立体几何平行关系

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空间中的平行与垂直例题和知识点总结

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

了解平行与垂直形的平行和垂直关系

了解平行与垂直形的平行和垂直关系平行和垂直关系是几何学中的重要概念，用以描述两条直线或两个平面之间的相对位置关系。

了解平行和垂直形的平行和垂直关系对于几何学的学习和应用具有重要意义。

一、平行关系平行关系是指两条直线或两个平面之间没有交点，并且始终保持相同的距离。

在平面几何中，平行关系由平行线来描述。

如果两条直线的任意两个点相互连接的线段始终平行，则这两条直线被称为平行线，记作$l_1 \parallel l_2$。

平行线之间的距离始终保持相等，这个距离被称为平行线间的距离。

在立体几何中，两个平面如果没有交点，并且保持相同的距离，则被称为平行平面。

平行关系在几何学中有广泛的应用。

在平面几何中，平行线之间的性质包括：平行线上的任意一对内角相等、平行线之间的外角相等、平行线与横截线所夹的内角相等等。

平行关系也被应用于解决实际问题，如建筑设计中的平行墙面或公路设计中的平行车道等。

二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的交角为90度（直角）。

在平面几何中，垂直关系由垂直线来描述。

如果两条直线的交角为90度，则这两条直线被称为垂直线，记作$l_1 \perp l_2$。

在立体几何中，两个平面如果通过一条直线交于直角，则被称为垂直平面。

垂直关系在几何学中也有广泛的应用。

垂直关系可以用于求解直角三角形的边长和角度。

在建筑设计中，垂直关系用于垂直墙面的设计以及地面与墙面之间的垂直关系。

在物理学中，垂直关系用于描述物体受力情况中的垂直方向分量。

三、平行和垂直关系的判断如何判断两条直线或两个平面之间的平行和垂直关系呢？在平面几何中，常用的方法包括：1. 通过线段的斜率来判断。

如果两条直线的斜率相同，则它们是平行线；如果两条直线的斜率互为倒数，则它们是垂直线。

2. 通过线段的方程来判断。

如果两条直线的方程中的系数满足一定的条件，则可以判断它们是平行线或垂直线。

在立体几何中，判断平行和垂直关系的方法也是基于对交线的角度关系的判断。

立体几何中的平行线与平面关系

立体几何中的平行线与平面关系立体几何是研究空间内的图形和其性质的一门学科。

在立体几何中，平行线和平面的关系是一个重要的内容，它们相互影响并在空间中构成各种有趣的几何结构。

本文将探讨平行线与平面的关系以及它们在立体几何中的应用。

一、平行线的定义及性质在几何学中，平行线是指在同一平面上，永远不会相交的直线。

具体而言，两条直线如果在同一平面内，且它们所在的平面内没有其他交线与它们相交，那么这两条直线就被称为平行线。

平行线具有以下性质：1. 平行线没有交点：由定义可知，平行线永远不会相交。

2. 平行线具有相等的斜率：如果两条直线的斜率相等或者其中一条直线的斜率为无穷大，那么它们就是平行线。

3. 平行线之间的距离始终保持相等：对于平行线上的任意两点，它们到另一条平行线的距离是相等的。

二、平行线与平面的关系平行线与平面之间存在紧密的联系。

平行线可以在同一平面上或者在不同平面上与某个平面相交，并生成特殊的几何图形。

1. 平行线与同一平面内的直线当两条平行线与同一平面内的一条直线相交时，会产生一些特殊的角关系：- 同位角：同位角是指两条平行线与切割它们的一条直线所形成的对应角，它们的大小相等。

- 内错角：内错角是指两条平行线与切割它们的一条直线所形成的内部角，它们的和为180度。

- 外错角：外错角是指两条平行线与切割它们的一条直线所形成的外部角，它们互补，即和为180度。

2. 平行线与不同平面之间的关系当两条平行线分别位于不同的平面中时，它们与这些平面之间也存在一些特殊的关系：- 平行平面：如果两条平行线位于不同平面中，且这两个平面不相交，那么这两个平面就是平行平面。

