复数、推理与算法作业
第十章(算法与推理证明、复数)过关测试
ICME －7图甲 OA 1A 2A 3A 4A 5 A 6A 7A 8图乙高三数学练习二十二一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 在复平面内，复数11i-所对应的点位于第 象限答案：一2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是答案：42n +3. 若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 答案：－6 解析：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=-.4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = 答案：15165．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．6．如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是答案：（-31，7）7. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第n 件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n 表示).答案：66，1322++n n8. 右图程序运行结果是 _______ 答案：349. 已知z ∈C ，2z i 1z i 1=-++）（）（，则|z |的最小值为答案：2解析：设),(R b a bi a z ∈+=，由已知得 a =b +1 ∵21)21(2||222++=+=b b a z ∴22||=最小值z . 10．按下列程序框图运算：第1件 第2件第3件规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x=5，则运算进行次才停止。
高三数学二轮复习 8 推理与证明、复数、算法练习 文
8．推理与证明、复数、算法1. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝21(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.答案 2n ＋2n ＋22. 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________． 答案 －23. 已知复数z ＝＋i 3i ，是z 的共轭复数，则||＝________.答案 14. 执行如图的程序框图，输出S 的值为________．答案 25. 设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z1z2的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为 ( )A ．6B ．－6C ．2D ．－26. 已知复数z ＝1－i 5＋3i ，则下列说法正确的是( )A ．z 的虚部为4iB ．z 的共轭复数为1－4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限答案 B7. 用反证法证明命题：“若a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数B ．a ，b ，c ，d 全都为正数C ．a ，b ，c ，d 全都为非负数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数答案 C8. 设f (n )＝1－i 1＋i n ＋1＋i 1－i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个答案 C欢迎您的下载，资料仅供参考！。
2023届高考复习数学专项(复数及推理与证明)好题练习(附答案)
2023届高考复习数学专项（复数及推理与证明）好题练习1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()A.二的实部是2B.=的虚部是2iC.乞=1-2i2.已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD.z在复平而上对应点在第四象限3.下面四个命题中的真命题为（）1A.若复数z满足-ER,则zERB.若复数z满足/ER,则zERC.若复数Z1,Z2满足z亿2ER,则z1=D.若复数zE R,则豆ER Z2D.lzl=✓S4.已知复数二满足i2k+1z=2+i,-(kE z), 则z在复平面内对应的点可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2�o.则z是实数B.若z2<o,则z是虚数C.若z是虚数，则z2�oo.若z是纯虚数，则z2<o6.已知Z1与Z-2是共枙虚数，以下四个命题一定正确的是（）2 2A. Z l <i z2B. zi z2=z Z2C.z1+z2E Rz+l.7设复数z满足——=i,则下列说法错误的是（）A.z为纯虚数B.z的虚部为一-i2C.在复平而内，z对应的点位千第二象限D.z=-—ZtD .• —ERZ28.某大学进行自主招生测试，盂要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ） A ．22a b aba b+≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快参考答案1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()D.lzl=✓S A. 二的实部是2 B.=的虚部是2i C.乞=1-2i【参考答案】CD3 +i(3 +i)(l +i) 2 + 4i—= = = 1+2i,【答宋解析】z=l—1 2 2即二的实部是1,虚部是2'故A错误，B铅误，又亏=1—2i,121 =✓1三了-= Js'故C,D均正确故选CD2. 已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD. z在复平面上对应点在第四象限【参考答案】ABD【答案解析】:;=3-4i, 则仁l=F五二正=5.故A正确；�=3+4i, 故B正确；二的虚部为4,故C铅误；二在复平面上对应点的坐标为(3,-4), 在第四象限，故D正确．:．命题中正确的个数为3.故选ABD.3.下而四个命题中的真命题为（）1A. 若复数z满足-E R,则zE RB.若复数z满足/E R,则zE RC. 若复数Z1,Z2满足z亿2R,则z=22D.若复数zE R,则�E R【参考答案】AD1【答案解析】若复数二满足-E R,则二E R,故命题A为真命题；复数z ＝i 满足z 2＝﹣1∈R ，则z ∉R ，故命题B 为假命题； 若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠，故命题C 为假命题；若复数z ∈R ，则＝z ∈R ，故命题D 为真命题． 故选：AD ．4.已知复数z 满足212k i z i +=+，()k z ∈，则z 在复平面内对应的点可能位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【参考答案】BD【答案解析】212k i z i +=+ ，212k iz i ++∴=15i i i === ，37i i i ===-当k 为奇数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-+--⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第二象限； 当k 为偶数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第四象限；故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限. 故选BD5．设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0 【参考答案】ABD【答案解析】设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2﹣b 2+2abi ， 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，真命题；对于B ，z 2＜0，则a ＝0，且b ≠0，⇒z 是虚数；所以B 为真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题．对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2＜0是真命题；故选ABD．6．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）A．z12＜|z2|2B．z1z2＝|z1z2| C．z1+z2∈R D．∈R【参考答案】BC【答案解析】解：z1与z2是共轭虚数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R）．z12＜|z2|2；＝a2﹣b2+2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2+b2，B正确；z1+z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝+i不一定是实数，因此D不一定正确．故选：BC．7.设复数z满足，则下列说法错误的是（ ）A．z为纯虚数B．z的虚部为C．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【参考答案】ABC【答案解析】∵z+1＝zi，设z＝a+bi，则（a+1）+bi＝﹣b+ai，∴，解得．∴z＝．∴|z|＝，复数z的虚部为，8．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【参考答案】AC【答案解析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前, 他的阅读表达成绩排名靠后.故选AC.9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b aba b+≥+ B ．2a b +≤C ．22a b a b b a +≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 【参考答案】ABD 【答案解析】选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+ ,故本选项是正确的；选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤,因此本选项是正确的； 选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab +---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()(()6a b c a b cb c a a b c+++++=+++++≥++=（当且仅当1a b c===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b cb c a+++至少有一个不小于2,故本选项是正确的.故选：ABD10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【参考答案】ABD【答案解析】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.。
算法、复数、推理与证明历年高考题汇总
---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 算法、复数、推理与证明试题成绩课程名称高考数学二轮复习模拟考试开卷闭卷√教研室高三数学组A卷√B卷复习时间年月日时分至时分适用专业班级班级姓名学号考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、选择题1．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.12 B.22C. 2 D．22．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．－2 B．0 C．－1 D．－3试题共页第页3．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1 B.7或－7C．－ 3 D. 34．执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4C．3 D．25．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 6．执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为()A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤57．如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n＞1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A＞1 000和n＝n＋1B．A＞1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2试题共页第页8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩二、填空题9．已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．11．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)＞________.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，试题共页第页15．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.试题共页第页∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.答案：D5．解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋b i＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋b i＝b i∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋b i∈R，则b＝0⇒z＝a－b i＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.答案：B6．解析：输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.答案：B7．解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．故选D.答案：D8．解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- f′(x)＝2x2＋xx＋1＋ln(1＋x)＞0(x＞0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x2n＋1－2x n＋1＋(x n＋1＋2)ln(1＋x n＋1)＝f(x n＋1)≥0，故2x n＋1－x n≤x n x n＋12(n∈N*)．(3)因为x n＝x n＋1＋ln(1＋x n＋1)≤x n＋1＋x n＋1＝2x n＋1，所以x n≥12n－1.由x n x n＋12≥2x n＋1－x n得1x n＋1－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－12＞0，所以1x n－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－1－12≥…≥2n－1⎝⎛⎭⎪⎫1x1－12＝2n－2，故x n≤12n－2.综上，12n－1≤x n≤12n－2(n∈N*)．15．证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C. 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.试题共页第页试题共页第页---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------[39.97，39.99)200.20[39.99，40.01)500.50[40.01，40.03]200.20合计100 1.00频率分布直方图如图所示：(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97，40.03]内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)这批乒乓球直径的平均值大约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．14．解析：(1)设从高二年级男生中抽出m人，则m500＝45500＋400，m＝25，从高二年级女生中应抽出的人数为45－25＝20，故表一为男生数据，表二为女生数据，所以x＝25－15－5＝5，y＝20－15－3＝2.(2)2×2列联表如下：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045因为K2＝45×(15×5－15×10)230×15×25×20＝45×152×5230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．15．解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：试题共页第页。
