2018届高三理科数学冲刺题(含答案)
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数 ） ABCD【答案】AA ．2．已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B =（ ） A ．()2,12 B ．()1,3- C ．()1,12- D ．()2,3【答案】C【解析】(){}|lg 21A x x =-<{}()|02102,12x x =<-<=，{}2|230B x x x =--<()1,3=-，所以A B =()1,12-，选C ．3．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为A ． 4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，b =．则ABC S =△（ ）A BCD ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：1sin 2ABC S ac B ==△，故选C ．5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(213a f f -≥，则a 的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R上的偶函数，则(f=f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，a 的最大值是34，故选D ． 7．在平面直角坐标系中，若不等式组2212 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪⎨⎪⎩（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．124x =-C ．32x =-D ．32y =-【答案】D【解析】16a ∴=，26x y ∴=，即准线方程为32y =-，选D ．8．在nx ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（ ）A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】C【解析】在nx⎛ ⎝中，令1x =得()134n n +=，即展开式中各项系数和为4n；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322nn n ==，解得5n =．故二项式为5x⎛+ ⎝，其展开式的通项为()35521553rr r r r r r T C x C x --+==，()0,1,2,3,4,5r =．令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ． 10．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=->4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π2sin 13x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1sin 32x ω⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，()7π2π6k k +∈Z ，3π2π2k x ωω=+()k ∈Z ， 设直线1y =-与()y f x =在()0,+∞上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B ，由于方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根， 则<πB A x x ≤，即3π2ππ4ππ26ωωωω+<≤+D ． 11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ） ABCD【答案】A【解析】R =，设ABC △的外心为M ，由正AM =，由2222PA AM ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得PA =，设AB 的中点为N ，则CN ⊥平面PAB ，连接PN ，则CPN ∠为直线与平面所成的角，PN ==，CN =tan CN CPN PN ∠==，故选A ． 12．设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C ．2或3 D ．4或53【答案】D【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，∵212PF F F ⊥，∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为12212222F F PF PF c ac a +--==-．设1PF x =，则22PF x a =-．∵2221212PF PF F F =+，即()()22222x x a c =-+，∴22a c x a +=，即12PF F △的外接圆半径为222a c a +．∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍， ∴()221726a c c a a +=-，即22201730a ac c -+=．∴2317200e e -+= ∴53e =或4，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________． 【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=， 圆心()1,1-，半径r =，因为()2,0A -，()0,2B，所以AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB的距离为，所以ABM S △的最小值为min 11222AB d ⋅⋅=⨯=，故答案为2．15．．【答案】1212．16．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若31M A =-，则x 的取值范围是__________． 【答案】{}| 4 2x x x =-≥或．【解析】作出112122M max x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，的图象如图所示31M A =-， ∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =-，当01x ≤<时，122x x =-+，得43x =，舍去，当12x ≤<时，112x x =+，得2x =，舍去，当2x ≥时，x x =，恒成立，综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <．【答案】（1）()*4n n a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14nn a a -=，……4分 ∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4n n a n =∈N ．……6分 （2）由（1）有22log log 42n n n b a n ===，……7分 则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P ==．……3分 （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分ξ的可能值为0，1，2，3．从而……5分()3631020101206C P C ξ====，……6分……7分()2146310363212010C C P C ξ====，……8分()3431041312030C P C ξ====．……9分所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望()1131120123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．……10分（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱13AA =，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE =，2CF =．（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ；（2）求二面角F AD E --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，得AD CE ⊥．①……2分在侧面11BCC B 中，1tan 2CD CFD CF ∠==，1tan 2BE BCE BC ∠==， ∴tan tan CFD BCE ∠=∠，CFD BCE ∠=∠，∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴CE DF ⊥．②……4分 结合①②，又∵AD DF D =，∴CE ⊥平面ADF ，……5分又∵CE ⊂平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF ，……6分（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -．则)00A ，，()012F -，，，()011E ，，．得(3DA =，()012DF =-，，，()011DE =，，，……7分 设平面ADF 的法向量()x y z =，，m ，则0 0DA DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得0 2x y z ==⎧⎨⎩取()021=，，m ．……9分 同理可得，平面ADE 的法向量()011=-，，n ，……10分……11分 则二面角F AD E --．……12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）()22139x y x +=≠±；（2）见解析． 【解析】（1）设动点(),M x y ，则3MA y k x =+，3MB y k x =-()3x ≠±， 19MA MB k k ⋅=-，即1339y y x x ⋅=-+-．……3分 化简得：2219x y +=，……4分 由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．……5分 （2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221 99x my x y =++=⎧⎨⎩，消去x 得()229280m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y……7分 直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y y k x s my s ==-+-， ()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+- ()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991s m s -=-+-．……10分当3s =时，()282991SP SP k k s -⋅==--； 当3s =-时，()2811891SP SP k k s -⋅==--． 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分21．设0a >，已知函数()()ln f x x a =-+，()0x >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）函数()f x 没有两个零点．【解析】（1）()1'f x x a=-+，……1分()()22'0220f x x a x a x a >⇔+>⇔+-+>，()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-，①当1a ≥时，0∆≤，()0g x ≥，即()'0f x ≥，∴()f x 在()0,+∞上单调递增；……3分②当01a <<时，0∆>，由()0g x =得12x a ==--，22x a =-+，可知120x x <<，由()g x 的图象得：()f x在(0,2a --和()2a -++∞上单调递增；()f x在(2a --2a -+上单调递减．……5分（2）假设函数()f x 有两个零点，由（1）知，01a <<，因为()0ln 0f a =->，则()20f x <()2ln x a <+，由()2'0f x =知2x a +=ln <（，t =，则()ln 2t t <（＊），……8分由()221,4x a =-+，得()1,2t ∈，设()()ln 2h t t t =-，得()1'10h t t =->， 所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >，……11分 这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点．…12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为 1x a y =+=⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94． 【解析】（1）1C的参数方程 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C的参数方程 1x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()1212122 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分 当122t t =-时，()1212122 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =， 综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1……2分则()11f x -≤≤，……4分 由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分（2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，……7分再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)理科数学(含解析)
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合102x A x x ⎧⎫+=⎨⎬-⎩⎭≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2【答案】A【解析】由题意得{}110=01222x x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭≥≤≤，∴{}1,0,1A B =-．选A ．2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234332+=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即3m =，则甲组数据的平均数为：243336313++=．本题选择B 选项．3．设x ，y 满足约束条件010 30y x y x y -++⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥≤，则43z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．9C ．12D ．15【答案】C【解析】所以，过()3,0时，43z x y =-取得最大值为12．故选C ．4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：B ． 5．已知各项都为正数的等比数列{}n a ，满足3122a a a =+，若存在两项m a ，n a ，14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．13D ．1【答案】B【解析】正项等比数列{}n a 满足：3122a a a =+，可得21112a q a a q =+，即220q q --=，2q ∴=，m n a a =2116m n a a a ∴=，()()1121112216m n a a a --∴⋅⋅⋅=，22211216m n a a +-∴⋅=，6m n ∴+=，()141146m n m n m n ⎛∴+=++ ⎝4n m m n =时，等号成立，故14m n +的最小值为32，故选B ． 6．函数()22111222x x f x +-⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()2222111111222222x x x x f x f x -+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =B ，故选C ．7．已知函数()()sin 2(0,0)f x A x A ϕϕ=+><<π的图象经过点时，方程()2f x a =a 的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．12⎡⎢⎣C ．[]1,2D ．⎣ 【答案】D【解析】0ϕ<<π，6ϕπ∴=，3A =0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当方程()2f x a =已知函数()y f x =的图象与直线()2f x a =a <，故选D ．8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．140【答案】C【解析】第1次运行，1n =，2102n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行； 第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =； 故选C ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ）A ．51B ．52C ．53D ．54【答案】A【解析】若n 为偶数，则()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++()()12112312112n n n +=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<，5217381350S =>，所以这样的偶数不存在，若n 为奇数， 则()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()1221241211a n =+⨯++⨯++-+()()()()122121322n n n n a a+-+-=+=-+，若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立，若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立，故选A ．10．若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ．11．已知函数2ln y a =+P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣B C D ．23,e ⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】函数22y x =--的图象与函数22y x =+的图象关于原点对称，若函数2ln y a x=+）的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则函数2ln y a x =+（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象与函数22y x =+的图象有交点，即方程22ln 2a x x +=+（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，即222ln a x x =+-（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，令()222ln f x x x =+-，则()0f x '＜，当(]1e x ∈，时，()0f x '＞，故当1x =时，()f x 取最小值3，由2114e ef ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e f =，故当e x =时，()f x 取最大值2e ，故23e a ⎡⎤∈⎣⎦，，故选：D ．12．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）A ．2B C ．1 D【答案】B 【解析】由题意，点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，则MN ∥平面11ACC A ，过M 作1MQ AA ∥交AB 于Q ，过Q 作QH AC ∥，连结NH ，得1NH BB ∥，11BB AA ∥，NH MQ ∥，则平面MQHN ∥平面11ACC A ，则MN ∥平面11ACC A ，因为M 为线段1A B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，其中MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正ABC △的高B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 【答案】32-z 的实部为32-．14．已知圆Ω过点()5,1A ，()5,3B ，()1,1C -，则圆Ω的圆心到直线l ：210x y -+=的距离为__________．【答案】5【解析】由题知，圆心坐标为()2,2，则5d ==． 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2CB =，则cb的取值范围是________． 【答案】【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，2cos cB b=，因为锐角ABC △，所以02B π<<，022C B π<=<，032A C B B π<=π--=π-<，64Bππ∴<<，cos 22B ⎛∴∈⎝⎭，cb∈．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0,2M x 0()2px>是抛物线C 上一点，以M为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为MA ，若2MA AF=，则AF =_______． 【答案】1【解析】将M 点坐标代入抛物线方程得082px =，解得04x p =，即4,M p ⎛ ⎝，MF =，由于MA 为圆的半径，而DE MA =，所以2π3DME ∠=，π6BDM ∠=，故411223p MB MA MF p -===，即42p p -=简得412p p -=，解得2p =，故3MF =，113AF MF ==．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知cos m ⎛= ，3sin n ⎛= ，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】（1，k ∈Z ；（2）⎛ ⎝⎦．【解析】（1cos m n ⎛⎫=⋅= ⎪⎭3sin 4⎛ ⎝·····3分 k ππ+，则43x π-≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x ，k ∈Z ．·······6分（2）由2b ac =可当且仅当a c =时取等号），·······8分所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，()112f B <，综上()f B 的取值范围为11,2⎛⎤⎥ ⎝⎦．·······12分 18．过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P Z μσμσ-<+=≤． 【答案】（1）26.5x =（2）0.6826（3）X 的分布列为∴()2E X =．