多自由度系统
多自由度系统的振动
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
多自由度系统振动的研究
多自由度系统振动的研究1.建立系统的数学模型：多自由度系统的数学模型通常可以通过运动微分方程来描述，这些微分方程可以由拉格朗日方程或哈密顿方程获得。
建立系统的数学模型是研究多自由度系统的第一步，它能够定量描述系统的振动特性。
2.振动模态分析：振动模态是指各种独立振动模式对应的特征值及特征向量。
在多自由度系统中，有多个振动模态，每个振动模态都有对应的特征值和特征向量，它们描述了系统在不同振动模态下的振动特性。
振动模态分析可以帮助我们理解系统的振动特性、模式和共振现象，并为系统的设计和优化提供依据。
3.模态叠加方法：模态叠加方法是一种常用的分析多自由度系统振动响应的方法。
该方法将系统的初始条件和外力激励在模态基下展开，通过将各模态响应相加，得到系统的总体振动响应。
模态叠加方法可以简化计算，使得问题的求解更加方便，应用广泛。
4.模态分析与结构动力学：多自由度系统的模态分析与结构动力学密切相关。
结构动力学是研究结构体受外力激励下的振动响应的学科，它通常涉及到多自由度系统的模态分析、频率响应和时域分析等。
模态分析为结构动力学提供了基础，通过分析结构的振动模态，可以预测结构在不同激励下的振动响应。
5.数值模拟与实验验证：在研究多自由度系统的振动过程中，可以借助于数值模拟和实验验证相结合的方法。
数值模拟可以通过有限元、边界元或半经验法等方法，对系统的振动响应进行计算和预测。
实验验证可以通过振动台试验或实验模态分析等方式，对系统的振动特性进行实测，从而验证数值模拟的准确性。
总之，研究多自由度系统振动是一个复杂而又重要的课题。
通过建立数学模型、进行振动模态分析、应用模态叠加方法以及进行数值模拟和实验验证等手段，可以更深入地了解多自由度系统的振动特性，为实际工程问题的求解和优化提供科学依据。
第四章多自由度系统
j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1
lr
mij
)
u jr usr
lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T
1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U
第四章 多自由度系统
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上
机械动力学-多自由度系统
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有
多自由度系统的振动、响应和求解
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
第四章多自由度系统
kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )
4.1 多自由度系统的数学描述
4．1 多自由度系统的数学描述一、用柔度系数法和刚度系数法表示的运动方程下面以图4-1的系统为例说明多自由度系统的柔度系数及柔度矩阵。
柔度矩阵所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。
具体地说，系统第个坐标上作用的单位力在第个坐标上所引起的位移就定义为柔度系数r。
如在图4-1系统中，设在质量上沿方向作用一单位力，系统相应于它产生的位移为按柔度系数的定义，就有同理，一个自由度的系统一共有个独立坐标，对应于每个单位力就有个柔度系数；总共有个单位力，故系统总共有个柔度系数（。
它们组成一个柔度矩阵（4-1）假设在系统的各个坐标上分别作用有力，则由叠加原理，系统的各个位移可表示为写成矩阵表式，有（4-2）其中与分别代表位移列阵和力列阵：也就是说，系统的位移列阵就等于系统的柔度矩阵与力列阵的乘积。
方程（4-2）称为位移方程。
应注意，本书中的“力”与“位移”都是指广义的，“力”可以是力，也可以是力偶；而“位移”可以是线位移，也可以是角位移，等等。
下面举例说明怎样求系统的柔度矩阵。
例4-1 设有集中质量与以及长为与的无重刚杆构成的复合摆，如图4-2所示，假定摆在其铅垂稳定平衡位置附近作微振动。
取质量与的水平位置与作为坐标，求系统的柔度矩阵。
