。 样本中具有某种特征的个体占样本全部个体的比例称为 样本比率，记为p。