平行平面之间的距离始终保持相等。

- 斜交平面：如果两条平行线分别与两个不平行的平面相交，那么这两个平面就是斜交平面。

斜交平面会生成许多有趣的几何图形，例如棱柱、棱锥等。

三、平行线与平面的应用平行线与平面的关系在实际应用中具有广泛的应用价值。

以下是一些典型的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行线与平面的关系被广泛运用。

立体几何常考定理的总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳

完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。

以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。

二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。

三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。

二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。

2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。

3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。

4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。

利用空间向量证明平行问题

例题2:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面A1BD//平面CB1D1
以A为坐标原点建立空间坐标系如图，证明：
z
A1
D1 C1
设正方体棱长为1，则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0)
B1
A B
D
y
A1 (0, 0,1), B1 (1, 0,1), C1 (1,1,1), D1 (0,, , 0), F (0, , )., EF (a, 0, ) 2 2 2 2
平面SAD的法向量为 EF / /平面SAD.
n (0,1,0)
b EF n a 0 0 1 0 0 2
EF n
P
M
A
D N C
B
设平面CB1 D1的法向量为n ( x, y, z),
x
C
在平面A1 BD中， A1 B (1,0, 1), A1 D (0,1, 1) n A1 B 11 1 0 1 (1) 0 n A1 D 1 0 11 1 (1) 0
CB1 (0, 1, 1), CD1 (1,0,1). n CB1 y z 0 , 令z 1, 则n (1,1,1) n CD1 x z 0
n A1 B, n A1 D
即n也是平面A1 BD的法向量。
平面A1 BD / /平面CB1 D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题的步骤 1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线，若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系；若没有，则需要作辅助线。 2.写出空间图形中各点的空间坐标。

立体几何中的平行与垂直

立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅲ）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．练习3 .如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，的值．求DEDC立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E解析 A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选：C．练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行答案 C解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，CE，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系得CN=13∵MG∥AE MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，又PF∩CF=F，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以DC ∥AE ，DC=AE ．又点E 为AB 的中点，所以DC ∥EB ，DC=EB ．所以四边形DEBC 为平行四边形．所以CB ∥DE ．又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，所以CB ⊥平面PCF ．因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．解：（Ⅲ）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点．如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．因为四边形DEBC 为平行四边形，所以EF ∥CN ，EF =12BC =CN ．所以四边形ENCF 为平行四边形．所以FC ∥EN ．在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 中点，所以MF ∥PE ．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE∩EN=E，MF ，CF ⊂平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ．练习3 .如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 上的高BD ，将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC 的值．解析（1）∵BD 是AC 边上的高，∴BD ⊥CD ，BD ⊥PD ，又PD∩CD=D，∴BD ⊥平面PCD ，又PE ⊂平面PCD 中，∴BD ⊥PE ，即PE ⊥BD ；（2）如图所示，连接BE ，交DM 与点F ，∵PE ∥平面DMN ，∴PE ∥NF ，又点N 为PB 中点，∴点F 为BE 的中点；∴DF=12BE=EF ；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF 是等边三角形，设DE=a ，则BD=√3a ，DC=√3BD=3a ；∴DE DC =a 3a =13．。

立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质

立体几何（线面平行、垂直的有关结论）空间中线面平行、垂直关系有关的定理：1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。

2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。

8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。

（）9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。

10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。

11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。

（）12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。

（）13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。

14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。

15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。

（）17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。

18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。

20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：。

第3章3.2 立体几何中的向量方法(一)平行关系

【思路分析】解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 ∵AD，AB，AS 是三条两两垂直的线段，∴以 A 为原点，以A→D，A→B，A→S的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，D(12，0，0)，C(1，1，0)，S(0， 0，1)，A→D＝(12，0，0)是平面 SAB 的法向量，
2．用向量方法证明空间中的平行关系
线线平行
设直线 l1，l2 的方向向量分别是 a，b，则要证明 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb(k∈R)
①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明
l∥α，只要证明 a⊥u，即 a·u＝0
②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的线面平行
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【思路分析】直线的方向向量与平面的法向量的关系和直线与平面位置关系之间的内在联系是 l∥α⇔a⊥u，l⊥α⇔a∥u.
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 ①∵u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a. ∴直线 l 和平面 α 的位置关系是 l⊂α或 l∥α. ②∵u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)， ∴u＝－14a，∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)， ∴u 和 a 既不共线，也不垂直． ∴l 与 α 斜交．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
要点 3 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行．设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)线面平行．设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u ＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

立体几何-平行关系

平行关系（文字语言、图形语言、符号语言） 1，线线平行： 2，线面平行 3，面面平行
（1）平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线与此平面平行。

线面平行的判定定理
（2）如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面相交，所得的交线与该直线平行。

（3）如果两条相交直线分别平行于同一个平面，则由这两条相交直线所确定的平面与此平面平行。

（4）如果一个平面平行于另一个平面，则该平面内的任一条直线与另一个平面平行。

（5）不在同一个平面的两组相交直线互相平行，则所确定的两个平面平行。

（6）两个平行平面被第三个平面所截，截得的两条交线平行。

重点：线面平行
例1：若一直线和两个相交平面都平行，则这条直线和两个平面的交线平行。

:
例2：在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。

求证：
11//ABC D EF 平面。

例3：已知正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别为1A A 、1C C 的中点。

求证：
11BD //B D E F 平面平面。

例4：如果两个平面分别平行于第三个平面，则这两个平面平行。

例5：已知正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别为棱1111B C C D 、的中点，求证：（1）E 、F 、B 、D 共面；
（2）平面AMN//平面EFDB ；（3）平面111AB D //C BD 平面
（5）
（6）。