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·······3分 （2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈， ∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．·······3分②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()404110216P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．·······11分 ∴X 的分布列为∴()422E X =⨯=．·······12分19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得D B '=．（1）求证：当AF =D F BC '⊥；（2）试求CF 的长，使得二面角A D F B -'-【答案】（1）见解析；（2）CF = 【解析】解:（1）连结DF ，BF ．在矩形ABCD 6CD =，在ADF △中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=， ∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．·······2分 又在ABF △中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，∴在D FB '△中，222223D F FB D B +='+=',BF D F ∴⊥',·······4分 又AC FB F =,∴D F '⊥平面ABC ．·······5分 ∴D F BC '⊥．·······6分（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E ．沿着对角线AC 翻折后， 由（1）可知，OE ，OC ，OD '两两垂直，以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0O ，()1,0,0E ，()0,0,3D '，()3,B ，EO ⊥平面AD F ',()1,0,0OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．·······7分 设平面BD F '的法向量为(),,n x y z =，()0,,0F t (3,BD∴=-'()3,BF t =--，由0, 0,n BD n BF ⋅=⋅=⎧'⎨⎩得30x --⎧⎪，取3,y =则x t =z t =，()n t t ∴=-．·······9分,OEOE⋅即=t ∴=·······11分 ∴当CF =A D FB -'-·······12分 20．对于椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为22312x ya b+=， 其斜率为222132b a -=-，∴2234a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴221914a b +=．·······2分 解得24a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；·······4分（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 则切线11:143x x y y m +=，切线22:143x x y yn +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ，∴1010143x x y y +=，2020143x x y y +=． 即直线MN 的方程为00143x x y y+=．·······7分又003x y +=，·······8分 ∴()003143x yx x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.x y ⎧==⎪⎨⎪⎩∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭．·······12分21．已知函数()ln f x x ax =+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1a =时，函数()()12g x f x x m x=-+-有两个零点12x x 、，且12x x <．求证：121x x +>．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1'······1分 ①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；·······2分②当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减····4分（2）当1a =时，()1ln 2g x x m x=+-， 由已知得：111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=，·······5分 两式相减得：112121212211ln0222ln x x x x x x x x x x -+-=⇒⋅=，1211212ln x x x x x -∴=，2121212ln x x x x x -=，122112122lnx x x x x x x x -∴+=，·······8分令()120,1x t x =∈，设()12ln h t t t t=--，' ()h t ∴在()0,1上单调递增，()()10h t h ∴<=，即12ln t t t -<，又ln 0t <，112ln t t t-∴>，121x x ∴+>·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a=+=⎧⎨⎩（a 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6θρπ=∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值． 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2）6AB =．【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a =+=⎧⎨⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，·······12分 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．·······5分（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24cos 126ρρθθ-=π=⎧⎪⎨⎪⎩消去θ得2120ρ--=，·······7分 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-， ∴126AB ρρ=-==．·······10分23．选修4—5:不等式选讲已知(0)x y z ∈+∞，，，，3x y z ++＝． （1）求111x y z++的最小值（2）证明：2223x y z ≤＋＋． 【答案】（1）3；（2）证明见解析．【解析】（1）因为0x y z ++>≥，1110x y z ++>≥， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥,即1113x y z ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立，此时111x y z++取得最小值3．·······5分（2）222x y z ++()()()2222222223x y z x y y z z x ++++++++=()22223x y z xy yz zx +++++≥()233x y z ++==．·······10分。
2018冲刺理科数学训练题答案
2018届高三数学理科冲刺训练题答案一．选择题： 题组1:1. A2. A3. B4. A题组2:1．解析：选A.因为A ＝{x |R x x y ∈=,sin }＝}11{≤≤-y y ，B ＝}210{<<y y ，所以A ∩B＝}11{≤≤-y y ∩}210{<<y y ＝}210{<<y y ．2.答案：B 解析：集合1{|0}{|13}3x A x x x x x -=≥=≤>-或， {}|1 5 ={0,1,2,3,4,5}B x x =∈-≤≤N ，所以{0,1,4,5}A B =，故选B.3.答案：B解析：集合{}1,2,3,4A =，{}{}1|2,1,2,4,8x B y y x A -==∈=，则{}1,2,4A B =，故选B.题组3:1. B2. C3. A4. C 1. C 2. A 3. C题组4: 2019cos++6， 2020=20191cos ++2．【答案】D【解析】执行循环得2262,2;22,3;,222126,7;S n S n S n ===+==+++==结束循环，所以6?n ≤，选D.3.【答案】B 【解析】试题分析：()11n n +，110n =<成立，执行第一次循环，112n =+=；210n =<成立，执行第二次循环，，213n =+=；依次类推，910n =<成立，执行第九次循环，11910⎛++- ⎝9110n =+=，10n <不成立，输出S 的值为B.1. 【答案】D 【解析】由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故A 正确；由图可知，支出最高值是60，支出最低值是，则支出最高值与支出最低值的比是6:1，故B 正确；由图可知，第三季度平均收入为，故C 正确；由图可知，利润最高的月份是3月份和10月份，故D 错误. 故选D. 2. 答案：D解析：由折线图得，在A 中，最低气温与最高气温为正相关，正确； 在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，正确；在C 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，正确； 在D 中，最低气温低于0℃的月份有3个，D 错误；故选D. 3.【答案】D【解析】由已知，当1n =时， ()1232232a +⨯=+=，当2n =时， ()22432342a +⨯=++=，当3n =时， ()325423452a +⨯=+++=，由此推断， ()()()()2211422n n n n n a +++++==，则201420152018201510092a ⨯==⨯．故选D ．4.【答案】B223DCBAP4【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以，． （其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高）故选B ．题组5:1. 解析：由三视图可得该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -，所以该四棱锥的体积132243V =⨯⨯⨯=，故选A.2. 答案：D解析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体ABC DEF -，它由三棱柱ABC DGF -截去三棱锥E DGF -后所剩的几何体，所以其体积为11134534324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选D.3. 答案：A 解析：由图可得111111326V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.题组6:1. 解：画出可行域，知y x z +=2有最小值无最大值。
2018届高考理科数学最新冲刺卷(全国新课标卷)-含答案解析
2018届高考理科数学最新冲刺卷（全国新课标卷）一、选择题1．集合{}(){}22,,,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，以下正确的是（）A. A B =B. A B R ⋃=C. A B ⋂=∅D. 2B ∈ 2．若，其中为复数的共轭复数，且在复平面上对应的点在射线上，则( )A.B.或C.D.或3．若a 、b 是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（）． A.1b a < B. 11a b< C. 22a b > D. 33a b > 4.执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（） A. 7 B. 20 C. 22 D. 545.已知命题()()()000:0,,p x f x f x ∃∈+∞-=，命题()():,q x R f x f x ∀∈-=.若p 为真命题，且q 为假命题，则函数()f x 的解析式可能为（ ） A. ()1f x x =+ B. ()21f x x =+C. ()sin f x x =D. ()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.如图,AOB 的圆心角为120,点C 在AB 上,且30COB ∠=,若OC OA OB λμ=+,则λμ+= ( )7. 记不等式组2{22 20x y x y y +≤+≥+≥，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(),x y .有下面四个命题：1p ：P ∀∈Ω，x y -的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，224205x y ≤+≤；3p ：P ∀∈Ω，x y -的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω22x y ≤+≤其中的真命题是（ ）A. 1p ，4pB. 1p ，2pC. 2p ，3pD. 3p ，4p 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为9.同时具有性质:“①最小正周期是π,②图象关于π3x =对称,③在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的一个函数是 A. πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 811.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭22221y x a b+=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）1112. 已知函数()()ln ,0{2,2x x e f x f e x e x e<≤=-<<，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,eB. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. [),e +∞ D. 1[,e+∞）二、填空题13.9222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．14.已知动点(),P x y满足()24{11x y x x y +≤≥+≤，则226x y x +-的最小值是_______.15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC ∆的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c+的最大值为___________． 16. 对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 于12,M M (均异于点P ),若12PM k PM =,那么称曲线1C 与2C 相似,相似比为k ,点P 为相似中心.则下列各组曲线中,坐标原点O 是其相似中心的是______.(把所有正确结论的序号都填上)①22221,2x y x y +=+=; ②22221,122x y y x +=+=; ③224,2y x y x ==. 三、解答题17.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且11331,2,11a b a b ==+=，5537a b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：2122n n T n -≤⋅+.18.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1M N C N =.（1）证明：1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B所成角的正弦值为20，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布()2,6N μ，其中μ近似为样本平均数x ，26近似为样本方差2s . ①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间()187.8,212.2的小麦株数，利用①的结果，求EX .12.2≈.若()2,6Z N μ~，则(66)0.6826P Z μμ-<<+=，(2626)0.9544P Z μμ-<<+=.20. 已知椭圆C ：222210)x y a b a b+=>>（的左、右焦点分别为12,F F ，点312P （，）在椭圆C上，满足1294PF PF ⋅=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线2l 与1l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间）. (ⅰ)求证：PM KN PN KM ⋅=⋅；(ⅱ)是否存在直线2l ，使得直线1l 、2l 、PM 、PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程；若不能，请说明理由. 21.设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围； （2）设a ＝12，()()ln 1g x f x b x =++ (b R ∈，0b ≠)，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的x ＞0，()g x '＞0，求证：存在0x ，使()0g x ＜0；②若()()()1212g x g x x x =≠，求证：12x x ＜24b ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）． （1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲设函数()()2432f x x a x a =-++-≠-. （1）试比较()f a 与()2f -的大小；（2）若函数()f x 的图象与x 轴能围成一个三角形，求实数a 的取值范围.2018届高考数学最新冲刺卷（全国新课标卷）答题卡姓名：______________班级：______________参考答案与试题解析1．C 【解析】 由题意，集合{}2,y y x x R R =∈=，表示实数集，集合(){}2,,B x y y x x R ==∈表示二次函数2y x=图象上的点作为元素构成的点集，所以A B ⋂=∅，故选C.2．C 【解析】，又在复平面上对应的点在射线上，知在复平面上对应的点在第一象限，观察答案，选项C 符合.故选：C ． 3．D 【解析】对于A ，当2a =-， 3b =-时，满足a b >，但312b a =>，故A 错误；对于B ，当2a =， 2b =-时，满足a b >，但11a b>，故B 错误；对于C ，当1a =， 2b =-时，满足a b >，但22a b <，故C 错误；对于D ，因为3y x =在R 上单调递增，故当a b>时， 33a b >，故D 正确．故选D ．点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便，注意当用不等式性质时注意正负数、0的特殊情况等易错点，有时较为复杂的不等式可以用函数的单调性证明.5. C 【解析】因为q 为假命题,所以函数()f x 不是偶函数,故选项B 不满足题意. 对于选项A ，如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=，则000110x x x -+=+∴=，显然不满足题意，所以选项A 不满足题意. 对于选项C ，如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=， 则()()()()()000000sin sin sin sin sin 0,,2x x x x x x ππ-=∴-=∴==，满足题意.对于选项D,如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=，则()()0033001122xxx x ---=-（）（），()()000000333000112222222x x x x x x x x x y -∴+=-∴-=-∴=-是增函数， 所以00001122022xx ->-=，而3020x -<，所以选项D 不满足题意，故选C.#网【点睛】本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答7. C 【解析】作可行域如图：则x y z -=过点（4，-2），z 取最大值6，22x y +最小值为O到直线22x y +=距离的平方，即45；最大值为O 到点（4，-2）距离的平方，即为20；所以2p ， 3p 为真命题，选C.8. B 【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD -）的直观图如下：可计算PB PD BC PC===点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10.C【解析】取线段AB中点D，设P在底面ABC 射影为O，设AB=a,则13OD=⨯=，PDC∠为二面角P AB C--的平面角，tan6PDC PD OD∠==，21377HV H HRS R===∴=,选C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11. C 【解析】由题知线段AB 是椭圆的通径，线段AB 与y 轴的交点是椭圆的下焦点1F ，且椭圆的1c =，又60FAB ∠=， 11212tan603FF AF AF AF =====，由椭圆定义知212c AF AF a a e a +==∴====C. %网【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．13. 672【解析】9222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭表示9个222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭相乘，从这9个222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中选取6个且只取其中的x ，从剩余的3个222y x x ⎛⎫++⎪⎝⎭中只取22x ，相乘后即可得到常数项，故常数项为366699228672C x C x ⎛⎫== ⎪⎝⎭．答案： 67214. 409-【解析】()21x x y x y +≤∴≤，()21,f x x xx y =++∴≤，因此可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中()()44,,1,1,1,233A B C ⎛⎫⎪⎝⎭,所以226x y x +- ()222244403939.339x y ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.&网点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把222S b c +中的分母化简成6cos Sbc A,第二个难点是得到221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ==+后，如何求tanA 的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA 的最大值.16. ①②【解析】 由题意，对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 与12,M M ，若12PM k PM =，称曲线1C 与2C 相似，相似比为k ，点P 为相似中心， 对于①中，圆221x y +=与222x y +=的圆心同为坐标原点O，半径分别为121,r r ==1122OM r OM r ==O 为其相似中心.