解：先仅在上作用一单位水平力。
由静力平衡条件可得：因而有再仅在上作用一单位水平力。
由静力平衡条件有：考虑到可得故系统的柔度矩阵为刚度矩阵所谓刚度是指产生单位“位移”所需的各个外加“力”。
具体地说使系统仅仅在第个坐标上产生单位位移，就需要在各个坐标方向分别加上适当的力，而在第个坐标上所需加的外力，就定义为刚度系数。
一个自由度系统有个独立的坐标，对应着个单位位移，而每个单位位移又对应着个刚度系数；所以系统总共有个刚度系数，它们组成一个刚度矩阵（4-3）例如在图4-1系统中，设有这时，弹簧与没有变形，而弹簧伸长了单位长度，作用于质量上的弹簧力为（向右为正），而作用于质量上的弹簧力为-（向左为负）。
第5章多自由度系统的数值计算方法
第5章多自由度系统的数值计算方法在工程实践中，我们经常会遇到多自由度系统（Multiple Degree of Freedom，简称MDOF）的问题，例如振动台、建筑结构等。
这些系统通常由多个自由度所组成，因此其运动方程会比单自由度系统更加复杂。
因此，我们需要使用数值计算方法来求解这些系统。
在本章中，我们将介绍两种常见的数值计算方法，包括直接积分法和模态叠加法。
一、直接积分法直接积分法，也称为时步法或时间积分法，是一种常用的求解MDOF系统的数值计算方法。
它的基本原理是将多自由度系统的运动方程转换为一组一阶常微分方程。
然后，利用数值积分方法，如欧拉法、Runge-Kutta法等，对这组常微分方程进行求解，得到系统的运动响应。
直接积分法的主要步骤如下：1.确定系统的运动方程：根据多自由度系统的动力学原理，可以得到系统的运动方程。
一般来说，这个方程是非线性方程，通常需要进行线性化处理。
2.将运动方程转化为一阶常微分方程组：将系统的运动方程进行适当的变换，将其转化为一组一阶常微分方程。
这样，就可以使用数值积分方法对其进行求解。
3. 选择数值积分方法：选择适合系统的数值积分方法，例如欧拉法、Runge-Kutta法等。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代来逼近准确解。
4.进行数值计算：根据选择的数值积分方法，进行迭代计算，得到系统的运动响应。
尽管直接积分法是一种广泛应用的数值计算方法，但也存在一些问题。
例如，随着自由度的增加，计算量会大大增加。
此外，由于数值积分方法的局限性，可能会出现数值不稳定、数值发散等问题。
二、模态叠加法模态叠加法是求解MDOF系统的另一种常用数值计算方法。
该方法基于模态分析的思想，将MDOF系统的运动方程转化为一组无耦合的一自由度系统的运动方程。
然后，按照模态响应的叠加原理，将各个模态的响应相加，得到系统的总体响应。
模态叠加法的主要步骤如下：1.确定系统的模态参数：通过模态分析方法，可以得到系统的模态参数，包括模态频率、振型等。
振动力学—多自由度系统
k k2 1 2 1 1 1 2 2 T 1 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 {x1 , x2 } 2 2 2 2 k2 k2 x1 1 T x Kx k2 k3 x2 2
0 x1 1 T x Mx m2 x2 2
3.1引言
二自由度系统的是最简单的多自由度系统，力 学直观性比较明显，系统的运动微分方程的求解相 对简单。 本节以二自由度系统为例，介绍多自由度系统 求解中遇到的某些问题和解决的思路。 3.1.1 二自由度运动微分方程 3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 3.1.3 解除耦合的方法
3.1引言
系统的能量耗散函数
c c 1 2 1 1 2 1 1 c2 ( x1 x2 ) 2 c3 x2 {x1 , x2 }T 1 2 D c1 x 2 2 2 2 c2 c2 x1 1 T x Cx c2 c3 x2 2
mL2 0
1 mgL kL2 0 2 mL 2 kL2
1 0 2 mgL kL 2 kL
2
3.1引言
3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 以汽车的二自由度振动模型为例，选取不同的广义坐标 建立运动微分方程，观察方程耦合的情况。同时找出不同广 义坐标下运动微分方程之间的关系。
3.1引言
