圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可).
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线常用结论（自己选择）一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。
若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
圆锥曲线的经典结论
当 M (x0, y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a （同上）
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、 N 两点，则 MF NF .（同上）
1（ a
0, b
0 ）的左右焦点分别为
F , F2 ，点 P 为双曲线上任意一点：
F1PF2
，则双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2co t .（同上） 2
x2 y2 8. 双曲线 a2 b 2 1 （ a 0, b 0 ）的焦半径公式：
F1 ( c , 0 ) , F2 (c,0)
当 M (x0, y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
a2c2k 2 a2b2
xP xQ
， xP xQ
M
2 a 2k 2c
2b2 ck
2abkN
， yP yQ
， yP yQ
，
M
M
M
第 2 页，共 18 页
xP yQ xQ y P
2a 2b 2k ， xP yQ
M
xQ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP
再根据上一条性质可得结论。
2 abckN ，则 x
M
2a2b2k 2a2bkN
M 2abckN
M 2 ab2 ck
a
M
M
a2
，
c
11. （点差法）
kOM k AB 即 K AB
AB 是椭圆
x2 a2
b2 a2 ，
b 2x0 a2 y0
高中数学圆锥曲线常用98条结论
高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。
3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。
4. 椭圆的面积为πab。
5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。
6. 椭圆的离心率为e=c/a。
7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。
9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。
10. 双曲线的面积为πab。
11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
12. 双曲线的离心率为e=c/a。
13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。
14. 抛物线的标准方程为y=4ax。
15. 抛物线的焦距等于a。
16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。
17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。
18. 抛物线的准线方程为y=-a。
19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。
20. 圆的直径为圆心的两倍半径。
21. 圆的周长为2πr。
22. 圆的面积为πr。
23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。
24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。
25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。
26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。
27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。
28. 抛物线的切线方程为y=2ax。
29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。
30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。
31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。
32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。
33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。
34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。
圆锥曲线经典结论3
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理六、椭圆的常用结论： 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即022y a x b K AB-=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+；【推论】：1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论一.椭 圆1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.2.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 4.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的方程是00221x x y ya b+=.5.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.6.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-.7.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交焦点F 对应的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=.10.椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者.二.双曲线1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.2.以焦半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支).3.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 4.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)外 ，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 5.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.6.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的焦半径公式：|MF 1|=|a+ex 0|,|MF 2|=|a-ex 0|.7.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =.10.双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.11.由焦点向渐近线作垂线，其垂足比在对应的准线上；反之，过渐近线与准线的交点与对应焦点的连线比垂直于过此点的渐近线.三.椭圆与双曲线的对偶结论1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. ①双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则2020BC b x k a y =(常数).②过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则2020BC b x k a y =-(常数).3.点A 1，A 2是椭圆上关于原点对称的两点，点P 为椭圆上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=-22ab .③点A 1，A 2双曲线上关于原点对称的两点，点P 为双曲线上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=22ab ；4.