对于②中，椭圆2212x y +=和2212y x +=的对称中心都为坐标原点O ，设过原点的直线为y kx =，则222222222{ ,121212y kxk x y x k k y =⇒==+++=， 222222222{ ,2212y kxk x y y k k x =⇒==+++=，点睛：本题考查了新定义的判定与应用，解答中涉及到直线与圆，直线与椭圆，直线与抛物线的位置关系的判定及应用，着重考查了数学的转化思想方法的应用，解答此题的关键是把问题转化为判定直线与椭圆联立方程组是否有解，同时正确理解新定义是解答的基础，属于中档试题.17. （1）()11n a a n d n =+-=， 112n n n b b q -==；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，依题意题意，列出方程组，求得,d q 的值，即可得到数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）由(1)知2n n c n =⋅，利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n c 的前n 项和. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，依题意有242210{4236d q d q +=+=，解得， 21{4d q ==，又0n b >，∴2q =，于是()11n a a n d n =+-=， 112n n n b b q -==.（2）易知2n n c n =⋅,∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得()231122222122n n n n T n n ++-=++++-⋅=-⋅-∴()1122n n T n +=-⋅+，∵()()221122220n n n T n n ---⋅+=-⋅-≤，∴2122n n T n -≤⋅+.18. （1）见解析（2【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得111C D A B ⊥，结合线面垂直得11AA C D ⊥.因此可得1C D ⊥平面11ABB A ，即11C D A E ⊥.再根据1A E AD ⊥，得1A E ⊥平面1AC D ，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面11BCC B 法向量，根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得N 坐标，最后根据向量数量积求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值. &网（2）取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0B ， ()0,1,1E ，()10,1,2C -， 1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭，设11C N C D λ= 3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭，则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭ 3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，19. （1）见解析；（2）平均数200，方差150；（3）①0.6826；②68.26. 【解析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可画出频率分布直方图；（2）利用平均数和方差的计算公式，即可求得平均数x ， 2s ．（3）①由（1）知()200,150Z N ~，从而(187.8212.2)0.6826P Z <<=.②由①知，随机变量X 服从二项分布，利用公式即可求解期望． 试题解析： （1）画图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.09x =⨯+⨯ 1900.222000.332100.24+⨯+⨯+⨯ 2200.082300.02200+⨯+⨯=，()()222300.02200.09s =-⨯+-⨯()2100.2200.33+-⨯+⨯22100.24200.08+⨯+⨯2300.02150+⨯=.20. （1）22143x y +=；（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）设()12-,0),,0,0F c F c c >（，由题意可得212991-44PFPF c ⋅=+=，所以1c =. 结合椭圆的定义可得2a =. 则椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）(ⅰ)设1l 方程为()312y k x -=-，与22143x y +=联立可得12k =-. 则2l 的斜率是12.联立直线2l 方程与椭圆方程，结合韦达定理可得1212332211PM PNy y k k x x --+=+-- 0= ， PMK ∆和PNK ∆中，由正弦定理得PM MK sin PKM sin MPK =∠∠， PN NKsin PKN sin NPK=∠∠，结合几何关系可得PM KN PN KM ⋅=⋅成立. (ⅱ)由(ⅰ)知， 0PM PN k k +=， 112l k =- ， 212l k =.假设存在直线2l ，满足题意.不妨设-PM k k =， PN k k =， 0)k >（若11-,22k k -，，按某种排序构成等比数列，则-1q =，则12k =，此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，则不存在直线2l 满足题意.（2）(ⅰ)设1l 方程为()312y k x -=-，与22143x y +=联立，消y 得 ()()222243)12832120k x k k x k ++-+--=（ , 由题意知0∆=，解得12k =-.因为直线2l 与1l 的倾斜角互补，所以2l 的斜率是12.设直线2l 方程： 12y x t =+， ()1122,),,M x y N x y （，联立2212{ 143y x tx y=++=，整理得2230x tx t ++-=，由0∆>，得24t <， 12x x t +=-， 212-3x x t ⋅=； 直线PM 、PN的斜率之和1212332211PM PNy y k k x x --+=+-- ()()()()122112131311222211x t x x t x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-- ()()()()()12121222311x x t x x t x x +-+--=-- 0=所以PM PN 、关于直线1x =对称，即MPK NPK ∠=∠，在PMK ∆和PNK ∆中，由正弦定理得PM MK sin PKM sin MPK =∠∠， PN NKsin PKN sin NPK=∠∠，又因为MPK NPK ∠=∠， 180PKM PKN ∠+∠=，所以PM MKPN NK=，故PM KN PN KM ⋅=⋅成立.(ⅱ)由(ⅰ)知， 0PM PN k k +=， 112l k =- ， 212l k =.假设存在直线2l ，满足题意.不妨设-PM k k =， PNk k =，0)k >（若11-,22k k -，，按某种排序构成等比数列，设公比为q ，则-1q =或2-1q =或3-1q =. 所以-1q =，则12k =，此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，故不存在直线2l ，满足题意.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. （1）01a <≤；（2）见解析 【解析】试题分析： ()1求导得()1cos f x a x =-'，由单调性推出a 的取值范围()2①得()1sin ln 12g x x x b x =-++，求导，讨论0b <和0b >，代入30e b x -=得出结论②由函数sin y x x =-单调递增得2121sin sin x x x x ->-，证得21212ln ln x x b x x -->-，下面证明2121ln ln x x x x ->-（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x =-+'． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意， 所以0b >．取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．@网点睛：本题考查了导数的综合运用，尤其在证明不等式的过程中，运用了放缩的方法将结果求证出来，在证明2124x x b <时，也是利用了不等式关系构得到21212ln ln x x b x x -->-，然后构造新函数证明出结果，综合能力较强，本题较难。
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学(三)解析版(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ）A ．11a b<B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ． 4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭BC ．关于直线π12x =对称 D【答案】A【解析】由题意得π22T =，πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =象关于yy2ϕπ<，6ϕπ∴=-A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C1 D1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1ca ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC-，则该三棱锥的外接球半径是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①()F x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x 的图象在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，2e e 0x kx k -+-≥，当x ∈R恒成立，则2e e y x =-，下面证明()()2e ex G x x-'=，当时，()0G x '=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x e =时，()G x '取到极小值，极小值是0()2e e h x x ≤-，∴函数()f x 和()h x 故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考数学冲刺卷(3)(新课标Ⅰ卷附答案)
2018年高考数学冲刺卷（3）（新课标Ⅰ卷附答案）考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}230x x x A =-<，{}2x x B =<，则A B = （ ） A. {}|23x x << B. {}|20x x -<< C. {}|02x x << D.{}|23x x -<<2. 复数z 满足()13i z i +=-，则z =（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i - 3. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．2xy = C ．22x x y -=- D ．22x x y -=+ 4. 过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于()11,x y P ，()22Q ,x y 两点，如果126x x +=，则Q P =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．65. 设不等式组0301x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ） A ．4π B ．36π- C ．3312π+ D ．33218π+ 6. 把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图，若5N =时，则输出的数等于（ ）A ．54B ．45C ．65D ．568. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数，则a 的取值 范围是（ ）A. ()2,4B. (],2-∞C. (],4-∞D. [)4,+∞9. 已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则211y z x +=+的取值范围是（ ）A ．37,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．37,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．37,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（ ）A ．38-B ．316C ．38- D．不能确定 11. 体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体1111CD C D AB -A B 上，且与上表面1111C D A B 相切，切点为该表面的中心，则四棱锥CD O -AB 的外接球的半径为（ ） A ．103 B ．3310 C ．2 D ．23612. 已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ） A ．0102x <<B ．012x <<1C ．2220<<x D ．023x <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项是84，则实数a = .14. 观察如图等式，照此规律，第n 个等式为 ．11=2349++=3456725++++= 4567891049++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅15. 如图，∆AOB 为等腰直角三角形，1OA =，C O 为斜边AB 的高，点P 在射线C O 上，则AP⋅OP的最小值为 ．16. 在C ∆AB 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c =，2b a =，则C ∆A B 面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差 数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；。
福建省百校2018届高考临考冲刺数学理科试卷附答案
福建省百校2018届下学期临考冲刺高三数学考试卷数 学 理 科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（ ）z ()23i z i -=+z =A ．B ．C ．5102.设全集，集合，，则{}55U x x =-<<{}2450A x x x =--<{}24B x x =-<<（ ）()U C A B = A ． B ． C ． D ．(]5,2--[)4,5()5,2--()4,53.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、 十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 ．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（ ）2log 643A ．B ．C ．D ．4.若双曲线的焦距等于离心率，则（ ）()2205y x m m -=>m = A ．B ．C ．D ．12011015145.设有下面四个命题，若，则；若，则；1:p 13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()314P X ≥=2:p 13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭()718P X ≥=的中间项为；的中间项为；其中真命题为（ ）3:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭20-4:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭320x -A ． B ． C. D ．13,p p 14,p p 23,p p 24,p p 6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ． C. D ．21542ππ+2154ππ+21342ππ+2134ππ+7.已知点表示除以余，例如，，则如图所示的()mod N n m ≡N m n ()71mod 6≡()133mod 5≡程序框图的功能是（ ）A ． 求被除余且被除余的最小正整数B ．求被除余且被除余的最小正整数51737153C. 求被除余且被除余的最小正奇数 D ．求被除余且被除余的最小正奇数517371538.若，则（ ）()0,απ∈2cos 2αα+=tan 23απ⎛⎫-=⎪⎝⎭A ． ．D9.设满足约束条件，若的最大值为6，则的最大值为（ ）,x y 120y ax y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩z x y =+y x a +A ．B ． C. D ． 2324510.若函数与都在区间上单调递减，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()cos 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()(),0a b a b π<<<则的最大值为（ ） b a -A ．B ．C.D ．6π3π2π512π11.在正方体中，，以为球心，为半径的球与棱分别1111ABCD A B C D -3BE EA = E EC111,A D DD 交于两点，则二面角的正切值为（）,F G A FG E --A12.设函数，若存在互不相等的4个实数，使得()()2124,12,1x x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩1234,,,x x x x，则的取值范围为（ ）()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====a A ． B ． C. D ．()6,12[]6,12()6,18[]6,18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，，且，则 ．ABC ∆4,6AB AC ==16cos 1A =BC =14.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为 ．15.在平行四边形中，，，，且，ABCD AB AD AB AD +=- 2DE EC =CF FB = 7AE AF ⋅= 则平行四边形的面积的最大值为 ．ABCD 16. 为椭圆上一动点，分别为左、右焦点，延长至点，使得P 22:12x C y +=12,F F 1F P Q ，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于两2PQ PF =Q ΩB C 2BF Ω,M N 点，则 ．MN =三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列是等比数列，且．}n -129,36a a ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．{}2n a n -n n S18. 如图，在三棱锥中，两两垂直，，平面平面，且P ABC -,,PA PB PC ==PA AB AC //αPAB 与棱分别交于三点．α,,PC AC BC 111,,P A B （1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；A l l BC ⊥11l P A ⊥（2）过点，且与直线垂直；（3）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），αP ABC -8:19111P A B C 为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． D 1B C 1PD 11PA B19. 某大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以元/千克的价格10A 15出售，若有剩余，则将剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记8录了水果最近天的日需求量（单位：千克）整理得下表：A 50日需求量140150160170180190200频数51088775以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．50（1）若该超市一天购进水果千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的A 150A X X 分布列及其数学期望；（2）若该超市计划一天购进水果千克或千克，请以当天水果获得的利润的期望值为决A 150160A 策依据，在千克与千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以元/千克1501607的价格退回水果基地，又该选哪一个？20. 已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，，l 24y x =()()1122,,,A x y B x y 8AB <直线与抛物线交于两点，且两点在轴的两侧．l 24y x =-,M N ,M N y（1）证明：为定值；12y y （2）求直线的斜率的取值范围；l （3）已知函数在处取得最小值，求线段的中()4324854f x x x x x =-+-()0012x x x =<<m MN 点到点的距离的最小值（用表示）P ()2,0D m 21. 已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论的单调性；()f x （2）设是的两个零点，证明：．12,x x ()f x 124x x +>请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方xoy M 2cos 1sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩θ0r >N 程为（为参数，且）．1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 0t ≠（1）以曲线上的点与原点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；N O k N （2）若曲线与的两个交点为，直线与直线的斜率之积为，求的值．M N ,A B OA OB 43r 23.选修4-5：不等式选讲已知函数．()1f x x a x =---（1）当时，求不等式的解集；2a =()01f x <≤（2）若，求的取值范围．()()20,,3x f x a ∀∈+∞≤-a 试卷答案一、选择题1-5:CADAD 6-10:BDBCB 11、12：BC二、填空题13. 14.726三、解答题17.解：（1）设等比数列的公比为，则，}nq 62231q -===-，()1312n n -=-⨯故；()22n n a n =+（2），()2212,24n n n n na n an n +=+∴-=⋅+ 记，()231222122nn n T n n +=+⋅++-⋅+⋅ ()23122222122n n n T n n ++=+⋅++-⋅+⋅ ()23122222222242124n n n n n n T n n n +++++∴-=+++-⋅=--⋅=-⋅- ；()2124n n T n +∴=-⋅+故．