(完整版)上海中考数学二模汇编第18题
2024年上海市徐汇区中考二模数学试题(解析版)
2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列实数中，有理数是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项．，是无理数；故选B ．2. 下列单项式中，与单项式是同类项的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：与单项式是同类项的是；故选C ．3. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线经过( )2=232a b 4ab -322a b 323b a 222a b c-232a b 323b a y kx b +＝y bx k +＝A. 第一、三、四象限B. 第一、二、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限【答案】A 【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：已知直线经过第一、二、四象限，则得到，那么直线经过第一、三、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A ．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.的y kx b =+0,0k b <>y kx b =+x 甲x 丙x 乙x 丁2S 甲2S 乙2S 丙2S 丁5. 如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A 不符合题意；∵，∴，∴平行四边形菱形．则B 不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C 不符合题意；∵，∴．∵，∴，是 ABCD AC BD O ABCD 90DAO ADO ∠+∠=︒DAC ACD ∠=∠DAC BAC ∠=∠DAB ABC∠=∠90DAO ADO ∠+∠=︒90AOD ∠=︒AC BD ⊥ABCD DAC ACD ∠=∠AD CD =ABCD AB CD ACD BAC ∠=∠DAC BAC ∠=∠ACD DAC ∠=∠AD CD =ABCD AD BC ∥180BAD ABC ∠+∠=︒DAB ABC ∠=∠=90B A D ∠︒∴平行四边形是矩形．则D 正确．故选：D ．6. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】B 【解析】【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物上升的高度为．故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的解是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】，∴，∴，∴，∵，ABCD 9cm 120︒5π6π7π8π120︒()12096cm 180ππ⨯⨯==x 1x ==x 221x x -=()210x -=121x x ==210x -≥∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．8. 不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．详解】解：，解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．9. 方程组的解是__________．【答案】或【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可．【详解】解：由②得：③；把③代入①，得：，解得：，∴，∴方程组的解为：或；【12x ≥1x =1x =()2133231x x x ->⎧⎨-->⎩2x >()2133231x x x ->⎧⎪⎨-->⎪⎩①②2x >5x >-2x >22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②2x y =()2225y y +=1y =±22x y ==±21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：或10. 关于的一元二次方程根的情况是：原方程______实数根．【答案】有两个不相等的【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．11. 如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是上升的，，故答案为：．12. 如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可．【详解】解：由题意，得：，21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩x 210x mx --=()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-()()2241140m m ∆=--⨯⨯-=+>2241y x x =-+x 1x ≥x ()22241211y x x x =-+=--∴1x <y x 1x ≥y x 2241yx x =-+∴1x ≥1x ≥4y x=-(,2)A t t -t (,2)A t t -()24t t ⋅-=-解得：；故答案为：．13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．14. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长____人．t =1221=42121:2.4i =13050x x 2.4x ∴()2222.4130x x +=50x =501001*********【答案】【解析】【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解．【详解】解：稍加询问的百分比：，严格管理的百分比：，持“严格管理”态度家长人数：（人），故答案为：．16. 如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）． 【答案】【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，的400551000.5555%÷==155%25%20%--=200020%400⨯=400ABCD BC AD ∥AB CD =AC BAD ∠2=AD AB AB a = AD b = AC a b12a b +AB BC =2AD BC =12BC AD =12AC AB BC a AD =+=+BAC α∠=平分，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是_______．【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，得结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键．【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，∴，AC BAD ∠∴BAC CAD α∠=∠= BC AD ∥∴BCA DAC α∠=∠=∴BCA BAC ∠=∠∴AB BC = 2=AD AB ∴2AD BC =∴12BC AD =∴1122AC AB BC a AD a b =+=+=+ 12a b +ABC 6AB AC ==4BC =D AC ABC BD C E AE AE E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 1AD MNCD CN==1CN MN ==DN =BD =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△2CE OC ==DE DC =AD CD =AE CE ⊥AE CE ⊥E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 122BM CM BC ===∵点是边的中点，即，∴，则为的中点，即，∴，，∵为点关于的对称点，∴，且，，则，∴，则∵，，∴，，又∵，∴，即，∴．18. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______．【答案】##【解析】D AC 132AD CD AC ===1ADMNCD CN==N CM 1CN MN==DN ==BD ==E C BD CE BD ⊥OC OE =DE DC =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△DN BC OC BD ⋅===2CE OC ==DE DC =AD CD =DAE DEA ∠=∠DEC DCE ∠=∠180DAE DEA DEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒90DEA DEC ∠+∠=︒AE CE ⊥AE ==A 8(0)y x x =-<OA 1(0)y x x=-<B C x AC AO =BC ABC 8-8-【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，轴，轴，，，，，，，即，，，，轴，，，A B x D E 4OAD S = 0.5OBE S = OAD OBE ∽2()OAD OBE S OA SOB= OA =1)ABC OBC S S = 28AOC OAD S S == 8ABC OBC S S += OBC S = ABC A B x D E A 8(0)y x x =-<B 1(0)y x x=-<1842OAD S =⨯= 110.52OBE S =⨯= AD x ⊥ BE x ⊥AD BE ∴∥OAD OBE ∴ ∽∴2OAD OBE S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2480.5OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭OA ∴=1)AB OA OB OB OB ∴=-=-=-1AB OB = 1ABC OBC S AB S OB==- ()1ABC OBC S S ∴= AC AO = AD x ⊥OD CD ∴=28AOC OAD S S ∴==，即，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．详解】解：，，，【8ABC OBC S S ∴+= 1)8OBC OBC S S -+= OBC S ∴= 8ABC AOC OBC S S S ∴=-=- 8-10212π---21)1=--+11=+2=22161242x x x x +-=--+5x =-22161242x x x x +-=--+()22162x x +-=-244162x x x ++-=-，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21. 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到23100x x +-=()()520x x +-=50,20x x +=-=115,2x x =-=5x =-240x -≠5x =-2x =240x -=2x =1O 2O A B AB 12O O 2AO 48AB =1250O O =230AO =1O 12O O P B 4012O O P B 1AO 12O O AB G 1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 2GO 1GO 1Rt AGO 1AO 22122AO GO O O AO =122O AO AGO ∽，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP 1AP PO =12O O AB 1AO 12O O AB G 1O 2O A B 48AB =∴1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 290AGO ∠=︒∴218GO ===∴1122501832GO O O GO =-=-=1Rt AGO 190AGO ∠=︒∴140AO ===1O 4012O O P B 212303505AO O O ==22183305GO AO ==∴22122AO GO O O AO =212AO O O A G ∠=∠∴122O AO AGO ∽∴12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP ∴1AP PO =又垂直平分，，以为直径的经过点．22. A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．【答案】（1）不能，见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；（2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可．【小问1详解】解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）；∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）；∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．【小问2详解】解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下：先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟），12O O AB 1BP AP PO ==∴12O O P B 84154260544t 56015 1.25t t +=-15600.25÷=15=415345⨯=42>444840.4415600.25÷=15=此时另外名学生步行路程是：(千米)；设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时．则；解得（小时）（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）；所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为：（分钟）；又；所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23. 如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．（1）求证：；（2）分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定（1）连结，可得，，进而即可得到结论；（2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可．【小问1详解】证明：连结．450.25 1.25⨯=4t 56015 1.25t t +=-1152t =16513=16513816515240.413+⨯≈40.442<8ABCD E G H F AB BC CD DA AE AF =CG CH =CG AE ≠EF GH ∥EG FH EGHF BD AE AF AB AD =CG CH CB CD=EGHF EF GH ≠EF GH ∥EG FH =BD∵四边形是菱形，∴；又，，∴，；∴，；∴．