八年级数学上册 平方差公式
人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》教学设计
人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》是初中数学中的重要内容，它为学生提供了简化代数表达式和解决实际问题的一种方法。
本节课通过平方差公式的学习，使学生能够理解和掌握两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积，即(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b))。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备一定的观察、分析、归纳能力。
但平方差公式与完全平方公式在形式上相似，易于混淆，因此需要通过实例分析、自主探究等方式，帮助学生加深对平方差公式的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式的推导过程及应用。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高自主探究和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导和应用。
2.难点：对平方差公式与完全平方公式的区分和灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法：引导学生分组讨论，发现平方差公式的规律。
3.讲解法：对平方差公式的推导和应用进行详细讲解，引导学生理解。
4.练习法：设计不同难度的练习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。
2.练习题：准备不同难度的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入：某商店举行打折活动，一件商品原价为 (200) 元，打八折后的价格为 (160) 元，请问这件商品打了几折？呈现（10分钟）引导学生思考：如何用数学公式表示这个问题？(200) 元和 (160) 元之间的差值可以表示为 (200 - 160 = 40) 元，而这个差值实际上是原价和打折后的价格的平方差。
华师大版数学八年级上册《平方差公式》教学设计2
华师大版数学八年级上册《平方差公式》教学设计2一. 教材分析《平方差公式》是华师大版数学八年级上册的一章内容。
本章节主要介绍了平方差公式的概念、推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它在解决二次方程、二次函数等方面有广泛的应用。
本章节的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本章节之前已经学习了有理数的乘法、平方根等基础知识。
他们对于乘法运算有一定的了解，但是对于平方差公式的推导和应用可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中需要注重学生的引导和启发，通过实例和练习来帮助他们理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式的概念和推导过程，能够熟练运用平方差公式解决相关问题。
2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考和合作探究的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的概念和推导过程。
2.难点：平方差公式的应用和解决实际问题。
五. 教学方法1.引导启发法：通过问题和实例引导学生思考和探索，激发他们的学习兴趣和主动性。
2.实践操作法：通过练习和应用，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
3.合作学习法：鼓励学生之间进行讨论和合作，共同解决问题，提高他们的学习效果。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括平方差公式的定义、推导过程和应用实例。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的学习效果。
3.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用平方差公式解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“小明的妈妈买了一块正方形的布料，边长为6厘米，她想剪成一个最大的正方形，请问她可以剪成多大的正方形？”让学生思考和讨论，引发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）通过PPT呈现平方差公式的定义和推导过程，解释平方差公式的意义和应用。
人教版八年级数学上册14.2.1《平方差公式》说课稿
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源或技术工具辅助教学：
1.教具：平方差公式推导过程中，我将使用实物模型、卡片等教具，帮助学生直观地理解平方差公式的推导过程。
2.引发疑问：提出问题“如何简便地计算两个数的平方差？”让学生产生求知欲望，为新课的学习做好铺垫。
3.游戏互动：设计一个简单的数学游戏，让学生在游戏中体验平方差的概念，为新课的学习营造轻松愉快的氛围。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.平方差公式推导：通过实物模型、动画演示等方式，让学生直观地理解平方差公式的推导过程，掌握其内涵。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.竞赛活动：开展数学竞赛，激发学生的学习积极性，提高他们运用平方差公式解决问题的速度和准确度。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
1.自我评价：让学生对自己的学习过程和成果进行评价，反思在学习过程中遇到的问题和解决方法。
2.知识点讲解：结合具体实例，讲解平方差公式的表达形式和应用方法，让学生明白如何运用公式解决实际问题。
3.互动提问：在讲解过程中，适时提问，了解学生对知识点的掌握情况，并及时解答学生的疑问。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.课堂练习：设计不同难度的练习题，让学生独立完成，检验他们对平方差公式的掌握程度。
1.启发式教学：这种方法能够激发学生的思维，引导学生主动探究问题，培养学生的创新意识。依据建构主义学习理论，学生通过自主探究和思考，能够更好地理解和掌握知识。
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
人教版数学八年级上册说课稿14.2.1《平方差公式》
人教版数学八年级上册说课稿14.2.1《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是人教版数学八年级上册第14章的一节内容。
本节课的主要内容是引导学生探究并掌握平方差公式的推导过程及应用。
平方差公式是初中学过的公式之一，它不仅在代数运算中有着广泛的应用，而且为学生今后学习更高深的数学知识奠定了基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了有理数的混合运算，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。