()112444812143n n n n n S T n +++-+=+=-⋅+-18.解：（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线．BC H AH AH l证明如下：，且，平面．,PA AB PA AC ⊥⊥ AB AC A = PA ∴⊥ABC 平面平面，且平面，平面平面．//αPAB α 11PAC P A =PAB PAC PA =平面，．11P A ∴⊥ABC 11P A AH ∴⊥又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线．AB AC =H BC AH BC ⊥AHl （2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，α P ABC -8:19四面体的体积与三棱锥分成体积之比为，∴111P A B C P ABC -8:27又平面平面，．//αPAB 11123A CBC PC AC BC PC ∴===以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，A A xyz -3AB =则，()()()()()10,1,0,2,1,0,0,0,3,0,1,2,1,2,0A B P P D ,()()()11112,0,0,0,1,3,1,1,2A B PA PD ==-=-设平面的法向量为，11PA B (),,n x y z =则，即，11100n A B n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 030x y z =⎧⎨-=⎩令，得1z =()0,3,1n =则，1cos ,PD n 〈〉==直线与平面．1PD 11PA B 19. 解：（1）若水果日需求量为千克，则A 140元，()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=且，若水果日需求量不小于千克，()56800.150P X ===A 150则元，且．()1501510750X =⨯-=()75010.10.9P X ==-=故的分布列为：X X 680750P0.10.9元．()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=（2）设该超市一天购进水果160千克，当天的利润为（单位：元）A Y 则的可能取值为，即，Y 1405202,1505102,1605⨯-⨯⨯-⨯⨯660,730,800的分布列为：Y Y 660730800P0.10.20.7，()6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=因为，所以该超市应购进千克，772743>160若剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，同理可得的分布列分别为：7,X Y X 670750P0.10.9Y 640720800P0.10.20.7因为，6700.17500.96400.17200.28000.7⨯+⨯<⨯+⨯+⨯所以该超市还是应购进160千克．20.解：（1）证明：由题意可得，直线的斜率存在，故可设的方程为，l l ()()10y k x k =-≠联立，得，则为定值；()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2440ky y k --=1244k y y k -==-（2）由（1）知，，121212244,22y y y y x x k k k++=+=+=+则，即．121224248y y AB x x p k k+=++=+=+<21k >联立得：，()241y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩240x kx k -+-=两点在轴的两侧，，，,M N y ()22444160k k k k ∴∆=--=-+>40,4k k -<<故直线的斜率的取值范围为．l ()(),11,4-∞- （3）设，则，()()()1122,,,,,P x y M x y N x y 12=,222x x kx k x +==．()()212122y k x y x x x x =-∴=-=- 又，，()(),11,4k ∈-∞- 11,,2222k x ⎛⎫⎛⎫∴=∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故点的轨迹方程为，P 21122222y x x x x ⎛⎫=-<-<< ⎪⎝⎭或而，PD ===在处取得最小值，()4324854f x x x x x =-+- ()0012x x x =<<m．min PD ∴=21.解：（1），()1xf x ae '=+当时，，则在上单调递增．0a ≥()0f x '>()f x R 当时，令，得，则的单调递增区间为，0a <()0f x '>1ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭()f x 1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，得，则的单调递减区间为．()0f x '<1ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()f x 1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由得，设，则．()0f x =1x x a e -=()1x x g x e -=()2x x g x e -'=由，得；由，得．()0g x '<2x <()0g x '>2x >故的最小值．()()2min 120g x g e ==-<当时，，当时，，1x >()0g x <1x <()0g x >不妨设，则，12x x <()()121,2,2,x x ∈∈+∞等价于，且在上单调递增，124x x +>214x x >-142x -> ()g x ()2,+∞要证：，只需证，124x x +>()()214g x g x >-，()()12g x g x a == 只需证，即，()()114g x g x >-1111413x x x x e e --->即证；()12411310x e x x --+-<设，()()()2431,1,2x h x e x x x -=-+-∈则，()()24251x h x e x -'=-+令，则，，()()m x h x '=()()2442x m x e x -'=-()()1,2,0x m x '∈∴<在上单调递减，即在上单调递减，()m x ∴()1,2()h x '()1,2，在上单调递增，()()20h x h ''∴>=()h x ∴()1,2，()()()1241120,310x h x h e x x -∴<=∴-+-<从而得证．124x x +>22.解：（1）将消去参数，得（未写扣一分），1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t ()2200x y x -+=≠0x ≠由得（为参数，且）．220x y y kx -+=⎧⎨=⎩221221x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩k 12k ≠（2）曲线的普通方程为，M ()()22221x y r -+-=将代入并整理得：；221221x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩()()22221x y r -+-=()()2222164432170r k r k r -+-+-=因为直线与直线的斜率之积为，所以，OA OB 43221741643r r -=-解得，又，，21r =0r >1r ∴=将代入，得：，故．1r =()()2222164432170r k r k r -+-+-=21228160,0k k -+=∆>1r =23.解：（1）当时，因为2a =()()()21211f x x x x x =---≤---=所以的解集为，()1f x ≤R 由，得，则，即，()0f x >21x x ->-2221x x ->-224421x x x x -+>-+解得，故不等式的解集为；32x <()01f x <≤3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）当时，，()0,0,a x ≤∈+∞()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩则，又，所以．()()2max 113f x f a a ==-≤-0a ≤a ≤当时，，故不合题意，[)01,1,a x <<∈+∞()2103f x a a =->>-01a <<当时，()1,0a x ≥∈+∞()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=-当且仅当时等号成立，则，又，所以01x <≤231a a -≥-1a ≥2a ≥综上：的取值范围为．a [),2,⎛-∞+∞ ⎝。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，则U A B =ð（ ）A B C D 【答案】C(){UA B =ðC ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ． 3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ） A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】A 【解析】如图：不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>，如图所示，故选A ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =的定义域为[]0,1．正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件；②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”； ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）22正视图侧视图俯视图ABCD 【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，D ．7．在平面直角坐标系xOy中，则）． A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】设a x y =+，b x y =-，，({,A x = ∴，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积故选B ．8C )0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤，D ． 9．已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(-∞C ．(,-∞D ．⎛- ⎝【答案】B【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->，当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，a <，则a 的取值范围是(-∞，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【答案】D【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =，则PDC ∠为二面角P AB C --6PD OD ==7H R ∴=，故选C ． 12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【答案】B【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，分析可得：当01x ≤≤当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =； 则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数， 在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数，则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立，必有()()min max g x f x ≤m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．【答案】232a【解析】∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，．∴3BD CD a ⋅= 故答案为：232a ．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________． 【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13． 15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______．，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，即13OB OC ⋅≤当OB OC = 16．已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，将x c =-又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则EO c a =-，而EOA MFA △∽△整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=；（2【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分 当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-， 即112n n a a +=，····3分 又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分 ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分 （2）由（1）知，()()11nn b n =--，····7分()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分当n 为偶数时，2n nT =；····10分 当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=，分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为21．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）80243；（2）见解析． 【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，）， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率分 （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：····8分ξ的数学期望为：()1n ++- ()2n ++-①－②得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23⎛⎫++ ⎪⎝⎭2312222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．····12分19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）14． 【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分 所以BC AD ⊥．····3分又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ，32BE AB AE a =-=，分所以302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以10AD ⎛= ，，()20AC a a =-，，．设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即取1y =，则2x =，z =分 因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，····11分所以二面角D AC B --的余弦值为14．····12分 20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．xyA OBC DA依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．····1分∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=． (5)分（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符．····6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-．y 整理得()()222243168161680kx k k x k k +-+++-=．····7分∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()()()2222168443161680k kk k k ∆=+-++->，解得12k <．····8分 设()11,M x y ，()22,Nx y 21221616843k k x x k +-=+，····9分()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数） （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-． 【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()e 2e 2x x f x x ax x a '=-=-，····1分当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；····2分 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减， 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增， 在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点； 当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点．····5分 （2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）． ①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，0x ∀>在0x >上恒成立．设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分 ②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤． 设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增， ()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C经过伸缩变换： x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，且1AB =-，求α的值． 【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1 ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得1B ρ=>，11-=-，∴1cos 2α=±，而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分 23．选修4-5：不等式选讲()1g x bx =+． （1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b =因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分 （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．····10分。
【高三数学试题精选】2018年高考数学冲刺题及答案解析(理)
2018年高考数学冲刺题及答案解析(理）
5
2．1，且，求函数的解析式。
5已知函数，（为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的递增区间；
（Ⅱ）当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为
，，求证为定值，并求出该定值。
6已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证
7已知函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
8已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数 ,使不等式对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由
9设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围
10 设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围
11已知函数．
（Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值；。
福建省百校2018届高考临考冲刺数学理科试卷含答案
CU A B （）
A． 5, 2 B ． 4,5
C ． 5, 2 D． 4,5
3. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造
. 据史料推测，算筹最晚出
现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位
的数按纵式的数码摆出；
十位、千位、十万位
的数按横式的数码摆出 . 如 7738 可用算筹表示为
1
3 ； p2 :若 X
B
1 3,
，则 P
X
1
7
；
2
4
2
8
6
p3 : x2
1 x
的中间项为
20 ； p4 : x2
6
1 的中间项为 x
20x3 ；其中真命题为（）
A． p1, p3 B． p1, p4 C. p2, p3 D． p2, p4
6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（
）
1
2
A． 15
2
15
B．
42
4
2
C.
13
2
13
2
D．
42
4
7. 已知点 N n mod m 表示 N 除以 m余 n ，例如 7 1 mod6 ， 13 3 mod5 ，则如图
所示的程序框图的功能是（） 开始 n1
nn2
否
n 1 mod7 ?
是 否
n 3 mod5 ?
是
输出 n
结束
A． 求被 5 除余 1且被 7 除余 3 的最小正整数
福建省百校 2018 届下学期临考冲刺高三数学考试卷 数学理科
第Ⅰ卷（ 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 .
2018年招生全国统一考试数学理科临考冲刺卷(二)含解析
第 Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ．
1．已知集合 A= x x 2 x 3 0 ， B = x y ln 2 x ，则 A B （
2
）
A． 1,3 【答案】C
B． 1,3
C． 1, 2
D． 1, 2
2．下列命题中，正确的是（ A． x0 R ， sin x0 cos x0
）
3 2
2 2
B．复数 z1 ， z2 ， z3 C ，若 z1 z2 z2 z3 0 ，则 z1 z3 C．“ a 0 ， b 0 ”是“
b a 2 ”的充要条件 a b
）
f a f b f c ，则 a b c 的取值范围是（
A． e, 2e e