【小问2详解】证明：连接∵，∴；∵，∴；又，∴；又，∴四边形是梯形；∵,即；又∵，即；∵四边形是菱形，ABCD AB AD BC CD ===AE AF =CG CH =AE AF AB AD=CG CH CB CD =EF BD ∥GH BD ∥EF GH ∥,EG FHEF BD ∥EF AE BD AB=GH BD ∥GH CG BD BC =CG AE ≠EF GH ≠EF GH ∥EGHF AB AE AD AF -=-BE DF =BC CG CD CH -=-BG DH =ABCD∴；∴；∴；∴梯形是等腰梯形．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．【答案】（1）；点 （2）①；②的值为或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入表达式求出a 的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B 的坐标；（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m 的取值分三种情况分别进行解答即可．【小问1详解】解：把代入，得，B D ∠=∠()SAS BGE DHF ≅ EG FH =EGHF xOy 244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B yC B (0,)M m BC M MG BC ⊥GD x GD MD GD MD GDMN 32m =GDMN N y D 0m ≥D GDMN m 2416433y x x =-+(3,0)B 6(,0)5D m 037Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM ∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=GDOH 65OD GH ==(1,0)A 244(0)y ax ax a =-+>440a a -+=解得；∴抛物线的表达式为；∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，∴点．【小问2详解】①由题意，得，，∴；∵四边形是平行四边形，∴；又点在轴上，∴，∴，在中，，∴，∴，；在中，，∴；∴；过点作，垂足为．43a =2416433y x x =-+1632423x -=-=⨯244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B (3,0)B (0,4)C 3(0,)2M 52CM =GDMN GD NM ∥N y NM OD ⊥GD OD ⊥Rt BOC 90BOC ∠=︒5BC ==4cos 5OC OCB BC ∠==3sin 5OB OCB BC ∠==Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H在中，，；∵，∴四边形是矩形，∴；∴．②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图情况符合题意，取的中点P ，以为直径作圆P ，则在圆上，此时圆P 和x 轴有唯一切点D ，符合题设条件，则，∵，由①知， ，则，则，∵，,∴，解得；当时，可得，所以符合题意的不存在；综合、、，符合题意的的值为或．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．25. 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=90GDO DOH GHO ∠=∠=∠=︒GDOH 65OD GH ==6(,0)5D 0m ≥m i 0m =M O ii 04m <<MG MG ,N D OH PD PM ==()3sin 425MG MC OCB m PM =⋅∠=-=CMG OCB ∠=∠sin sin CMG OCB ∠=∠()9sin 450MH PM OCB m =∠=-OH MH OM MH m =+=+PM OH =93(4)(4)5010m m m -+=-37m =iii 4m ≥OH PM >m i ii iii m 037OAB OA OB ==90AOB ∠=︒C D AB C D C A D B 45COD ∠=︒（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【解析】【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N 作于点F ，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：AC CD BD AC CD BD AC BD +CD AB OC OD M N C AB AN BM ⋅AN BM ⋅5MN =DOB ∠ AC C BD D +=AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅=1tan 3DOB =∠1tan 2DOB ∠=CD E OE COE AOC ∠=∠AC CE =DOE BOD ∠=∠BD DE =BMO AON ∽△△O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM '()SAS OBM OAM ' ≌90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒()SAS ONM OMN ' ≌22225MN AM BN ==+7AM BN +=BN NF OB ⊥NF BF =NF OF 90AOB ∠=︒Q 45COD ∠=︒904545AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒ D B AC C D +∴=AC BD CD +>在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，CD E OE COE AOC ∠=∠∴AC CE =CE DE CE DE CD +> 45COE DOE ∠+∠=︒∴904545AOC BOD ∠+∠=︒-︒=︒∴DOE BOD ∠=∠∴BD DE =∴AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅= OA OB =90AOB ∠=︒∴45OAB OBA ∠=∠=︒ 45OMB OAB AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠45AON COD AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠∴OMB AON ∠=∠∴BMO AON ∽△△∴BM BO AO AN=∴72AN BM AO BO ⋅=⋅==过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N 作于点F ，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM ' AO BO =∴()SAS OBM OAM ' ≌∴BM AM '=45OBM OAB ∠=∠='︒∴90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒45M ON COD ∠=︒=∠'ON ON =∴()SAS ONM OMN ' ≌∴M N MN '=∴222222MN M N BM BN AM BN =='+=+' 551257AM BN AB MN +=-=-==-=2225AM BN +=3BN =4BN =NF OB ⊥90NFB ∠=︒45ABO ∠=︒ 45BNF ∴∠=︒NF BF ∴=BF x =OF x =3BN =Rt NFB △222BF NF BN +=229x x +=x =OF ∴==；当时，在中，，即，解得：，．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．1tan 3NF O O F D B ∴==∠=4BN =Rt NFB △222BF NF BN +=2216x x +=x=OF ∴==1tan 2NF O O D F B ===∠∴。
2019年上海中考数学二模汇编第18题
2019年上海中考数学二模汇编第18题1.（杨浦）如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知5AD=，2AE=，4AF=，如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是2.（黄浦）如图，在△ABC中，90ACB∠=︒，3sin5B=，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△11A B C，点A、B分别与点1A、1B对应，边11A B分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边11A B的中点，那么1BDB C=3.（闵行）如图，在△ABC中，AB = AC = 5，25BC=，D为边AC上一点（点D与点A、C不重合）．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD =．4.（金山）一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．A BC5.（宝山）如图，点M 的坐标为(3,2)，动点P 从点O 出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，如果点M 关于l 的对称点落在坐标轴上，设点P 的移动时间为t ，那么t 的值可以是6.（静安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知(23,0)A ，(0,6)B ，(0,2)M ，点Q 在直线AB 上，把△BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ，如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是7.（徐汇）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，6AB =，2cos 3B =，先将△ACB 绕着顶点C 顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A CB ''（点A '、C 、B '的对应点分别是点A 、C 、B ），联结A A '、B B '，如果△AA B '和△AA B ''相似，那么A C '的长是8. （奉贤）如图，矩形ABCD ，AD a =，将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF ，顶点A 、D 、C 分别与点E 、F 、G 对应（点D 与点F 不重合），如果点D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是（用含a 的代数式表示）9.（崇明）如图，在△ABC 中，已知AB AC =，30BAC ∠=︒，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转30°，记点C 的对应点为点D ，AD 、BC 的延长线相交于点E ，如果线段DE 的长为2，那么边AB 的长为10.（普陀）如图7，AD 是ABC 的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE =，那么GFAB的值等于____________11.（松江）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =8，BC =6．将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为________．12.（长宁）如图3，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，将ABC 绕着点C 旋转，点A 、B的对应点分别是点'A，'B，若点'B恰好在线段'AA .AA的延长线上，则'AB C。
2023年上海市16区数学中考二模专题汇编5 图形的平移、旋转、翻折、新定义(18题)含详解
专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形二、填空题5．（2023·上海黄浦A的对应点是点6．（2023·上海静安处，点A落在点7．（2023·上海金山·统考二模）已知线段AC上，如果点E关于直线8．（2023·上海闵行三角形为特征三角形．9．（2023·上海浦东新·于点F．如果2AD AB=10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线“月牙线”，抛物线1C和抛物线=，那么抛物线果BD CD11．（2023·上海宝山·统考二模）13．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，80A ∠=︒，如果将菱形ABCD 绕着点D 逆时针旋转后，点A 恰好落在菱形ABCD 的初始边AB 上的点E 处，那么点E 到直线BD 的距离为___________．14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、BA 的中点，连接DE ．将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，点D 、E 的对应点分别是点1D 、1E ．如果点1E 落在线段AC 上，那么线段1CD =____．三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点()1,0A 、点()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在线段BC 上，设点P 的横坐标为m ．(1)求直线BC 的表达式；(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．17．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()2,7A -，与x 轴交于点B 、()5,0C ．(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCE 沿直线BE 翻折，如果点C 的对应点F 恰好落在抛物线的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是抛物线上位于第四象限内的点，当CPQ 为等边三角形时，求直线BQ 的表达式．18．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线2y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线()21(0)y x t t =-->的顶点为B ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；(2)将线段OB 绕点B 顺时针旋转90︒，点O 落在点C 处，如果点C 在抛物线上，求点C 的坐标；(3)设抛物线的对称轴与直线2y x =-+交于点D ，且点D 位于x 轴上方，如果45BOD ∠=︒，求t 的值．专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆【答案】D【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的对称轴．【详解】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称轴，圆的对称轴条数最多，故选：D．【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，解题的关键是掌握轴对称的概念．