⑶取广义坐标为yA、yB 。yC和可用 yA和yB表示为 L1 ( yB y A ) L2 L1 yC y A y A yB L L L
，
yB y A 1 1 y A yB L L L
多自由度系统的振动、响应和求解
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
0 0 y y2 1 m 3 y3
qrki qrkj qiqj 12in1
n
mijqiqj
j1
其中mij
N
mk
k1
rk rk qi qj
பைடு நூலகம்
mji
(4.4)
(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式
V1qTKq, 2
(4.5)
T1qTMq
(4.6)
2
其中q[q1, q2,, qn]T,K[kij]nn,M[mij]nn
矩阵K 称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩 阵M 称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。
因此，柔度矩阵的第一列为
{f11,f21,f31}T76l83EI{9,11,7}T
类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为
f11 [F]f21
f12 f22
ff123376l83EI191
11 16
7 11
f31 f32 f33
7 11 9
系统的动能为
T1 2(m 1y & 1 2m 2y & 2 2m 3y & 3 2)1 2{y1,y2,y3} m 01 m 02 0 0
§4.1 多自由度系统的动力学方程
我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结
多自由度系统
03
仿真与实验研究
通过仿真和实验手段，验证了所提出的多自由度系统建模与控制方法的
有效性和可行性，为实际应用提供了有力支持。
未来发展趋势预测
智能化控制
随着人工智能技术的不断发展，未来多自由度系统的控制 将更加智能化，如基于深度学习的控制策略、强化学习算 法等将得到广泛应用。
柔性化与可穿戴化
随着新材料技术和机械设计技术的不断进步，未来多自由 度系统将更加柔性化和可穿戴化，以适应各种复杂环境和 任务需求。
可分为液压驱动、电动驱动和人力驱动等多自由 度系统。
运动学描述
运动学是研究物体运动规律的科 学，包括位置、速度和加速度等
运动参数。
在多自由度系统中，运动学描述 涉及多个坐标和多个运动参数， 需要采用多维向量和矩阵等数学
工具进行描述。
运动学方程是多自由度系统运动 学描述的基础，通过求解运动学 方程可以得到系统各部分的运动
车辆悬挂系统优化
悬挂系统建模
建立车辆悬挂系统的动力学模型，考虑轮胎、悬挂元件等非线性 因素。
控制策略设计
针对车辆悬挂系统的特点，设计主动或被动控制策略，提高车辆 的行驶平顺性和稳定性。
性能评价与优化
通过仿真和实验手段，评价悬挂系统性能，采用优化算法对控制 策略进行优化，提高系统性能。
07
总结与展望
多模态运动规划与控制
针对多自由度系统复杂多变的运动需求，未来研究将更加 注重多模态运动规划与控制方法的研究，如基于优化算法 的运动规划、多模态切换控制等。
多机器人协同控制
针对多个多自由度系统之间的协同控制问题，未来研究将 更加注重多机器人协同控制方法的研究，以实现多个机器 人之间的协同作业和智能交互。
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多自由度体系的动力响应分析
多自由度体系的动力响应分析多自由度体系的动力响应分析是研究多个质点或刚体组成的系统在外界作用下的运动规律和响应特性的一项重要课题。
多自由度体系是指由多个相对独立的质点或刚体组成的系统，其中每个质点或刚体都可以在三个方向上自由运动，因此系统具有多个自由度。
多自由度体系的动力学方程可由牛顿第二定律推导得出，即∑F = ma，其中∑F 表示作用在系统中各质点上的合力，m 表示质点的质量，a 表示质点的加速度。
根据每个质点的运动规律，可以得到系统在不同自由度上的运动方程。
为了简化多自由度体系动力学方程的求解，常采用试解法和模态分析法。
试解法是假设质点的位置和速度可以用特定的试解函数表示，然后将试解函数代入动力学方程中，从而得到未知系数的值。