2
B．
1 2e, 2 e 2 e
C．
1 e, 2 e 2 e
D．
1 e, 2e e 2 e
2
D．命题“ x R ， x x 2 0 ”的否定是：“ x R ， x x 2 0 ”
2
【答案】D
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、 《孙子算经》、……《缉古算经》等 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古 代数学的重要文献．这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这 10 部专著 中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北 朝时期专著的概率为（ A． ） B．
福建省百校2018届高三下学期临考冲刺数学考试卷数学理科含答案-精选
福建省百校2018届下学期临考冲刺高三数学考试卷数 学 理 科 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()23i z i -=+，则z =（ ） A ．B ．5 CD ．102.设全集{}55U x x =-<<，集合{}2450A x x x =--<，{}24B x x =-<<，则()U C A B =（ ）A ．(]5,2--B ．[)4,5C ．()5,2--D ．()4,53.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 ．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则2log 643的运算结果可用算筹表示为（ ） A ．B ．C ．D ．4.若双曲线()2205y x m m -=>的焦距等于离心率，则m =（ ） A ．120 B ．110 C ．15 D ．145.设有下面四个命题，1:p 若13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()314P X ≥=；2:p 若13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()718P X ≥=；3:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的中间项为20-；4:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的中间项为320x -；其中真命题为（ ）A ． 13,p pB ．14,p p C. 23,p p D ．24,p p6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ． 21542ππ+B ．2154ππ+ C. 21342ππ+ D ．2134ππ+ 7.已知点()mod N n m ≡表示N 除以m 余n ，例如()71mod6≡，()133mod5≡，则如图所示的程序框图的功能是（ ）A ． 求被5除余1且被7除余3的最小正整数B ．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C. 求被5除余1且被7除余3的最小正奇数 D ．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数8.若()0,απ∈2cos 2αα+=，则tan 23απ⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ． 9-B ．5- C. 6D 9.设,x y 满足约束条件120y ax y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若z x y =+的最大值为6，则y x a +的最大值为（ ）π12A ．23B ．2 C. 4 D ．5 10.若函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()cos 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭都在区间()(),0a b a b π<<<上单调递减，则b a -的最大值为（ ） A ．6π B ．3π C. 2πD ．512π11.在正方体1111ABCD A B C D -中，3BE EA =，以E 为球心，EC 为半径的球与棱111,A D DD 分别交于,F G 两点，则二面角A FG E --的正切值为（ ） A．22 B．12C. 12 D．2212.设函数()()2124,12,1x x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在互不相等的4个实数1234,,,x x x x ，使得()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====，则a 的取值范围为（ ） A ．()6,12 B ．[]6,12 C. ()6,18 D ．[]6,18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在ABC ∆中，4,6AB AC ==，且16cos 1A =，则BC = ．14.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为 ．15.在平行四边形ABCD 中，AB AD AB AD +=-，2DE EC =，CF FB =，且7AE AF ⋅=，则平行四边形ABCD 的面积的最大值为 ．16. P 为椭圆22:12x C y +=上一动点，12,F F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2PQ PF =，记动点Q 的轨迹为Ω，设点B 为椭圆C 短轴上一顶点，直线2BF 与Ω交于,M N 两点，则MN = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2n a n -的前n 项和n S ．18. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，==PA AB AC ，平面//α平面PAB ，且α与棱,,PC AC BC 分别交于111,,P A B 三点．（1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明； （2）过点，且与直线垂直；（3）若α将三棱锥P ABC -分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体111P A B C 的体积更小），D 为线段1B C 的中点，求直线1P D 与平面11PA B 所成角的正弦值．19. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量（单位：千克）整理得下表：（1）若该超市一天购进A 水果150千克，记超市当天A 水果获得的利润为X （单位：元），求X 的分布列及其数学期望；（2）若该超市计划一天购进A 水果150千克或160千克，请以当天A 水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？20. 已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点且与此抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，8AB <，直线l 与抛物线24y x =-交于,M N 两点，且,M N 两点在y 轴的两侧．（1）证明：12y y 为定值； （2）求直线l 的斜率的取值范围；（3）已知函数()4324854f x x x x x =-+-在()0012x x x =<<处取得最小值m ，求线段MN 的中点P 到点()2,0D 的距离的最小值（用m 表示）21. 已知函数()1x f x x ae =-+ （1）讨论()f x 的单调性；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：124x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线M 的参数方程为2cos 1sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r >），曲线N 的参数方程为515x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，且0t ≠）． （1）以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线N 的参数方程； （2）若曲线M 与N 的两个交点为,A B ，直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，求r 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x a x =---．（1）当2a =时，求不等式()01f x <≤的解集； （2）若()()20,,3x f x a ∀∈+∞≤-，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5CADAD 6-10BDBCB 11、12：BC 二、填空题13. 714. 2615.216.三、解答题17.解：（1）设等比数列}n的公比为q，则62231q-===-，()1312nn-=-⨯，故()22nna n=+；（2）()2212,24n n nn na n a n n+=+∴-=⋅+，记()231222122n nnT n n+=+⋅++-⋅+⋅，()23122222122n nnT n n++=+⋅++-⋅+⋅()23122222222242124n nnn n nT nn n+++++∴-=+++-⋅=--⋅=-⋅-()2124nnT n+∴=-⋅+；故()112444812143n nnn nS T n+++-+=+=-⋅+-．18.解：（1）作法：取BC的中点H，连接AH，则直线AH即为要求作的直线l．证明如下：,PA AB PA AC⊥⊥，且AB AC A=，PA∴⊥平面ABC．平面//α平面PAB，且α平面11PAC P A=，平面PAB平面PAC PA=．11P A∴⊥平面ABC，11P A AH∴⊥．又AB AC=，H为BC的中点，则AH BC⊥，从而直线AH即为要求作的直线l．（2）α将三棱锥P ABC -分成体积之比为8:19的两部分，∴四面体111P A B C 的体积与三棱锥P ABC -分成体积之比为8:27，又平面//α平面PAB ，11123AC B C PC AC BC PC ∴===． 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设3AB =， 则()()()()()10,1,0,2,1,0,0,0,3,0,1,2,1,2,0A B P P D ， ()()()11112,0,0,0,1,3,1,1,2A B PA PD ==-=-, 设平面11PA B 的法向量为(),,n x y z =，则11100n A B n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030x y z =⎧⎨-=⎩，令1z =，得()0,3,1n =则1cos ,30PD n 〈〉==， 直线1P D 与平面11PA B． 19. 解：（1）若A 水果日需求量为140千克，则()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=元，且()56800.150P X ===，若A 水果日需求量不小于150千克， 则()1501510750X =⨯-=元，且()75010.10.9P X ==-=． 故X 的分布列为：6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元．（2）设该超市一天购进A 水果160千克，当天的利润为Y （单位：元） 则Y 的可能取值为1405202,1505102,1605⨯-⨯⨯-⨯⨯，即660,730,800，Y 的分布列为：6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=，因为772743>，所以该超市应购进160千克，若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得,X Y 的分布列分别为：0.7⨯， 所以该超市还是应购进160千克．20.解：（1）证明：由题意可得，直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2440ky y k --=，则1244k y y k -==-为定值；（2）由（1）知，121212244,22y y y y x x k k k++=+=+=+， 则121224248y y AB x x p k k+=++=+=+<，即21k >． 联立()241y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得：240x kx k -+-=，,M N 两点在y 轴的两侧，()22444160k k k k ∴∆=--=-+>，40,4k k -<<，故直线l 的斜率的取值范围为()(),11,4-∞-．（3）设()()()1122,,,,,P x y M x y N x y ，则12=,222x x kx k x +==， ()()212122y k x y x x x x =-∴=-=-．又()(),11,4k ∈-∞-，11,,2222k x ⎛⎫⎛⎫∴=∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点P 的轨迹方程为21122222y x x x x ⎛⎫=-<-<< ⎪⎝⎭或，而PD ===()4324854f x x x x x =-+-在()0012x x x =<<处取得最小值m ，min PD ∴=21.解：（1）()1xf x ae '=+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：由()0f x =得1x x a e -=，设()1x x g x e -=，则()2xx g x e-'=． 由()0g x '<，得2x <；由()0g x '>，得2x >． 故()()2min 120g x g e==-<的最小值． 当1x >时，()0g x <，当1x <时，()0g x >， 不妨设12x x <，则()()121,2,2,x x ∈∈+∞，124x x +>等价于214x x >-，142x ->且()g x 在()2,+∞上单调递增，要证：124x x +>，只需证()()214g x g x >-，()()12g x g x a ==，只需证()()114g x g x >-，即1111413x x x x e e--->，即证()12411310x ex x --+-<；设()()()2431,1,2x h x e x x x -=-+-∈， 则()()24251x h x e x -'=-+，令()()m x h x '=，则()()2442x m x e x -'=-，()()1,2,0x m x '∈∴<，()m x ∴在()1,2上单调递减，即()h x '在()1,2上单调递减， ()()20h x h ''∴>=，()h x ∴在()1,2上单调递增， ()()()1241120,310x h x h e x x -∴<=∴-+-<，从而124x x +>得证．22.解：（1）将1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得()2200x y x -+=≠（未写0x ≠扣一分）， 由220x y y kx -+=⎧⎨=⎩得221221x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（k 为参数，且12k ≠）．（2）曲线M 的普通方程为()()22221x y r -+-=，将221221x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩代入()()22221x y r -+-=并整理得：()()2222164432170r k rk r -+-+-=；因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，所以221741643r r -=-， 解得21r =，又0r >，1r ∴=， 将1r =代入()()2222164432170rk rk r -+-+-=，得：21228160,0k k -+=∆>，故1r =．23.解：（1）当2a =时，因为()()()21211f x x x x x =---≤---= 所以()1f x ≤的解集为R ，由()0f x >，得21x x ->-，则2221x x ->-，即224421x x x x -+>-+， 解得32x <，故不等式()01f x <≤的解集为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）当()0,0,a x ≤∈+∞时，()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩，则()()2max 113f x f a a ==-≤-，又0a ≤，所以a ≤． 当[)01,1,a x <<∈+∞时，()2103f x a a =->>-，故01a <<不合题意， 当()1,0a x ≥∈+∞时，()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=- 当且仅当01x <≤时等号成立，则231a a -≥-，又1a ≥，所以2a ≥综上：a 的取值范围为[),2,⎛-∞+∞ ⎝⎦．。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(九)理科数学(含解析)
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(九)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】p ：22a b a b >⇔>，q a b >与a b >没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选D ．2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选B ． 3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种 B ．16种 C ．12种 D ．10种【答案】C【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12⨯种，故选C ．4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2【答案】A 【解析】如图，过()2,0时，2z x y =-+取最小值，为4-．故选A ．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5 BCD．【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA ⊥平面A B C D ，∴3PA =，4AB CD ==，5AD BC ==，∴，D ．6． )())0,π大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】)())0,π是偶函数，故它的图象关于y 轴对称，再由当x 趋于π时，函数值趋于零，故答案为：D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ）A ．14 B ．15C ．12D ．34【答案】D【解析】k ∈Z k ∈Z ，∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在D ．8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37【答案】A【解析】由框图可知{}3,0,1,8,15A =-，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数”为事件E ，当函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数时，0a ＞，事件E 包含基本事件的个数为3A ．开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设12x x <，函数2x y =为单调增函数，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则12112y y -=-，即121y y +=．有12221x x +=．由基本不等式得：122x x +<-．（因为12x x ≠，等号取不到）．故选B ．10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π【答案】C【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则22222254 3a b a c b c +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，三式相加得：2226a b c ++=，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：246R π=π．11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【答案】A【解析】由题意可得()21232n n n f x a x a x a ++=--'，∵1x =是函数()f x 的极值点， ∴()121320n n n f a a a ++=-'-=，即21320n n n a a a ++-+=．∴()2112n n n n a a a a +++-=-， ∴211a a -=，32212a a -=⨯=，243222a a -=⨯=，，212n n n a a ---=，以上各式累加可得12n n a -=．∴212log log 2n n n b a n +===． ∴122320182018b b b b b b +++12018++⨯∴1223201820192018201820182017b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．选A ．12[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1- D ．(]0,+∞【答案】C【解析】当0a >在区间[]0,1上单调递增， 在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件．，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知i 为虚数单位，则．14．已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________． 【答案】212【解析】3528a q a ==-，2q =-，则2112a a q ==-，()()()661611212121122a q S q ⎡⎤----⎣⎦===---．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为__________． 【答案】92【解析】如图所示：设AE 与AF 的夹角为θ，则221|||c o s2||c o s AE AF A E A F A F θθ⎛⎫⋅==+ ⎪，由投影的定义知，只有点F 取点C cos AF θ取得最大值．()19=22,1AE AF ⎛⎫∴⋅⋅= ⎪，,故填92．16．设F 为双曲线C ：22221x y a b -=(0a ＞，0b ＞)的右焦点，过F l 与双曲线C的两条渐近线分别交于A ，B 2AF BF =，则双曲线C 的离心率为_____． 【答案】2【解析】若2AF BF =-，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为ba-，l OB ⊥，在Rt OBA △中，由角平分线定理可得2OA FA OBFB==，所以60AOB ∠=︒，30xOA ∠=︒，所以b a =，c e a ===．