2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】A选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B选项：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C选项：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D选项：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，会根据定义判断轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．二、填空题在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．116OG BG BC ===⨯=在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．∴11622OG BG BC ===⨯【答案】20【分析】根据旋转可得根据AA B '∠【详解】解：∵∴180ACB ∠=∵将ABC 绕点∴30B A C BAC ∠=∠=''︒，∴(11802CAA CA A ''∠=∠=︒∴AA B CA A B A C '''''∠=∠-∠故答案为：20︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．A 的对应点是点1A ，点B 的对应点是点1B ），如果点1A 坐标是()20-，，那么点1B 的坐标是________．【答案】()12，【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加3，那么让点B 的横坐标减3，纵坐标加3即为点1B 的坐标．【详解】解：∵()13A -，平移后对应点1A 的坐标为()20-，，∴A 点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，∴B 点的平移方法与A 点的平移方法是相同的，∴()41B -，平移后的坐标是：()4313--+，即()12，．故答案为：()12，．【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．6．（2023·上海静安·统考二模）如图，在ABC 中，AB AC =，将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，如果BE BF =，那么DBC ∠的大小是______．【答案】108︒/108度【分析】设A x ∠=，由AB AC =，BE BF =得ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，再由旋转的性质得DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，从而有CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，利用三角形的内角和定理构造方程即可求解．【详解】解：设A x ∠=，∵AB AC =，BE BF =，∴ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，∵将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，∴DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，∵180BEC C CBE ABC C A ∠∠∠∠∠∠++=++=︒，∴CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．8．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角三角形为特征三角形．问题解决：如图，在ABC 中，【答案】253【分析】由题意可分：,A B βα∠=∠=，过点∴A ADC ∠=∠，∵4tan 3A =，∴4tan 3ADC ∠=，∵ABC 是特征三角形，即∴2ABE ABC ∠=∠，∴BC 平分ABE ∠，【答案】35【分析】通过证明AEF △得出边之间的关系，即可求解．【详解】解：∵2=AD AB ∴设,2AB a AD a ==，【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，以及解直角三角形的方法和步骤．10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线则tan tan DAC ∠=∠∴t n a CD DAC AC ∠==∴165CD =∴1695BD =-=；作DE AB ⊥于E ，则∵AD AD =，∴Rt △∵，90ACB ∠=︒，设BD x =，则CD DE =【答案】3372-【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出出90DBE ∠=︒，在Rt【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，180ADE DEA ∠=︒-∠-∠由旋转、菱形的性质可知，∴80DEA A ∠=∠=︒，ABD ∠∴180ADE DEA ∠=︒-∠-∠【答案】355【分析】根据勾股定理求得AB ，根据旋转的性质得出根据相似三角形的性质即可求解．设旋转角为α，∴11ABE CBD ∠=∠，旋转，∴115,1BE BE BD BD ====，三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点(1)求直线BC 的表达式；(2)如果以P 为顶点的新抛物线经过原点，且与①求新抛物线的表达式（用含②过点P 向x 轴作垂线，交原抛物线于点【答案】(1)3y x =-+(2)①()2233m y x m m m-=--+，【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点式即可；（2）①先求出()3P m m -+，，设新抛物线解析式为抛物线解析式，再根据点P 在线段称时，当四边形AEDP 关于PE 【详解】（1）解：把()1,0A 、B ∴13a c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为24y x x =-+在243y x x =-+中，令0x =，则∴()0,3C ；设直线BC 的解析式为y kx b =+∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y x =-+（2）解：①∵点P 在线段BC【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，求一次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023·上海松江·统考二模）如图，(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)24(3)97OF =或95OF =．【分析】（1）如图：连接,OC O C '，先根据圆的性质和对称的性质说明OAO ' 是等边三角形，明60COO BOC '∠=∠=︒即可证明结论；（2）设圆O 的半径为2a ，则2O A OA a '==，如图：作ON AD ⊥于N ；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得,30120ODA OAD AOD ︒︒∠=∠=∠=，然后解直角三角形可得()232O D a '=-、EF OE ==∵点O '恰好落在半圆O 上，∴OO OA '=，∵点O '与点O 关于直线AC 对称∴AO OA CO CO ==='',O AC '∠∵,30OA OD OAD =∠=︒，∴,30120ODA OAD AOD ︒∠=∠=∠=在Rt AON △中，sin 30ON OA =⋅︒∵ON AD ⊥，∴FN FM=∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ⨯==⨯ ，又∵AFD S DF S OF = ，∴FN FM =，∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ∆∆⨯==⨯，又∵AFD OFA S DF S OF ∆∆=，(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点式．【答案】(1)245y x x =--，顶点坐标为：(2)点E 的坐标为()2,3；(3)直线BQ 的函数表达式为【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）先求解抛物线与x 轴交于轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为2233FH FB BH =-=，（3）连接CF ，证明FCB 于点K ，可得点K 的坐标为【详解】（1）解：∵抛物线∵抛物线与x 轴交于(1,0B -∴6BC =，抛物线的对称轴为直线设抛物线的对称轴与x 轴交于点由翻折得6CB FB ==，由勾股定理，得FH FB =∴点F 的坐标为()2,33，∴60FBH ∠=︒，∴CP CQ =，CB CF =，∠∴FCP BCQ ∠=∠，∴BCQ FCP ≌，∴CBQ CFH ∠=∠，∵BCF △为等边三角形，∴30CFH CBQ ∠=︒=∠，设BP 与x 轴相交于点K ，∴3tan 303OK OB =︒= ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；∵旋转，∴,90OB OC OBC =∠=∴BEO OBC BDC ∠=∠=∠∴90OBE CBD ∠=︒-∠由2y x =-+，令0y =，得∴2OA OH ==，AH =∴OAH △是等腰直角三角形∵BD y ∥轴，。
年上海各区初三二模数学18题
年上海各区初三二模数学18题20１７年上海市初三二模数学汇编之18题（十六区全）1. （2０1７徐汇二模)如图,在ABC 中,(90180)ACB αα∠=<<,将ABC 绕点A逆时针旋转2β后得AED ,其中点E 、D 分别和点B 、C 对应,联结CD ,如果⊥CD ED ,请写出一个关于α与β的等量关系式 :_＿_＿＿______＿____．【考点】图形的旋转、等腰三角形【解析】根据题意：ACB ADE α∠=∠=，90CDE ∠=?，90ADC α∴∠=-?,2,BAE DAC AC BC β∠=∠==，90ACD ADC β∴∠=∠=?-，180αβ∴+=?.2. (201７黄埔二模）如图,矩形ABCD ，将它分别沿AE 和AF 折叠，恰好使点B 、C落到对角线AC 上点M 、N 处．已知2MN =,1NC =，则矩形ABCD 的面积是．【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】设AB x =，由题意可得:2,3.AN AD x AC x ==+=+在Rt ADC 中,222AD DC AC +=,即222(2)(3)x x x ++=+．解得：1x =((319ABCDSAD DC ∴=?==+3. （2０1７静安二模）如图,A 和B 的半径分别为5和１,3AB =，点O 在直线AB 上.O 与A 、B 都内切,那么O 半径是 .【考点】圆与圆的位置关系【解析】根据题意：,A O O B OA R R OB R R =-=-,|||62|3O AB OA OB R ∴=-=-=32RO ∴=,924. （2017闵行二模)如图，在Rt ABC 中，90,8,6,C AC BC ∠=?==点D E 、分别在边AB AC 、上,将ADE 沿直线DE 翻折，点A 的对应点在边AB 上,联结'A C .如果''A C A A =,那么BD = .【考点】勾股定理、图形的翻折图（1）图（2）【解析】根据题意： 115'''5,''222A A AB AC AB AD DB A B ======= 15''2BD BA A D ∴=+=5. (2０１7普陀二模)将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到EBD ,点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上,边DE 交边AB 于点F ,BDCABC ，已知BC =5AC =，那么DBF 的面积等于．【考点】图形的旋转、相似、八字形【解析】223BDC ABC BC CD CA CD AD AC CD ∴=?∴==∴=-=333=588BDF BDF BDF BDEABCBDESSS AD DF DF ADFBEF EB EF SDE SS∴=∴==∴== ? 6.（2017杨浦二模)如图,在Rt ABC 中,90, 4.C CA CB ∠=?==将ABC 翻折,是得点B 与点AC 的中点M 重合,如果折痕与边AB的交点为E ，那么BE 的长为 .B BA33154588216BDFABCSS ∴==?=BA【考点】图形的翻折、勾股定理、等腰直角三角【解析】过点M 作MH AB ⊥,设BE x =，根据题意得:,AB ME BE x AH MH HE x ======，在Rt MHE 中,222222+)MH HE ME x x x +=∴=∴=（7. （2017嘉定二模）如图，在ABC 中,390,10,cos 5ACB AB A ∠=?==，将ABC 绕着点C 旋转,点A 、B 的对应点分别记为'A 、'B ,''A B 与边AB 相交于点E ,如果''A B AC ⊥那么线段'B E 的长为 .【考点】图形的旋转、母子三角形、锐角三角比【解析】根据题意：3'''cos '1065A C A B A =?=?=,318''cos '655A F A C A =?=?= 32''''5B F A B A F ∴=-=,246,55CF A AF AC CF ==∴=-= 42424''3155AEFABC EF AF B E B F EF ∴==∴=-= 8. (2017长宁、金山、青浦二模）如图，在Rt ABC 中,,AB AC D E =、是斜边BC 上两点,45DAE ∠=?,将ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到AFB .设,=BD a EC b =.那么AB = .BB【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】将ABD沿AD翻折得到ADF,联结EF.根据题意得: ,ABD AFD AEF AEC,,DF BD a EF EC b∴====．45B C DFA AFE∠=∠=∠=∠=?90DFE∴∠=DE ∴=+2BC BD DE EC a b AB+∴=+=++=9.（20１7崇明二模）如图,已知ABC中,3,4,BC AC BD==平分ABC∠，将ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为11B C、,如果点1B落在射线BD上.那么1CC的长度为 .【考点】图形的旋转、八字形、旋转相似【解析】1111111,//ABB CBB ABB AB B CBB AB B AB BC∠=∠∠=∠∴∠=∠∴1111111AB B D BBAD ABBB ABB ACCBC DC DB AC CC∴==∴=∴=，即154=1CC∴=10.(２0１７虹口二模）如图，在Rt ABC中, 490,10,sin,5C AB B∠=?==点D在斜边AB上,把ACD沿直线CD翻折，使得点A落在同一平面内的'A处,当'A D 平行Rt ABC的直角边时,AD的长为 .B【考点】图形的翻折、八字形【解析】图（2)根据题意12,1332AC AB ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴⊥ 2416''''//'4455AC BC A D A ECE A E A D BC A D AD AB BC CE∴==∴=∴=∴=∴= 图（3）根据题意1238AD AC ∠=∠=∠∴==.