2020_2021学年高中数学第4章函数应用实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例学案北师大版必

2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例学习 目 标核 心 素 养1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2.能建立函数模型解决实际问题．(重、难点) 1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养.1．实际问题的函数刻画阅读教材P 120～P 122整节课内容，完成下列问题．在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画． 2．用函数模型解决实际问题阅读教材P 123～P 125整节课的内容，完成下列问题． (1)常用的函数模型名称 解析式 条件一次函数模型 y ＝kx ＋b k ≠0 反比例函数模型y ＝kx＋b k ≠0二次函数模型一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c顶点式：y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24aa ≠0指数函数模型 y ＝b ·a x ＋c b ≠0，a >1，且a ≠1 对数函数模型 y ＝m log a x ＋n m ≠0，a ＞0，且a ≠1幂函数模型 y ＝ax n ＋ba ≠0通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．思考：解决应用问题的关键是什么？ [提示] 将实际问题转化为数学问题．1．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )x －2 －1 0 1 2 3 y11614141664A.C ．对数函数模型 D ．指数函数模型[答案] D2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数A [由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．] 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S 1，S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合的是( )B [乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.]4．用一根长为12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m 2. 9 [设铁框架的一边长为x m ，则其面积S ＝12－2x x 2＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9. 由⎩⎪⎨⎪⎧x >012－2x >0，得0<x <6.所以，当x ＝3时，S 取最大值9.]表格信息类建模问题年份2015201620172018 x(年)012 3生产总值(万亿8.206 78.944 29.593 310.239 8元)(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值．[解] (1)根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y ＝kx ＋b .把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k ＝0.677 7，b ＝8.206 7.所以它的一个函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由(1)中得到的关系式为f (x )＝0.677 7x ＋8.206 7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为f (1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4， f (2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2019年，即x ＝4，由上述关系式，得y ＝f (4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5， 即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917 5万亿元．(1)根据表格信息，画出图像； (2)根据图像特征，选定函数模型； (3)用待定系数法求出函数解析式； (4)检验模型．[跟进训练]1．(1)某学校开展研究性学习活动， 一组同学获得了下面的一组试验数据：x 1.99 3 4 5.1 8 y0.991.582.012.353.00①y ＝0.58x －0.16；②y ＝2x－3.02；③y ＝x 2－5.5x ＋8；④y ＝log 2x ；⑤y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1.74. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)． (2)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)(1)④(2)148.4 [(1)画出散点图如图所示．由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图像上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.(2)高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元)．]图像信息解读问题图1 图2 图3(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？[解](1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元．1．这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决．2．挖掘图像中的信息是关键．[跟进训练]2．电信局为了配合客户的不同需要，设有A ，B 两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN ∥CD )．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A ，B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠？ [解] 由图可知M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD . 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )， 则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧98，0≤x ≤60，310x ＋80，x >60；f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168，0≤x ≤500，310x ＋18，x >500.(1)当通话时间为2小时，A ，B 两种方案的话费分别为116元、168元． (2)因为当x >500时，f B (x ＋1)－f B (x )＝310(x ＋1)＋18－310x －18＝310＝0.3，所以方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由题图可知，当0≤x ≤60时，f A (x )<f B (x )； 当x >500时，f A (x )>f B (x )； 当60<x ≤500时，f A (x )>f B (x )，即310x ＋80>168，解得x >8803. 综上，当通话时间在⎝⎛⎭⎪⎫8803，＋∞范围内，方案B 比方案A 优惠.数据拟合1．建立拟合函数的步骤是什么？提示：依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索步骤为： (1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式； (3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．2．今有一组试验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.54.04 7.5 1218.01A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2提示：可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D ；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t－2＝23－2＝6，t 2－12＝32－12＝4，由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．故选C.【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A 种商品金额(万元)123456获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)[思路探究] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型． [解] 设投资额为x 万元时，获得的利润为y 万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A 种商品的利润y万元与投资额x 万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系．设二次函数的解析式为y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 一次函数的解析式为y ＝bx .把x ＝1，y ＝0.65代入y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示．把x ＝4，y ＝1代入y ＝bx ，得b ＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝0.25x 表示．令下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A 万元、x B 万元，总利润为W 万元，得W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ，其中x A ＋x B ＝12，则W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6(0≤x A ≤12)，则当x A ＝196≈3.2万元时，W 取得最大值，0.15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6≈4.1万元，此时x B ＝536≈8.8(万元)． 即投资A 商品3.2万元，投资B 商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：1作图：根据已知数据作出散点图；2选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；3求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式； 4利用所求得的函数模型解决问题.[跟进训练]3．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系(见下表)：x … 30 40 45 50 … y…603015…(1)y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．[解] 根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150(x ∈N )．经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上， 故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N )．(2)依题意有P ＝y (x －30) ＝(－3x ＋150)(x －30) ＝－3(x －40)2＋300，∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化．1．思考辨析(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义．( )(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解．( )[答案](1)√(2)×2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b ＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为( )A B C DC[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C.]3．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0＜x≤500500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500…邮资y(元) 5.00 6.007.00…- 11 - ( )A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元C [由题意可知，当x ＝1200时，y ＝7.00元，故选C.]4.要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积S 最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解] 由题意得窗框总长l ＝π2x ＋x ＋2y ，∴y ＝2l －π＋2x 4，∴S ＝π8x 2＋xy＝π8x 2＋x ·2l －π＋2x4＝－π＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l π＋42＋l22π＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＝2l －π＋2x4＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2lπ＋4，当x ＝2l π＋4时，S max ＝l 22π＋4，此时y ＝l π＋4＝x2，所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．。