若2A F B F =，则由图2可知，渐近线OB 为AOF △边AF 的垂直平分线，故AOF △为等腰三角形，故可以求出OA c =，根据l 的方程：()0ay x c b-=-和准线方程：b y x a =，可以求出点22222,a c abc A a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据OAc =，求出b a=2c e a ===，即该双曲线的离心率为2． yxOF AB图1lyxOFA B 图2l三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17（1）求()f x 的最大值、最小值；（2）CD 为ABC △的内角平分线，已知()max AC f x =，()min BC f x =，CD C ∠． 【答案】（1）()max 6f x =，()min 3f x =；（2【解析】（1······3分（2）ADC △中，，BDC △中， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =， ∵2AD BD = (9)分BCD △中， ACD △中，2446822CAD =-=-，∴cos22C =······12分 18．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？ （2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人．从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X 的分布列和数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++()n a b c d =+++【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关；（2）见解析． 【解析】（1）()2502511598104663530201634K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．·······3分所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关． (4)分（2）X 可取0，1，2，3．·······6分3639(502)1C P X C ===，·······7分 12363915)128(C C P X C ===，·······8分 2136393()214C C P X C ===，·······9分 3339(138)4C P X C ===，·······10分 所以X 的分布列为()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．·······12分 19．如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD中，BC AD ∥，AB AD ⊥，且22PA AD AB BC ====，M 为AD 的中点． （1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）问在棱PD 上是否存在点Q ，使PD ⊥平面CMQ ，若存在，请求出二面角P CM Q --的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在Q ． 【解析】∴以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示：22PA AD AB BC ====，()0,0,0A ，()200B ,,，()2,1,0C ，()020D ,,，()002P ,,， ()020AD =,,，()002AP =,,，M 为AD 的中点，∴()0,1,0M ，()200MC =,,．·······2分（1）0MC AD ⋅=，0MC AP ⋅=， ∴CM PA ⊥，CM AD ⊥．·······4分PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PAAD A =，∴CM ⊥平面PAD ．·······5分CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．·······6分 （2）存在点Q 使PD ⊥平面CMQ ，在PAD △内，过M 做MQ PD ⊥垂足为Q ， 由（1）CM ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CM PD ∴⊥， MQ CM M =，PD ∴⊥平面CMQ ，·······8分 设平面PCM 的一个法向量为()x y z =,,n ，则200MC x x ⋅==⇒=n ，()()012202PM x y z y z y z ⋅=⋅-=-=⇒=,,,,n ， 取()02,1=,n ．·······10分PD ⊥平面CMQ ，()022PD =-,,是平面CMQ 的一个法向量．·······11分 由图形知二面角P CM Q --的平面角θ是锐角， 25PD PD⋅=所以二面角余弦值为10·······12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±；（2）见解析．【解析】（1）设动点(),M x y 3MB yk x =-()3x ≠±，MA MB k k ⋅·······2分 即1339y x x ⋅=-+-． 化简得：2219x y +=，由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．·······4分（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22199x my x y =++=⎧⎨⎩， 消去x 得()229280m y my ++-=,设()11,P x y ，()22,Q x y ·······6分 直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y y k x s my s==-+-，·······8分 ()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-．·······10分当3s =3s=- 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．·······12分 21．已知函数()22ln f x x x a x =--，()g x ax =． （1）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （2对0x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()22ln F x x x a x ax =--+，()()21x a x x+-，·······1分∵()F x 的定义域为()0,+∞．即0a ≥时，()F x 在()0,1上递减，()F x 在()1,+∞上递增，()1F x a =-极小，()F x 无极大值．·······2分 ②012a <-<即20a -<<时，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小．·······3分 ③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值．·······4分 ④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小·······5分综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．··6分（2设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()2122tt t ϕ+=+∴()t ϕ在[]1,1-上递增，∴()t ϕ的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，·······8分时，()0h x '≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数，∴()()00h x h =≥，适合条件．·······9分②当0a ≤时，∵·······10分③当103a <<)sin 3xx ax <-， 令()sin 3x T x ax =-()00,x x ∈时，()0T x '<，∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=， 即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件．综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：极坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1Cα为参数),将曲线1C 上各点的横坐标都缩短为原来的12倍,倍,得到曲线2C ,在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的极坐标方程为（1）求直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点Q 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最大值． 【答案】（1）40x y -+=，221x y +=（2）1【解析】（1）因为直线l所以有cos sin 40ρθρθ-+=，即直线l 的直角坐标方程为：40x y -+=·······2分因为曲线1Cα为参数),经过变换后为cos sin x y αα==⎧⎨⎩(α为参数) 所以化为直角坐标方程为：221x y +=·······5分（2）因为点Q 在曲线2C 上,故可设点Q 的坐标为()cos ,sin αα，从而点Q 到直线l······8分由此得,,d 取得最大值,且最大值为1·······10分23．选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x x =++-，()254g x x x =-+-． （1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈时，证明：()()3f x g x +≤．【答案】（1）{|23}M x x =-≤≤（2）见解析 【解析】（1则有1240x x -+⎧⎨⎩≤≥①或12 20x -<<-⎧⎨⎩≤②或2260x x -⎧⎨⎩≥≤③·······3分 解①得21x --≤≤，解②得12x -<<，解③得23x ≤≤， 则不等式的解集为{|23}M x x =-≤≤．·······5分（2）()20540g x x x ⇔-+≥≤，解得14x ≤≤，则{|14}N x x =≤≤，所以{|13}MN x x =≤≤．当12x ≤≤时，()3f x =，()()225935424f x g x x x x ⎛⎫--=-+=-- ⎪⎝⎭，，则()()3f x g x +≤成立．当23x <≤时，()26f x x =-，，则()()3f x g x <+． 综上，()()3f x g x +≤成立．·······10分。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)理科数学含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足ii z z+=，则z =（ ） A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--【答案】A【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由已知有i i z z +=，()1i i a b b a ++=-+，所以1a b b a =-+=⎧⎨⎩，解得1212a b ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，所以11i 22z =-，故11i 22z =+，选A ． 2．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=UA B ð（ ） A ．∅ B ．RC ．{}|0x x >D ．{}0【答案】C【解析】由题意得U =R ，{}|0A x x =>，因为20x y =-<，所以{|0}B y y =<，所以{|0}U B x x =≥ð，故(){}|0UAB x x =>ð，故选C ．3．设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若(4)(0)P X P X >=<，则μ=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为(4)(0)P X P X >=<，所以2μ=．故选：B ．4．当点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ）A B ．0C ．1-D ．1【答案】C【解析】直线120mx y m -+-=过定点1(2)Q ，，所以点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，PQ 垂直直线，1m ∴=-，选C ． 5．函数()()1cos sin f x x x =+在[]π,π-上的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()()()1cos sin f x x x f x -=-+=-，所以()f x 是奇函数，故C 错误；故D 错误；()222sin cos cos 2cos cos 1f x x x x x x '=-++=+-，可以取到极值，所以A 正确．故选A ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）正（主）视图左视图俯视图AB．C ．3D．【答案】C【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AD 的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥11D MB C ，故通过计算可得1111D C D B B C ===，1D M MC ==13MB =，故最长棱的长度为3，故选C ．ABC DA 1B 1C 1D 1M7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900-【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==-，故选B ． 8．设0ω>则ω的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．3D ．32【答案】D【解析】k ∈Zk ∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值是31322⨯=，故选D ．9．执行如图所示的程序框图，若输入1m =，3n =，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为（ ）A ．1m n -<B ．0.5m n -<C ．0.2m n -<D ．0.1m n -<【答案】B【解析】由程序框图，得程序运行过程为：1m =，3n =，2x =，2230->，1m =，2n =，1m n -=；1m =，2n =， 1.5x =，21.530-<， 1.5m =，2n =，0.5m n -=；1.5m =，2n =， 1.75x =，21.7530->， 1.5m =， 1.75n =，0.25m n -=；因为输出的结果为 1.75x =，所以判断框内应填“0.5m n -<”．故选B ．10．（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),e -∞CD【答案】C【解析】()0,+∞()0,+∞上恒成立，0x >，当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．故当2x =时，()g x 取得m C ．11．设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数x ，y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()*11n n n f S f a f a n =++-∈N ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（ ） A ．136B ．9C ．18D ．36【答案】C【解析】()f x 是定义域在()0+∞，上的单调函数，数列{}n a 各项为正数，①当1n =时，可得11a =；当2n ≥∴()()1110n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴110n n a a ---=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 为等差数列，11a =，1d =；∴()111n a n n =+-⨯=，即n a n =，所以1818a =，故选C ．12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距2c ，以右顶点A 为圆心的圆与直线:0l x c +=相切于点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．【答案】C【解析】由直线方程可得直线:0l x c +=过双曲线的左焦点，倾斜角为30︒，直线与圆相切，则：AN l ⊥，即1ANF △是直角三角形，结合1AF a c =+，可得：)N y a c =+，联立直线:0l x c -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的方程可得：()2222222230bay cy b c b a --+-=，则：122N y y y +==，)a c +=，结合222b c a =-，整理可得：323340c ac a -+=，据此可得关于离心率的方程：32340e e -+=，即()()2120e e +-=，∵双曲线中1e >，2e ∴=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量a ，b ，1=b ． 【答案】2填2．14．已知实数x ，y 满足条件1,4,20,x y x y x y --+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若存在实数a 使得函数(0)z ax y a =+<取到最大值()z a 的解有无数个，则a =_________． 【答案】1-【解析】由约束条件画出可行域如下图，()1.5,2.5A ，84,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,1C --，目标函数可化为y ax z =-+，0k a =->1AC k =，取最大值即截距最大，且有无数个解，所以目标函数与边界重合，当12k a =-=，截距为最小值，不符，当1k a =-=时，符合．1a =-，max 1z =，填1-．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等腰直角三角形，2AB BC ==，11AA =，若E 、F 、D 分别是棱AB 、CB 、11A C 的中点，则下列四个命题： ①1B E FD ⊥；②三棱锥1A BCC -的外接球的表面积为9π；③三棱锥1B DEF -的体积为13；④直线1C E 与平面ABC其中正确的命题有__________．（把所有正确命题的序号填在答题卡上） 【答案】①②③【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱111ABC A B C -：其中，底面为等腰直角三角形，2AB BC ==，11AA =，E 、F 、D 分别是棱AB 、CB 、11A C 的中点．对于①，取11A B 中点G ，连接EG ，BG 交1B E 于点O ，连接DG ． ∵E 为AB 中点，2AB =，11AA =，∴四边形1BEGB 为正方形，则1BG B E ⊥， 在111A B C △中，D ，G 分别为11A B ，11A C 的中点，则DG ∥11B C ，且1112DG B C =．∵F 为BC 的中点，且BC ∥11B C ，∴BF ∥DG 且BF DG =，∴四边形DFBG 为平行四边形，∴DF ∥BG ，∴1B E FD ⊥，故正确；对于②，易得1BC =，则221459AB BC +=+=．∵22211819AC AC CC =+=+=，∴22211AB BC AC += ∴三棱锥1A BCC -的外接球的球心在线段1AC 的中点处，则外接球的半径为32，∴三棱锥1A BCC -对于③，易得1B D =EF =．在Rt DGE △中，11112DG B C ==，11EG AA ==，DE ==DF =1B DEF -为正四面体，其体积为111323V =⨯=，故正确；对于④，直线1C E 在平面ABC 上的投影为直线CE ，则1CEC ∠为直线1C E 与平面ABC 所成的角，在1Rt C CE △中，11tan CC CEC CE∠===≠不正确．故答案为①②③．16()()3F x f x =-的所有零点依次记为123123,,,,...n n x x x x x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=__________． 【答案】445πk ∈Zk ∈Z1n -项构成以首项π为公差的等差数列，第1n -项所以，解得31n =，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-．（1）求角C 的大小；（2）若()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）且2a =，求ABC △的面积．【答案】（1）6C π=；（2）ABC S =△．【解析】（1）由sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-得：222sin C a b c =+-，2222a b c C ab +-=cos C C =，∴tan C =，∴6C π=．·······6分 （2）由()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），得sin cos a B b A =，由正弦定理得sin cos A A =，∴4A π=． 根据正弦定理可得2sin sin 46c =ππ，解得c =∴()11sin 22246ABC S ac B A C ππ⎛⎫==⨯π--=+=⎪⎝⎭△····12分 18． 2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目．市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”．调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于75％即可启用该“方案”；④用样本的频率代替概率．（1）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由．（2）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记ξ为群众督查员中的老人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004105+⨯=，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为15，·······2分现从中抽取5人恰有2·4分根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.0300.0160.00410+++⨯0.780.75=>，根据相关规则该市应启用该“方案”．·····6分（2）因为评分低于60分的被调查者中，老年人占13，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，所以这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3·······7分()033639C C 50C 21P ξ⋅===，()123639C C 151C 28P ξ⋅===， ()213639C C 32C 14P ξ⋅===，()303639C C 13C 84P ξ⋅===．·······11分 ξ的分布列为：ξ的数学期望515310123121281484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．