若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.④若P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22c a co c a βα-=+). 5.设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.⑤设双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.6.P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.⑥P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立. 7.过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.⑦过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =.8.已知椭圆22221x y a b+=( a ＞b ＞0),A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. ⑧已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-. 9.已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.⑨已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 10.椭圆、双曲线、抛物线的所有焦点弦中，通径最短.11.求过二次曲线Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0上一点P(x 0，y 0)的切线方程时，只需将x 2→xx 0,y 2→yy 0,x →20x x +, y →20y y +,xy →xy 0+yx 0.四.抛物线1.以弦AB 为直径的圆与准线x=-2p 相切.2.以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切.3.点A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1=900.4.直线AB 与抛物线的方程为y 2=2px(p >0)交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0),则直线AB 的斜率k=y p . 5.设抛物线的方程为y 2=2px(p >0),过焦点F(2p,0)的直线AB 的方程为x=ty+2p ,设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2),则 ①x 1· x 2=42P , y 1·y 2=-P 2. ②243p OB OA -=⋅.③|AB|= =α2sin 2p(α为AB 的倾角). ④FB FA 11+=P2. 6.设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF.7.设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB. 8.若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线.9.若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p .反之亦成立.。
圆锥曲线的一组优美结论
圆锥曲线是一种常见的几何曲线，它是由一个固定的圆盘和一条永远经过圆盘中心的直线（称为锥轴）所构成的曲线。
圆锥曲线有许多有趣的性质，下面是一些关于圆锥曲线的结论：
1 圆锥曲线的经过点数是无限的，因此它是一条无端的曲线。
2 圆锥曲线是一条连续曲线，因此它不会断开。
3 圆锥曲线的经过点都在相同的平面内，因此它是一条二维曲线。
4 圆锥曲线的形状受到锥轴的方向和斜率的影响。
如果锥轴垂直于
圆盘，则圆锥曲线是一个圆；如果锥轴斜率较大，则圆锥曲线会变得较长和较细；如果锥轴斜率较小，则圆锥曲线会变得较短和较厚。
5 圆锥曲线是一条对称曲线，即对于任意一条垂直于锥轴的直线，
圆锥曲线的两侧都是对称的。
6 圆锥曲线的长度是无限的，因此它是一条无限长的曲线。
希望这些信息能帮到你！。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论（自己选择）一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线定点定值及其他常用结论个人整理,已经没错误
圆锥曲线定点定值及其他常用结论一、直线过定点问题过定点模型：是圆锥曲线上的两动点，是一定点，其中分别为的倾斜角，则有下面的结论：、为定值直线恒过定点；、为定值直线恒过定点；、直线恒过定点.方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.二、定值问题基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式的关系式代数式形式的定值(多个参数)结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；形如，若，则该式为定值，与无关；（注意是变量，具有任意性，是主元）②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0.例如：，当即时，该式为定值与无关. （注意是变量，具有任意性，是主元）三、椭圆经典结论1、过椭圆(上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.（求偏导可得到）（类似结论适合于双曲线，抛物线）2、设椭圆（）的两个焦点为（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在中，记,,，则有.3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是4.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.（对原点张直角）1）; 2）的最大值为; 3）的最小值是.4）直线PQ必经过一个定点；5）点到直线的距离为定值：.5 . 过椭圆（）的右焦点作直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.类比．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.6．设椭圆（a＞b＞0）,M（m，0）或（0，m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线AP、AQ（AA为对称轴上的两顶点）的交点N在直线：（或）上.（用极点与极线直接写出来）7、椭圆中的过定点模型：是椭圆上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点类比．给定双曲线C：,对C上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过定点（.8、抛物线中的过定点模型：是抛物线上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点特别地直线恒过定点.9、设点是椭圆（）上异于长轴端点的任一点,为其焦点记，则 (1). (2).（双曲线(a>0,b>0)中,,其中θ=∠FPF.）10.椭圆的参数方程是，椭圆上的动点可设对于抛物线上的动点的坐标可设为，（抛物线独有的一点两设）以简化计算.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）(4).双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为(5).双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.抛物线常用设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则1. 2.3. 4. 5 .圆锥曲线的切线问题（用极点与极线直接写出来）（证明需要求偏导）1.过圆C:(x-a)+(y-b)=R上一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=R.2. 若在椭圆上，则以为切点的切线的椭圆的切线方程是.3.若在双曲（a＞0，b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.4.已知点M(x,y)在抛物线C:y=2px(p≠0)上时，M为切点的切线l:yy=p(x+x).（切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来）圆锥曲线的中点弦问题(点差法)（广义的垂径定理）（也适合于相切情况）AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则=e-1，即。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在考试中，这些结论可能会出现，因此了解这些结论是非常重要的。