一点一练高考数学 第十章 推理证明、算法、复数专题演练 理(含两年高考一年模拟)-人教版高三全册数学
第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复 数 两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。
江苏省盐城中学高二数学暑假作业21：推理与证明、复数、算法(教师版)
盐城中学高二数学暑假作业（二十一）-----推理与证明、复数、算法姓名 学号 班级一、填空题：1．若复数(1i)(2i )m -+是纯虚数，则实数m 的值为 ．2-2．已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|= ．103．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．254．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 4 ．5．在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于第 四 象限.6．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N *)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为_______.1＋a ＋a 27．下列命题中正确的个数是_______.2（1）已知i b a b a b a R b a )()(,,++-=∈是则为纯虚数的充要条件 1While 10223End While Print I I I I S I S ++←＜←←（2）当z 是非零 实数时，21≥+z z 恒成立 （3）复数3)1(i z -=的实部和虚部都是2-（4）设z 的共轭复数为z ，若i z zz z z z -==⋅=+则,8,48. 如果复数z 满足2=-++i z i z ，那么1++i z 的最小值是__________.1①2z z y -= ②222z x y =+③2z z x -≥ ④z x y ≤+12．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是 （填序号）．④①若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立②若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立③若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立④若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立【解析】 对A ，当k=1或2时，不一定有()2f k k ≥成立；对B ，应有()2f k k ≥成立； 对C ，只能得出：对于任意的7k ≥，均有()2f k k ≥成立，不能得出：任意的7k <，均有()2f k k <成立；对D ，()42516,f =≥∴Q 对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
复数推理与证明及二项式定理习题
1．（本题满分10分）已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a m ＋n ＋b m ＋n ≥ a m b n ＋a n b m. 2．已知a ＞0，求证：﹣≥a+﹣2．3．（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）（24．数列}{n a 满足)(2*N n a n S n n ∈-=．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．5．对于任意正整数n ，猜想2n ﹣1与（n+1）2的大小关系，并给出证明． 6．在数列{}n a 中，n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍（*n N ∈）. （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 填空题7．若复数131i zi+=-（i 为虚数单位），则z的值为_______ 8_____ 9（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数10．若复数ii a 212+-是纯虚数，则实数a = 11，其中,x y ∈R ，则x y +=___ 13．已知i z的共轭复数，若复数z 满足()(1)4z i i --=，则在复平面内，象限．14．在复平面内，复数z 满足，则z 对应点的坐标是 ．15．设复数z 满足(1)2i z i -=（i 是虚数单位），则z =____________。
16．已知复数1242,z i z k i =+=+,k ＝ .17．已知复数2(2)(9)i z m m =-+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是 ．19．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位.若a i -与2bi +互为共轭复数，则20，其中m 、n 为实数，则 21．若复数z=1+ai 的模不大于2，则实数a 的取值范围是 ．22．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C对应的复数是___________.23．已知23i -是关于x 的实系数方程3220xpx qx ++=的一个根，则2q p -=___________.24对应的向量为OZ，若向量OZ 绕坐标原点逆时针旋转60 得到向量'OZ 所对应的复数为 ．25．计算：12⨯|3＋4i|－10⨯（i2010+i 2011+i2012＋i2013）＝______ . （其中i 为虚数单位）26是复数z 的共轭复数，且（i 为虚单位）。
复数、推理证明纯题目
2、复数534+i的共轭复数是：4、.若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是：5、下列说法正确的个数是①若()()213x i y y i -+=--，其中,,I x R y C R I ∈∈为复数集。
则必有()2113x yy -=⎧⎪⎨=--⎪⎩②21i i +>+ ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④若一个数是实数，则其虚部不存在7、复数()1cos sin 23z i θθπθπ=-+<<的模为 8、当213m <<时，复数()()32m i i +-+在复平面内对应的点位于第 象限 10、把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005 的箭头方向依次为11、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的_____________条件14、试求12345678,,,,,,,i i i i i i i i 的值，由此推测4ni=_____, 41n i +=______,42n i +=______, 43n i +=______, 12342000......i i i i i =___________19、已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2ziω=+，且||ω=ω。
1.化简=+-i i11 . 3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 . 13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.1． 设()R b a bi a z ∈+=,,，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a ，第二次得到的点数为b ，则使复数2z 为纯虚数的概率为 2． 已知实数n m ,满足ni im-=+11，则双曲线122=-ny mx 的离心率为 设复数[]πθθθ,0,sin cos ∈⋅+=i z ，i +-=1ω，则ω-z 的最大值 13. 若虚数()()R y x yi x ∈+-,2的模长为3，则xy的最大值 14．已知复数z 满足,11=+z 且1-z i是纯虚数，则=z 16.已知R b a i z ∈+=,,1（1）若432-+=z z ω，求ω；（2）若i z z baz z -=+-++1122，求b a ,的值 17. 复数ββααsin cos ,sin cos 21⋅+=⋅+=i z i z ，且i z z 131213521+=+， 求()βα-cos 的值19. 设等比数列,,,,,321n z z z z 其中()0,,,,1321>∈+=+==a R b a ai b z bi a z z（1）求b a ,的值（2）求使0321=++++n z z z z 的最小正整数n 的值 20.设z 是虚数，,1zz +=ω且21<<-ω （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设,11zz+-=μ求证μ为纯虚数 （3）在（2）的条件下，求2μω-的最小值 12、根据下面一组等式：1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ．12、*(),()n n f n i i n N -=+∈的值域中，元素的个数是___________个。
推理论证及复数运算
推理论证及复数运算1．已知i 为虚数单位，a R ∈，若2(1)(1)1(1)a a i a a i -++=-+-是纯虚数，则a 的值为（ ）A.-1或1B.1C.3D.-1 【答案】D 【解析】试题分析：因为(1)(1)a a i -++=21(1)a a i -+-是纯虚数，则210a -=且10a -≠，所以a =-1，故选D.考点：复数的运算；复数的概念 2．若iiz 21+=，则复数z =（ ） A.2 B ．3 C ．5 D ． 5 【答案】C 【解析】试题分析：因为iiz 21+==2i -，所以||z C. 考点：复数的运算；复数的模3．已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（ ） A.2i B.2i - C.12i D.12i -【答案】D【解析】试题分析：设z=yi （y R ∈）,则12z i +-=12yi i+-=(1)(2)2(21)(2)(2)5yi i y y ii i ++-++=-+，由题知，210y +=，所以12y =-，故12i -，故选D. 考点：复数的概念；复数的运算4．设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=⋅21z z （ ） A.5- B.5 C.i +-4 D.i --4【答案】A. 【解析】试题分析：∵21,z z 在复平面内关于虚轴对称，i z +=21，∴i z +-=22，∴5)2)(2(21-=+-+=⋅i i z z .考点：复平面与复数的运算.5．化简=-+23)1()1(i i （ ）A.i +1B.i -1C.i +-1D.i --1 【答案】D.【解析】试题分析：i i i i i i --=-+=-+12)1(2)1()1(23.考点：复数的运算.6．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含______个互不重叠的单位正方形。
算法、框图、复数、推理与证明测试题及详解
算法、框图、复数、推理与证明第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数z ＝1＋2i i 5，则它的共轭复数z －等于( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2＋iD ．－2－i[答案] B[解析] z ＝1＋2i i 5＝1＋2ii＝2－i ，故其共轭复数是2＋i .2．(文)(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是( )A ．1320B ．132C ．11880D ．121[答案] A[解析] 运行过程依次为：i ＝12，x ＝1→x ＝12，i ＝11→x ＝132，i ＝10→x ＝1320，i ＝9，此时不满足i ≥10，输出x 的值1320.(理)(2011·江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k <8D ．k >8[答案] D[解析] 运行过程依次为k ＝10，S ＝1→S ＝11，k ＝9→S ＝20，k ＝8→输出S ＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k >8.3．(文)(2011·黄冈市期末)若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6[答案] C[解析] ∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋6＋(3－2a )i5是纯虚数，a ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝03－2a ≠0，∴a ＝－6，故选C. (理)(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋bi ＝2＋i1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定[答案] A[解析] ∵a ＋bi ＝2＋i 1－i＝(2＋i )(1＋i )2＝12＋32i (a ，b ∈R )，∴⎩⎨⎧a ＝12b ＝32，∵⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝52>2，∴点P ⎝⎛⎭⎫12，32在圆x 2＋y 2＝2外，故选A. 4．(文)(2011·合肥市质检)如图所示，输出的n 为( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0→n ＝1，S ＝12×1－13＝－111→n ＝2，S ＝12×2－13＝－19，……∴S ＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋113>0，此时输出n 的值13.(理)(2011·丰台区期末)已知程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中n ∈N *且n ≤2010.那么数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2·3n －1B ．a n ＝3n －1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝12(3n 2＋n )[答案] A[解析] 程序运行过程依次为a ＝2，n ＝1，输出a ＝2，即a 1＝2，n ＝2，a ＝3×2＝6，不满足n >2010→输出a ＝6，即a 2＝2×3，n ＝3，a ＝3×6＝18，仍不满足n >2010→输出a ＝18，即a 3＝2×32……因此可知数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1(n ≤2010)．5．(2011·蚌埠二中质检)下列命题错误的是( )A ．对于等比数列{a n }而言，若m ＋n ＝k ＋S ，m 、n 、k 、S ∈N *，则有a m ·a n ＝a k ·a SB ．点⎝⎛⎭⎫－π8，0为函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心 C ．若|a |＝1，|b |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则b 在向量a 上的投影为1 D ．“sin α＝sin β”的充要条件是“α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π (k ∈Z )” [答案] C[解析] 由等比数列通项公式知，a m ·a n ＝a 21qm＋n －2＝a 21qk＋S －2＝a 1q k －1·a 1q S －1＝a k a S ，故A正确；令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8，令k ＝0得x ＝－π8，∴⎝⎛⎭⎫－π8，0是函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心，故B 正确； b 在a 方向上的投影为|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×cos120°＝－1，故C 错；由sin α＝sin β得α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β，∴α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π(k ∈Z )，故D 正确．6．(2011·安徽百校联考)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53 C.256 D ．不存在[答案] A[解析] ∵{a n }为等比数列，a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，∴a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或2，∵a n >0，∴q ＝2，∵a m ·a n ＝4a 1，∴a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴q m＋n －2＝16，即2m＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥32，等号在n m ＝4mn，即m ＝2，n ＝4时成立，故选A.7．