(完整版)相似三角形知识点大总结
《相似三角形》最全讲义(完整版)

相似三角形基本知识知识点一:放缩与相似形1. 图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性注意:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的.⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.3. 相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。
注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二:比例线段有关概念及性质(1)有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n,那么就说这两条线段am 的比是a:b=m:n(或 b n )2、比的前项,比的后项:两条线段的比a:b中。
a叫做比的前项,b叫做比的后项。
说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如 b dac4、比例外项:在比例 b d(或a:b=c:d)中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项:在比例 b d(或a:b=c:d)中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项:在比例 b d(或a:b=c:d)中, d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为 b a(或a:b =b:c 时,我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即 a c(或a:b=c:d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线bd 段。
(注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位)2)比例性质acad bc1. 基本性质 :bd(两外项的积等于两内项积)a cb d2. 反比性b d a c ( 把比的前项、后项交换 )3.更比性质 (交换比例的内项或外项 ) :a b,(交换内项 ) cdcd c,(交换外项 ) db a d b.(同时交换内外项 ) ca4.合比性质 :a c abc d(分子加(减)分母 ,分母不变) b d b d注意 :实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间注意:(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法. (2) 应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.(3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成 立.AC1)定义:在线段 AB 上,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC (AC>BC ),如果AB2)黄金分割的几何作图 :已知:线段 AB.求作:点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立.如:acbd5. 等比性质: 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加,比值不变.)e m(b d f fnn 0) ,那么知识点三: 黄金分割BC ,AC,AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ,那么称线段点,AC 与 AB 的比叫做黄金比。
三角形的相似性知识点总结

三角形的相似性知识点总结
相似三角形的定义
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
对于两个三角形来说,如果它们的对应角度相等,则它们是相似的。
相似三角形的判定条件
1. AA相似判定法:两个三角形的两个角分别相等,则它们是相似的。
2. SSS相似判定法:两个三角形的对应边分别成比例,则它们是相似的。
3. SAS相似判定法:两个三角形的两个角分别相等,并且它们的对应边成比例,则它们是相似的。
相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边成比例。
2. 相似三角形的对应角相等。
3. 相似三角形的对应高线成比例。
4. 相似三角形的对应面积成比例。
相似三角形的应用
1. 根据相似三角形的性质,可以解决一些实际问题,如测量无
法直接测量的高度、距离等。
2. 相似三角形的概念也常用于计算机图像处理、地图制作等领域。
注意事项
1. 在进行相似三角形判定时,要注意对应角度或对应边的顺序。
2. 相似三角形的判定条件可以同时使用多个来判定。
以上是三角形的相似性知识点的总结。
相似三角形是数学中重
要的概念,在解决几何问题以及在应用领域中都有很大的用途。
相似三角形知识点大总结

相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). (3)a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad = 知识点2 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1) 基本性质:①bc ad d c b a =⇔=::;②2::a b b c b a c =⇔=⋅.注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式。
(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b d a c=⇔=.(4)合、分比性质:a c abc db d b d±±=⇔=.(注意:合分比性质和等分比性质不同)注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等.(5)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ,那么b a n f d b m ec a =++++++++ . 注:①此性质的证明运用了“设k 法”(即引入新的参数k )这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注:平行线分线段成比例定理的推论:平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形知识点

相似三角形知识点
相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。
相似三角形的性质:
相似三角形对应角相等,对应边成比例。
相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的判定方法:
两角对应相等,两三角形相似(AA)。
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)。
三边对应成比例,两三角形相似(SSS)。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
位似图形:位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点。
初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似,记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。
注意:(1)相似比是有顺序的。
(2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
(3)顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,若△ABC ∽△A /B /C /,相似比为k ,则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系(1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
(2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。
(3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念: 在比例式::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2=AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质: ①基本性质:a b c d ad bc =⇔= ②合比性质:±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质:……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.(2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得:AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.(3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.(4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4:相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5:相似三角形的判定:①两角对应相等,两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 ③三边对应成比例,两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。
初中相似三角形知识点总结

初中相似三角形知识点总结
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等,对应边成比例的关系。
以下是初中相似三角形的知识点总结:
1. 相似三角形的定义:两个或多个三角形的对应角相等,对应边成比例。
2. 相似三角形的性质:
- 对应角相等:两个相似三角形的对应角相等,即角A = 角D,角B = 角E,角C = 角F。
- 对应边成比例:两个相似三角形的对应边成比例,即 AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 相似三角形的判定:
- AA相似定理:如果两个三角形的两个角分别相等,则这两个三角形相似。
- SAS相似定理:如果两个三角形的两个边成比例,并且夹角相等,则这两个三角形相似。
4. 相似三角形的应用:
- 求比例关系:根据相似三角形的性质,可以利用已知的比例关系来求解未知的边长或角度。
- 利用相似三角形求高度:在一个相似三角形中,可以利用已知的比例关系来求解未知的高度。
5. 相似三角形的注意事项:
- 只有对应角相等和对应边成比例的三角形才是相似三角形。
- 相似三角形的比例关系可以用来计算边长,但不能用来计算面积。
相似三角形是初中数学中的重要概念,它在几何形状的比较和计算中有着广泛的应用。
理解相似三角形的性质和应用方法,对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
相似三角形知识点总结

