2015新课标(1)高考理科数学21题别解

2015新课标（1）高考理科数学21题别解

山石

2015新课标（1）高考理科数学21题

已知函数f (x )＝31,()ln 4

x ax g x x ++

=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； (Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()

(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个

数

解：

(Ⅰ)略 （II ）当{}x (1,)()10,(),()()0,h()(1,)g x nx f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h(x)=min 故在无零点

{}55x 1(1)0,(1)min (1),(1)(1)0,x 44

a f a h f g g =≥-=+≥====当时，若则故1是 {}5()a ,(1),(1)(1)0,1(4

h x f g f x h x <-=<=的零点；若则f(1)<0,h(1)=min 故不是）的零点x (0,1)g ()10.f x n x ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数。

即只需研究方程a x x -=+412解的问题。设=)(x t x x 412+，2412)(x x x t -='当⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈21,0x ，0)(<'x t ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21x ，0)(>'x t ，函数)(x t 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0上是增函数，在⎪⎭

⎫ ⎝⎛1,21

为4

3 当43<-a ，即43->a ，方程a x x -=+412无解，函数)(x h 有一个零点； 当45>-a ，即45-

x -=+412有一解，函数)(x h 有一个零点； 当43=-a 或45=-a 即43-=a 或45-=a ，方程a x

x -=+412有一解，函数)(x h 有两个零点； 当4543<-

x -=+412有两个解，函数)(x h 有三个零点。

综上，当3535a a<-()a a h()4444

h x x >-=-=-或时，有一个零点；当或时，有两个零点 53h().44

a x -<<-当时，有三个零点