(2011·山东日照调研)二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a >0B ．a <0C ．a >1D ．a <－1[答案] D[解析] ∵方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，∴⎩⎨⎧ a >0f (0)<0或⎩⎨⎧a <0f (0)>0，∴a <0，因此，当a <－1时，方程有一个正根和一个负根，仅当方程有一个正根和一个负根时，不一定有a <－1，故选D.8．观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34[答案] A[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.9．(2011·山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上，老师给出函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为(－1,1)； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则f n (x )＝x1＋n |x |对任意n ∈N *恒成立 你认为上述三个命题中正确的个数有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个[答案] A[解析] 当x >0时，f (x )＝x 1＋x ∈(0,1)，当x ＝0时，f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x1－x ∈(－1,0)，∴f (x )的值域为(－1,1)，且f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，因此，x 1≠x 2时，一定有f (x 1)≠f (x 2)．∵f (x )＝x 1＋|x |，f 1(x )＝f (x )，∴f 1(x )＝x1＋|x |，又f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋|x |＝x1＋|x |1＋|x |1＋|x |＝x1＋2|x |，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋2|x |＝x 1＋2|x |1＋|x |1＋2|x |＝x1＋3|x |……可知对任意n ∈N *，f n (x )＝x1＋n |x |恒成立，故选A. 10．(2011·陕西宝鸡质检)如果函数f (x )对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M (x )恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函数，下面四个函数：①f (x )＝1; ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝(sin x ＋cos x )x; ④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中属于有界泛函数的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④[答案] D[解析] 对任意实数x .∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴存在常数M ≥2，有|sin x ＋cos x |≤M 成立，∴|x (sin x ＋cos x )|≤M |x |，即|f (x )|≤M |x |成立，∴③是有界泛函数； 又∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1≤43，∴存在常数M ≥43，使|x ||x 2＋x ＋1|≤M (x )，即|f (x )|≤M |x |成立，故④是有界泛函数，因此选D.11．(2011·北京学普教育中心联考版)观察下列算式： 21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… 用你所发现的规律得出22011的末位数字是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 观察发现，2n 的末位数字以4为周期出现，依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3，故22011的末位数字与23的末位数字相同，故选D.12．(2011·河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15A.11260B.1840 C.1504 D.1360 [答案] B[解析] 第10行第1个数为110，第2个数为19－110＝190，第9行第1个数为19，第2个数为18－19＝172，∴第10行第3个数为172－190＝1360，第8行第1个数为18，第2个数为17－18＝156，故第9行第3个数为156－172＝1252，∴第10行第4个数为1252－1360＝1840.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(文)(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .(理)(2011·北京学普教育中心)我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．[答案]6a 3[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高；正三角形的边类比空间正四面体的面，正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a 3. 14．(2011·湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z 1＝(1－2i )i 对应向量为a ，z 2＝1－3i 1－i对应向量为b ，那么a 与b 的数量积等于________．[答案] 3[解析] z 1＝2＋i 对应向量a ＝(2,1)，z 2＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )2＝2－i 对应向量b ＝(2，－1)，∴a ·b ＝3.15．(2011·辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *)个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数，下列函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝3π(x －1)2＋2；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x；④f (x )＝log 0.5x ，其中是一阶格点函数的有________．[答案] ①②[解析] f (x )＝sin x 通过的格点只有(0,0)；f (x )＝3π(x －1)2＋2经过的格点只有(1,2)；f (x )＝log 0.5x 经过的格点有(2n ，－n )，n ＝0,1,2…；f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x经过的格点至少有(0,1)，(－1,4)，故填①②.16．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n )≥n2＋1[解析] f (2)＝32＝12＋1，f (4)＝f (22)>2＝22＋1，f (8)＝f (23)>52＝32＋1，f (16)＝f (24)>3＝42＋1，观察可见自变量取值为2n 时，函数值大于或等于n 2＋1，即f (2n )≥n2＋1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p ：命题f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．[解析] p 为真命题⇔f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3x 2在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3，q 为真命题⇔Δ＝a 2－4≥0恒成立⇔a ≤－2或a ≥2. 由题意p 和q 有且只有一个是真命题，p 真q 假⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3－2<a <2⇔a ∈∅，p 假q 真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <3a ≤－2或a ≥2⇔a ≤－2或2≤a <3，综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．18．(本小题满分12分)(2011·广东高州市长坡中学期末)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ，b ∈R )的根．(1)求a 和b 的值；(2)若(a ＋bi )u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . [解析] (1)由题得z ＝－12－32i ，因为方程ax 2＋bx ＋1＝0(a 、b ∈R )是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为－12＋32i .由韦达定理知：⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－b a⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1. (2)由(1)知(1＋i )u －＋u ＝－12－32i ，设u ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则(1＋i )(x －yi )＋(x ＋yi )＝－12－32i ， 得(2x ＋y )＋xi ＝－12－32i ，∴⎩⎨⎧2x ＋y ＝－12x ＝－32，∴⎩⎨⎧x ＝－32y ＝3－12，∴u ＝－32＋23－12i . 19．(本小题满分12分)(2011·山东省实验中学)已知a >0，命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，(x ≥2a )2a ，(x <2a )，函数y >1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．[解析] 若p 为真命题，则0<a <1，若q 为真命题，即y min >1， 又y min ＝2a ，∴2a >1，∴q 为真命题时a >12，又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.故a 的取值范围为0<a ≤12或a ≥1.20．(本小题满分12分)(2011·北京学普教育中心)已知复数z 1＝sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos2x )i ，λ、m 、x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，已知当x ＝α时，λ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． [解析] (1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧sin2x ＝m λ＝m －3cos2x， ∴λ＝sin2x －3cos2x ，若λ＝0则sin2x －3cos2x ＝0得tan2x ＝3， ∵0<x <π，∴0<2x <2π， ∴2x ＝π3或2x ＝4π3，∴x ＝π6或2π3.(2)∵λ＝f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵当x ＝α时，λ＝12，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，∴sin ⎝⎛⎫2α－π3＝14， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， ∵cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 21．(本小题满分12分)(2011·山东临沂质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.[解析] (1)证明：如图，连结AB 1，设AB 1∩A 1B ＝O ，则O 为AB 1中点，连结OD ， ∵D 为AC 中点，在△ACB 1中，有OD ∥B 1C .又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)证明：∵AB ＝B 1B ，ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴ABB 1A 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1， 又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∵AC 1⊥A 1B ，又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥B 1C 1，∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.22．(本小题满分12分)(文)(2011·山东省实验中学)函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a 为常数，a >0)． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围；(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．[解析] f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)． (1)由已知得f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在[1，＋∞)上恒成立， 又∵当x ∈[1，＋∞)时，1x≤1， ∴a ≥1，即a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当a ≥1时，∵f ′(x )>0在(1,2)上恒成立，f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝0，当0<a ≤12时，∵f ′(x )<0在(1,2)上恒成立，这时f (x )在[1,2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝ln2－12a.当12<a <1时，∵x ∈[1，1a )时，f ′(x )<0；x ∈(1a，2]时，f ′(x )>0， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a ＋1－1a. 综上，f (x )在[1,2]上的最小值为①当0<a ≤12时，f (x )min ＝ln2－12a； ②当12<a <1时，f (x )min ＝－ln a ＋1－1a. ③当a ≥1时，f (x )min ＝0.(理)(2011·丹东四校协作体联考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ∈N *)． (1)证明：a n >2n ＋1对n ∈N *恒成立；(2)令b n ＝a n n(n ∈N *)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由 . [解析] (1)证法1：当n ＝1时，a 1＝2>2×1＋1，不等式成立， 假设n ＝k 时，a k >2k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a 2k ＋2>2k ＋3＋1a 2k>2(k ＋1)＋1. ∴n ＝k ＋1时，a k ＋1>2(k ＋1)＋1时成立，综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立． 证法2：当n ＝1时，a 1＝2>3＝2×1＋1，结论成立； 假设n ＝k 时结论成立，即a k >2k ＋1，当n ＝k ＋1时，由函数f (x )＝x ＋1x (x >1)的单增性和归纳假设有a k ＋1＝a k ＋1a k>2k ＋1＋12k ＋1， 因此只需证：2k ＋1＋12k ＋1≥2k ＋3， 而这等价于(2k ＋1＋12k ＋1)2≥2k ＋3⇔12k ＋1≥0， 显然成立，所以当n ＝k ＋1是，结论成立；综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立．证法3：由递推公式得a 2n ＝a 2n －1＋2＋1a 2n －1， a 2n －1＝a 2n －2＋2＋1a 2n －2，a 22＝a 21＋2＋1a 21， 上述各式相加并化简得a 2n ＝a 21＋2(n －1)＋1a 21＋…＋1a 2n －1>22＋2(n －1)＝2n ＋2>2n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时，a n >2n ＋1显然成立，故a n >2n ＋1(n ∈N *)．(2)解法1：b n ＋1b n ＝a n ＋1na n n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1a 2n n n ＋1<⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n ＋122－14n ＋12<1，又显然b n >0(n ∈N *)，故b n ＋1<b n 成立． 解法2：b n ＋1－b n ＝a n ＋1n ＋1－a n n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －a nn＝1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )a 2n ] ≤1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )(2n ＋1)](由(1)的结论) ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1＋n )－(2n ＋1)] ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1)－(n ＋1)]＝1n (n ＋1＋n )a n(n －n ＋1)<0，所以b n ＋1<b n .解法3：b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1n ＋1－a 2nn＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a 2n ＋1a 2n ＋2－a 2nn ＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫2＋1a 2n －a 2n n <1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12n ＋1－2n ＋1n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－1n <0， 故b 2n ＋1<b 2n ，因此b n ＋1<b n .。