但是，对于平方差公式的推导过程和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主地探究平方差公式的推导过程，并学会运用平方差公式解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式的推导过程，理解并掌握平方差公式的应用。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方式，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程及应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何运用平方差公式解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究式学习法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，以及网络资源进行辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发他们的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生观察、思考，让学生通过小组合作的方式，共同探究平方差公式的推导过程。
3.公式讲解：讲解平方差公式的推导过程，解释平方差公式的含义。
4.应用练习：布置一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调平方差公式的应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出平方差公式的推导过程和应用。
主要包括以下几个部分：1.平方差公式的推导过程。
八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆
一、导言在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是中学阶段必须掌握的重要知识点。
从初中开始，学生就需要掌握这两个公式的具体内容和运用方法。
八年级是数学学科内容较多的阶段，学习者需要在日常学习中加强对平方差公式和完全平方公式的记忆和理解。
本文章旨在帮助八年级学生加深对这两个数学概念的印象，提高数学学习成绩。
二、平方差公式的记忆1.平方差公式是指两个数的平方差可以用来表示两个数的乘积。
具体公式为(a+b)(a-b)=a²-b²。
2.学生在记忆平方差公式时，可以通过以下方法加深理解和记忆：a.通过实例理解。
将(a+b)(a-b)展开可以得到a²-ab+ab-b²，简化后得到a²-b²，这样可以直观地理解平方差公式的含义。
b.多练习算式转换。
让学生多做一些相关的抽象计算练习，锻炼学生对平方差公式的运用能力。
充分练习可以加深记忆，也有助于提高数学计算能力。
三、完全平方公式的记忆1.完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成一个完全平方的形式，即二次多项式的平方等于一个平方数。
具体公式为a²+2ab+b²=(a+b)²。
2.学生在记忆完全平方公式时，可以通过以下方法进行记忆和理解：a.设定变量。
让学生通过给定一些具体的实际数学问题，然后使用完全平方公式进行推导和解决问题，可以在实际操作中加深对完全平方公式的理解和记忆。
b.应用到实际问题。
同样可以利用具体实例，让学生仿照实际问题中的公式应用，从而加深对公式的记忆和理解。
四、平方差公式和完全平方公式的联系1.平方差公式和完全平方公式之间有一定联系。
在实际问题中，可以通过平方差公式和完全平方公式进行变形和转换，以解决特定问题。
2.学生在学习中需要注意理解和掌握这两个公式的联系和差异，举一反三，灵活运用。
五、结语在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是非常基础但又非常重要的知识点。
人教版八年级上册14.3.2因式分解-平方差公式(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，能够积极提出自己的观点，并尝试解决实际问题。但我也注意到，部分小组在讨论过程中可能会偏离主题，这需要我在以后的课堂上更加注意引导，确保讨论的内容紧扣教学目标。
此外，对于平方差公式与完全平方公式的混淆问题，我觉得在今后的教学中，我应该设计一些对比练习，帮助同学们明确这两个公式的区别和适用场景。通过具体的练习，让他们在实际操作中感受到这两个公式的不同。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对于平方差公式的理解整体上是积极的，但也存在一些需要我进一步关注和引导的地方。在讲解平方差公式时，我注意到有些同学在推导过程中对(a + b)(a - b) = a² - b²的理解还不够深入，可能需要通过更多的实际例题来加强他们的理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发同学们的兴趣，这种方式似乎收到了不错的效果。大家对于将数学知识应用到实际生活中的讨论非常积极，这让我感到欣慰。然而，我也意识到在接下来的课程中，需要更多地设计这样的环节，让同学们感受到数学的实用性和趣味性。
3.成展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际数学题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
八年级数学上册教学课件《平方差公式》
探究新知
知识点 平方差公式
14.2 乘法公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积变了吗？
a米
a米 5米
相等吗？
14.2 乘法公式
数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
14.2 乘法公式
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
14.2 乘法公式
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法.
14.2 乘法公式
(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
14.2 乘法公式
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
14.2 乘法公式
探究新知
素养考点 1 利用平方差公式计算
14.2 乘法公式
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；
(2)(–x+2y)(–x–2y). 解： (1)原式=(3x)2–22
人教版八年级数学上册14.2.2 第1课时 完全平方公式
例题1：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 ×
第三天的多，多2ab 块
课堂小结
知识点 完全平方公式 公式：(1)(a＋b)2＝___a2_＋__2a_b_＋__b2__； (2)(a－b)2＝___a2_－__2a_b_＋__b_2 _． 文字表述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的____2____倍．
观察下列计算过程，判断其是否正确，若不正确，请改正． (1)(2a－3b)2＝4a2－9b2； (2)(－2m－3n)2＝4m2－12mn＋9n2.
（2）(4x + 5y)2 = (4x)2 2 4x 5y (5y)2 = 16x2 40xy 25y2；
（3）(mn - a)2
= (mn)2 - 2 mn a a2
= m2n2 - 2amn a2 .
