高等数学 第十二章 级数

1

2

)1()(x f 0x x =)(00x f a =!

)

(0)(k x f a k k =

ππ

ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ

n n a f x nx x n b f x nx x n --=

===⎰⎰． 3

4

求收敛半径定理，幂级数展开定理，

1 为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在

我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书

1 ，B ．）级数的求和问题． +-+-=1111x

0)11()11(=+-+-= x 1)11()11(1=-----= x x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12

x =

． 柯西指出：以上解法犯∑∞

=--1

1

)

1(n n

2 ∑∞

=1

n n

u

0lim ≠∞

→n n u ∑∞

=1

n n

u

p

2 1

π

3sin

4n n

n ∞

=∑ π303sin π44n

n

n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13π4n

n ∞

=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑1

π

3sin

4n n

n ∞

=∑ 11π

3sin

341π43sin 4

n n n n ++=< 1

π

3sin

4

n n n ∞

=∑ 3 ∑∞

=1

n n

u

0lim ≠∞

→n n u 0lim =∞

→n n u

∑∞

=1

n n

u

∑∞

=1

n n

u

∑∞

=1

n n

u

∑∞

=1

n n

u

∑∞

=1

n n

u

0lim ≠∞

→n n u

3 ∑∞

=---+-1

1

)11()

1(n n n n

1

11

1211)11()

1(1

+>

-++=

--+=--+--n n n n n n n n

∑

∑

∞

=∞

==+0

1

11

1n n n

n ∑∞

=---+-1

1

)11()

1(n n n n

01

12lim

lim =-++=∞

→∞

→n n u n n n

0)

2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=

-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n

4 ∑∞

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2111

1n n n

∑∑∑∞

=∞=∞

==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2211

21

21111n n k k n n n 11k k ∞

=∑∑∞

=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+--2111

1n n n 4 0

n n n a x ∞

=∑n

n n a a 1

lim

+∞→R ),(R R -R x ±=n

n n a a 1lim +∞

→0x x -

5 ∑∞

=⎪⎭

⎫

⎝⎛151n n

x n

11

1155n

n

n

n n x x n n ∞

∞

==⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭∑∑ 11511lim lim lim lim

1(1)55(1)5

51n n n n n n n n

a n n

a n n n ++→∞→∞→∞→∞

⋅====

+⋅⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭

5=R )5,5(-

5=x ∑∞

=1

1

n n 5-=n ∑∞

=-1)1(n n n

)5,5[-

6 21

1

1

(1)

(21)!

n n n x n -∞

+=--∑

2221(21)!1

lim

lim lim 0(21)!2(21)n n n n n

u n x x x u n n n +→∞

→∞→∞-===⋅+++∞=R ),(+∞-∞

7 1

1

(1)(1)

n

n n x n

∞

-=--∑ 1-=x t ∑∞

=--1

1

)

1(n n

n n

t 1111

lim 1lim lim

1=+

=+=∞→∞→+∞→n

n n a a n n n n n

1=R )1,1(-

1-=t ∑∑∞

=∞=--=--1

11

1)1()

1(n n n n n n 1=t ∑∞

=--1

11

)1(n n n ∑∞

=--1

1

)

1(n n

n n

t ]1,1(-]2,0( 5 )(x f )(x f 0lim ()0n n R x →∞

=)(x f

)1()2(