专题六 第二讲 推理证明、算法初步、复数
一、选择题1．(2011·广州模拟)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部记作Im(z )＝b ，则Im(12＋i)＝( ) A.13 B.25 C ．－13D ．－15解析：∵12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i ，∴Im(12＋i )＝－15.答案：D2．(2011·南昌模拟)右图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ≤－20，－2＜x ≤32x ，x ＞3的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝ln(－x )，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x )，y ＝2x ，y ＝0C ．y ＝0，y ＝2x ，y ＝ln(－x )D ．y ＝0，y ＝ln(－x )，y ＝2x解析：依题意得，当x ≤－2时，y ＝ln(－x )，因此①处应填y ＝ln(－x )；当－2＜x ≤3时，y ＝0，因此③处应填y ＝0；当x >3时，y ＝2x ，因此②处应填y ＝2x .答案：B3．(2011·新课标卷)复数5i1－2i＝( ) A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i解析：5i 1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋i. 答案：C4．如果执行右边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )A ．9B ．3C. 3D.19解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3>0.结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.答案：C 二、填空题5．(2011·陕西高考)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)26．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证．假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如图，正四面体ABCD 的棱长为1，取BC 的中点E ，作AO ⊥ED 于O ，则OD ＝23ED＝23×32＝33， 又在Rt △AOD 中， AO ＝1－OD 2＝1－(33)2＝63， 则V 正四面体ABCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×34×63＝212；同理可算得棱长为2的正四面体的体积V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝223. ∴V 正四面体ABCD ∶V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝212223＝18.答案：1∶87．(2011·皖南八校联考)如图，是一程序框图，则输出结果为________．解析：结合题中的程序框图可知，该程序框图实际是计算数列{1n (n ＋1)}的前10项和，注意到1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，因此数列{1n (n ＋1)}的前10项和等于(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(110－111)＝1－111＝1011，即输出结果是1011. 答案：1011三、解答题8．已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)设复数ω＝z 1－i ，求||ω；(2)当复数z 满足||z ＝1时，求||z －z 1的最大值． 解：(1)z 1＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ， ∵ω＝z 1－i ＝2＋i ，∴||ω＝ 5.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵||z ＝1，∴a 2＋b 2＝1.||z －z 1＝(a －2)2＋(b ＋2)2＝－4a ＋4b ＋9，令a ＝cos θ，b ＝sin θ， 上式＝－4cos θ＋4sin θ＋9＝9＋42sin (θ－π4)，∴||z －z 1max ＝9＋42＝22＋1.9.已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，设z ＝a ＋i ，求zz.解：记f (x )＝11－x ，则有f (2)＝11－2＝－1， f [f (2)]＝f (－1)＝12，f (12)＝11－12＝2，依题意得题中所给的程序框图中输出的结果是数列2，－1，12，2，－1，12，…(注：该数列的项以3为周期重复出现)的第2 011项，由于2011＝3×670＋1，因此a ＝2，∴z ＝2＋i ，z ＝2－i ， 则z z ＝2＋i2－i ＝(2＋i)2(2－i)(2＋i)＝4＋4i －15＝35＋45i.10．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．解：根据题中数据可得a ＝44，由程序框图得S ＝42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋428＝7.。
2021届高考数学一轮温习 推理与证明、算法初步、复数专题训练(1)
推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模： 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10； 当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式 概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与1比较 结论．(3)学审题 条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分． 因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
高考数学二轮复习 寒假作业(二十一)算法、复数、推理与证明(注意速度和准度)理
寒假作业(二十一) 算法、复数、推理与证明(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0解析：选D 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.2．已知复数z ＝a ＋i2i(a ∈R)，且z 的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋12i B.12－12i C ．1＋i D ．1－i解析：选B z ＝a ＋i2i＝a ＋－2＝a i －1－2＝12－a2i ， 因为z 的实部与虚部相等，所以z ＝12＋12i ，则z 的共轭复数z ＝12－12i.3．在复平面内与复数z ＝2i1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i 解析：选B 因为z ＝2i1＋i＝－＋－＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i ，故选B.4．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53D.85解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3；k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.5．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C ∵z 为纯虚数，a ∈R ，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.6．阅读如图所示的程序框图，为使输出的S 为31，则①处应填的表达式为( )A ．i ≤3B ．i ≤4C ．i ≤5D ．i ≤6解析：选B 第一次循环，得S ＝3，i ＝2；第二次循环，得S ＝7，i ＝3；第三次循环，得S ＝15，i ＝4；第四次循环，得S ＝31，此时满足题意，输出的S ＝31，所以①处可填i ≤4，故选B.7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 执行程序框图，第一步：n＝12，i＝1，满足条件n是3的倍数，n＝8，i ＝2，不满足条件n＞123；第二步：n＝8，不满足条件n是3的倍数，n＝31，i＝3，不满足条件n＞123；第三步：n＝31，不满足条件n是3的倍数，n＝123，i＝4，不满足条件n＞123；第四步：n＝123，满足条件n是3的倍数，n＝119，i＝5，不满足条件n＞123；第五步：n＝119，不满足条件n是3的倍数，n＝475，i＝6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6.8．将正整数排列如下图：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2 018出现在( )A．第44行第83列 B．第45行第83列C．第44行第82列 D．第45行第82列解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列．9．(2017·洛阳统考)某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S值是( )A ．1 007B ．3 026C ．2 016D ．3 024解析：选B 依题意，在数列{a n }中，a n ＝n sinn π2＋1，a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ＝[(4n －3)＋1]＋(0＋1)＋[－(4n －1)＋1]＋(0＋1)＝2，注意到2 017＝4×504＋1，所以数列{a n }的前2 017项和等于504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×2＋2 018＝3 026.10．(2018届高三·惠州调研)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B 法一：第一步：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3>－1；第二步：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三步：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四步：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五步：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1，故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg ii ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i ＋2)，当i ＝9时， S ＝－lg(9＋2)<－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.11．已知数列{a n }是正项等差数列，若c n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，则数列{c n }也为等差数列．已知数列{b n }是正项等比数列，类比上述结论可得( )A ．若{d n }满足d n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n1＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列B ．若{d n }满足d n ＝b 1·2b 2·3b 3·…·nb n1·2·3·…·n，则{d n }也是等比数列C ．若{d n }满足d n ＝(b 1·2b 2·3b 3·…·nb n )11＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列D ．若{d n }满足d n ＝(b 1·b 22·b 33·…·b nn )11＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列解析：选D 设等比数列{b n }的公比为q (q >0)， 则b 1·b22·b33·…·bn n＝b 1·(b 1q )2·(b 1q 2)3·…·(b 1q n－1)n＝(b 1·b 21·b 31·…·b n1)(q 1×2·q 2×3·…·q(n －1)n)＝b 1＋2＋3＋…＋n1·q1×2＋2×3＋…＋(n －1)n＝bn n ＋21q 12＋1＋22＋2＋…＋(n －1)2＋(n －1)＝bn n ＋21qn n ＋n －3，所以d n ＝(b 1·b 22·b 33·…·b nn )11＋2＋3＋…＋n＝b 1qn －3，即{d n }也是等比数列．12．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( ) A.2n ＋1＋2n n ＋ B.1n ＋1＋1n n ＋ C.1n ＋2＋1nn ＋D.12n ＋1＋1n ＋n ＋解析：选A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋2＝2n ＋1＋2n n ＋.13．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2 14．若z1－i＝2i ＋3(i 为虚数单位)，则|z ＋4i|＝________.解析：由z1－i ＝2i ＋3，得z ＝(2i ＋3)(1－i)＝5－i ，则z ＋4i ＝5＋5i ，故|z ＋4i|＝5 2. 答案：5 215．已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结可得到第n 个不等式为______________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14， 所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1n ＋2<n ＋－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1n ＋2<2n ＋1n ＋116．若x 的取值范围为[0,10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x ，则输出的y <5的概率为________．解析：由题意可得程序框图所表示的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，7<x ≤10，x ＋1，0≤x ≤7.当y <5时，若输出y ＝x ＋1(0≤x ≤7)，此时输出的结果应满足x ＋1<5，则0≤x <4，若输出y ＝x －1(7<x ≤10)，此时输出的结果应满足x －1<5，则0≤x <6(不符合题意)，所以输出的y <5时的x 的取值范围是0≤x <4，则使得输出的y <5的概率P ＝4－010－0＝25.答案：25二、能力拔高练1．已知复数z ＝2＋3i2 0175＋i 1 001(i 为虚数单位)，则z ·z ＝( )A ．1B ．2 C.12D.14解析：选C 因为z ＝2＋3i 2 0175＋i 1 001＝2＋3i5＋i ＝＋－＋－＝13＋13i 26＝12＋12i ，故z ＝12－12i ，故z ·z ＝12. 2．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1fx .执行如图所示的程序框图，若输出的结果S >2 0162 017，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 016?B ．n ≤2 017?C ．n >2 016?D ．