模态分析法则是将系统的自由度进行正交分解，得到一组特征向量和特征值，将试解函数表示为特征向量的线性组合。
通过求解特征值问题，可以得到系统的固有频率和模态振型，从而分析系统的动力响应。
自由振动是指在没有外界作用的情况下，多自由度体系在初始时刻给定的初始条件下的运动。
通过求解系统的运动方程，可以得到质点位置随时间的变化规律。
自由振动的特点是系统在固有频率上做周期性的振动，同时各自由度之间存在能量的转移和耦合。
强迫振动是指在外界施加周期性的激励力下，多自由度体系的运动。
外界激励力的形式可以是单频、多频或宽频带等。
通过求解系统的运动方程，可以得到系统在激励力作用下的动力响应。
强迫振动的特点是系统在激励频率附近发生共振现象，振幅会显著增大。
阻尼振动是指当多自由度体系存在阻尼力的情况下的振动。
阻尼力可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种情况。
线性阻尼是指阻尼力与质点速度成正比的情况，非线性阻尼是指阻尼力与质点速度的高阶项有关的情况。
根据阻尼力的形式，可以得到不同类型的阻尼振动方程。
求解阻尼振动方程，可以得到系统的动力响应，包括振动幅值、相位和能量耗散等。
多自由度体系的动力响应分析在工程领域有广泛的应用。
第四章多自由度系统(21-24)
(1) 影响系数法
}和系统的质量 x 设各个自由度的加速度为{ 矩阵为[M]，则各个自由度上所受到的外力 为： } { f } [ M ]{ x
定义质量矩阵[M]的元素Mij：如果系统的第j个 自由度沿其坐标正方向有一个单位加速度，其 余各个自由度的加速度保持为零，为保持系统 这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其 中在第i个自由度上施加的外力就是Mij。 mij是使系统仅在第j个坐标上产生单元加速度 而相应于第i个坐标上所需施加的力
0 x 若
静力加载 K x P(t )
假定有这样一组外力，使系统只在第j个坐标上产生单位位移， 而在其他方向都不产生位移，即产生如下的单位向量：
x x1 0
0 1 0 0 T
x j1
xj
x j1 xn T
{P(t )} [ K ]{x} [ K ]{e j } k11 k12 k k 21 22 ki1 ki 2 k k n 1 n2 k1n 0 k1 j k2 j k2n 0 k 2j kij kin 1 kij k nj k nn 0 k nj k1 j
可见所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K的第j列，其中 Kij(i=1,…,n)是在第i个坐标上施加的力，Kij是使系统仅在第j 个坐标上产生单元位移而相应于第i个坐标上所需施加的力
m11 m 21 m n1
m12 m22 mn 2
1 k11 m1n x k 2 m2 n x 21 mnn x n k n1
多自由度系统 最小作用量原理
多自由度系统最小作用量原理多自由度系统是指系统中包含多个可以独立运动的自由度，其中每个自由度可以由一个或多个坐标变量描述。
最小作用量原理是描述这些自由度的运动方程的一种原理，它基于拉格朗日力学和变分原理。
本文将从介绍多自由度系统开始，解释什么是自由度以及如何描述这些自由度的运动方程。
接下来，将详细介绍最小作用量原理的概念，涉及到拉格朗日函数、虚位移以及作用量的定义。
最后，将对最小作用量原理的应用进行讨论，并简要介绍其中的一些应用案例。
一、多自由度系统的介绍多自由度系统是指系统中包含多个可以独立运动的自由度。
自由度是描述物体在空间中能够自由运动的方向或程度的数量。
对于一个质点而言，它只有三个自由度，分别对应三个坐标轴上的位置变量。
而对于包含多个质点或刚体的系统，则存在多个自由度。
多自由度系统的运动可以由多个坐标变量来描述。
这些坐标变量通常被称为广义坐标。
广义坐标是一组与自由度相对应的独立变量，通过它们可以完整地描述系统的状态。
广义坐标的选取可以有多种方式，但一定要能够完整地表示所有的自由度。
多自由度系统的运动可以通过拉格朗日力学来描述。
拉格朗日力学是一种通过最小作用量原理导出系统运动方程的方法。
最小作用量原理指出，在一个系统的运动中，作用量取极小值。
作用量是指在一个过程中，系统在每个瞬时状态下的能量之和。
对于多自由度系统，作用量可以由广义坐标的函数表示。