相似三角形第一节图形的相似1.概念:我们把形状相同的图形叫做相似图形。
两个图形相似,我们可以把其中一个图形看作由另一个图形放大或缩小得到的。
例如:放映电影时,投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大。
2.相似多边形的特征正三角形都是相似的,它们的对应角相等,对应边成比例。
则相似的正多边形对应角相等,对应边成比例。
性质:相似多边形对应角相等,对应边成比例。
(对应边的比相等)反过来,如果两个多边形满足对应角相等,对应边成的比相等,那么这两个多边形相似。
我们把相似多边形对应边的比称为相似比。
思考:相似比为1时,两个图形有什么关系?第二节相似三角形的判定1.平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等。
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等。
2.判定三角形相似的定理A.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
B.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
C.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
D.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
E.若两个直角三角形满足一个锐角对应相等,或两组直角边的比相等,则这两个直角三角形相似。
3.相似三角形的应用举例利用三角形相似,我们可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题。
第三节相似三角形的周长与面积相似三角形周长的比等于相似比。
相似多边形周长的比等于相似比。
相似三角形对应高的比等于相似比。
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形面积的比等于相似比的平方。
第四节位似概念:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)

知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多
边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) .
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
.相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
(2)三角形相似的判定方法
1、平行法: (图上)平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交,所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1:简述为: 两角对应相等,两三角形相似. AA
3、判定定理 2:简述为: 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
( 1) 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点
.
( 2) 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形
.
( 3) 位似图形的对应边互相平行或共线 .
( 4)位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质:
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
.SAS
4 、判定定理 3:简述为: 三边对应成比例,两三角形相似 .SSS
5、判定定理 4:直角三角形中, “ HL”
全等与相似的比较:
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL )
两角对应相等 两边对应成比例,且夹角相等
B
C
( 1)定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 似系数 ) .相似三角形对应角相等,对应边成比例.
相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数).知识点2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。
(2)在四条线段dc b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:a d cb =.②()a ca b c d b d==在比例式::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。
(3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0.618AB .即AC BC AB AC == 简记为:12长短==全长 注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1)基本性质:① bc ad d c b a =⇔=::;②2::a b b c b a c =⇔=⋅. (2)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b db d a c=⇔=. (3)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ,那么b an f d b m e c a =++++++++ .可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322;其中032≠+-f d b . 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得:ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或①结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边......与原三角...形三边...对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 知识点5 三角形相似的判定方法1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两B个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法:射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结基础知识 一:放缩与相似形1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。
注意:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形. 3.相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。
注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的对应边的长度的比值是1. 二:比例线段有关概念及性质 (1)有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比是a :b =m :n (或n mb a =)2、比的前项,比的后项:两条线段的比a :b 中。
a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。
说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如dc b a =4、比例外项:在比例dc b a =(或a :b =c :d )中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项:在比例dc b a =(或a :b =c :d )中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项:在比例d c b a =(或a :b =c :d )中,d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为a bb a =(或a:b =b:c 时,我们把b叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段:对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即dcb a =(或a :b=c :d ),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
(注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位)(2)比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= (两外项的积等于两内项积)2.反比性质: c d a b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项4.合比性质:ddc b b ad c b a ±=±⇒=(分子加(减)分母,分母不变) .注意:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a .5.等比性质:(分子分母分别相加,比值不变.) 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ,那么b a n f d b m ec a =++++++++ . 注意:(1)此性质的证明运用了“设k 法” 这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法.(2)应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 三:黄金分割(1)定义:在线段AB 上,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC ),如果ACBCAB AC =,即AC 2=AB×BC,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB的比叫做黄金比。
三角形的相似性知识点总结