n >2 017?解析：选B f ′(x )＝3ax 2＋x ，则f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝13，g (x )＝1f x＝1x 2＋x ＝1xx ＋＝1x －1x ＋1，g (n )＝1n －1n ＋1，则S ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，因为输出的结果S >2 0162 017，分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2 017？”，选B.3．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝( )A.2 0142 015 B.2 0132 015 C.2 0152 016D.2 0142 016解析：选C 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3， 那么9a n a n ＋1＝9n －n＝1n －n ＝1n －1－1n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016. 4．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015D ．2 016×22 014解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21； 当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22； 当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23； 归纳推理得，当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014.5．(2017·武汉调研)执行如图所示的程序框图，若输入的x ＝2 017，则输出的i ＝________.解析：执行框图得a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016≠2 017，∴i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11＋12 016＝2 0162 017≠2 017，∴i ＝3，a ＝2 0162 017，b ＝11－2 0162 017＝ 2 017＝x ，∴输出的i ＝3. 答案：36．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________.解析：1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍去，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 答案：1＋52。
2021年高考数学经典例题 专题三：复数算法简单推理【含解析】
专题三 复数、算法、简单推理一、单选题1． (12)(2)i i ++=（ ） A ．45i + B ．5iC ．-5iD ．23i +【答案】B 【解析】直接计算出答案即可. 【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=故选：B2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ）A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-22(1)1,z i x y -+-则22(1)1y x +-=．故选C ．3．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1 B ．–1C ．2D ．–2【答案】C 【解析】根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C4．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D 【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 C 2D ．2【答案】C 【解析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．6．若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0 B ．1C 2D ．2【答案】D 【解析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212zz i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.7．执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】C 【解析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出． 【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C.8．执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案. 【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值 模拟程序的运行过程0,0k a ==第1次循环，2011a =⨯+=,011k =+=，110>为否 第2次循环，2113a =⨯+=,112k =+=，310>为否 第3次循环，2317a =⨯+=,213k =+=，710>为否 第4次循环，27115a =⨯+=,314k =+=，1510>为是 退出循环 输出4k =. 故选：C.9．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为（ ） A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b -==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.10． “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A ．庚午年 B ．辛未年C ．庚辰年D ．辛巳年【答案】D 【解析】根据“干支纪年法”的规则判断． 【详解】2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2121年是辛巳年． 故选：D ．11．甲､乙､丙三人从红，黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（）A．红､黄､蓝B．黄､红､蓝C．蓝､红､黄D．蓝､黄､红【答案】B【解析】通过分析，排除即可.【详解】丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴蓝帽的是丙；综上，甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为黄､红､蓝.故选：B.12．一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（）题号12345678得分学生甲╳√╳√╳╳√╳30乙╳╳√√√╳╳√25丙√╳╳╳√√√╳25丁╳√╳√√╳√√mA．35B．30C．25D．20【答案】B【解析】通过分析甲、乙、丙三人的答案以及得分情况，推理得出这8道判断的答案，从而可得结果.【详解】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m ＝6×5＝30， 故选：B.13．执行如下图所示的程序框图，若输入的x 为9-，则输出y 的值为（ ）A ．4B ．7C ．17D ．27【答案】B 【解析】进入循环体，依照循环条件，依次执行命令，直到满足条件时退出循环，代x 的值计算y 即可． 【详解】9x =-，进入循环体，依次执行命令有9514x =--=，1459x =-=，954x =-=，退出循环，得2417y =⨯-=．故选：B14．如果执行面的程序框图，输入6n =，3m =，那么输出的p 等于（ ）A ．360B ．240C ．120D ．60【答案】C【解析】根据程序框图写出每次循环的运行结果即可求解.【详解】程序在执行过程中，,p k的值依次为1,1p k==；4,2p k==；20,3p k==；120p=，此时k m<不成立，结束循环；输出120p=.故选：C.15．执行如图所示的程序框图，若输入的3k=，则输出的S=（）A 3B．3C．12D．0【答案】B 【解析】设第n 次循环后输出，依题意可得342021k n =+≥，即可求出n 的取值范围，求出循环结束时k 的值，再代入计算可得； 【详解】解：设第n 次循环后输出，342021k n =+≥，解得504.5n ≥，可知第505次循环后结束循环，此时345052023k =+⨯=，2023773coscos 336cos cos 6666S πππππ⎛⎫==+==-= ⎪⎝⎭. 故选：B16．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =-，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=--+=-=， 则22b -=，可得1b =-，所以复数z 的虚部是1-. 故选：A17．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则12z z ＝（ ） A ．25 B ．25-C ．724i -D ．724i --【答案】A 【解析】由题意可得234z i -＝，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则234z i -＝，所以()()12343491625z z i i +-=+=＝. 故选：A18．复数1ai i-在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,0)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞【答案】C 【解析】化简复数即可判断. 【详解】()2111ai i ai a ia i i i ----===+- 因为对应的点位于第一象限，所以0a > 故选：C.19．已知i 为虚数单位，复数()21a iz a R i-=∈-是纯虚数，则5ai -=（ ）．A 5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】 化简复数得2(2)2a a iz ++-=，由其为纯虚数求参数a 5ai 的模即可.【详解】 由(2)(1)2(2)22a i i a a iz -+++-==为纯虚数，∴2020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得：2a =-2252(5)23i =+=，故选：C ．20．欧拉恒等式：i e 10π+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e ､圆周率π､虚数单位i ､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：i e cos isin ()θθθθ=+∈R 令θπ=得到的根据欧拉公式，2i e 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】令i e cos isin ()θθθθ=+∈R 中2θ=即得解. 【详解】令i e cos isin ()θθθθ=+∈R 中2θ=得：2i e cos 2isin 2=+，所以2i e 在复平面内对应的点为(cos 2,sin 2)因为cos 20,sin 20<>，所以2i e 在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B21．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B 【解析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.【详解】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩， 所以()33=|34|345x yi i --+=-+=.故选：B. 二、多选题22．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（ ） A ．可能是家常菜青椒土豆丝 B ．可能是川菜干烧大虾 C ．可能是烹制西式点心 D ．可能是烹制中式面食【答案】BD 【解析】根据合情推理，分别假设小华选择的烹饪选修课，判断甲、乙、丙的说法即可得出选项. 【详解】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件； 若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除； 若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件． 故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食， 所以选：BD ． 三、填空题23． i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【答案】32i - 【解析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.24．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【答案】3 【解析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数()()12z i i =+- ∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.25．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】2. 【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.26．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z +=，则12||z z -=__________. 【答案】23【解析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -.【详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()3z z a c b d i i ∴+=+++=，31a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-()22()()82a c b d ac bd =-+-=-+8423=+=故答案为：23方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z 23z Z Z -==27．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3- 【解析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值. 【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-28．如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n 行第1个数是___________.【答案】2(1)2n n -+⋅． 【解析】观察数表得出规律：每一行都成等差数列，且第n 行公差为12n -，设第n 行第1个数是n a ，可得出n a 与1n a -的递推关系，然后构造等差数列求通项公式． 【详解】观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n 行公差为12n -， 因此设第n 行第1个数是n a ，则第n 行第2个数是12n n a -+，从而可得2122n n n a a --=+，从而111224n n n n a a --=-， 所以{}2n n a是等差数列，公差为14， 所以111(1)2244n n a n n +=+-=，2(1)2n n a n -=+⋅． 故答案为：2(1)2n n -+⋅．29．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：23z z i -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =___________. 【答案】1i + 【解析】设()0,0z a bi a b =+>>，由此可计算出z z +，z z -，z z ⋅和zz，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得z . 【详解】设()0,0z a bi a b =+>>，则z a bi =-，2z z a ∴+=，2z z bi -=，22z z a b ⋅=+，222z z z a b=+.4z z ⋅=与22z z z =不可能同时成立，∴丙丁不能同时正确；23z z i -=时，232b =>，22z z z ∴=不成立，∴乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：1a =，3b = 当甲丙正确时：1a =，3b = 当乙丙正确时：3b =1a =，则甲也正确，不合题意；∴甲丁陈述正确，此时1a b ==，1z i ∴=+.故答案为：1i +.30．小赵、小钱、小孙、小李每人去A 、B 、C 、D 四地之一，去的地方各不相同． 