综上:4AD =或8.11. (２0１7松江二模)如图,已知在矩形ABCD 中,4,=8AB AD =，将ABC 沿对角线AC 翻折,点B 落在点E 处，联结DE ,则DE 的长为 .【考点】图形的翻折、八字形、勾股定理【解析】根据题意:123AF CF ∠=∠=∠∴=，设AF x =，在Rt AFC中2222216(8)5AE EF AF x x x +=∴+-=∴=,//EF DF AF CF ED AC ==∴35DE EF DE AC FC ∴==∴=12. (2017宝山二模)如图，E F 、分别在正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且AE AF =,联结EF ，将AEF 绕点A 逆时针旋转45?,使E 落在1E ，F 落在1F ，联结1BE 并延长交1DF 于点G ,如果1AB AE ==,则DG = .A'B【考点】图形的旋转、勾股定理、全等、八字型、A 字型【解析】根据题意:11ABE AF D ABF ADGAQB DQG AQB DQG ?∴∠=∠∠=∠∴34DG DQ DG AB BQ ∴===13. (2017奉贤二模)如图,在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的一点，过点E 作EF BC ⊥.垂足为点F ，将BEF 绕点E 逆时针旋转,使点B 落在边BC 上的点N处，点F 落在边DC 上的点M 处,如果点M 恰好使边DC 的中点,那么ADAB的值是 .【考点】图形的旋转、一线三等角【解析】根据题意:,EBF EFN ENM NMCDEM ENM ??设CM x =,则2,3DM CM CD AB EN x ED CN x ED ?===∴=∴==2AD MN BN MN x AB ∴=∴==∴=M１4. (201７浦东二模）如图,矩形ABCD 中,4,7AB AD ==,点E F 、分别在边AD BC 、上，且点B F 、关于过点E 的直线对称，如果以CD 为直径的圆与EF 相切,么AE = .【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】根据题意：设AE x = ,则7DE x =-，2,72BF x FC x ==-，,7,142DEG HEG HFG CFG DE HE x CF HF x ??∴==-==-143,BE FE x ∴==-在Rt ABE 中，222AB AE BE +=,即2216(143x x +=-）解得：12153,()2x x ==舍去，故 3.AE =2x 7-2x。
2024年中考数学二模试卷(上海卷)(全解全析)
2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。
最新上海市各区初三数学二模考试第18题详细解析资料
18. 如图，点P 是以r 为半径的圆O 外一点， 点P '在线段OP 上，若满足2OP OP r '⋅=，则 称点P '是点P 关于圆O 的反演点，如图，在Rt △ABO 中，90B ∠=︒，2AB =，4BO =，圆O 的半径为2，如果点A '、B '分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么A B ''的长是 ；18．如图，已知钝角三角形ABC ，∠A=35°，OC 为边AB 上的中线，将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，点C 落在BC 边上的点'C 处，点A 落在点'A 处，联结'BA ， 如果点A 、C 、'A 在同一直线上， 那么∠''C BA 的度数为 ；18. 如图，△ABC 中，90ABC ∠>︒，3tan 4BAC ∠=， 4BC =，将三角形绕着点A 旋转，点C 落在直线AB 上的点C '处，点B 落在点B '处，若C 、B 、 B '恰好在一直线上，则AB 的长为 ；18．如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm ，BC=6cm ，BD 平分∠A BC ，BD 交AC 于点D.如果将 △ABD 沿BD 翻折，点A 落在点A′处， 那么△D A′C 的面积为_______________cm 2.CBOA（第18题图）ABCD18．如图，在ABC ∆中，CA CB =，90C ∠=︒，点D 是BC的中点，将ABC ∆沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合， 折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin BED ∠的值 为 ．18. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=BC=1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ¹处，联结AC ¹，直线AC ¹与边CB 的延长线相交于点F.如果∠DAB=∠BAF,那么BF= ▲18．如图，⊙O 1的半径为1，⊙O 2的半径为2，O 1O 2＝5，⊙O 分别与⊙O 1外切、与⊙O 2内切，那么⊙O 半径r 18. 在中，，（如图），若将绕点顺时针方向旋转到的位置， 联结，则的长为 ．18.如图，△ABC ≌△DEF （点A 、B 分别与点D 、 E 对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC 固定不动， △DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动 （点E 不与B 、C 重合），DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时， BE= .BACFE D（第18题图）A18．在矩形ABCD中，6=AB，8=AD，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AMAE2=，那么EN的长等于18．在矩形ABCD中，15=AD，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作ADFG⊥，垂足为点G，如图5，如果GDAD3=，那么=DE．B CD MNAA DB CGEF图5解析答案1.黄浦2.奉贤3.普陀4.杨浦5.松江6.崇明7.浦东8徐汇9.闵行10.静安、青浦11.虹口12.长宁13.金山14.嘉定、宝山。
最新上海市中考数学二模18题整理资料
旋转(2015 二模 奉贤) 18．如图，已知钝角三角形ABC ，∠A=35°，OC 为边AB 上的中线，将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，点C 落在BC 边上的点'C 处，点A 落在点'A 处，联结'BA ，如果点A 、C 、'A 在同一直线上，那么∠''C BA 的度数为 ；(2015 二模静安青浦)17. 将矩形ABCD （如图）绕点A 旋转后, 点D 落在对角线AC 上的点D ’，点C 落到C ’，如果AB =3，BC=4，那么CC ’的长为 ．(2015 二模 杨浦)18．如图，钝角△ABC 中，tan ∠BAC =34，BC =4，将三角形绕着点 A 旋转，点C 落在直线AB 上的点C ，处，点B 落在点B ，处，若C 、 B 、B ，恰好在一直线上，则AB 的长为 .翻折(2015 二模 宝山嘉定) 18．在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ，如图5，如果GD AD 3=，那么=DE ．(2015 二模 崇明)18．如图，在ABC ∆中，CA CB =，90C ∠=︒，点D 是BC的中点，将ABC ∆沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合， 折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin BED ∠的值 为 ．A DB CG EF图5 BAC FED（第18题图）CBOA（第18题图）（第17题图）B D(2015 二模 金山)18．在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折，点B 落在边AD 上的E 点处，若AM AE 2=，那么EN 的长等于(2015 二模 闵行)18．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C = 90º，AC = BC = 1，点D 在边BC上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ′处，联结AC ′，直线AC ′与边CB 的延长线相交于点F ．如果∠DAB =∠BAF ，那么BF = ．(2015 二模 浦东)18．如图，已知在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC =4，BC=2，将△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在点E 处，联结AE ，那么线段AE 的长度等于 ．(2015 二模 普陀)18．如图6，在矩形纸片ABCD 中，AB <BC ．点M 、N 分别在边AD 、BC 上，沿直线MN 将四边形DMNC 翻折，点C 恰好与点A 重合．如果此时在原图中△CDM 与△MNC 的面积比是1︰3，那么MNDM的值等于 ． BCDM NA 第18题图A B C （第18题图） CA DB（第18题图）DCBA(2015 二模 松江)18．如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =6cm ，BD 平分∠ABC ，BD 交AC 于点D .如果将△ABD 沿BD 翻折，点A落在点A ′处，那么△D A ′C 的面积为_______________cm 2.(2015 二模 徐汇)18．如图，已知扇形AOB 的半径为6，圆心角为90°，E 是半径OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形AOB 沿EF 对折， 使得折叠后的圆弧'A F 恰好与半径OB 相切于点G ，若OE ＝5，则O 到折痕EF 的距离为 ．其他(2015 二模 黄浦)18. 如图4-1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r ⋅=，则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图4-2，在Rt △ABO 中，90B ︒∠=，AB =2，BO =4，圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么'A 'B 的长是 ．AB（第18题图）第18题D、E对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE= .第18题图。
上海市2015各区初三数学二模考试第18题详细解析
1.黄浦OP r外一点，如图，点为半径的圆是以18.2??r??OPOP OPP在线段，则点上，若满足?OPP是点的反演点，如图，在称点关于圆??O?BO?4ABO?B?90BAB?2A分，圆、，Rt△的半径为中，2，如果点，??OBBAA；别是点、关于圆的反演点，那么的长是2.奉贤18．如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC '''，处，A处，点落在点联结绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点ABA CC '、在同一直线上，如果点A、C A；那么∠的度数为''CBABAO（第18题图）3.普陀4杨3?BAC tan?，，18. 如图，△中，ABC?90?ABC?4，将三角形绕着点旋转，点落在直线C A4?BC??处，若、、上的点处，点落在点CC BBBAB?恰好在一直线上，则的长为；BAB5.松江A，BC=6cmAB=AC=5cm，△18．如图，在ABC中，如果将D.交AC于点BD 平分∠BDABC，D处，A沿BD翻折，点落在点A′ABD△2.的面积为△那么D A′C_______________cm CBC6.崇明F中，18．如图，在，，点是DCBABC??CA??C?90BCD与点重合，的中点，将沿着直线EF折叠，使点ABC?DABAE ，那么的值于点折痕交于点，交BED sin?ABACFE 18题图）（第．为7.浦东徐汇8闵行9.ABC点D在边BC上，将△C=90o18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠，AC=BC=1，CB AC 1与边处，联结AC 1，直线落在点沿直线AD翻折，使点CC 1 BF= ▲的延长线相交于点F.如果∠DAB=∠BAF,那么10.静安、青浦外切、O⊙．18如图，⊙O的半径为1，O的半径为2，O＝5，⊙O分别与⊙O12121．半径内切，那么⊙O的取值范围是O与⊙r2OO 虹口11.1A2，. 18在中，，（如图）若将绕点顺时针方向旋转到的位置，．联结，则的长为D BC长宁12.ADEF如图，18.△ABC≌△（点A、、B分别与点D △，BC=6，ABC固定不动，AB=AC=5对应）E，F边从在△DEF运动，并满足点EBCB移动向C M EF DE重合）、不与（点EBC，始终经过点，A BEC是等腰三角形时，△，当MAC与边交于点AEM.BE=13金山A DM ，把矩形中，，．在矩形188AB?6ABCD?AD上的点沿直线翻折，点落在边MNABCDADEB BCN处，若，那么的长等于ENAMAE?2嘉定、宝山14.GDA上，中，，点在边18．在矩形DC15ABCD?ADE，翻折后点落到点联结，△沿直线FADEAEDAE E，如果作，垂足为点，如图5过点GAD?FGF．，那么GD3AD??DE F CB5图解析答案1.黄浦2.奉贤3.普陀4.杨浦5.松江6.崇明7.浦东徐汇89.闵行10.静安、青浦虹口11.12.长宁13.金山嘉定、宝山14.。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题18 图形的变化之解答题(2)(39道题)(解析版)(1)