·······12分 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，36AD BC ==，PB =M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由6AD =，4DM =，可得2AM =， 易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，·······1分又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥，·······2分 又PAAD A =，PA ，AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ，·······4分又CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ·······5分（2）四棱锥P ABCD -的体积为()114323V AD BC AB PA AB PA =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅取得最大值． 由条件可得22272PA AB PB +==， ∴722PA AB ⋅≥，即36PA AB ⋅≤，当且仅当6PA AB ==时，PA AB ⋅取得最大值36．·······7分分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．则()6,0,0P ，()0,6,2C ，()0,0,6D ，()0,0,2M ，()6,6,2PC =-，()6,0,6PD =-，()6,0,2PM =-，·······8分 设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由10n PC ⋅=，10n PD ⋅=可得111116620660x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令13x =，可得()13,2,3n =，·······9分 同理可得平面PCM 的一个法向量为()21,0,3n =，·······10分 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ1210n nn n ⋅=⋅ 由于平面PCM 与平面PCD ·······12分 20．已知四边形ABCD 的四个顶点在椭圆C ：2213x y +=上，对角线AC 所在直线的斜率为1-，且AB AD =，CB CD =．（1）当点B 为椭圆C 的上顶点时，求AC 所在直线方程； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）12y x =--；（2）3．【解析】（1）因为AB AD =，CB CD =，所以对角线AC 垂直平分线段BD ． 因为直线AC 的斜率为1-，则直线BD 所在直线的斜率为1．又因为()01B ，，则直线BD 所在直线方程为1y x =+．·······1分 由22331x y y x +==+⎧⎨⎩，解得3122D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，·······2分 则BD 中点P 的坐标为3144⎛⎫- ⎪⎝⎭，·······3分所以AC 所在直线方程为12y x =--；·······4分（2）设AC ，BD 所在直线方程分别为y x m =-+，y x n =+，()11B x y ，，()22D x y ，，BD 中点()00P x y ，． 由2233x y y x n ⎧+=⎨=+⎩，得2246330x nx n ++-=， 令248120n ∆=->，得24n <，1232nx x +=-，212334n x x -=·······6分 则BD ==同理AC =，·······8分······9分又因为120324x x x n +==-，所以BD 中点3144P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 由点P 在直线AC 上，得2n m =-，所以12ABCDS AC BD ==四边形·······11分因为24n <，所以201m <≤，所以当0m =时，四边形ABCD 的面积最大，最大面积为3．·······12分 21．已知函数()()()ln f x x x ax a =-∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）设()()21g x ax a x a =--+，若对任意的()1,x ∈+∞，都有()()0f x g x +>，求整数a 的最大值．【答案】（1（2）3．【解析】（1）当0a =时，()ln f x x x =，定义域为()0,+∞．()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，可得·······2分列表：所以，函数()f x ·······5分（2）由题意()()0f x g x +>对任意的()1,x ∈+∞恒成立， 可得()ln 10x x a x a --+>对任意的()1,x ∈+∞恒成立． 即ln 1x x xa x +<-对任意的()1,x ∈+∞恒成立．()*记()ln 1x x xx x ϕ+=-·······6分设()2ln t x x x =--()t x 在()1,+∞是单调增函数， 又()31ln30t =-<，()42ln40t =->，且()t x 在[]3,4上的图象是不间断的，所以，存在唯一的实数()03,4x ∈，使得()00t x =，·······8分 当01x x <<时，()0t x <，()0x ϕ'<，()x ϕ在()01,x 上递减； 当0x x >时，()0t x >，()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,x +∞上递增． 所以当0x x =时，()x ϕ有极小值，即为最小值()00000ln 1x x x x x ϕ+=-，·······10分00ln 2x x =-，所以()000000ln 1x x x x x x ϕ+==-，由()*知，0a x <，又()03,4x ∈，a ∈Z ，所以整数a 的最大值为3．·······12分 （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos sin (0)m m ρθθ+=>．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点．且6OA OM ON ⋅⋅=，求m ．【答案】（1）22cos 30ρρθ--=；（2）m =． 【解析】（1）∵()2214x y -+=，∴22230x y x +--=， 故曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．·······5分 （2）将代入cos sin m ρθρθ+=，得ρ=．将代入22cos 30ρρθ--=，得123ρρ=-，则·3OM ON =，则36=，∴m =．·······10分23．选修4－5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =--+． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若x ∀∈R ，都有m 的取值范围．【答案】（1）3；（28,3⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．【解析】（1所以()f x 的最大值是3．····5分（2）x ∀∈R ，5m +恒成立，，即2m - 当5m <-时，等价于()()21512m m ---+≥，解得 时，等价于()()21512m m --++≥，化简得6m -≤，无解；当12m >时，等价于21512m m -++≥，解得综上，实数m 168,,33⎤⎡⎫-+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．·······10分。
福建百校2018届高三数学临考冲刺试卷理科有答案
福建百校2018届高三数学临考冲刺试卷（理科有答案）福建省百校2018届下学期临考冲刺高三数学考试卷数学理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A．B．C．D．2.设全集，集合，，则（）A．B．C．D．3.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）A．B．C．D．4.若双曲线的焦距等于离心率，则（）A．B．C．D．5.设有下面四个命题，若，则；若，则；的中间项为；的中间项为；其中真命题为（）A．B．C.D．6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（）A．B．C.D．7.已知点表示除以余，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求被除余且被除余的最小正整数B．求被除余且被除余的最小正整数C.求被除余且被除余的最小正奇数D．求被除余且被除余的最小正奇数8.若，且，则（）A．B．C.D．9.设满足约束条件，若的最大值为6，则的最大值为（）A．B．C.D．10.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（）A．B．C.D．11.在正方体中，，以为球心，为半径的球与棱分别交于两点，则二面角的正切值为（）A．B．C.D．12.设函数，若存在互不相等的4个实数，使得，则的取值范围为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，，且，则．14.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为．15.在平行四边形中，，，，且，则平行四边形的面积的最大值为．16.为椭圆上一动点，分别为左、右焦点，延长至点，使得，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于两点，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18.如图，在三棱锥中，两两垂直，，平面平面，且与棱分别交于三点．（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；（2）过点，且与直线垂直；（3）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．19.某大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近天的日需求量（单位：千克）整理得下表：日需求量140150160170180190200频数51088775以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．（1）若该超市一天购进水果千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列及其数学期望；（2）若该超市计划一天购进水果千克或千克，请以当天水果获得的利润的期望值为决策依据，在千克与千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？20.已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，，直线与抛物线交于两点，且两点在轴的两侧．（1）证明：为定值；（2）求直线的斜率的取值范围；（3）已知函数在处取得最小值，求线段的中点到点的距离的最小值（用表示）21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数，且）．（1）以曲线上的点与原点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；（2）若曲线与的两个交点为，直线与直线的斜率之积为，求的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:CADAD6-10:BDBCB11、12：BC二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（1）设等比数列的公比为，则，从而，故；（2），记，；故．18.解：（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线．证明如下：，且，平面．平面平面，且平面，平面平面．平面，．又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线．（2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，四面体的体积与三棱锥分成体积之比为，又平面平面，．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，,设平面的法向量为，则，即，令，得则，直线与平面所成角的正弦值为．19.解：（1）若水果日需求量为千克，则元，且，若水果日需求量不小于千克，则元，且．故的分布列为：6807500.10.9元．（2）设该超市一天购进水果160千克，当天的利润为（单位：元）则的可能取值为，即，的分布列为：6607308000.10.20.7，因为，所以该超市应购进千克，若剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，同理可得的分布列分别为：6707500.10.96407208000.10.20.7因为，所以该超市还是应购进160千克．20.解：（1）证明：由题意可得，直线的斜率存在，故可设的方程为，联立，得，则为定值；（2）由（1）知，，则，即．联立得：，两点在轴的两侧，，，故直线的斜率的取值范围为．（3）设，则，．又，，故点的轨迹方程为，而，在处取得最小值，．21.解：（1），当时，，则在上单调递增．当时，令，得，则的单调递增区间为，令，得，则的单调递减区间为．（2）证明：由得，设，则．由，得；由，得．故的最小值．当时，，当时，，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，，只需证，即，即证；设，则，令，则，，在上单调递减，即在上单调递减，，在上单调递增，，从而得证．22.解：（1）将消去参数，得（未写扣一分），由得（为参数，且）．（2）曲线的普通方程为，将代入并整理得：；因为直线与直线的斜率之积为，所以，解得，又，，将代入，得：，故．23.解：（1）当时，因为所以的解集为，由，得，则，即，解得，故不等式的解集为；（2）当时，，。
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学(三)解析版(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ． 4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）ABCD【答案】A【解析】πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =图象关于yy2ϕπ<，6ϕπ∴=-A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)班级 姓 准考证号 考场 座位号得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） ABC1D1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1ca ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①()F x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，当x ∈R恒成立，则时，()0G x'=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x =时，()G x '取到极小值，极小值是0，也∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届高考高三数学(理科)冲刺试题(八)含解析
绝密★启用前高三数学（理科）新课标版冲刺试题（八）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U 是实数集R ，函数()2ln 4y x =-的定义域为M ，()1,3N =，则()U N C M ⋂=（ ）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|2}x x <D ．{|12}x x <≤ 2．设复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ）A ．2i --B ．1i --C ．2i -+D ．1i -+3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．22π+B ．322π+C ．2π+D ．22π+ 4．已知命题p ：0n N ∃∈，0303n n >，则p ⌝为 （ ）A ．n N ∀∈，33n n >B ．0n N ∃∈，0303n n ≤ C ．n N ∀∈，33n n ≤ D ．0n N ∃∈，0303n n =5．《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是（ ） A ．6766升、4133升 B ．2升、3升 C ．322升、3733升 D ．6766升、3733升 6．将函数()()s i n fx xωϕ=+ (0,)2πωϕ><的图像向右平移6π个单位后，得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则函数()f x 的单调增区间为 （ ）A ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦7．已知函数()f x 是[]2,26m m -- (m R ∈)上的偶函数，且()f x 在[]2,0m -上单调递减，则()f x 的解析式不可能为 （ ）A ．()2f x x m =+B ．()xf x m =- C ．()mf x x = D ．()()log 1m f x x =+8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为 （ ）A B C D9．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，BC =m 满足23m AB AC --=，则m 的最大值与最小值的和为 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1010．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另外一条渐近线交于点B ，若2AB a =，则ba= （ ）A ．2B ．12 C D 11．已知函数()()()()223x f x x m ae mm R =-+-∈的最小值为910，则正实数a = A ．3 B ．23e - C ．23e D ．3或23e - （ ） 12．已知函数()()22log (0){220x x f x x x x >=++≤，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，若函数()()F x f x kx =- ()x D ∈有零点，则k的取值范围是（ ） A ．10,ln2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．11,2ln2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．30,ln2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,2ln2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设实数x ，y 满足{62 1x yy x x ≤≤-≥，则2z x y =-+的最小值为 ．14．函数()2cos 2f x x x =- 0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________． 15．设函数()()()1,0{,0x x x f x f x x -≥=--<，则满足()()12f x f x +-<的x 的取值范围是_____________． 16．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3A B Ca b a+=． （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆B 是钝角，求b 的最小值．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥F ABCD -中，底面ABCD 为边长是2的方形，E ，G 分别是CD ，AF 的中点，4AF =，FAE BAE ∠=∠，且二面角F AE B --的大小为90︒． （1）求证：AE BG ⊥；（2）求二面角B AF E --的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂生产的10000件产品的质量评分服从正态分布()115,25N ．现从中随机抽取了50件产品的评分情况，结果这50件产品的评分全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[)80,90，第二组[)90,100，，第六组[]130,140，得到如下图所示的频率分布直方图．（1）试用样本估计该工厂产品评分的平均分（同一组中的数据用该区间的中间值作代表）； （2）这50件产品中评分在120分（含120分）以上的产品中任意抽取3件，该3件在全部产品中评分为前13名的件数记为X ，求X 的分布列．附：若()2,X N μσ~，则()0P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．20．（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A 、B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，90EAB ∠=︒． （1）求p 的值；（2）已知点P 的纵坐标为1-且在C 上，Q 、R 是C 上异于点P 的另两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为1-，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()22ln 12x f x x ax =+--． （1）若2a =，求证：()0f x ≤；（2）若存在00x >，当()00,x x ∈时，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线l 的参数方程为0{ x tcos y y tsin αα==+（t 为参数，α为I 的倾斜角），曲线E 的根坐标方程为4sin ρθ=，射线θβ=，+6πθβ=，6πθβ=-与曲线E 分别交于不同于极点的,,A B C 三点．（1）求证：OB OC OA +=； （2）当3πβ=时，直线l 过B ，C 两点，求0y 与α的值．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()1f x x =-．（1）解不等式()()246f x f x ++≥；（2）若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．1．D 【解析】{}()()240,22,M x x =-=-∞-⋃+∞，所以()()[](]1,32,21,2U N C M ⋂=⋂-=，选D ．2．A 【解析】∵()11z i i +=-，∴111iz i i-+==--，则2z i =--，故选A ． 3．A 【解析】根据三视图可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，长方体的棱长分别为1，2，1，其体积11212V =⨯⨯=；圆柱的底面半径为1，高为1，其体积()2211122V ππ=⨯⨯⨯=，则该几何体的体积为1222V V V π=+=+．故选A ．学#4．C 【解析】∵命题p ：0n N ∃∈，0303n n >，∴n N ∀∈，33n n ≤，故选C ．5．D 【解析】设从上而下，记第节的容量为i a 升，故12343a a a a +++=，7894a a a ++=，设公差为d ，则有11151{ 463a d a d -=-+=，解得11322{766a d ==，故56766a =，63733a =，选D ． 点睛：对于数学文化题，我们要善于把枯涩的文字数字化，再运用数学知识去解决． 6．