小赵说：我去A小钱说：我去B 或C 或D 地； 小孙说：我去C 地； 小李说：我去D 地；①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】③或④ 【解析】采用假设方法，先假设小赵说错了，把结论作为条件进行推理，则可以推出小钱、小孙、小李分别去了B 地、C 地、D 地，则小赵去了A 地，这也假设矛盾，所以小赵说对了.应用同样的方法对其他三人进行假设，即可得到答案. 【详解】假设小赵说错了，则其他三人正确，就意味着小钱、小孙、小李分别去了B 地、C 地、D 地，则小赵去了A 地，这也假设矛盾，所以小赵说对了.同理，若小钱说错了，则小钱必须去A 地，这与小赵去A 地矛盾，所以小钱说对了. 若小孙说错了，则小赵去A 地、小钱去C 地、小孙去B 地，小李去D 地，符合题意. 若小李说错了，则小赵去A 地、小钱去D 地、小孙去C 地，小李去B 地，符合题意.故答案为：③或④ 【点睛】简单逻辑推理应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.31．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大是举与古希腊算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，若输入288a =，123b =，输出结果时，循环体被执行了___________次.【答案】4 【解析】根据程序框图，输入288a =，123b =，执行循环，逐次计算，结合判定条件，即可求得答案. 【详解】由题意得输入288a =，123b =，执行第一次循环，288除以123的余数r =42，a =123，b =42，0r ≠， 执行第二次循环，123除以42的余数r =39，a =42，b =39，0r ≠执行第三次循环，42除以39的余数r =3，a =39，b =3，0r ≠，执行第四次循环，39除以3余数r =0，a =3，b =0，跳出循环，输出a =3，结束. 共执行了4次循环. 故答案为：4 四、双空题32．已知复数z 满足()()12z i i i ++=-，其中i 为虚数单位，则z =______，z =______．【答案】1522i - 26【解析】由()()12z i i i ++=-可得：21i z i i -=-+，之后利用复数运算法则对其进行化简，求得1522z i =-，进而求得其模. 【详解】 由题意得()()2121315122222i i iz i i i i i i ---=-=-=--=-+， 所以22152622z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：①1522i -26.五、解答题33．设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可. 【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.。
高考数学(理)二轮专题练习：推理与证明、复数、算法(含答案)
推理与证明、复数、算法1．推理方法(1)合情推理合情推理是依据已有的事实和正确的结论 (包含定义、公义、定理等 )，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推断某些结果的推理过程，概括和类比是合情推理常有的方法，在解决问题的过程中，合情推理拥有猜想和发现结论、探究和供给思路的作用，有益于创新意识的培育．S△PA′B′ PA′·PB′[问题 1]图1有面积关系：S△PAB＝PA·PB，则图2有体积关系：________.V P－A′B′C′ PA′·PB′·PC′答案V P－ABC ＝PA·PB·PC(2)演绎推理演绎推理是指假如推理是从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包含：①大前提；②小前提；③结论．2．证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公义等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②剖析法一般地，从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个显然建立的条件 (已知条件、定义、定理、公义等 )，这种证明方法叫剖析法．剖析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假定原命题不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假定错误，进而证明原命题建立，这种证明方法叫反证法．(3)数学概括法一般地，证明一个与正整数n 相关的命题，可按以下步骤进行：① (概括奠定 )证明当 n 取第一个值 n0 0∈N*)时命题建立；(n② (概括递推 )假定 n＝ k (k≥n0，k∈N* )时命题建立，证明当n＝ k＋ 1 时命题也建立．只需达成这两个步骤，就能够判定数题对从n0开始的全部正整数n 都建立．上述证明方法叫做数学概括法．[问题2]用反证法证明命题“三角形三个内角起码有一个不大于60°”时，应假定________________________________________________________________________ ．答案三角形三个内角都大于60°3．复数的观点关于复数 a＋ bi(a，b∈R)，a 叫做实部， b 叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数 a＋ bi(a，b∈R )是实数 a；当 b≠0时，复数 a＋ bi 叫做虚数；当a＝ 0 且 b≠0时，复数a＋bi 叫做纯虚数．[问题 3]若复数 z＝ lg(m2－ m－ 2)＋ i ·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m 的值为 ________．答案－ 24．复数的运算法例与实数运算法例同样，主假如除法法例的运用，此外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(121＋ i＝ i ；1－ i＝－ i ； (3)i4n＝ 1； i4 n＋14n＋2＝－ 1； i4n＋ 34n4n＋ 1i)±＝±2i； (2)1＋ i ＝ i ； i＝－ i ； i＋ i1－ i＋ i 4 n ＋2 4 n＋3 1 30232＋ i＝ 0； (4)设ω＝－±2i ，则ω＝1；ω＝ω；ω＝ 1； 1＋ω＋ω＝0.2[问题 4]已知复数 z＝1－3i， z 是 z 的共轭复数，则 | z |＝ ________.3＋ i答案15．算法(1)控制循环构造的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这种题目时第一要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是知足条件时结束仍是不知足条件时结束．(2)条件构造的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，此中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要认真鉴别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要遗漏也不要重复了端点值．[问题 5]履行以下图的程序框图，假如输出a＝341，那么判断框中能够是()A ． k<4?B ． k>5?C． k<6? D ． k<7?答案C分析依据程序框图，第一次循环，a＝0＋ 1＝ 1， k＝ 1＋ 1＝2；第二次循环，a＝4×1＋ 1＝5， k＝ 2＋ 1＝ 3；第三次循环，a＝4×5＋ 1＝21， k＝ 3＋1＝ 4；第四次循环，a＝4×21＋ 1＝ 85， k＝ 4＋ 1＝ 5；第五次循环，a＝4×85＋ 1＝ 341， k＝5＋ 1＝ 6.要使输出的a＝ 341，判断框中能够是“k<6？”或“k≤5？”．应选 C.易错点 1 复数的观点不明致误例 1 若 z＝ sin θ－3＋ cos θ－4i 是纯虚数，则tan θ－π的值为 () 554A．－7 B ． 711C．－7D．－7 或－7找准失分点此题常有的错误主要有两点：一是混杂复数的相关观点，忽略虚部不为0 的限制条件，错得34sin θ＝， cos θ＝±，致使错选 D.二是记错两角差的正切公式，致使计算有误．55正解由 z 为纯虚数，知sin θ－3＝ 0，且 cos θ－4≠ 0. 5534sin θ3则 sin θ＝，进而 cos θ＝－.所以 tan θ＝＝－.55cos θ4ππ －3－ 1∴ tan θ－ ＝tan θ－tan 4 ＝4 ＝－ 7. 43π1＋ tan θ·tan 41－ 4答案A易 点 2 循 次数掌握禁止致例 2行下 的程序框 ，若 p ＝ 0.8， 出的 n ＝________.找准失分点 简单堕入循 运算的 “黑洞 ”，出 运算次数的误差而致 ．正解着框 箭 的走向列 出相关的 出数据，有1 ＝ 1 1 1 3 3 1S ： 0＋， ＋ 2 ， ＋ 32 2 22 ＝ 4 4 2 ＝ 0.875，n: 2,3, 4.“0.875<0.8 ”判断 “否 ”， 出 n ＝ 4.答案4易 点 3 数学 法未用 假 致例 3用数学 法 明等差数列的前n 和公式 S n ＝ na 1＋n n －d(n ∈ N ＋ )．2解① 当 n ＝ 1 ， S 1＝ a 1，等式建立．② 假 n ＝ k(k ∈ N ＋ ，k ≥1) ，等式建立，1即 S k ＝a 1k ＋ 2k(k － 1)d.当 n ＝ k ＋ 1 ， S k ＋1＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ⋯＋ a k ＋a k ＋ 1＝ a 1＋ (a 1＋ d)＋ (a 1＋ 2d)＋ ⋯ ＋[a 1＋ (k － 1)d] ＋(a 1＋ kd) ＝ (k ＋ 1)a 1＋ (d ＋2d ＋ ⋯ ＋kd)1＝ (k ＋ 1)a 1＋ 2k(k ＋ 1)d1＝ (k ＋ 1)a 1＋ 2(k ＋ 1)[(k ＋ 1)－ 1]d ，即当 n ＝k ＋ 1 ，等式建立．由 ①② 知，等式 随意的正整数n 都建立．找准失分点本 的 因在于从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理中，没实用到 假 ．正解① 当 n ＝ 1 ， S 1＝ a 1，等式建立．② 假 n ＝ k(k ∈ N ＋ ，k ≥1) ，等式建立，1即 S k ＝a 1k ＋ 2k(k － 1)d.当 n ＝ k ＋ 1 ， S k ＋1 ＝ a 1 ＋a 2＋ ⋯ ＋ a k ＋ a k ＋ 11＝ S k ＋a k ＋1＝ a 1k ＋ 2k(k － 1)d ＋ a 1＋ kd＝ (k ＋ 1)a 1＋ 1(k ＋ 1)[(k ＋ 1)－ 1]d2 即当 n ＝k ＋ 1 ，等式建立．由 ①② 知，等式 随意的正整数n 都建立．1． (2014 ·安徽 ) i 是虚数 位， z 表示复数 z 的共 复数．若z＋ i ·z 等于 ()z ＝ 1＋ i ， iA ．－ 2B ．－ 2iC ． 2D ． 2i 答案 Cz 1＋ i－ i 2＋ i分析 ∵ z ＝ 1＋ i ， ∴ z ＝ 1－ i ， i ＝ i ＝i＝1－ i ，∴ z＋ i ·z ＝ 1－ i ＋ i(1 － i) ＝ (1－ i)(1 ＋ i) ＝ 2. i故 C.2． (2014 ·福建 ) 如 所示的程序框 ，运转相 的程序， 出的 S 的 等于 ( )A ．18B ． 20C ． 21D ．40答案 B分析由 意，得S ＝ 0， n ＝ 1；S ＝ 0＋ 2＋ 1＝ 3<15，n ＝2； S ＝ 3＋ 22＋ 2＝ 9<15， n ＝ 3；S ＝9＋ 23＋ 3＝ 20， n ＝ 4，因 20≥15，所以 出S.故 B.3．复数 z 知足 (－ 1＋ i) z ＝ (1＋ i) 2，此中 i 为虚数单位， 则在复平面上复数z 对应的点位于 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D分析(－ 1＋ i) z ＝ (1＋ i) 2＝ 2i ，＋＝－ i(i ＋ 1)＝ 1－i ，则 z ＝ 2i＝i － 1－＋所以复数 z 在复平面上对应的点为 (1，－ 1)，则这个点位于第四象限．4． i 为虚数单位，复数1＋ ai为纯虚数，则实数 a 等于 ()2＋ iA ．－2B ．－ 131C.2D ． 2答案A1＋ ai＋ a － ＋ a＋a －2＋ a＝ 0，且分析 因为 2＋ i ＝＋－＝5为纯虚数，所以5 2a － 1≠0即 a ＝－ 2. 55．(2014 北·京 )学生的语文、 数学成绩均被评定为三个等级， 挨次为 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且此中起码有一门成绩高于乙，则称 “学生甲比学生乙成绩好 ”．假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好， 而且不存在语文成绩同样、数学成绩也同样的两位学生，那么这组学生最多有 ()A ．2 人B ．3 人C ．4人D ．5 人 答案 B分析假定知足条件的学生有 4 位及 4 位以上，设此中4 位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩同样，且这两个人数学成绩不同样(或 4 位同学中必有两个数学成绩同样，且这两个人语文成绩不同样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满 足条件的学生不可以超出3 人．当有 3 位学生时，用 A ， B ， C 表示 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”，则 知足题意的有 AC ， CA ，BB ，所以最多有 3 人．6． (2014 ·山东 )用反证法证明命题： “设 a ， b 为实数，则方程 x 3＋ax ＋ b ＝ 0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是 ( )A ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 没有实根B ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有一个实数C ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有两个实根D ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 恰巧有两个实根答案A分析方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 起码有一个实根的反面是方程x 3＋ ax ＋b ＝ 0 没有实根，故应选 A.7．若复数 z 1＝ 4＋ 29i ， z 2＝ 6＋ 9i ，此中 i 是虚数单位，则复数 (z 1－ z 2)i 的实部为 ________．答案－ 20分析(z 1－ z 2)i ＝ (－ 2＋ 20i)i ＝－ 20－ 2i ，故 (z 1－z 2)i 的实部为－ 20.8． (2014 ·江苏 )已知复数 z ＝ (5＋ 2i)2(i 为虚数单位 )，则 z 的实部为 ________．答案 21分析因为 z ＝ (5＋ 2i)2＝ 25＋ 20i ＋ (2i) 2＝ 25＋20i －4＝ 21＋ 20i ，所以 z 的实部为 21.x 2 y 29．椭圆与双曲线有很多优美的对偶性质，如关于椭圆有以下命题：AB 是椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0)2的不平行于对称轴且可是原点的弦，M 为 AB 的中点，则 k OM ·k AB ＝－ b2.那么关于双曲线则有ax 2 y 2以下命题： AB 是双曲线 a 2 － b 2＝ 1(a>0， b>0) 的不平行于对称轴且可是原点的弦， M 为AB 的中点，则 k OM ·k AB ＝ ________.2答案 ba 2分析设 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2) ，M (x 0， y 0)，x 0＝ x 1＋ x 22 ，则有y 1＋ y 2y 0＝2 .将 A ， B 代入双曲线 x 2 y 2＝1 中得2 － 2a b x 12 y 12 x 22 y 22a 2－b 2＝ 1， a 2 －b 2 ＝1，两式相减得x 12－ x 22 y 12－ y 222 ＝2 ，abx 1－ x 2x 1＋ x 2即a2y 1－ y 2 y 1＋ y 2 即x 1－ x 2x 1＋ x 2＝y 1－ y 2y 1＋ y 2 ，b 222＝b 2，即 k OM ·k AB ＝ b2.aa10． (2014 ·北湖 )设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将构成a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D (a)(比如 a ＝ 815，则 I(a)＝ 158，D( a) ＝851)．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，随意输入一个a ，输出的结果 b＝ ________.答案495分析取 a1＝ 815? b1＝851－ 158＝ 693≠815? a2＝ 693；由 a2＝ 693? b2＝ 963－ 369＝ 594≠693? a3＝594；由 a3＝ 594? b3＝ 954－ 459＝ 495≠594? a4＝495；由 a4＝ 495? b4＝ 954－ 459＝ 495＝ a4? b＝ 495.。
复数与推理证明习题
复数与推理证明习题1. 引言在数学中，复数是由实数和虚数组成的数。
复数的概念在数学中有着广泛的应用，特别是在电气工程和物理学中。
同时，通过推理证明习题的练习，我们可以加深对复数领域的理解和应用。
2. 学习目标本文将提供一些与复数和推理证明相关的练习题，帮助读者提高其关于复数的理解和推理证明能力。
3. 练习题问题1: 设 z 是一个复数，满足 |z-2-2i|=2。
证明 z 的实部和虚部之和为 4.推理证明：假设 z = x + yi，其中 x 和 y 分别表示 z 的实部和虚部。
根据题目中的条件，我们有 |z-2-2i|=2，即 |(x+yi)-2-2i|=2。
这意味着 (x+yi)-2-2i 与原点的距离为 2。