专题18 图形的变化之解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．（2019•宝山区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【答案】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．2．（2019•青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan∠B，求∠CAD的正弦值．【答案】解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B，∴BC＝2由勾股定理得，AB∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE∴DE∴由勾股定理得AD∴cos∠CAD∴sin∠CAD则∠CAD的正弦值为【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．3．（2019•青浦区二模）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42】【答案】解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH，∴DH，在Rt△BDH中，tan∠BDH，∴DH，∴，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键．4．（2019•浦东新区二模）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【答案】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．【点睛】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．5．（2019•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF ⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：（1）∠ACE的正切值；（2）线段AE的长．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB＝90°，∴∠BCE+∠CBD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD，∵AC＝4且D是AC的中点，∴CD＝2，又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．∴tan∠BCD，∴tan∠ACE＝tan∠CBD；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，∴tan A，∵BC＝3，AC＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴tan A，∴，设EH＝3k，AH＝4k，∵AE2＝EH2+AH2，∴AE＝5k，在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∴tan∠ECA，∴CH k，∴AC＝AH+CH k＝4，解得：k，∴AE．【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．6．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos∠，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）的值．【答案】解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝DC BC＝5，在Rt△ABD中，cos∠ABC，∴AB＝13；（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，∵EH∥BC，，∴，∵BD＝CD，∴，∵EH∥BC，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、余弦的定义是解题的关键．7．（2019•金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CE＝CB，CD＝5，sin∠．求：（1）BC的长．（2）tan E的值．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是边AB的中点；∴CD AB，∵CD＝5，∴AB＝10，∵sin∠ABC，∴AC＝6∴；（2）作EH⊥BC，垂足为H，∴∠EHC＝∠EHB＝90°∵D是边AB的中点，∴BD＝CD AB，∠DCB＝∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠EHC＝∠ACB，∴△EHC∽△ACB，∴由BC＝8，CE＝CB得CE＝8，∠CBE＝∠CEB，∴解得EH，CH，BH＝8∴tan∠CBE3，即tan E＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．8．（2019•徐汇区二模）如图，已知⊙O的弦AB长为8，延长AB至C，且BC AB，tan C．求：（1）⊙O的半径；（2）点C到直线AO的距离．【答案】解：（1）过O作OD⊥AB于D，则∠ODC＝90°，∵OD过O，∴AD＝BD，∵AB＝8，∴AD＝BD＝4，∵BC AB，∴BC＝4，∴DC＝4+4＝8，∵tan C，∴OD＝4，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OA4，即⊙O的半径是4；（2）过C作CE⊥AO于E，则S△AOC，即，解得：CE＝6，即点C到直线AO的距离是6．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的面积公式，勾股定理，解直角三角形等知识点，能求出AD、OD的长度是解此题的关键．9．（2019•包头模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴，即，解得CF；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH，∴AH，EH＝AE﹣AH，∴tan D＝tan∠ECH．【点睛】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D 相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．10．（2019•黄浦区一模）如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）【答案】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．11．（2019•东阳市模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF 所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°，tan32°，tan40°）【答案】解：：（1）∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，∴tan∠OAB tan32°，∵AB＝2m，∴，∴OB＝1.24m，∵⊙O的半径为0.2m，∴BF＝1.04m；（2）∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，∴∠OAD＝50°，∵∠OAC＝32°∴∠CAD＝18°，∴AB的坡度为tan18°，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．12．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【答案】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE BP；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴，∴，∴，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A．求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A，∵cos A，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝53，∴BD4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC2．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（2019•靖江市一模）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【答案】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．15．（2019•松江区一模）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP，设P A＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．16．（2019•濉溪县二模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．17．（2019•随县模拟）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【答案】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得．即，∴B'C＝63cm．故BB'＝B'C﹣BC＝63﹣54＝9（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．18．（2019•徐汇区校级一模）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【答案】解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．19．（2019•浦东新区一模）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 1.4， 1.7）【答案】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，∵∠SAB＝37°，DB∥AS，∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，∴BM＝1海里，AM海里．在Rt△AMC中，tan C，∴CM 4.25（海里）∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解决本题的关键是作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系求解．20．（2019•宝山区一模）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥P A交P A的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD，∴tan14°，即0.25，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB．19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．21．（2019•青浦区一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°，cos67°，tan67°）【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH∠，∴CH5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（2019•寿光市模拟）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．【答案】解：由题意可得，∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠AED，∴ED＝AD，∴AD＝15米，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC米，AC米，∴AH＝AC+CH米，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD米，∴AB＝AC﹣BC米，即AH米，AB米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．23．（2019•静安区一模）计算：【答案】解：原式＝3﹣2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．（2019•射阳县一模）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据： 1.41， 1.73，2.45， 2.65）【答案】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG AC＝10，CG AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴，∴，∴DH23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS10，∴A′B＝1010，∵BG10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（2019•闵行区一模）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249， 1.4142．【答案】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH，即得tan32°，解得：x32.99∴塔高AB约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．（2019•嘉定区一模）计算：2|1﹣sin60°|．【答案】解：2|1﹣sin60°|＝2（1）＝2＝2＝2．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．27．（2019•无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2019•虹口区一模）计算：【答案】解：原式＝3+2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．29．（2019•金山区一模）计算：cos245°tan260°﹣cot45°•sin30°．【答案】解：原式＝（）2（）2﹣11+3＝2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．30．（2019•长宁区一模）计算：60°．【答案】解：原式（）2（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．31．（2019•崇明区一模）计算：cos245°cot30°•sin60°．【答案】解：原式＝（）2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．32．（2019•普陀区一模）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【答案】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．33．（2019•长宁区一模）如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）【答案】解：（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由题意可知CE＝GF＝2，CG＝EF在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴i，设CG＝4k，BG＝3k，则BC5k＝10，∴k＝2，∴BG＝6，∴CG＝EF＝8，∵DE＝3，∴DF＝DE+EF＝3+8＝11（米），答：瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米；（2）由题意得∠A＝40°，在Rt△ADF中，∠DF A＝90°，∴cot A，∴ 1.19，∴AF≈11×1.19＝13.09（m），∴AB＝AF﹣BG﹣GF＝5.09≈5.1（米），答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．34．（2019•黄浦区一模）计算：2cos245°tan45°．【答案】解：原式＝2×（）21＝21＝11＝46．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．35．（2019•宝山区一模）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【答案】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．36．（2019•金山区一模）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求（1）背水坡AB的长度．（2）坝底BC的长度．【答案】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，根据题意，可知AM＝DN＝24（米），MN＝AD＝6（米），在Rt△ABM中，∵，∴BM＝72（米），∵AB2＝AM2+BM2，∴AB24（米），答：背水坡AB的长度为24米；（2）在Rt△DNC中，，∴CN＝48（米），∴BC＝72+6+48＝126（米），答：坝底BC的长度为126米．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．37．（2019•普陀区一模）计算：4sin45°+cos230°．【答案】解：原式＝4（）2＝22（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．（2019•杨浦区一模）如图，AD是△ABC的中线，tan B，cos C，AC．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．【答案】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cos C，AC，∴CH＝1，AH1，在Rt△ABH中，∵tan B，∴BH＝5，∴BC＝BH+CH＝6．（2）∵BD＝CD，∴CD＝3，DH＝2，AD在Rt△ADH中，sin∠ADH．∴∠ADC的正弦值为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．39．（2019•杨浦区三模）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【答案】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．。