三角形的相似性知识点总结三角形是几何学中重要的图形,通过相似性的概念,我们可以研究不同大小但形状相似的三角形之间的关系。
相似的三角形可以通过比较它们的边长、角度或比例来判断。
在以下内容中,我将对三角形的相似性及其应用进行详细总结。
一、相似三角形的定义和性质:1.相似三角形定义:具有相等的夹角且各对应边长度成比例的三角形称为相似三角形。
2.相似三角形性质:a)对应顶角相等:如果两个三角形相似,它们对应的顶角必定相等。
b)对应边成比例:如果两个三角形相似,它们对应的边长必定成比例。
c)对应角与边的比例一致:在两个相似三角形中,对应角与对应边的比例是相等的。
d)周长比例:两个相似三角形的周长之比等于对应边之比。
e)面积比例:两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
二、相似三角形的证明方法:1.侧角侧相似定理(SAS相似定理):如果两个三角形中一对对应角相等,且它们的两对对应边成比例,则这两个三角形相似。
2.角角相似定理(AA相似定理):如果两个三角形中两对对应角相等,则这两个三角形相似。
3. 正弦定理(Sine定理):对于一个任意三角形ABC,在∠B和∠C 两个顶点的夹角中,它们的对边与其相对的角的正弦比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC,其中a、b和c分别是三角形的边长。
4. 余弦定理(Cosine定理):对于一个任意三角形ABC,在∠B和∠C两个顶点的夹角中,它们的边长与其余弦值的比之间有一定的关系,即c²=a²+b²-2ab*cosC。
三、相似三角形的应用:1.三角形的比例测量:通过已知相似三角形的边长比例,可以测量无法直接测量的长度。
2.高度测定:在无法直接测量的情况下,可以通过相似三角形的性质来求解三角形的高度。
3.距离测量:通过相似三角形的应用,可以通过测量一个已知长度物体的阴影长度,推算出其他位置阴影长度对应的物体距离。
4.角度测量:通过已知相似三角形的角度关系,可以测量无法直接测量的角度。
相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳:1、三角形相似的判定方法〔1〕定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
〔2〕平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
〔3〕判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两角对应相等,两三角形相似。
〔4〕判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
〔5〕判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
〔6〕判定直角三角形相似的方法:①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,那么有射影定理如下:〔1〕〔AD〕2=BD·DC,〔2〕〔AB〕2=BD·BC ,〔3〕〔AC〕2=CD·BC 。
注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即〔AB〕2+〔AC〕2=〔BC〕2。
典型例题:例1 如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ‖AB ,BG 分别交AD ,AC 于E 、 F ,求证:BE2=EF·EG 证明:如图,连结EC ,∵AB =AC ,AD ⊥BC , ∴∠ABC =∠ACB ,AD 垂直平分BC ∴BE =EC ,∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2, 即∠3=∠4,又CG ∥AB ,∴∠G =∠3,∴∠4=∠G又∵∠CEG =∠CEF ,∴△CEF ∽△GEC ,∴EG CE =CE EF∴EC 2=EG· EF,故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】此题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相似三角形的根本图形来得到证明.而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ,把原来处在同一条直线上的三条线段BE ,EF ,EC 转换到相似三角形的根本图形中是证明此题的关键。
相似三角形知识点

相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数).知识点2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。
(2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:ad c b=.②()a ca b c d b d==在比例式::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。
(3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0.618AB.即AC BC AB AC ==简记为:12长短==全长注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1) 基本性质:①bc ad d c b a =⇔=::;②2::a b b c b a c =⇔=⋅.注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=.(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b da c=⇔=.(4)合、分比性质:a c abcd b d b d±±=⇔=.注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等.(5)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ,那么b an f d b m e c a =++++++++ .注:①此性质的证明运用了“设k 法”(即引入新的参数k )这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322;其中032≠+-f d b . 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得:ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注:①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边......与原三角形三边......对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注:平行线分线段成比例定理的推论:平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
九年级相似三角形知识点总结

九年级相似三角形知识点总结
相似三角形是指具有完全相同形状但大小不同的三角形。
其主要知识点总结如下:
1. 相似三角形的定义:若两个三角形的对应角相等,则它们是相似的。
2. 相似三角形的判定:若两个三角形的对应边成比例,则它们是相似的。
3. 相似三角形的性质:
- 对应角相等:对应的角度是相等的。
- 对应边成比例:对应边的长度之比是相等的。
- 对应的高线成比例:对应的高线的长度之比是相等的。
- 对应的面积成比例:对应的面积的大小之比是相等的。
4. 相似三角形的性质推理:
- 两个三角形中,如果两边成比例,则其对应的夹角也相等。
- 两个三角形中,如果两角相等,则其对应的边成比例。
- 如果两个三角形中,对应的角度和边成比例,则这两个三
角形是相似的。
5. 相似三角形的应用:
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的边或角度之比。
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的面积之比。
- 利用相似三角形的性质可以进行图形的放大或缩小。
这些是九年级相似三角形的主要知识点总结,掌握了这些知识,可以更好地理解和应用相似三角形的相关概念和性质。
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳:1、三角形相似的判定方法(1)定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两角对应相等,两三角形相似。
(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
(6)判定直角三角形相似的方法:①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ ABC 中,/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。
注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图,已知等腰 △ABC 中,AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ,求证:BE 2=EF EG证明:如图,连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ,/ 1 =Z 2,•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4,又 CG // AB ,•/ G = Z 3,•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ,故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而 其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ,把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点大总结