我们可以用几何图形来说明这一点。
|| *y | -----z| *|------------------------2 x从图中可以看出，点 (x-2, y-2) 与原点的距离等于 2。
因此，我们可以得出以下方程：sqrt((x-2)^2 + (y-2)^2) = 2通过展开方程并化简，我们得到：(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4进一步展开得到：x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4合并同类项得到：x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0现在我们需要证明 x + y = 4。
为了做到这一点，我们将等式 x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0 假设为等式(1)。
通过完成平方的方式，我们将等式(1) 进一步推导为：(x-2)^2 + (y-2)^2 = 0由于方程左边是一个平方和，它的结果只能为 0 当且仅当每个平方项都等于 0。
因此，我们得到以下两个等式：x - 2 = 0 --> x = 2y - 2 = 0 --> y = 2将 x 和 y 的值代入 x + y，我们得到：2 + 2 = 4因此，我们成功地证明了复数 z 的实部和虚部之和为 4。
20算法初步、复数、推理与证明 Word版含解析
课时作业20算法初步、复数、推理与证明1．[2018·全国卷Ⅲ](1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i2．[2018·浙江卷]复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i3．[2018·唐山市高三五校联考摸底考试]执行如图所示的程序框图，当输入的n为7时，输出的S的值是()A．14 B．210C．42 D．8404．[2018·郑州一中高三入学测试]执行如图所示的程序框图，输出的s的值为()A．－32B．0C.32D. 35．[2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]若执行如图所示的程序框图，输出的S的值为4，则判断框中应填入的条件是()A．k<18 B．k<17C．k<16 D．k<156．[2018·山东潍坊市第一次模拟]“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的() A．己亥年B．戊戌年C．庚子年D．辛丑年7．[2018·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]已知复数z－是z的共轭复数，若z－满足(4－i)z－＝5＋3i，则z＝() A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i8．[2018·南昌市摸底调研考试]执行如图所示的程序框图，输出的n为()A．1 B．2C．3 D．49．[2018·惠州市高三第二次调研考试试卷]若z1＋i＝2－i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．[2018·山东省，湖北省部分重点中学第二轮复习质量检测]定义两种运算“⊗”与“⊙”，对任意n∈N*，满足下列运算性质：(1)2⊗2 018＝1,2 018⊙1＝1；(2)(2n)⊗2 018＝2[(2n＋2)⊗2 018]，2 018⊙(n＋1)＝2(2 018⊙n)．则(2 018⊙2 019)·(2 020⊗2 018)的值为()A．21 010B．21 009C．21 008D．21 00711．[2018·洛阳市高三年级第一次统一考试]已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是()A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和12．[2018·南昌市第一次模拟]平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为a2＋b2，直角顶点到斜边的距离为aba2＋b2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为S21＋S22＋S23，则三棱锥顶点到底面的距离为()A.3S1S2S3S21＋S22＋S23B.S1S2S3S21＋S22＋S23C.2S1S2S3S21＋S22＋S23D.3S1S2S3S21＋S22＋S2313．[2018·福建省高三毕业班质量检查测试]已知复数z满足z－(3＋4i)＝4＋3i，则|z|＝________.14．已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则z·z－＝________.15．[2018·济南市高考模拟试题]如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点(1,0)处标数字1，记为a1；点(1，－1)处标数字0，记为a2；点(0，－1)处标数字－1，记为a3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a4；点(－1,0)处标数字－1，记为a5；点(－1,1)处标数字0，记为a6；点(0,1)处标数字1，记为a7；……以此类推，格点坐标为(i，j)的点处所标的数字为i＋j(i，j均为整数)，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，则S2 018＝________.16．[2017·全国卷Ⅰ]如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1 000和n＝n＋1B．A>1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2。
高考数学专项复习：复数、算法、推理及选考部分
（理数）：复数、算法、推理及选考部分一、单选题1、（2017•山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣．﹣ D．2、（2017·天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A、0B、1、2D、33、（2017•北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A、2B、、D、4、（2017•北京卷）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A、（﹣∞，1）B、（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）D、（﹣1，+∞）5、（2017•新课标Ⅱ）=（）A、1+2iB、1﹣2i、2+iD、2﹣i6、（2017•新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A、B、、D、27、（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第二次输入的值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A、0，0B、1，1、0，1D、1，08、（2017•新课标Ⅰ卷）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A、A＞1000和n=n+1B、A＞1000和n=n+2、A≤1000和n=n+1D、A≤1000和n=n+29、（2017•新课标Ⅰ卷）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1= ；3p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A、p1，p3B、p1，p4、p2，p3D、p2，p410、（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A、2B、3、4D、511、（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A、乙可以知道四人的成绩B、丁可以知道四人的成绩、乙、丁可以知道对方的成绩D、乙、丁可以知道自己的成绩12、（2017•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A、5B、4、3D、2二、填空题13、（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．14、（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入的值为，则输出y的值是________．15、（2017•北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcsθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．16、（2017•浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．17、（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．18、（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcs（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．三、选考部分19、（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系Oy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（为参数）．设l1与l2的交点为P，当变化时，P的轨迹为曲线．（Ⅰ）写出的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（csθ+sinθ）﹣=0，M为l3与的交点，求M的极径．20、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（）=|+1|﹣|﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（）≥2﹣+的解集非空，求的取值范围．21、（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1的极坐标方程为ρcsθ=4．（Ⅰ）M为曲线1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线2上，求△OAB面积的最大值．22、（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．23、（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-4 ，坐标系与参数方程]在直角坐标系Oy中，曲线的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（10分）(1)若a=﹣1，求与l的交点坐标；(2)若上的点到l距离的最大值为，求a．24、（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（）=﹣2+a+4，g（）=|+1|+|﹣1|．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（）≥g（）的解集；(2)若不等式f（）≥g（）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．25、（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线P切半圆O于点，AP⊥P，P为垂足．求证：（Ⅰ）∠PA=∠AB；（Ⅱ）A2 =AP•AB．26、（2017•江苏）已知矩阵A= ，B= ．（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）若曲线1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2，求2的方程．27、（2017•江苏）在平面直角坐标系Oy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．设P为曲线上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．28、（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．2、【答案】【考点】选择结构，循环结构，程序框图【解析】【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N= ≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N= =2≤3成立，输出N=2，故选：【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．3、【答案】【考点】循环结构，程序框图【解析】【解答】解：当=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，=1，S=2，当=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，=2，S= ，当=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，=3，S= ，当=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．4、【答案】B【考点】虚数单位i及其性质，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a 范围．5、【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：= = =2﹣i，故选D．【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．6、【答案】【考点】复数求模【解析】【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．则|z|= ．故选：．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．7、【答案】D【考点】选择结构，循环结构，程序框图【解析】【解答】解：当输入的值为7时，第一次，不满足b2＞，也不满足能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞，故输出a=1；当输入的值为9时，第一次，不满足b2＞，也不满足能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞，但满足能被b整数，故输出a=0故选：D【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．8、【答案】D【考点】循环结构【解析】【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“ ”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“ ”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．9、【答案】B【考点】命题的真假判断与应用，复数的基本概念【解析】【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠ ，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．10、【答案】B【考点】循环结构，程序框图【解析】【解答】解：执行程序框图，有S=0，=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，值，当=7时，程序终止即可得到结论．11、【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案12、【答案】D【考点】循环结构，程序框图【解析】【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，若此时输出S，则S的值小于91，故t=3应不满足“t≤N”，跳出循环体，所以输入的N的最小值为2，故选：D．【分析】通过执行程序框图，可得到S的取值情况，进而可得结论．二、填空题13、【答案】【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|= = ．故答案为：．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．14、【答案】-2【考点】选择结构，程序框图【解析】【解答】解：初始值= ，不满足≥1，所以y=2+lg2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．15、【答案】1【考点】点与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化【解析】【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcsθ﹣4ρsinθ+4=0为圆，将圆的极坐标方程化为：2+y2﹣2﹣4y+4=0，再化为标准方程：（﹣1）2+（y﹣2）2=1；如图，当A在P与⊙的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|in=|P|﹣r=2﹣1=1，故答案为：1．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．16、【答案】5；2【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．