立体几何平行与垂直的判定与性质

立体几何平行与垂直的判定与性质
• 平行与垂直的基本概念 • 平行线的判定 • 垂直线的判定 • 平行与垂直的性质 • 立体几何平行与垂直的应用
目录
01
平行与垂直的基本概念
平行的定义
总结词
在立体几何中，如果两条直线在同一平面内，且永远不会相交，则这两条直线被称为平行的。
详细描述
在平面几何中，两条平行线被定义为在同一平面内，且永远不会相交的两条直线。这个定义在立体几何中同样适用。在三维空间中，两条平行线可能位于不同的平面，但它们永远不会在任何平面上相交。
在三维建模软件中，平行和垂直关系也是构建复杂几何体的基础。通过设定平行或垂直的约束条件，可以确保模型的准确性和一致性。
实际生活中的平行与垂直应用
在城市规划和建筑设计中，平行和垂直的应用同样广泛。例如，确定道路、建筑物的位置和方向时，需要利用平行和垂直关系来确保规划的科学性和合理性。
在机械设计和制造中，平行和垂直关系也是非常重要的。例如，在制造精密仪器或机械设备时，需要确保各个部件之间的平行和垂直关系，以保证设备的准确性和稳定性。
总结词
平行和垂直是两种互为对立的几何关系，它们在三维空间中共同构成了直线之间的基本关系。
详细描述
平行和垂直是直线之间最重要的两种关系。在三维空间中，除了平行和垂直之外，直线之间还可以是斜交的。平行和垂直的对立关系使得它们在解决几何问题时具有重要的作用。例如，在建筑设计和工程实践中，垂直关系常常用于确定物体的位置和方向，而平行关系则常常用于确定物体的尺寸和比例。
详细描述
在立体几何中，如果两条直线被第三条直线所截，并且内错角相等，则这两条直线平行。这是因为内错角相等说明两条直线在同一平面内，并且没有交点，因此它们是平行的。

必修二立体几何初步第三讲---平行关系.

专题平行关系本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】1．直线与平面平行的判定(1直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．实际上，如果一条直线和一个平面平行，这条直线和平面内的直线平行或异面，有两种位置关系．(2直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3夹在两个平行平面间的平行线段相等．第二部分：【经典例题】例1 下面说法正确的是（）A. 直线平行于平面内的无数条直线，则∥；B. 若直线在平面外，则∥；C. 若直线∥，直线，则∥；D. 与两条异面直线都平行的平面有无穷多个例2 下列说法中正确的是（）①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。

届数学一轮复习第七章立体几何第四节平行关系教师文档教案文

第四节平行关系授课提示:对应学生用书第131页［基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行)因为l∥a，aα，lα，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β,b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b1．判定定理序号文字语言图形语言符号语言判定定理2如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行错误!⇒α∥β判定定理3平行于同一个平面的两个平面平行错误!⇒α∥γ2.性质定理序号文字语言图形语言符号语言性质定理2如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面α∥β且aα⇒a∥β性质定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线α∥β且l⊥α⇒l⊥β3。

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时,一般遵循从“低维"到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行"；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用．[四基自测］1．(易错点：线面平行的性质)下列命题中正确的是() A．若a，b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα,则b∥α答案：D2．(基础点:线面平行的判定）下列四个正方体图形中,A，B为正方体的两个顶点，M,N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(）A．①③B．②③C．①④ D．②④答案：C3．（基础点：空间平行关系的判定）在正方体ABCD。

立体几何平行垂直所有判定定理和性质定理

性质定理一
如果一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的任何直线都不相交。
性质定理二
如果两个平面平行，那么这两个平面内的任何直线都不相交。
性质定理三
如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任何直线都垂直于另一个平面。
平行线和垂直线的综合判定定理和性质定理的应用
应用一
在建筑学中，利用判定定理和性质定理判断建筑物的稳定性，如判断墙、柱、梁等是否垂直或平
垂直线的性质定理
垂直线之间的角度都是直角，且垂直线之间的距离是零。
3
平行四边形的性质定理
平行四边形的对角线互相平分，且对角相等。
空间几何中的其他重要定理的应用
在几何图形中，判定定理和性质定理的应用非常广泛，例如在计算面积、周长、角度等几何量时，需要使用判定定理和性质定理来证明某些几何关系或求解某些几何问题。
在机械工程中，垂直线的判定定理和性质定理被用于确定机械零件的位置和角度，以确保机械设备的正常运行。
应用二
在建筑学中，垂直线的判定定理和性质定理被广泛应用于确定建筑物的垂直度和平行度，以确保建筑物的稳定性和安全性。
03
平行线和垂直线的综合判定
定理和性质定理
平行线和垂直线的综合判定定理
01
立体几何平行垂直判定定理和性质定理
• 平行线的判定定理和性质定理 • 垂直线的判定定理和性质定理 • 平行线和垂直线的综合判定定理
和性质定理 • 空间几何中的其他重要定理
目录
01
平行线的判定定理和性质定
理
平行线的判定定理
01
02
03
04
同一平面内，不相交的两条直线判定为平行线。
平行于同一直线的两条直线互相平行。