初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点大总结相似三角形是初中数学中一个重要的概念,它是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
相似三角形具有许多重要的性质和应用,在初中数学中经常会用到。
以下是相似三角形的知识点总结。
一、相似三角形的定义和性质:1.相似三角形的定义:两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
2.相似三角形的性质:-两个相似三角形的对应边成比例。
-两个相似三角形的对应角相等。
-相似三角形的形状相似但大小不一定相等。
3.相似三角形的判定:-AAA准则:两个三角形的对应角相等,则它们相似。
-AA准则:两个三角形的两个对应角相等,则它们相似。
4.相似三角形的比例关系:-相似三角形的对应边成比例。
-相似三角形的周长成比例。
-相似三角形的面积成比例。
二、相似三角形的证明方法:1.直接证明法:通过角度和边的对应关系,直接证明两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
2.间接证明法:通过反证法,假设两个三角形不相似,通过推理产生矛盾,证明假设错误。
三、相似三角形的应用:1.相似三角形的便利性:在研究形状相似的图形时,可以利用相似三角形的性质,简化问题的解决过程。
2.相似三角形的比例问题:通过相似三角形的比例关系,可以解决线段的比例问题、面积的比例问题等。
3.相似三角形的定理应用:如比例定理、高度定理、角平分线定理等,都是通过相似三角形的性质来证明的。
4.相似三角形的构造问题:如已知一个三角形和一条边的比例,可以利用相似三角形的性质,构造出一个相似的三角形。
四、相似三角形与图形的应用:1.相似三角形与勾股定理的应用:根据勾股定理和角度的对应关系,可以判断两条线段之间的关系,如判断一个三角形是否为直角三角形。
2.相似三角形与平行四边形的应用:通过相似三角形的性质,可以证明平行四边形的对边成比例。
3.相似三角形与平行线的应用:通过相似三角形的性质,可以证明平行线与直线之间的角度关系。
五、相似三角形的注意事项:1.相似三角形的顺序:在比较两个三角形相似性时,对应的角和边的位置要一一对应。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等,对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质:1. 相似三角形的定义:如果两个三角形对应角相等,且对应边成比例,则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质:a. 对应角相等:两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例:两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件:a. AA判定:如果两个三角形的两对对应角相等,则它们是相似三角形。
b. AAA判定:如果两个三角形的对应角相等,则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的,则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例,A与D为对应顶角,AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系:AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用,下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一:已知∆ABC与∆DBC是相似三角形,AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm,求DC的长度。
解析:根据相似三角形的性质,可以得到以下比例关系:AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此,DC的长度为2cm。
例题二:在平行四边形ABCD中,∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm,BC = 15cm,求AD的长度。
解析:由于ABCD是平行四边形,所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得:∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°(平行四边形的内角和为180°)将∠B代入上式得:2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD,代入已知值可得:10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子,并代入已知条件可得:10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此,AD的长度为3cm。
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相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数).知识点2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。
(2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:ad c b=.②()a ca b c d b d==在比例式::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。
(3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0.618AB.即AC BC AB AC ==简记为:长短=全长注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1) 基本性质:①bc ad d c b a =⇔=::;②2::a b b c b a c =⇔=⋅.注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=.(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b da c=⇔=.(4)合、分比性质:a c a b c d b d b d±±=⇔=.注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等.(5)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ,那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ.注:①此性质的证明运用了“设k 法”(即引入新的参数k )这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322;其中032≠+-f d b . 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得:ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注:①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边......与原三角形三边......对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注:平行线分线段成比例定理的推论:平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5 相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注:①对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角B形的对应角和对应边. ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系:①反身性:对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆.②对称性:若ABC ∆∽'''C B A ∆,则'''C B A ∆∽ABC ∆.③传递性:若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形:用数学语言表述是:BC DE //Θ, ∴ ADE ∆∽ABC ∆.知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注:射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高, 则AD 2=BD ·DC ,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC 。
知识点8 相似三角形常见的图形EABCD(3)D BCAE (2)CDEAB BC1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:(1)如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
(有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”)(3)如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用:(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB;(3)满足1、AC2=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.(4)当AD AEAC AB或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB.BEACD12ABCDE12AABB C CDDEE12412BBC(D)B(3)B(2)D知识点9:全等与相似的比较:知识点10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比.(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.知识点11 相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法: (1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳:(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的, 则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.即:找相似找不到,找中间比。
方法:将等式左右两边的比表示出来。
①)(,为中间比nm n m d c n m b a ==②'',,n n n md c n m b a ===③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 (4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。