1. 椭圆的定义：椭圆是由到两个点的距离之和等于定值的点构成的集合。
这两个点称为椭圆的焦点。
2. 抛物线的定义：抛物线是由所有距离一个定点（焦点）和一个定直线（准线）相等的点所组成的集合。
3. 双曲线的定义：双曲线是由所有到两个焦点距离之差等于定值的点所组成的集合。
4. 椭圆的中心：如果椭圆的两条直径相互垂直，且长度相等，则该椭圆的中心就是两条直径的交点。
5. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两条直径中，长的那条被称为长轴，短的那条被称为短轴。
6. 双曲线的渐近线：双曲线的两条曲线臂在无限远处趋近于两条互相垂直的直线，这两条直线被称为双曲线的渐近线。
7. 双曲线的顶点：双曲线的两条曲线臂在无限远处相交的点被称为双曲线的顶点。
8. 抛物线的顶点：抛物线曲线的最高点或最低点被称为抛物线的顶点。
9. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是指椭圆焦点之间的距离与椭圆长轴的一半之比。
离心率的取值范围在0和1之间。
10. 双曲线的离心率：双曲线的离心率是指双曲线焦点之间的距离与双曲线的距离其中一条渐近线的距离之差的一半之比。
离心率的取值范围大于1。
11. 抛物线的离心率：抛物线的离心率是指抛物线焦点到直线距离的比值和相对于该直线到抛物线顶点距离的比值之和。
离心率的值
为1。
这些结论是来自圆锥曲线的基本定义。
要在考试中成功完成相关问题，深入理解这些结论是非常重要的。
圆锥曲线192条结论
圆锥曲线是平面上的一类曲线，其中最常见的包括椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用，有许多性质和结论与它们相关。
以下是关于圆锥曲线的一些结论：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，其性质包括：- 所有点到两个焦点的距离之和是常数。
- 长轴和短轴是椭圆的两个主要轴。
- 椭圆可以是正圆或扁圆，取决于长轴和短轴的比例。
- 椭圆在焦点处有反射性质，光线从一个焦点反射到另一个焦点。
2. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，其性质包括：- 所有从焦点出发的光线都会反射到抛物线上的焦点。
- 抛物线具有对称性，焦点位于开口一侧。
- 抛物线用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。
3. 双曲线：双曲线也是一个开放的曲线，其性质包括：- 双曲线有两个焦点，光线从一个焦点反射后会经过另一个焦点。
- 双曲线有两个分支，分别向外延伸。
- 双曲线在电磁波和引力场中都有应用，如双曲线轨道。
4. 参数方程：圆锥曲线可以用参数方程来表示，这种方式使得可以描述各种不同形状和位置的圆锥曲线。
5. 极坐标方程：圆锥曲线也可以用极坐标方程来表示，这对于描述曲线与极坐标原点的关系非常有用。
6. 焦点和直径：焦点是圆锥曲线的一个重要性质，它决定了曲线的形状。
直径是曲线的两个焦点之间的距离。
7. 曲线的切线：切线是曲线上某一点的局部近似，它与曲线的斜率和曲线方程相关。
8. 曲线的面积：可以计算圆锥曲线下方的面积，这对于计算曲线下方的积分和应用非常有用。
这些是关于圆锥曲线的一些基本结论，具体的性质和结论会根据具体的圆锥曲线类型和应用领域而有所不同。
圆锥曲线在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用，是重要的数学概念之一。
有关圆锥曲线的地经典结论
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x ya b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)
椭圆与双曲线--经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，那么过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，那么过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，那么椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，那么被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，那么过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕5. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕上，那么过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕外 ，那么过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，那么双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=. 8. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，那么0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学_有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线的一些经典结论
圆锥曲线的一些经典结论1. 圆锥曲线有四种类型：椭圆、抛物线、双曲线和圆。
2. 椭圆：椭圆是圆锥曲线的一种，它由离心率小于1的点构成。
椭圆具有两个焦点和一个长轴和短轴。
3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线的一种，它具有一个焦点和一个直线作为其轴线。
所有的点到焦点的距离都等于其到轴线的距离。
4. 双曲线：双曲线是圆锥曲线的一种，它由离心率大于1的点构成。
双曲线具有两个焦点和两个分离的曲线枝。
5. 圆：圆是圆锥曲线的一种特殊情况，它的离心率为零，所有的点到圆心的距离相等。
6. 圆锥曲线的方程：圆锥曲线可以通过方程来表示。
例如，椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点，a 和b分别是长轴和短轴的长度。
7. 长轴和短轴：圆锥曲线具有两个轴，它们都通过曲线的中心点。
长轴是椭圆或双曲线的主轴，它的长度是贯穿曲线的最长距离。
短轴是与长轴垂直的轴，它的长度是贯穿曲线的最短距离。
8. 离心率：离心率是一个非常重要的指标，用来描述圆锥曲线的形状。
离心率通常用字母e表示，可以通过离心率的定义公式e =c/a来计算，其中c是焦点离中心的距离，a是长轴的长度。
9. 集点定理：集点定理是圆锥曲线研究的基本定理之一。
它表明，对于一个椭圆或双曲线，所有点到两个焦点的距离之和是常数，等于长轴的长度。
10. 曲率：曲率是描述曲线弯曲程度的属性。
圆锥曲线的曲率在不同点上有不同的值，它可以通过曲线的方程来计算。
这些是圆锥曲线的一些经典结论，它们是圆锥曲线理论的基础，可以应用在许多科学和工程领域，如天文学、物理学和工程学等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆与双曲线--经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x ya b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-.椭圆与双曲线推导的经典结论椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|||sabPAa c coαγ=-.(2) 2tan tan1eαβ=-.(3)22222cotPABa bSb aγ∆=-.13.已知椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x⊥轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的经典结论双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221 x ya b+=.2.过双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞o）上任一点00(,)A x y任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且22BCb xka y=-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤. 8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。