二、最小作用量原理的概念最小作用量原理是建立在拉格朗日力学和变分原理的基础上的。
拉格朗日函数是描述系统动力学的一个重要概念，它是广义坐标和它们的导数的函数。
拉格朗日函数可以通过系统的动能和势能来构建，通常表示为L(q, q')，其中q表示广义坐标，q'表示广义坐标的导数。
为了导出系统的运动方程，我们需要考虑广义坐标的变化。
变分原理指出，在系统运动过程中，广义坐标可以发生无穷微小的变化，这些变化被称为虚位移。
虚位移可以写作δq。
最小作用量原理的核心思想是，系统的真实运动路径使作用量取极小值。
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φ i c iφ i
T 2 * c2 φ M φ c m 1 i i i i i
关于质量矩阵归一化的振型矩阵：
φ i c i φ i φ i / mi*
4.2.6 初始条件
由物理坐标的初始条件确定模态坐标的初始条件： x (t ) φ X (t ) φ Ai sin( it i ) X (0) A sin
A k1n 2 m 0 i 1n 1i A 2 k 2 n i m2 n 2i 0 2 k3n i m3n A 3i 0 knn 2 m A ni 0 i nn
0.16339 1 0.086183 φ1 0.56908 1.00000
20 5 0 k K 5 8 3 15 0 3 3
3
2
1
m
k /5 k /3
k
m
2m
(φ1 )
第4章 多自由度系统的振动
0.75306 2 0.44534 φ2 1.00000 0.83517 0.82589 3 0.86847 φ3 1.00000 0.29919
(φ3 ) (φ2 )
1 0.29357 k 2 0.66734 m 0.93192 3
0.16339 0.75306 0.82589 φ 0.56908 1.0 1.0 1.0 0.81517 0.29919
i i
x(0) φ X (0)
x(0) φ X (0)
X (0) Ai i cos i
第4章 多自由度系统的振动
φT M x(0) φT M φ X (0)
(0) φT M φ X (0) φT M x
X (0) A i sin i X (0) A ii cos i
系数矩阵奇异，矩阵的秩= n－1。 计算A i 的具体过程 ：
① 任选 n－1个方程; ② 取A i 中某个元素为单位1，化为 n－1阶非齐次方程组; ③ 求解得A i ，作归一化处理得归一化振型
i。
n 个特征对：
1, 2 ,, i ,, n φ1 , φ 2 ,, φ i ,, φ n
A1i 1
k 22 m22 k 23 m23 k m k m 32 33 33 32 2 2 k m k n 2 i n 2 n3 i mn3
2 i 2 i 2 i 2 i
2 k A k 2 n m2 n 2i 21 i m21 2 k3n m3n A3i k31 i m31 2 k 2 n i m2 n Ani kn1 2i mn1 2 i 2 i
第4章 多自由度系统的振动
例4.2.1 计算例3.4.3中三层框架的固有频率和固有振型。
2 解: M m 1 1
2
m / k 特征方程： 1 4 2 0 3 3 8 1 1 0 3 15 5 1 0 1 5 5
和A为复数，则有
K M A 0
AT K A AT M A 0
AT K A AT M A 0
K M A 0
M和K为对称矩阵
AT K A AT M A 0
以上二式相减 :
M正定 :
AT M A 0
(4.2.11)
(i 1, 2,, n)
坐标变换的矩阵形式 :
xφX
(4.2.15)
振型矩阵 ：由各归一化振型矢量 i 组成的矩阵； x为物理坐标，X为振型坐标－特殊形式的广义坐标。
4.2.4 振型矢量的正交性
措施：
第4章 多自由度系统的振动
运动方程的特点： 耦合，求解困难，费时！ 解耦，变成 n 个独立的单自由度系统 。
自由振动一般解: 主坐标:
n
(i, j 1, 2,, n)
ji ( j =1 , 2 , … , n) —第i 阶归一化振型矢量的各元素
x j (t ) j i Ai sin( i t i ) (4.2.13)
i 1
X i (t ) A i sin( i t i )
T * T (0) X (0) diag(1/ m* ) φ M x ( 0 ) X ( 0 ) diag ( 1 / m ) φ Mx i i