2020届上海市各区初三数学二模试卷压轴题--第18题图文解析汇编
如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan B ＝34，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到 △A 1BC 1，当点C 1在线段CA 延长线上时△ABC 1的面积为 __________．图1答案 46825．思路如下：如图2，设BC 的中点为H ． 在Rt △ABH 中，由AB ＝5，tan B ＝34，可得AH ＝3，BH ＝4． 所以BC ＝8，S △ABC ＝12．如图3，当点C 1落在线段CA 延长线上时，△ABC ∽△BC 1C ．根据相似三角形的面积比等于对应边比的平方，得221525864ABC BC C S AB S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以S △BC 1C ＝641225⨯． 所以S △ABC 1＝64121225⨯-＝391225⨯＝46825．图2 图3如图1，在平面直角坐标系中，A (8, 0)，B (8, 4)，C (0, 4)，反比例函数=ky x在第一象限内的图像分别与AB 、BC 交于点F 、E ，连结EF ．如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上，那么k 的值为__________．图1答案 12．思路如下：如图2，作EM ⊥x 轴于M ．设E (m , 4)，F (8, n )．由4m ＝8n ＝k ，得m ＝2n ．所以882244BE m nBF n n--===--． 由△EMB ′∽△B ′AF ，得''2''EM MB B E BEB A AF FB FB====．所以4'2'MB B A n==．所以B ′A ＝2，MB ′＝2n ＝m ．再由EB ＝MA ，得8－m ＝m ＋2．解得m ＝3． 所以E (3, 4)．所以k ＝12．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，连结AE，那么∠CAE的度数是__________．图1答案125°．思路如下：如图2，因为CD是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA＝DC＝DB．所以∠DCB＝∠B＝35°，∠DCA＝∠DAC＝55°．所以∠ADC＝70°，∠CDB＝110°．因为△CDB与△CDE关于CD对称，所以∠CDE＝∠CDB＝110°．所以∠ADE＝110°－70°＝40°（如图3所示）．所以在等腰三角形DAE中，∠DAE＝70°．所以∠CAE＝55°＋70°＝125°．图2 图3如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE //AC ，BD ＝BDE 绕着点B 旋转得到△BD ′E ′（点D 、E 分别与点D ′、E ′对应），如果A 、D ′、E ′在同一直线上，那么AE ′的长为 __________．图1答案如图2，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10，tan ∠B ＝34．在Rt △EDB 中，DE ＝34BD ＝34⨯如图3，当点A 在E ′D ′的延长线上时．在Rt △ABD ′中，AB ＝10，BD ′＝AD ′＝此时AE ′＝AD ′＋D ′E ′＝如图4，当点A 在D ′E ′的延长线上时，AE ′＝AD ′－D ′E ′＝图2 图3 图4定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＝2β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 __________．答案如图1，如果α为等腰三角形的顶角，那么α＋β＋β＝4β＝180°．解得β＝45°．如图2，如果α为等腰三角形的底角，那么α＋α＋β＝5β＝180°．解得β＝36°．这个三角形是黄金三角形．如图3，设腰长AB ＝CB ＝x ，底边AC ＝1．作∠BAC 的平分线交BC 于D ，那么△BCA ∽△ACD ．由BC AC AC DC =，得111x x =-．解得x =．图1 图2 图3如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把△ABC绕C点旋转得到△A′B′C，其中点A′在线段AB上，那么∠A′B′B的正切值等于__________．图1答案724．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，cos∠A＝35．在等腰三角形ACA′和等腰三角形BCB′中，5''6 CA CBAA BB==．所以AA′＝65CA＝185，BB′＝65CB＝245．所以A′B＝AB－AA′＝1855-＝75．由∠A＋∠ABC＝90°，∠A＝∠1，得∠1＋∠ABC＝90°．如图3，在Rt△A′B′B中，tan∠A′B′B＝''A BBB＝724．图2 图3如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝512，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为__________．答案42．思路如下：如图1，作CH⊥AB于H，那么四边形AHCD是正方形．已知cot B＝512，AB＝17，设BH＝5m，CH＝12m，那么AB＝17m＝17．解得m＝1．所以正方形的边长为12，BC＝13．所以四边形ABCD的周长为54，周长的一半等于27．如图2，因为CD＋DA＝24，所以点E在AB上，AE＝3．此时在Rt△CEH中，EH＝12－3＝9，CH＝12，所以CE＝15．所以△BCE的周长＝15＋(9＋5)＋13＝42．图1 图2如图1，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．连结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于__________．图1答案 8-如图2，当BB 1⊥AC 时，AC 垂直平分BB 1，AB 1垂直平分CC 1． 此时△B 1C 1C 的面积等于△BCB 1的面积（如图3所示）．如图2，在Rt △ABE 中，AB ＝4，∠BAE ＝30°，所以BE ＝2，AE ＝所以CE ＝AC －AE ＝4-所以S △BCB 1＝112BB CE ⋅＝14(42⨯-＝8-图2 图3如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为__________．图1答案2．思路如下：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC AB＝2．如图2，当∠ABE＝45°时，△ABE是等腰直角三角形．此时∠BAD＝45°．如图3，作△ABD的高DH．设DH＝AH＝m，那么BH．由AB＝1)m＝2，得m1．所以BD＝2DH＝2m＝2．图2 图3小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝__________．图1 图2答案3．思路如下：如图3，设∠A＝α，∠B＝β．已知AC＝3，AB＝5，所以BC＝4．如图4，设∠E＝γ，∠F＝θ．如果△BCG与△DFH相似，因为钝角对应相等，所以∠BCG＝∠F＝θ，∠HDF＝∠B ＝β．所以BC DFBG DH=．所以48BG DH=．设BG＝m，那么DH＝2m．根据等角的余角相等，∠ACG＝∠E＝γ，∠EDH＝∠A＝α．所以△ACG∽△DEH．所以AC DEAG DH=．所以3452m m=-．解得m＝2．所以AG＝5－m＝3．图3 图4如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A ′、D ′，如果直线A ′D ′与⊙O 相切，那么ABBC的值为__________．图1答案 4．思路如下：如图2，设A ′D ′与⊙O 相切于点N ，连结ON 交BC 与点M ，那么ON ⊥A ′D ′．设OM ＝m ，那么AB ＝A ′B ＝MN ＝2m ．在Rt △ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2ON ＝6m ，所以BC ．所以4==AB BC ．图2如图1，在平行四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，sin A ＝45，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A 的对应点是点A ′，连结A ′C ，如果A ′C ⊥BC ，那么cos θ的值是__________．图1答案 725．思路如下：如图2，已知sin A ＝sin α＝45． 如图3，在Rt △A ′BC 中，A ′B ＝5，BC ＝3，所以A ′C ＝4． 所以∠A ′BC ＝α．延长A ′C 交AB 的延长线于点E ． 因为DA //CB ，所以∠CBE ＝∠A ＝α． 于是可得BC 垂直平分A ′E ． 作A ′F ⊥AB 于F ．由S △A ′BE ＝11''22A E BC BE A F ⋅=⋅，得'8324'55A E BC A F BE ⋅⨯===． 于是在Rt △A ′BF 中，sin θ＝''A F A B ＝2425．所以cos θ＝725．图2 图3例 2020年上海市杨浦区中考模拟第18题如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，连结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是__________．图1答案 6或10．思路如下：如图2，作BH ⊥AD 于H ．在Rt △ABH 中，由AB ＝10，tan ∠A ＝43，可得AH ＝6，BH ＝8．所以DH ＝9． 如图3，当点Q 落在AD 上时，点P 与点H 重合，此时AP ＝6．图2 图3如图4，当点Q 落在CD 上时，作QG ⊥AD 交AD 的延长线于G ，那么△BHP ≌△PGQ ． 设HP ＝GQ ＝4m ，那么DG ＝3m ．由PG ＝BH ＝8，得PD ＋DG ＝8．所以(9－4m )＋3m ＝8． 解得m ＝1．此时AP ＝AH ＋HP ＝6＋4m ＝10．图4例 2020年上海市长宁区中考模拟第18题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，点D 是边BC 的中点，∠ABC ＝∠CAD ，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，连结BE ，那么线段BE 的长为 __________．图1答案如图2，由∠ABC ＝∠CAD ，∠C 是公共角，得△CAD ∽△CBA ．所以=CA CD CB CA ．所以1=2CA CA．解得CA在Rt △ACD 中，CD ＝1，CA AD cos ∠ADC ＝CD AD 如图3，连结CE 交AD 于点F ，那么AD 垂直平分CE ． 因为点D 是边BC 的中点，所以DF 是△CBE 的中位线．在Rt △FCD 中，DF ＝CD ∙cos ∠ADC ＝13 ＝3．所以BE ＝2DF图2 图3。
2019上海数学初三二模第18题汇编
第18题专题题型一：图形等等翻折1.如图4，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （23，0），B （0，6），M （0，2）．点Q 在直线AB 上，把△BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ．如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是 ▲ ．参考答案：（23，4）或（0，－2）或（23- ，0）． 解析：（1）如图一，∵23OA =，6OB =，∴∠OBA =30° ∵ 翻折 ∴∠P =∠OBA =30°，4MP MB ==延长PQ 交OB 与H ，∵∠PQA =60°，∠BAO =60°，∴∠PQA =∠BAO ∴PH ∥OA ，∴∠PHO =∠AOB =90° ，又∠OBA =30°， ∴12,232MH MP PH === ∴ P （23，4） （2）如图二，∵ 翻折，∴∠BQM =∠PQM ∵∠PQA =60°，∴∠BQM =∠PQM =60°又∵∠OBA =30°，∴∠BMQ =90°，所以翻折后P 落在y 轴上且MP =BM =4 ∴P （0，－2）（3）如图三，∵∠P AB =60°，∴ BQM =30°，又易证∠BAM =∠OAM =30°，所以Q 点与A 点重合，且P 落在x 轴上，P A =BA =43，∴ P （23-，0）．图一 图二 图三2.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，点E 在边AD 上且AE =4，点F 是边BC 上的一个动点，yQ 图4ABOM xQ﹒PQ ABO MP(Q )ABOMH PQMOB A将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG =3，那么BF 的长为 ▲ ．参考答案：658-解析：易证1EGA CGD △∽△，∴11AG A E GD DC=，∴12A E =，∴ EG =25 ∴BC =AD =725+，设BF =x ，则1,725FB x FC x ==+- 易证1FCB CGD △∽△，∴1FB FCDC GC=，GC =35，∴1658FB =-，即658FB =-3.如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，25BC = ，D 为边AC 上一点（点D 与点A 、C 不重合）．