立体几何三八大定理线面关系

lmβααbaNMCB AD A 1B 1C 1D 1αDCBA立体几何（三）线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用：线线平行⇒线面平行典例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CC 的中点，求证：//MN ABCD 平面二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行典例：如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证：AC BD =CABB 1A1C 1D Eb a FE γβαDCB A文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 作用：线线平行⇒ 面面平行典例：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点，求证：平面1//A EB 平面1ADC四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行典例：如图，////αβγ，直线a 与b 分别交,,αβγ于点,,A B C 和点,,D E F ，求证：AB DEBC EF=nmAαaαbaFEPD CBA 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直典例：已知四棱锥,P ABCD PD -⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PD CD =，,E F 分别为,PB PC 的中点，求证：（1）AC ⊥平面PBD （2）PA AB ⊥（3）PC ⊥平面ADFE六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭作用：线面垂直⇒线线平行BA l βαaβαC CBAP文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

立体几何平行

A BC DA B ` C` DE FAED 1CB 1D CBA立体几何——平行关系11．线面平行：（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

(记忆口诀：线线平行线面平行)（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． (记忆口诀：线面平行线线平行)2．两个平面平行：（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

(记忆口诀：线面平行，则面面平行)（2）性质定理：① 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行② 一个平面内的任一直线平行另一平面(记忆口诀：面面平行，则线线平行)1． a ∥α，b ∥α则a 与b 的位置关系（）A ．平行B ．异面C ．相交D ．以上情况均有可能2．a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面（）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．以上答案都不对3、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点。

求证：EF ∥面AD 1C 。

4、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，E 、F 分别是AB, PC 的中点，求证：EF ∥平面PAD ；5. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。

求证：AF ∥平面PCE ；6、如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是1AA 的中点，求证：1//AC 平面BDE 。

CBDAPE F1A 17. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 是PD 的中点．求证：PB ∥平面AEC ．8．已知正四棱锥P —ABCD ，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA=BN ∶ND=5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC ； 9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。

探索立体几何中的平行线与平面关系

探索立体几何中的平行线与平面关系在立体几何中，平行线与平面之间存在着密切的关系。

平行线是在同一个平面上没有交点且方向相同的直线，而平面是由无数条平行线构成的。

在本文中，我们将探索平行线与平面的关系，并深入了解其应用和性质。

一、平行线与平面的定义和性质平行线与平面的定义与欧氏几何密切相关。

根据欧氏几何的第五公设（也称为平行公设），如果直线上有一点与该直线外一点的连线与直线相交，那么通过这两个点还可以延伸一条直线，与给定直线在同一平面内相交。

基于这个公设，我们得出平行线的定义：如果两条直线在同一个平面上没有交点，且方向相同，那么它们就是平行线。

与平行线相关的性质有：1. 平行线永远不会相交，即使延伸到无穷远；2. 平行线具有相同的斜率，但是不在同一直线上；3. 平行线和同一平面上的交线之间存在一对内错角和一对外错角；4. 平行线和同一平面上的交线之间的对应角相等。

二、平面与平面之间的关系在立体几何中，平面和平面之间也存在着多种关系。

下面，我们将介绍几种常见的平面关系。

1. 平行平面：如果两个平面没有交点，且它们的法向量平行，则这两个平面是平行平面。

平行平面在三维空间中具有相同的倾斜程度，但它们的距离可以不同。

2. 垂直平面：如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面是垂直平面。

垂直平面之间的交线是一条直线。

3. 相交平面：如果两个平面有公共点，并且它们不平行或垂直，则这两个平面是相交平面。

相交平面之间的交线是一条直线。

4. 平行于坐标平面：坐标平面由x轴、y轴和z轴构成，平行于坐标平面的平面与任意两个坐标轴平行。

三、平行线与平面的应用平行线与平面在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。

1. 平行线的使用：平行线的概念被广泛应用于建筑、设计和工程等领域。

在建筑中，平行线可以帮助建筑师绘制平行的墙壁或道路，确保建筑物的结构稳定和美观。

2. 平面的应用：平面的概念被广泛应用于图形学、计算机辅助设计、几何建模、空气动力学和流体力学等领域。