数学建模综合评价

专 家 评 分 法 成 对 比 较 法 模 糊 定 权 法 Saaty 权 重 法
客观定权法
秩 和 比 法
熵 权 法 相 关 系 数 法
其 它 方 法
定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一 致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定 性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖 于较为合理的专业解释。
bij 1 aij ( aij 0)
(i 1 ,2 n)
则 bij 属极大型指标值
Ⅱ．对于居中型指标 f k ,令
2(aik m) M m bik 2( M aik ) M m
mM m aik 2 mM aik M 2
(i 1, 2 n)
* j
m * 2 j
* 2 则综合评价函数为 j ，
yi w j ( xij x ) , i 1,2,, n 。
j 1
按照 yi (i 1,2,, n) 值的大小对各被评价方案进行排 序选优，其值越小方案就越好。
特别地，当某个 yi 0 时，则对应的方案就是最优的。
二. 层次分析法（AHP）
基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将 问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关 联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形 成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结 为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目
标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
引例.
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
O C1 C2
C1 1 2
C2 1/2 1
C3 4 7
C4 3 5
C5 3 5
C3
C4 C5
1/4
1/3 1/3
1/7
1/5 1/5
1
2 3
1/2
1 1
1/3
1 1
1 2 A 成对比较的不一致情况
成对比较阵和权向量
1/ 2 1
4 7
数学建模中的
常用综合评价方法
综合评价就是运用多个指标对多个参评单位进 行评价的方法，称为多变量综合评价方法，又称综 合评价法，其基本思想是将多个指标转化为一个能 够反映综合情况的指标来进行评价。 特点 （1）评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过 一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的。 （2）在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性 进行加权处理。 （3）评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而 是以指数或分值表示参评单位“综合状况”的排序。
18000
21000 15000
6.5
4.5 5.0
高
低 一般
一般
高 一般
4
综合评价的一般步骤
对某事件进行多因素综合评价的过程，实质上就是科学研究与 决策的过程，原则上应包括设计、收集资料和分析资料几个基 本阶段，实施中应着重注意以下几个基本环节。
①选择恰当的评价指标(evaluation indicator)
②确定各评价指标权重
研 究 目 的
③合理确定各单个指标的评价等级(evaluation grade)及其界限
④建立综合评价模型(synthetical evaluation model)
⑤确定多指标综合评价的等级数量界限，并根据实践对已建立模
型考察、修改及完善。
评价指标权重的计算
确定指标权重方法
主观定权法
尺度
a ij
1 相同
2
3 稍强
4
5 强
6
7
8
9 绝对强
Ci : C j的重要性
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
Ci : C j aij
选 择 旅 游 地
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1/ 2 1
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
4 3 7 1 2 3
1/ 7 1/ 5 1/ 5
3 5 5 A~成对比较阵 1 / 2 1 / 3 1 1 A是正互反阵 1 1
数据的处理
(1) 指标的类型:
定性:
定量:
优,
良,
中,
一般 ，差;
很高,
高,
一般,
低,
很低.
①极大型(正向) ，②极小型(逆向) ，③居中型
(2) 定性指标的量化(评分法)
等级 分值
很低 1
低 3
一般 5
高 7
很高 9
(3)指标类型的一致化（化为极大型）
Ⅰ．对于极小型指标 f i
令 bij M aij , (M 0) 或

成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n 的正互反阵A称一致阵，如
w1 w 1 w2 w A 1 wn w1
w1 w2 w2 w2 wn w2


w1 wn w2 wn wn wn
一致性检验
对A确定不一致的允许范围
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
定义一致性指标: CI max n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 如果大了怎么办 Saaty的结果如下
a12 1/ 2 (C1 : C2 )
a13 4 (C1 : C3 )
一致比较
不一致
a23 8 (C2 : C3 )
w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
w1 考察完全一致的情况 w 1 W ( 1) w1 , w2 ,wn w2 A w1 令aij wi / w j T w (w1 , w2 ,wn ) ~ 权向量 wn w1
一致阵 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的 成对比较阵A，对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n
Aw maxw
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 • 便于定性到定量的转化：
其中： m 和 M 分别为指标 f k 允许下界和上界．
(4)标准化
Ⅰ．向量归一化法:
x ( x1 , x2 , , xn )
xn x1 x2 0 x n , n , , n xi xi xi i 1 i 1 i 1
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Ⅱ．极差变换法:
* * *
基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法 （ The technique for order preference by similarity to ideal solution，简称为 TOPSIS） 。
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
假设 理想点 为 ( x , x ,, x ) ， 对于被评价 对象
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 3 4 5 6 7 8 9
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
(a) 对于正向指标 f j
:记
a max{aij }
1 i n
j
a min{aij }
0 j 1 i n
,
x ij
a ij a a
* j
a
n)
0 j 0 j
(i 1, 2
(b) 对于逆向指标
fk
:记
a max{aik }
1 i n
k
a min{aik }
xik
* ak aik
(i 1, 2
n)
* 其中 ak min aik 1 i n
0 xij 1
(aij 0)
一、常用综合评价方法
1. 线性加权综合法
用线性加权函数 y
w x
j 1 j
m
j
作为综合评价模型，
对 n 个系统进行综合评价。
适用条件:各评价指标之间相互独立。 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间 信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。 主要特点： （1）各评价指标间作用得到线性补偿； （2）权重系数的对评价结果的影响明显。
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤 构造成对比 较阵和计算 权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教 授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防 部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而 进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标 综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。 是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。
选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中选择旅游地点.
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
“选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案 层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相 连的直线表示。
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
* * * 设定系统指标的一个理想点 ( x1 , x2 ,, xm ) ，将
每一个被评价对象与理想点进行比较。
如果某一个被评价对象指标 ( xi1 , xi 2 ,, xim ) 在某种意义 下与 ( x1 , x2 ,, xm ) 最接近，则被评价对象 ( xi1 , xi 2 ,, xim ) 为最好的。
引例: 某航空公司在国际市场上购买飞机,按6个决策指标 对不同型号的飞机进行综合评价，最后决定购买的机型.
指标 机型
最大速 度 (马赫)
2.0
最大范 围 (公里)
1500
最大负 载 (千克)
20000
费用 可靠性 (106美元 )
5.5 一般
灵敏度
1
很高
2
3
2.5
1.8 2.2
2700
2000 1800
* 1
* 2
* m
( xi1 , xi 2 ,, xim ) ，则定义二者之间的加权距离:
yi w j f ( xij x * j ), i 1,2, , n ，
j 1 m
其中 w j 为权系数，f ( xij , x ) 为 xij 与 x 下距离。
* j
* j 之间的某种意义
通常可取 f ( xij , x ) ( xij x )
0 k 1i n
a aik xik 0 a ak
* k * k
则有:
(i 1, 2
n)
0 xij 1
Ⅲ．线性比例变换法:
(a) 对于正向指标 其中
fj
:
xij
aij a
* j
(i 1, 2
n)
a j max aij 0
1 i n
(b) 对于逆向指标 f k :
2. 非线性加权综合法
用非线性函数 y
x
j 1
m
wj j
作为综合评价模型，对 n
个系统进行综合评价。 其中 w j 为权系数， 且要求 x j 1 。 适用条件：各指标间有较强关联性。
主要特点： （1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值 较小的指标影响的作用； （2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标 值的大小差异相对较敏感。