A 【解析】由题意可得()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+，得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即函数()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选A ．8．A【解析】由球体积3433R π=知球半径为R ，设ABC 的外心为M ，由正弦定理22sin3AM π=得AM =，由2222PA AM ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得PA =，设AB 的中点为N ，则CN ⊥平面PAB ，连接PN ，则CPN ∠为直线与平面所成的角，PN ==，CN =，tan 11CN CPN PN ∠==，故选A ． 9．D 【解析】由2AB =，3AC =，BC =222BC AB AC =+，即A 为直角，以A 点为原点，AB 为轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,3C ，设m 的终点坐标为(),x y ，∵23m AB AC --=，∴()()22439x y -+-=，故m 的最大值与最小值分别为圆()()22439x y -+-=上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为538+=，最小值为532-=，即之和为10，故选D ．点睛：本题主要考查了坐标法在向量中的应用，向量的几何意义，建立适当的坐标系可将题意转化为圆上的动点到圆外一定点距离的最大值和最小值，最大值为点到圆心的距离加上半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．点睛：本题考查的是双曲线的简单性质，是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，依据题目条件，设直线方程，联立直线与曲线方程求出点坐标，再根据图形转化为倾斜角问题，本题需要一定的计算量．11．D 【解析】函数()()()()223xf x x m ae mm R =-+-∈，表示两点3xPx ae Q m m （，），（，） 之间的距离的平方．分别令3x f x ae g x x ==（），（）． 'x f x ae =（），令03x ae=，解得03lnx a=，可得3ln 3P a （，）． 则点3ln 3P a （，）到直线3y x =的距离22233ln 310a d ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎝⎭，．由题意2d 的最小值为910，即233ln 391010a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，即得3a = 或23a e -=，故选D ． 12．B 【解析】作出函数()()22log x (0)f x {x 220x x x >=++≤的图象如图，点睛：本题考查函利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，较难；作出函数的图象，可知D ，把题意转化为y kx =与()y f x =在(]24，上有交点，然后利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围．13．2-【解析】实数x ,y 满足{62 1x yy x x ≤≤-≥的平面区域如图：目标函数z 2x y =-+经过B 时最小，解{ 62y x y x==-得()2,2B ，所以最小值为2222-⨯+=-． 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．15．(),2-∞【解析】（1）当1x ≥时，()()()()()11122f x f x x x x x +-=-+--<解得2x <，即12x ≤<(2)当01x ≤<时，()()()()11102f x f x x x x x +-=-+-=<，满足题意(3)当0x <时，()()()()211122f x f x x x x x x +-=--+-=-<恒成立 综上的取值范围是(),2-∞点睛：本题考查了分段函数求解不等式问题，尤其注意当0x <时的解析式，结合分段函数进行分类讨论，求出解析式即可求得不等式解集16．274【解析】由题设正项递增等比数列{}n a 的公比为则0q >，根据已知则由()()()()2435243542101011a a a a a a a a a a q λλλλ+-+-=⇒+-+-=⇒-+=，即4211q a a λ+=- 故()6889824211a q a a a q a a q λλ+=+==--，设2x q =，则构造函数()301x y x x =>- 求导得()()22231x x y x -'=-，可知函数在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 上单调递增，故当32x = 取得最小值，即332723412mjn y ⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，即答案为274． 17．【答案】（1）3B π=或23π．（2【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得sin 2B =求出结果；（2）由三角形面积公式可得2ac =，将余弦定理和基本不等式相结合可得最后结果．（2）由1sin 22ac B =，sin 2B =2ac =，又23B π=，2222cos b a c ac B =+- 222226a c ac =++≥+=， 当且仅当a c =18．【答案】（1）见解析．（2． 【解析】试题分析：（1）作GO AE ⊥于点O 连接BO ，可证GO AE ⊥，BO AE ⊥，又GO AO O ⋂=，∴AE ⊥平面OGB ，即可证明AE BG ⊥；（2）以点O 为原点，OA ，OB ，OG 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -， 利用空间向量可求二面角B AF E --的余弦值．设平面ABF 的法向量(),,m x y z =，由0{ 0m FA m BA ⋅=⋅=，得0,{ 0.55x z x y =-= 令1y =，得()2,1,1m =，易知()0,1,0n OB ==为平面AEF 的一个法向量．设二面角B AF E --为，为锐角，则6cos m nm n θ⋅==⋅．。
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2018届高三理科数学冲刺题一、选择题1．已知集合2{|lg(6)}A x y x x =∈=-++N，{|B y y ==，则A B =（ ）A ．{0}B ．[0,1)C ．{0,1}D ．{0,1,2}2．已知i 是虚数单位，复数满足(12i)2i z -=+，则（ ） A ．2||z z =B ．1z z=C ．31z =D ．1z z ⋅=3．已知点(4,)A m 在抛物线2:2C y px =上，设抛物线C 的焦点为F ，若||5AF =，则p =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．2-4．已知平面向量a 与b 的夹角为2π3，若=-a，|2|-=a b 则||=b （ ） A ．4B ．3C ．2D5．已知函数2sin ,1()2(3),1x x f x xf x x π⎧+≥⎪=⎨⎪-+<⎩，则(2018)f -=（ ） A ．2-B ．2C．42+D．42--6．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ） A ．403πB ．40833π- C ．323πD ．163πz第6题图 第7题图7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A ．98B ．256C ．258D ．6428．已知实数x ，y 满足约束条件3020220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+-≤⎩，则22(1)z x y =-+的最小值为（ ）A ．12B．2C ．1D9．为了促进学生全面发展和个性化发展，某学校组织学生开展社团活动，甲、乙、丙三名学生根据自己的兴趣爱好分别在足球社团、篮球社团、排球社团中选择了一个社团．周末聚会时，甲、乙、丙三名学生对班主任作了如下陈述，甲说：我参加了足球社团，乙参加了篮球社团；乙说：甲参加了篮球社团，丙参加了足球社团；丙说：甲参加了排球社团，乙参加了足球社团．若甲、乙、丙三名学生的说法都只对了一半，且甲、乙、丙三名学生选择的社团各不相同，则下列结论正确的是（ ）A ．甲参加了篮球社团B ．乙参加了足球社团C ．丙参加了篮球社团D ．甲参加了排球社团10．若函数()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕπ=+><的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f π= ）A ．函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称B ．函数()f x 在[,]24ππ--上单调递增C ．将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得函数2sin 2y x =的图象D ．π303()d 2f x x =⎰11．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体的研究．已知如右图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于（ ）A ．B ． C. D ．12．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在半径为3m 的圆O 内有一矩形，在圆O 内随机地撒入粒芝麻（假设n 非常大），其中落在矩形内的芝麻共有粒，则该矩形的面积约为______________2m ．14．若2)nx的展开式的二项式系数之和为512，则展开式中3x 的系数为______________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作x 轴的垂线，在第一象限与双曲线C 交于点A ．设直线1AF 的斜率为k ，若k ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为______________．16．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c a =，当C ∠最．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列{}n a 的前()*n n ∈N 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；1111D C B A ABCD - 3 A πn m（2{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T ．18.如图，在三棱锥P ABCD -中，平面ABC ⊥平面APC，AB BC AP PC ===，90ABC ∠=︒． （1）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（2）若动点M 在底面ABC △边界及内部，二面角M PA C --的余弦值为11，求BM 的最小值．19.某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（3≤）项的概率．（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为921,1,1,,103，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考． ①求该学员能通过“科二”考试的概率； ②求该学员缴纳的考试费用X 的数学期望．20.已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从1C ，2C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1C ，2C 的标准方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆1C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,08G ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数k 的取值范围．21.已知函数()()21ln 2f x x x mx x m =--∈R ．（1）若函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12ln ln 2x x +>．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x ty m t ==+⎧⎨⎩（t 为参数，m ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()223032cos ρθθ=≤≤π-．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为求m 的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =-++ （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：冲刺卷答案一、选择题：ADBBA CCADD AC二、填空题：13、 9mnπ14、 -18 15、 ,)+∞ 16、11．A【解析】如图，球面于正方体的两个面都相交，所得的交线分别为两类，一类在顶点所在的是三个面上，即、面和面上，另一类在不过顶点的三个面上，即、面和面上，在面上，交线为弧且过球心的大圆上，因为，则，同理，所以，所以弧的长为，而这样的弧共有三条，在面上，交线为弧且在距离球心为的平面上与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以，所以弧的长为，于是所得曲线的长为，故选A.12【答案】C 【解析】可设23G x x x c =++（），()()001G f ==，1c ∴=．()()231e xf x x x ∴=++，()()()()254e 14e x x f x x x x x ∴'=++=++．可得：4x =-时，函数()f x 取得极大值，1x =-时，函数()f x 取得极小值．()110e f -=-<，()01f =又当x →-∞时，()0f x →．不等式()0f x k -＜的解集中恰有两个整数1-，2-．故k C ．16 A 11AA B B ABCD 11AAD DA 11BBC C 11CCD D 1111A B C D 11AA B B EF AEF 11BB C CFG 1 B 1 FG当且仅当a =，取等号，C ∴∠的最大值为75．17.【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）21121321n n ++-+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩，·····3分 ∴2d =，2q =，∴21n a n =+，12n n b -=．·····6分 （2）由（1）知，()()32122n n n S n n ++==+，·····7分·····9分∴21121321n n ++=-+．·····12分18.【答案】（1；（2．【解析】（1）取AC 中点O ，AB BC =，AP PC =，OB OC ∴⊥，OP OC ⊥．平面ABC ⊥平面APC ，平面ABC平面APC AC =，OB ∴⊥平面PAC ，OB OP ∴⊥．以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，AB BC =1OB OC OP ∴===，()0,0,0O ∴，()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ， ∴()1,1,0BC =-，()1,0,1PB =-，()0,1,1AP =，·······2分设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，由0BC ⋅=m ，0PB ⋅=m 得方程组00x y x z -+=-=⎧⎨⎩，取()1,1,1=m ，·······4分 ,AP <>=m ·······5分 ∴直线PA与平面PBC ．·······6分（2）由题意平面PAC 的法向量()1,0,0=n ， 设平面PAM 的法向量为()000,,x y z =k ，(),,0M m n ， ∵()0,1,1AP =，(),1,0AM m n =+，0AP ⋅=k ，0AM ⋅=k ，∴()0000010y z mx n y +=++=⎧⎨⎩，取·······9分219n m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13n m +=或13n m +=-（舍去）． ∴B 点到AM 的最小值为垂直距离d =·······12分19.【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）根据题意，学员（1），（2），(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，··········2分有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为63105=．··········4分（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为9231111035⨯⨯⨯⨯=；··········5分①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为42126 5625⎛⎫=⎪⎝⎭，故学员能通过“科二”考试的概率为166091625625-=；··········7分②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，··········8分而()3232115055525P X==+⨯=，故X的分布列为；··········11分故()15045012672198E X =⨯⨯+=(元)．··········12分20【答案】（1）1C ：22143x y +=，22:4C y x =；（2）5,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】（1）设抛物线()22:20Cy px p =≠，则有()220y p x x=≠，据此验证4个点知(3,-，()4,4-在抛物线上，易求22:4C y x =．·········2分设()2222:10x yC a b a b +=>>，把点()2,0-，⎭代入得： 222412614⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩=a ab ，解得2243==⎧⎨⎩a b ，所以1C 的方程为22143x y +=．·········5分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y k x m=+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k xkmx m +++-=，所以()()()22284344120km k m ∆=-+->，即2243m k <+．① 由根与系数关系得122834km x x k +=-+，则122634my y k+=+，·········7分 所以线段MN 的中点P 的坐标为2243,3434kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．·········8分 又线段MN 的垂直平分线l '的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， (9)由点P 在直线l '上，得22314134348m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24830k km ++=，所以()21438m k k=-+，·········10分由①得()2222434364k k k +<+，所以2120k >，即10k <-或10k >， 所以实数k的取值范围是5,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．·········12分21.【答案】（1）1em ≥；（2）证明见解析．【解析】（1）由函数()f x 在()0,+∞上是减函数，知()0f x '≤恒成立，()()21ln ln 2f x x x mx x f x x mx '=--⇒=-．·········1分由()0f x '≤恒成立可知ln 0x mx -≤恒成立，则max ln x m x ⎛⎫⎪⎝⎭≥，·········2分 设()ln x x x ϕ=，则()21ln xx x ϕ-'=，·········3分 由()()00,e x x ϕ'>⇒∈，()0e x x ϕ'<⇒>知， 函数()x ϕ在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，·········4分∴()()max 1e e x ϕϕ==，∴1em ≥．·········5分（2）由（1）知()ln f x x mx '=-．由函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，知1122ln 0ln 0x mx x mx -=-=⎧⎨⎩，则1212ln ln x x m x x +=+且1212ln ln x x m x x -=-，联立得12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，·········7分 即112212112112221ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭+=⋅=--，·设()120,1x t x =∈，则()121ln ln ln 1t t x x t +⋅+=-，········9分 要证12ln ln 2x x +>，只需证()1ln 21t t t +⋅>-，只需证()21ln 1t t t -<+，只需证()21ln 01t t t --<+．·········10分 构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++． 故()()21ln 1t g t t t -=-+在()0,1t ∈上递增，()()10g t g <=，即()()21ln 01t g t t t -=-<+，所以12ln ln 2x x +>．·········12分22【答案】（1）0x y m -+=，()221013x y y +=≤≤（2）4m =-6m =．【解析】（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ， 可得1C 的普通方程为：0x y m -+=．由曲线2C 的极坐标方程得22232cos 3ρρθ-=，[]0,θ∈π，∴曲线2C 的直角坐标方程为()221013x y y +=≤≤．·····5分（2）设曲线2C 上任意一点P为),sin αα，[]0,α∈π，则点P 到曲线1C 的距离为d ==．∵[]0,α∈π，∴cos 6α⎡π⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2cos 6απ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，当0m <时，4m =-，即4m =-当20m ->时，24m -=，即6m =．∴4m =-6m =．·····10分23.【答案】(1){|11}x x -≤≤；（2）见解析．【解析】(1)···········2分于是得()1,3 33,x f x x -⎧=⎨-⎩≤≤≤或··········4分 解得11x -≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤．···········5分（2当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号， ∴[)3,M =+∞，···········7分···········8分 ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>，···········10分。