上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—08—基本不等式—翁军成-教师版

高一数学秋季班（教师版）教师日期

学生

课程编号08课型同步复习课题基本不等式

教学目标

1.掌握基本不等式的概念；

2.掌握几个重要不等式；

3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路；

4.掌握简单基本不等式的相关证明问题；

教学重点

1.掌握不等式的使用条件；

2.掌握不等式的变形；

3.掌握多次使用不等式的方法；

教学安排

版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60

一、基本不等式：

1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号

2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值

2P ；

（2）“和定积最大”：2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R +

∈，22

22

a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均

二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2

a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号

变式：2

2

2

()22

a b a b ab ++≥

≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则

12n

a a a n

+++L 称为这n 个正数的算术平均

数，12n n a a a ⋅⋅⋅L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是：

1212n n

n a a a a a a n

++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅，

当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。

知识梳理

基本不等式

一、简单基本不等式问题

【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab b

a ≥+2

”成立的 条件。 【难度】★

【答案】充分非必要条件

【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求y

x 1

1+的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。

y x xy

xy y x xy y x y x 1

12422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>>ΘΘ的最小值为24

【难度】★

【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，

当时，即，取得最小值。

【例3】如果正数d c b a ,,,满足4==+cd b a ，那么（ ） （A ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （B ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （C ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 （D ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 【难度】★★ 【答案】A

2

244,44,2c d ab a b ab cd c d +⎛⎫

≤+=⇒≤=≤⇒+≥⇒ ⎪⎝⎭

两个不等式取等号时相等，且取值唯一。

223ab ba

223b a 2a b 3b b 2a 2a b a b 2a 1+=+≥++=+++=+b a 2a b =22b ,12a ,a 2b -=-==例题解析

【例4】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A ．a+b+

ab

1≥22 B (a+b)(

a 1+b

1

)≥4 C 22ab

≥a+b D b a ab +2≥ab

【难度】★★

【答案】D ， A,B 显然满足，而C 2

2222222a b a b a b a b ab ab

+++≥⇒≥≥+

【巩固训练】

1、若x> -1则x 取什么值时x+1

1

+x 的值最小？最小值是多少？ 【难度】★

【答案】X=0，最小值是1

2、若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在2

2

,2,,2x y xy x y xy ++中最大的一个是_____________。 【难度】★ 【答案】【x y +】

二、不等式的最值问题

【例5】若1y x 2

2

=+，则xy 的取值范围 【难度】★ 【答案】11,22⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦.

【例6】已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ，则y x +2的最小值 。 【难度】★★

【答案】5,()24

0,1,12211511

x y x y x x y y y y -=⇒=

⇒+=+-+≥--f f

【例7】已知+

∈R y x ,，且32=+y x ，则1

21

21+++y x 的最小值为 。 【难度】★★ 【答案】

23

()()()()22111222,,232216.1,221663x y x y R x y x y x y x y ++++⎛⎫+∈+=⇔+++=⇒+⋅

≥=== ⎪++⎝⎭

由取等。

【例8】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、

△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则2

3

1S S S +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()2,+∞

1331222//,22S S S S DO CO BO AO BO AO

AD BC AOD COB BO AO S S S DO CO DO CO +∴∆∆∴

=∴=+=+≥⋅=Q 相似与，

BO AO BO DO O BD DO CO

==当且仅当

时，时，即为中点时取等；由题意得，不可能，所以等号不可以取。

【例9】设a>b>0，求的最小值。

【难度】★★

【答案】 ，此时等号成立条件是即a=2b

所以等号成立条件是，即a=4，此时b=2

【例10】x>-1，当x 为何值时，1

1

2+++x x x 的值最小？最小值是多少？

【难度】★

)

b a (b 16

a 2

-+

22a 64

2b a b 16)b a (b 16=

⎪

⎭⎫ ⎝⎛-+≥-b a b -=+≥-+22a )b a (b 16a 16642a 642=≥22a 64a =