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE // AB ，那么AD ︰CD =_____参考答案：5：6解析：过A 作AH ⊥BC ，∵AC =AB ，∴ BH=5，过C 作CF ⊥AB ，5cos 5BF BH ABC BC AB ===∠，∴ BF =2，AF =3，C F=4，∵CE // AB ，∴四边形ABCE 为梯形，又因为翻折，所以AB =BE ，所以BE =AC ，所以梯形ABCE 为等腰梯形，所以OA =OB ，C第18题图ABDEABC（第18题图）OE =OC ，过O 作OP ⊥AB ，所以AP =52，因为OP ∥CF ，所以AO AP AC AF =，所以AO =256，OC =OE =56，因为CE // AB ，∴ EC COAB AO=，∴ EC =1，因为翻折，所以DAB DEB =∠∠，又因为CE // AB ，所以DAB ECD =∠∠，所以DEB ECD =∠∠，又∠EDC =∠EDC ，所以△DEO ∽△DCO ，所以56ED EO DC EC ==，又ED =AD ，所以AD ：DC =5:6题型二：图形等等旋转4.如图4，在ABC △中，已知AB AC =，30BAC ∠=︒，将ABC △绕着点A 逆时针旋转30︒，记点C 的对应点为点D ，AD 、BC 的延长线相交于点E .如果线段DE 的长为2，那么边AB 的长为 ． 参考答案．62+解析：如图，过点D 作DH ⊥CE ，∵AB AC =，30BAC ∠=︒∴ ∠ABC =∠ACB =75°，∵ 旋转，∴ ∠CAD =30°，∠ACD =∠ADC =75° ∴∠DCH =30°，∠DEC =45°，∵DE =2，∴ DH =HE =1，∴ CD =2，CH =3 ∴ CE =3+1，∵ ∠E =∠E ，∠DCH =∠CAD =30°，∴ △CDE ∽△ACE ∴CD DEAC CE=，∴ AC =62+，∴ AB =62+BOEDABCH5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，cosB =23，先将△ACB 绕着顶点C 顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A'CB'（点A'、C 、B'的对应点分别是点A 、C 、B ），联结A'A 、B'B ，如果△AA'B 和△AA'B'相似，那么A C '的长是 ▲ ．参考答案：355-解析：∵∠ACB =90°，AB =6，cosB =23，∴ BC =4，AC =25，∵因为旋转，∴ 1=ABC B ∠∠又∵△AA'B 和△AA'B'相似，∴11BAA CAA =∠∠，过B 作BD ∥AC ，延长1AA 交BD 于点D ，则∠D =1CAA ∠，∴∠D =1BAA ∠，∴ BD =AB =6，因为BD ∥AC ，所以11BA BD AC A C= 即64=25ACAC-，∴AC =355-6.如图3，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，将ABC ∆绕着点C 旋转，点B A 、的对应点分别是点'A 、'B ，若点'B 恰好在线段'AA 的延长线上，则'AA 的长等于 ▲ ．参考答案：145解析：过A 作AE ⊥BC ，所以BE =4,AE =3,因为旋转，所以'8,'5B C BC AC A C ===='B B=∠∠，过C作'CH AA ⊥，3sin 'sin '5CH B B CB ===，所以245CH =，所以2275AH AC CH =-=，所以'145AA =ACBB C D B 1A 1A图3BCH A'B'ABCE7.如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆ ，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1BDB C= ▲ ． 【参考答案】35.因为在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =， 所以设3AC x =，则5AB x =；4BC x =因为11A B C ∆由将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转得到， 所以1190ACB ∠=︒,1B B ∠=∠ 又因为点E 是边11A B 的中点， 所以1111115222A EB E CE A B AB x ===== 所以11CEB B ∠=∠;所以1CEB B ∠=∠;所以1//BD B C ;所以11BDB B ∠=∠; 所以1BDB B ∠=∠ 所以542DE BE x x ==-所以15432552x xBD BEB C CEx -===.8.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =8，BC =6．将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为________．【参考答案】3.根据题意得：22228610BD AB AC BC ==+=+=;1064DC DB BC \=-=-=Q 旋转，所以=A D 行，又Q 90ACBDCF ??o\ ACB V ∽DCF V \43DC AC CF BC ==, 3CF \=.9.如图5，矩形ABCD ，AD =a ，将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF ，顶点A 、D 、C 分别与点E 、F 、G 对应（点D 与点F 不重合）．如果点D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是 ▲ ．（用含a 的代数式表示）【参考答案】2a .根据题意，由旋转得到90BEF DAB ??o矩形对角线BD BF = 所以BDF V 是一个等腰三角形所以DE EF a ==（等腰三角形三线合一） 所以2DF a =.10.如图7，AD 是△的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE ，那么GFAB的值等于 ▲ ．【参考答案】1063.ABC E 图7联结AF ;因为CFD △由BDE ∆绕点D 旋转得到 所以BDE BDE ∆∆≌ 所以DE FD =;B DCF ∠=∠;27CF AB = 所以//AB CF所以27FG AG =;所以29FG AF =在ADE ∆和ADF ∆中90AD AD ADE ADF DE FD o=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩；得到ADE ADF ∆∆≌ 所以AE AF =设5AE x =；则5AF x =;7AB x =;109xFG = 所以1063FG AB =.题型三：其他题型：11.我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =12，动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1个单位/秒的速度向点C 运动，动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2个单位/秒的速度向点B 运动，P 、Q 两点分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为 ．参考答案：35CBAP QM 图6G E DB解析：当t =0时，M 在AC 中点处，即1M 处，当t=6时，Q 运动到B ，此时P 在线段AC 上，且AP=6，CP=2，M 在BP 中点处，即2M 处，过2M 作2M H AC ⊥，交AC 于H ，则26M H =，HP=1，∴ 1HM =3，∴221221()()35M M M H HM =+=，即轨迹长为3512.如图3，点M 的坐标为)2,3(，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线x y -=平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是 ．参考答案：3或2（任意一个都可以）解析：设M 关于直线l 的对称点为点N ，直线l 与x 轴交于点P ，与y 轴交于点F ，易知45?FPO PFO ==∠∠（1）当对称点落在x 轴上时，直线l 垂直平分线段MN ，所以45?MNP PN PM ==∠， ∴45?NMP =∠，∴=90?NPM ∠，∴ P （3,0），∴ OF =OP =3，所以t=3（2）当对称点落在y 轴上时，直线l 垂直平分线段MN ，所以45?,FN=FM MNF =∠ ∴45?NMF =∠，∴ =90?NFM ∠，∴ F （0,2），所以OF =2,所以t =213.如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ▲ .参考答案：105105r -<<+解析：过O 作OH ⊥AD ，OG ⊥AB ，∴AH =2,AG =1，易知四边形AGOH 为矩形，所以OH =1,所以AO =5，易知HD =3，所以OD =10，连接OD 并延长DO ，交圆O 于点P ,Q ，所以PD=105-，DQ=10+5，所以105105r -<<+OFPl N MOPFl NMABCDE F （第18题图）14.定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点。
2019年上海初三数学二模18题专题讲解
杨浦区18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．18.【答案】√10-√5＜r＜√10+√5【解析】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC=90°，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，∴GF=AF=2，∴OG是△AEF的中位数，∴OG=AE=1，∴OF==，OD==，∵圆D与圆O有两个公共点，∴-＜r＜+，黄浦区如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin B=35，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么BDB1C=______．18.【答案】351.解：∵∠ACB=90°，sinB==，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC==4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED∴△CEB1∽△DEB∴=18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cos B＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是3﹣5 ．【解答】解：由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵cos B＝＝，AB＝6，∴BC＝4，AC＝＝2，∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′，∴△AA′H≌△AA′C（AAS），∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x，在Rt△A′BH中，（4﹣x）2＝x2+（6﹣2）2，∴x＝3﹣5，∴A′C＝3﹣518．如图，在△ABC中，AB = AC = 5，25BC ，D为边AC上一点（点D与点A、C不重合）．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD = ▲．普陀区18.如图7，AD 是△的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE ，那么GFAB 的值等于 ▲ ．ABC18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点C 旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于______．18.【答案】145【解析】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，∵旋转∴AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8∵CF⊥AA'，∴AF=A'F在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2=B'F2+CF2，∴B'C2-AC2=B'F2-AF2，∴64-25=（8+AF）2-AF2，∴AF=∴AA'=18 .如图4，在平面直角坐标系x O yA ( 23 ,0 )，点Q 在直线AB 上，把BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ，如果直线PQ 与直线A B 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是奉贤区金山区18.一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于______．崇明区18.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为√2，那么边AB的长为______．18.【答案】√6+√2【解析】解：如图，作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，∵将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E，∴AD=AC=AB，∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=75°，∴∠DCE=30°，∠E=45°，∵DE=，∴DF=EF=1，CF=，∴CE=+1，∴CH=HE=，AH=，∴AD=AH+HE-DE=，∴AB=．松江区18.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．将△ABC绕点B 旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上．直线AC交DE于点F，那么CF的长为______．18.【答案】3【解析】解：∵如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．∴AB=，tan∠A=，∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上，直线AC交DE于点F，∴BD=AB=10，∠D=∠A，∴CD=BD-BC=10-6=4，在Rt△FCD中，∠DCF=90°，∴tanD=，即，∴CF=3．嘉定宝山区18.如图，点M的坐标为（3，2），动点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，若点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t，则t的值是______．18.【答案】2或3【解析】解：如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点,过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．由直线l：y=-x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，-1）．∵M（3，2），F（0，-1），∴线段MF中点坐标为（，）．直线y=-x+b过点（，），则=-+b，解得：b=2，∴t=2．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．直线y=-x+b过点（2，1），则1=-2+b，解得：b=3，∴t=3．故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．虹口区青浦区18．（3分）我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为．【解答】解：以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：依题意，可知0≤t≤6，当t＝0时，点M1的坐标为（4，0）；当t＝6时，点M2的坐标为（1，6），设直线M1M2的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+8．设动点运动的时间为t秒，则有点Q（0，2t），P（8﹣t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t），把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，∴点M3在M1M2直线上，过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，∴M1M2＝3，∴线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．浦东新区解。