17、【答案】﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位，= = = ﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．18、【答案】2【考点】直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，极坐标系和平面直角坐标的区别【解析】【解答】解：直线4ρcs（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2 +2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：2+y2=2y，配方为：2+（y﹣1）2=1．∴圆心（0，1）到直线的距离d= = ＜1=R．∴直线4ρcs（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．三、选考部分19、【答案】解：（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=（﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：=﹣2+y②；联立①②，消去得：2﹣y2=4，即的普通方程为2﹣y2=4；（Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（csθ+sinθ）﹣=0，∴其普通方程为：+y﹣=0，联立得：，∴ρ2=2+y2= + =5．∴l3与的交点M的极径为ρ= ．【考点】极坐标系，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程，直线的参数方程【解析】【分析】解：（Ⅰ）分别消掉参数t与可得直线l1与直线l2的普通方程为y=（﹣2）①与=﹣2+y ②；联立①②，消去可得的普通方程为2﹣y2=4；（Ⅱ）将l3的极坐标方程为ρ（csθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：+y﹣=0，再与曲线的方程联立，可得，即可求得l3与的交点M的极径为ρ= ．20、【答案】解：（Ⅰ）∵f（）=|+1|﹣|﹣2|= ，f（）≥1，∴当﹣1≤≤2时，2﹣1≥1，解得1≤≤2；当＞2时，3≥1恒成立，故＞2；综上，不等式f（）≥1的解集为{|≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在∈R使得f（）﹣2+≥成立，即≤[f（）﹣2+]a，设g（）=f（）﹣2+．由（1）知，g （）= ，当≤﹣1时，g （）=﹣2+﹣3，其开口向下，对称轴方程为=＞﹣1， ∴g （）≤g （﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜＜2时，g （）=﹣2+3﹣1，其开口向下，对称轴方程为= ∈（﹣1，2），∴g （）≤g （ ）=﹣ + ﹣1= ；当≥2时，g （）=﹣2++3，其开口向下，对称轴方程为=＜2， ∴g （）≤g （2）=﹣4+2=3=1；综上，g （）a = ，∴的取值范围为（﹣∞，]． 【考点】函数的值域，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法【解析】【分析】（Ⅰ）由于f （）=|+1|﹣|﹣2|=，解不等式f （）≥1可分﹣1≤≤2与＞2两类讨论即可解得不等式f （）≥1的解集；（Ⅱ）依题意可得≤[f （）﹣2+]a ， 设g （）=f （）﹣2+，分≤1、﹣1＜＜2、≥2三类讨论，可求得g （）a = ，从而可得的取值范围．21、【答案】解：（Ⅰ）曲线1的直角坐标方程为：=4，设P （，y ），M （4，y 0），则，∴y 0= ， ∵|OM||OP|=16，∴=16，即（2+y 2）（1+ ）=16，整理得：（﹣2）2+y 2=4（≠0），∴点P 的轨迹2的直角坐标方程：（﹣2）2+y 2=4（≠0）．（Ⅱ）点A 的直角坐标为A （1， ），显然点A 在曲线2上，|OA|=2，∴曲线2的圆心（2，0）到弦OA 的距离d= = ，∴△AOB 的最大面积S= |OA|•（2+ ）=2+ ．【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式，简单曲线的极坐标方程，极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化【解析】【分析】（Ⅰ）设P （，y ），利用相似得出M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可； （Ⅱ）求出曲线2的圆心和半径，得出B 到OA 的最大距离，即可得出最大面积．22、【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b ）（a 5+b 5）≥（ + ）2=（a 3+b 3）2≥4，当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a 3+b 3=2，∴（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）=2，∴（a+b ）[（a+b ）2﹣3ab]=2，∴（a+b ）3﹣3ab （a+b ）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤ ，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【考点】不等式比较大小，基本不等式，不等式的证明，二维形式的柯西不等式【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．23、【答案】（1）解：曲线的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：+4y﹣a﹣4=0，椭圆上的任一点P可以表示成P（3csθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d= = ，φ满足tanφ= ，又d的最大值d a= ，所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，即a=﹣16或a=8．【考点】三角函数中的恒等变换应用，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的关系，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（1）将曲线的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；（2）曲线上的点可以表示成P（3csθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．24、【答案】（1）解：当a=1时，f（）=﹣2++4，是开口向下，对称轴为= 的二次函数，g（）=|+1|+|﹣1|= ，当∈（1，+∞）时，令﹣2++4=2，解得= ，g（）在（1，+∞）上单调递增，f（）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（）≥g（）的解集为（1，]；当∈[﹣1，1]时，g（）=2，f（）≥f（﹣1）=2．当∈（﹣∞，﹣1）时，g（）单调递减，f（）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（）≥g（）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣2+a+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即2﹣a﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．【考点】二次函数在闭区间上的最值，绝对值不等式的解法【解析】【分析】（1）当a=1时，f（）=﹣2++4，g（）=|+1|+|﹣1|= ，分＞1、∈[﹣1，1]、∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（）与f（）的单调性质即可求得f（）≥g（）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣2+a+4≥2在[﹣1，1]恒成立⇔2﹣a﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需，解之即可得a的取值范围．25、【答案】证明：（Ⅰ）∵直线P切半圆O于点，∴∠AP=∠AB．∵AB为半圆O的直径，∴∠AB=90°．∵AP⊥P，∴∠AP=90°．∴∠PA=90°﹣∠AP，∠AB=90°﹣∠AB，∴∠PA=∠AB．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△AP∽△AB，∴= ．∴A2 =AP•AB．【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠AP=∠AB．利用圆的性质可得∠AB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△AP∽△AB，即可证明．26、【答案】解：（Ⅰ）AB= = ，（Ⅱ）设点P（，y）为曲线1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（0，y0），则= ，即0=2y，y0=，∴=y0，y= ，∴，即02+y02=8，∴曲线2的方程为2+y2=8．【考点】矩阵变换的性质，矩阵与矩阵的乘法的意义【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线1的方程化简即可．27、【答案】解：直线l的直角坐标方程为﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d= = ，∴当s= 时，d取得最小值= ．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．28、【答案】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2csα，b=2sinα，c=4csβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（csαcsβ+sinαsinβ）=8cs（α﹣β）≤8．当且仅当cs（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．【考点】同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的余弦函数，三角函数的最值，圆的参数方程，不等式的证明【解析】【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2csα，b=2sinα，c=4csβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．。
(学案)专题十二复数、算法、推理证明(理)含解析
1．对于复数的考查，一般比较简单，通常在选择题的前两道题，或者填空题当中出现，考查的内容一般为复数的概念、复数的运算、复数的几何意义；
2．程序框图考查频率有降低，不再作为必考题出现，考查的形式多为选择题或填空题，考查的内容一般为循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填空；
3．推理与证明单独的考查的频率比较低，一般作为工具应用到解题当中．
一、复数 1．形如的数叫做复数，复数通常用字母表示． 全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示．其中，分别叫做复数的实
部与虚部．
2．复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
如果
，那么且． 特别地，，． 两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．
3．复数的分类
复数，时为实数；时为虚数，，时为纯虚数， 即复数（
，）()()()000b b a =⎧⎪⎨≠=⎪
⎩实数虚数当时为纯虚数． 4．复平面 直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，
命题趋势 考点清单
复数、算法、推理证明
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点．
5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
复数的共轭复数用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复数、推理与算法作业
一、选择题
1．(2019·福建省一模)若复数z满足(z＋1)i＝1＋i，则|z|＝( )
A．－i B．1－i
C． 2 D．1
2．(2019·广东省七校联合体联考)设a∈R，复数z＝a－i 3＋i
(i
是虚数单位)的实部为2，则复数z的虚部为( ) A．－7 B．7
C．－1 D．1
3．设i是虚数单位，复数z＝|i|
2－i
，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．已知z－2＝(z＋2)i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2i D．－2i
5．已知1－i2
z
＝1＋i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数
z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是( )
A．2 B．-2
C．3 D．-3
7．复数z ＝i 5
1－i －i(i 为虚数单位)的虚部为( )
A ．－12
B ．12
C ．－12
i
D ．12
i 8．(2019·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程
序，输出S 的值为( )
A ．5
B ．8
C ．24
D ．29
9．执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，
x 4＝21，x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是( )
A．S＝4，即5个数据的方差为4
B．S＝4，即5个数据的标准差为4
C．S＝20，即5个数据的方差为20
D．S＝20，即5个数据的标准差为20
10．执行如图所示程序框图，如果输入的a＝1，b＝2，那么输出的n的值为( )
11．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为2，则判断框中填入的条件可以是( )
A ．n <98?
B ．n <99?
C ．n <100?
D ．n ≤100?
12．设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4
m
三个数( )
A ．都大于4
B ．都小于4
C ．至少有一个大于4
D ．至少有一个不小于4
13．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝4
3πr 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三
维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝( )
A ．2πr 4
B ．3πr 4
C ．4πr 4
D ．6πr 4
14．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。
问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家。
三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( )
A ．58
B ．59
C．60 D．61
15．(2019·福建泉州一模)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例。
故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜。
该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律。
在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cosθ，b＝sinθ＋cosθ，c＝cosθ－sinθ，对方的三个数以及排序如表：
时，我方必胜的排序是( )
当0<θ<
4
A．a，b，c B．b，c，a
C．c，a，b D．c，b，a
16．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动。
甲说：“乙去我就肯定去。
”；乙说：“丙去我就不去。
”；丙说：“无论丁去不去，我都去。
”；丁说：“甲、乙中至少有一人去，我就去。
”以下哪项推论可能是正确的( )
A．乙、丙两个人去了B．甲一个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了D．四个人都去了
二、解答题：
17．(本小题满分12分)在△ABC中，已知3＋2sin B＝4cos2B，且B为锐角。
(1)求sin B；
(2)若(4＋15)sin B＝AC·(sin A＋sin C)，且△ABC的面积为
15
，求△ABC的周长。
2
18．(本小题满分12分)已知各项均不为零的两个数列{a n}，{b n}满足：a n b n＋1＝a n＋1(2a n＋b n)，n∈N*。
(1)设c n ＝b n
a n
，求证：数列{c n }是等差数列；
(2)已知b 1＝4，b 2＝12，数列{a n }是首项为2的等差数列，设数
列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12。