分量形式：
T X i (0) 1/ m* φ i i M x(0)
(0) 1/ m* φ T M x (0) X i i i
2i 2j φiT M φ j 0
i2 j2
φiT K φ j 0 φiT M φ j 0 (i j)
φiT K
φ
2 j j
φiT M
φj 0
i j
φiT M φi 0
* i T i
φ K φ 0
第4章 多自由度系统的振动 T i i
模态质量: m φ M φi
第4章 多自由度系统的振动
(2.4.5) 自由振动解 ： x A sin( t ) x —位移矢量 A—振幅矢量 —无阻尼固有频率 —初相角
齐次方程组 ：
特点：
K 2 M A 0
(4.2.6)
① 无法确定A中的所有元素，但可确定其相对比值；
② A中的 n-1个未知元素和 , 可由方程(4.2.6)唯一确定。
(0) A cos X i i i i
tan i
A i sin i X i (0)
Ai
2 X i (0) 2 X i (0) i
i X i (0)
(0) X i
第4章 多自由度系统的振动
2 不失一般性，假定某一特征根为二重根： i 2 1 i
4.2.7 关于特征根的重根问题
系数矩阵的秩等于n－2。
2 2 m k m k m k11 2 i 11 12 i 12 13 i 13 k 2 m k 2 m 2 k m i 22 23 i 23 21 i 21 22 2 2 k31 2 m k m k m i 31 32 i 32 33 i 33 2 2 2 k m k m k m n1 i n1 n 2 i n2 n3 i n3
φ MφX 1X T Tdiagm* X X T1 x M x 2 2 i
1 2 T T
1 2
i 1
2 mi* X i
n
V x K x X φ K φ X X diagk
1 2 T
1 2 T Tபைடு நூலகம்
1 2
T
* i
X ki* X i2
1 2 i 1
拉格朗日方程
k * X 0 m* X i i i i
(i 1, 2,, n)
第4章 多自由度系统的振动
4.2.5 振型矢量的归一化
方法1: 令振型矢量中最大的元素等于单位1 ; 方法2: φ T M φ I φ T K φ diag( 2 ) (4.2.28) i
§4-2 多自由度系统自由振动的一般理论
4.2.1 运动方程的建立 建立运动方程的基本方法
第4章 多自由度系统的振动
直接平衡法: 适合于自由度较少的集中质量离散系统； 能量法： 适合任意的多自由度系统； 分布质量系统，离散化，有限单元法。 研究对象： N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统
T 动能： T 1 x Mx 2
T 势能： V 1 x Kx 2
T T 拉格朗日广义函数 ： L 1 ( x M x x K x) 2
(4.2.2)
d L L 0 x dt x
K x 0 M x
(4.2.3)
4.2.2 固有频率和固有振型
1.0 0.66331 0.21519 φ 0.53165 1.0 0.69898 1.0 0.15642 0.84172
第4章 多自由度系统的振动
4.2.3 主坐标
在特定的初始条件下，系统可能以单一的振型振动—主振动
x j i (t ) j i Ai sin( i t i )
特征值问题： 为特征值，A为特征矢量。 非零解条件 —频率方程： K 2 M 0
(4.2.7)
频率方程关于 2的n个根，即系统的固有频率。
第4章 多自由度系统的振动
性质1. 动能T正定，即M正定，且M和K对称，则 证明：设满足方程(4.2.6)的某个特征对=
2
i
2
必为实根；
第4章 多自由度系统的振动
2 2 m k m k m k11 2 i 11 12 i 12 13 i 13 k 2 m k 2 m 2 k m i 22 23 i 23 21 i 21 22 2 2 k31 2 m k m k m i 31 32 i 32 33 i 33 2 2 2 k m k m k n1 i n1 n 2 i n 2 n3 i mn3
证毕 #
AT M A 0
性质2. 若势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够 的约束，不会发生刚体位移 ，则 i2 必为正的实根； 证略。
第4章 多自由度系统的振动