上海2020初三数学二模18题详解
2020年上海市初三二模数学18题解析2020.05一. 闵行区18. 如图，已知在△ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒， 将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点1B 处，点C 落在 点1C 处，且1BB AC ⊥，联结1B C 和1CC ，那么△11B C C 的面 积等于【解析】843-，∵1BB AC ⊥，∴111BC CB B C ==， ∴△11B C C ≌△1B CB ，∵4AB AC ==，30BAC ∠=︒， ∴2BD =，23AD =，423CD =-， ∴111112B C C B BC S S B B CD BD CD ==⋅=⋅=V V 843-二. 宝山区18. 如图，在△ABC 中，5AB AC ==，3tan 4B =，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得 到△11A BC ，当点1C 在线段CA 延长线上时△1ABC 的面积为【解析】46825，如图作AD BC ⊥，1BE CC ⊥，易知△ADC ∽△BEC ，且由题意可知， 3AD =，4CD =，5AC =，8BC =，∴324sin 55BE C BE BC ==⇒=， 432cos 55CE C CE BC ==⇒=，∴75AE CE AC =-=，∵1325C E CE ==，∴11395C A C E AE =+=，∴111139242255ABC S C A BE =⨯=⨯⨯=V 46825三. 崇明区18. 如图，平面直角坐标系中，(8,0)A ，(8,4)B ，(0,4)C ，反比例函数ky x=在第一象限 内的图像分别与线段AB 、BC 交于点F 、E ，联结EF ，如果点B 关于EF 的对称点恰好 落在OA 边上，那么k 的值为【解析】12，作EH AO ⊥，由题意，(,4)4k E ，(8,)8k F ，∴84k EB ED ==-， 48kFB FD ==-，∴2ED FD =，易知△EHD ∽△DAF ，∴相似比为2， ∴24EH AD ==，2AD =，6244k kHD EB AD AF =-=-==，∴12k =四. 金山区18. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，把△ABC 绕C 点旋转得到 △A B C '''，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于【解析】724，如图所示，联结BB '，作CD AB ⊥，由旋转性质， 易知△ACA '∽△BCB '，39cos 55AD A AD AC ==⇒=，∴185AA '=，75A B '=，由相似得245AC AA BB BC BB ''=⇒='， 同样由相似，∴CAA CBB ''∠=∠，∴90CBB CBA '∠+∠=︒， ∴在Rt A B B ''V 中，7tan 24A B A B B B B '''=='V五. 浦东新区18. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 边上一点，沿直线AD 翻折△ABD ，点B 落在点E 处，如果45ABE ∠=︒，那么BD 的长为【解析】232-，如右图所示，作DE ⊥AB ，∵AE AB =，∴45ABE AEB ∠=∠=︒， ∴45BAD ADE ∠=∠=︒，30ABC ∠=︒，∴设DE x =，∴AE x =，3BE x =， ∴3231AB x x x =+=⇒=-，∴2232BD x ==-六. 青浦区18. 小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角 形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个 直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似， 那么分割出来的另外两个小三角形也相似，他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的 相似分割线，如图2、图3，直线CG 、DH 分别是两个不相似的Rt △ABC 和Rt △DEF 的相似分割线，CG 、DH 分别与斜边AB 、EF 交于点G 、H ，如果△BCG 与△DFH 相似，3AC =，5AB =，4DE =，8DF =，那么AG =【解析】3，∵B F ∠≠∠，∴B HDF ∠=∠，作HG ⊥DF ，∴3sin sin 5B HDG ∠=∠=， 设3HG x =，∴5DH x =，4DG x =，∵4tan 68HG ED F GF x GF DF ∠===⇒=， ∴10DF x =，∵△BCG 与△DFH 相似，∴2DH BGBG DF BC=⇒=，∴3AG =18. 如图，在ABCD Y 中，3AD =，5AB =，4sin 5A =，将ABCD Y 绕着点B 顺时针旋 转θ（090θ︒<<︒）后，点A 的对应是点A '，联结AC '，如果A C BC '⊥，那么cos θ的值是【解析】725，∵4sin 5A =，∴3cos 5A =，∵3AD =，5AB =，∴90ADB ∠=︒，4BD =，90DBC ∠=︒，∵90A CB '∠=︒，∴A C '∥BD ，∵3BC =，5A B '=， ∴4A C '=，∴A C BD '=，即四边形A DBC '为矩形，即A '、D 、A 共线，∴A AB 'V 为等腰三角形，∴26AA AD '==， ∴318cos 55AE A AE AA ==⇒='，∴75BE AB AE =-=，∴cos 5BE BE BA θ==='725八. 长宁区18. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，点D 是边BC 的中点，ABC CAD ∠=∠， 将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，联结BE ，那么线段BE 的长为【解析】233，联结CE ，∵tan tan ABC CAD ∠=∠， ∴122AC DC AC AC BC AC AC=⇒=⇒=，∴3AD =， ∵DC DE DB ==，∴BE EC ⊥，∵DA EC ⊥，∴BE ∥DA ，∴EBC CDA ∠=∠，∵90BEC DCA ∠=∠=︒， ∴BEC V 与DCA V 相似，∴23BE DC BE BE BC DA =⇒=⇒=23318. 定义：如果三角形的两个内角α∠与β∠满足2αβ∠=∠，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长 与底边长的比值为【解析】22或512+，① 如左图，顶角是底角的2倍，∴4180A B C B ∠+∠+∠=∠=︒，∴45B C ∠=∠=︒，此时腰长与底边长的比值22AB BC ==； ② 如右图，底角是顶角的2倍，∴5180A B ACB A ∠+∠+∠=∠=︒，∴36A ∠=︒， 72B ACB ∠=∠=︒，作CB CD =，∴72B BDC ∠=∠=︒，36A ACD BCD ∠=∠=∠=︒， ∴AD CD BC ==，且△CBD ∽△ABC ，∴AB CB AB BCBC BD BC AB BC=⇒=-， 设AB x BC =，∴11x x =-，∴210x x --=，解得x =15±（舍负），∴ABBC=51+十. 静安区18. 如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为 这个四边形的“等分周长线”，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90A ∠=︒，DC AD =，B ∠是锐角，5cot 12B =，17AB =，如果点E 在梯形的边长，CE 是梯形ABCD 的“等分 周长线”，那么△BCE 的周长为【解析】42，作CF ⊥AB ，∵5cot 12B =， ∴设5BF x =，∴12CF x =，∴12DC AD x ==， ∴12AF x =，∴17171AB AF BF x x =+==⇒=， ∴ABCD 周长为54，由题意，27CD DA AE ++=， ∴3AE =，∴9EF AF AE =-=，12CF =，∴15EC =，∴△BCE 的周长为15141342EC EB BC ++=++=18. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，35B ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，如果将 △BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是 度【解析】125，∵CD 是斜边AB 上的中线，∴DA DB DC ==，∴1235∠=∠=︒， 由翻折的性质，∴3435∠=∠=︒，DB DE DA ==，且CD BE ⊥，∴90AEB ∠=︒， ∴AE ∥CD ，∴5435∠=∠=︒，∵902420ACE ∠=︒-∠-∠=︒， ∴1805125CAE ACE ∠=︒-∠-∠=︒十二. 松江区18. 如图，四边形ABCD 是O e 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A '、D '，如果直线A D ''与O e 相切，那么ABBC的值为2A D ''与O e 的切点为F ，联结OF 交BC 于点E ，∴OF ⊥BC ， 设OE x =，∴2AB A B EF x '===，3OF x =，即O e 半径为3x ，∴3OC x =， 由勾股定理，∴22EC x =，∵OE ∥AB ，∴22AB OE BC EC x ===218. 已知O e 的直径4AB =，D e 与半径为1的C e 外切，且C e 与D e 均与直径AB 相 切，与O e 内切，那么D e 的半径是【解析】1或12，① 如左图，D e 与C e 在AB 异侧，关于AB 对称，此时D e 半径是1； ② 如右图，D e 与C e 在AB 同侧，设D e 与直径AB 切点为E ，联结DE 、CO 、DC 、DO ， 作DF CO ⊥，设D e 的半径是r ，∴2DO r =-，FO r =，222(2)44DF r r r =--=-， 且1CD r =+，1CF r =-，∴222(1)(1)4DF r r r =+--=，∴4440.5r r r -=⇒=十四. 虹口区18. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE ∥AC ，52BD =，把△BDE 绕着点B 旋转得到△BD E ''（点D 、E 分别 与点D '、E '对应），如果点A 、D '、E '在同一直线上，那么AE '的长为3524524，∵6AC =，8BC =，∴10AB = ① 如左图，∵D E BD '''⊥，∴2222210(52)50AD AB BD ''=-=-=，即52AD '=∵315244DE CA DE DB CB ==⇒=，∴155224AE AD D E ''''=+==3524② 如右图，同理52AD '=155224AE AD D E ''''=-==524.。
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2019年上海中考数学二模汇编 第18题
1.（杨浦）如图，在矩形中，过点的圆交边于点，交边于点，已
ABCD A O AB E AD F 知，，，如果以点为圆心，
5
AD =2AE =4AF =D 为半径的圆与圆有两个公共点，那么的取值范围
r D O r 是
2.（黄浦）如图，在△中，，，将
△绕顶点顺时针旋ABC 90ACB ∠=︒3
sin 5
B =
ABC C 转，得到△，点、分别与点、对应，边分别交边、于点、
11A B C A B 1A 1B 11A
B AB B
C
D ，如果点是边的中点，那么
E E 11A B 1BD
B C
=3.（闵行）如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，D 为边AC 上一点（点D 与点
BC =A 、C 不重合）．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE //
AB ，那么AD ︰CD =
．
4.（金山）一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边
形的边长等于
．
A
B
C
5.（宝山）如图，点M 的坐标为(3,2)，动点P 从点O 出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，如果点M 关于l 的对称点落在坐标轴上，设点P 的移动时间为t ，那么t 的值可以是
6.（静安）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点
xOy A (0,6)B (0,2)M 在直线上，把△沿着直线翻折，点落在点处，联结，如果直线Q AB BMQ MQ B P PQ 与直线所构成的夹角为60°，那么点的坐标是
PQ AB
P 7.（徐汇）如图，在Rt △中，，，，先将△绕着ABC 90ACB ∠=︒6AB =2
cos 3
B =
ACB 顶点顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△（点、C A CB ''A '、的对应点分别是点、、），联结、，如果△和△相似，C B 'A C B A A 'B B 'AA
B 'AA B ''那么的长是
A C '8.（奉贤）如图，矩形，，将矩形绕着顶点顺时针旋转，得到ABCD AD a =ABCD
B 矩形，顶点、、分别与点、、对应（点与点不重合），如果EBGF A D
C E F G
D F 点、、在同一条直线上，那么线段的长是 （用含的代数式表示）
D E F DF a
9.（崇明）如图，在△中，已知，，将△绕着点逆时
ABC AB AC =30BAC ∠=︒ABC A 针旋转30°，记点的对应点为点，、的延长线相交于点，如果线段的C D AD BC E DE
的长为
AB 10.（普陀）如图7，AD 是的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将绕着ABC A BDE A 点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果
，那么
的值等于
____________52AE BE =GF
AB
11.（松江）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =8，BC =6．将△ABC 绕点B 旋转得
到△DBE ，点A 的对应点D 落在射线BC
上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为
________．
12.（长宁）如图3，在中，，，将绕着点旋转，点ABC A 5AB AC ==8BC =ABC A C 、的对应点分别是点，，若点恰好在线段的延长线上，则
.
A B '
A '
B 'B 'AA 'AA =
A
B C。