随堂练习
计算：
（1）
1 2
x
-
2y
2
；（2）
பைடு நூலகம்
2xy
探究
设置情境，探究新知
一块边长为a m的正方形实验田，如图所示，因
需要将其边长增加b m，构成四块田地，种植不同的
新品种.用不同的形式表示实验田的总面积，并进行
数学八年级上册《平方差公式》《完全平方公式》乘法公式完全平方公式
添括号时, 1.如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号 2.如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ; (3) a - b + c = a – ( b - c ); (4) a + b + c = a - ( -b - c ).
例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =1000 – 4 =9996 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
a2-b2
(a+b)2= a2 +b2 +2ab (a-b)2= a2 +b2 - 2ab
头平方，尾平方，积的2倍在中间。
例1、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4a2 - b2 )2 2= a2 -2ab +b2 (a-b) 分析： a 4a2 b2 b
解：（ 4a2 － b2）2
=( 4a2 )2－2( 4a2 )·( b2 )+( b2 )2 =16a4－8a2b2+b4
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. 做一做: 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,你 能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公 式吗? a
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
人教版八年级数学上册14.平方差公式说课课件
八、说作业布置
作业本：课本112页 习题14.2 第1题 思考题：用平方差公式计算：
(1) (a 1)(a 1)(a2 1)(a4 1)(a8 1)
(2) 102 92 82 72 22 12
习题14.2第1题是使用平方差公式计算，适合学生独立完成； 思考题是对平方差公式的拓展应用，适合小组合作、交流得 出答案。
以是单项式或多项式。
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方
差公式!
（三）巩固练习
例（1）选择简 单的题，教师讲解，
例：利用平方差公式计算。
规范用平方差公式
(1)(5 6x)(5 - 6x);
计算的解题过程；
(2)(x 2 y)(x - 2 y); (3)(-m n)(-m - n).
（2）、（3）学生 可独立完成。
• 问题解决：在探索平方差公式的过程中提高学生灵活运用公式 解决问题的能力。
• 情感态度：让学生感受到数学源于生活，又可应用于生活，提 高学习兴趣和信心。
四、说教学重难点
基于以上分析，我将本课重难点确定如下： • 重点：理解和掌握平方差公式； • 难点：灵活应用平方差公式（变式）。
五、说教学方法
练习3
• 回顾思考计算10.2×9.8
• 练习3，回归思考，紧扣课前导入，同时也是对平方差公式的拓 展应用。
（四）课堂小结
1、试用语言表述平方差公式
(a b)(a b) a2 b2.
2、应用平方差公式时要注意一些什么？
通过两个问题，培养学生及时巩固、归纳总结的良好学习习惯。
七、说板书设计
二、说学情
• 学生已掌握了整式的概念、整式的加减和乘法运算；个性活泼， 思维活跃，已初步具有观察、分析、概括、归纳的能力，有一 定的抽象思维能力。
人教版数学八年级上册15.2.1《平方差公式》教学设计
人教版数学八年级上册15.2.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析《平方差公式》是人在教版数学八年级上册15.2.1节的内容，它是学生学习代数式求值、解方程、不等式等知识的基础。
平方差公式既是一种特殊的乘法公式，也是一种重要的恒等变形手段。
它不仅在数学教学中占有重要地位，而且在日常生活和生产实践中也有广泛的应用。
通过学习平方差公式，学生可以培养自己的观察、分析、归纳能力，为后续学习更复杂的数学知识奠定基础。
二. 学情分析学生在学习《平方差公式》之前，已经学习了有理数的乘法、完全平方公式等知识，对代数式有一定的认识。
但平方差公式的推导过程需要学生具有一定的逻辑思维能力和归纳总结能力。
通过学情分析，我发现学生在学习过程中容易混淆平方差公式和完全平方公式，因此在教学过程中需要加以区分和引导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能正确记忆并运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：学生通过观察、分析、归纳等方法，理解并推导出平方差公式。
3.情感态度与价值观目标：学生培养对数学的兴趣，增强自信心，培养合作和探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导和运用。
2.难点：平方差公式的灵活运用和与完全平方公式的区分。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳平方差公式的推导过程。
3.小组合作学习：学生分组讨论，培养合作和探究的精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作平方差公式的课件，以便进行直观展示。
2.练习题：准备一些有关平方差公式的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书平方差公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如正方形的面积和长方形的面积的计算，引出平方差公式。
激发学生的学习兴趣，引发思考。
2.呈现（10分钟）引导学生观察、分析生活实例中的数量关系，引导学生发现并总结平方差公式的规律。
平方差公式八年级数学上(人教版)学习教案
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
解：
（3）(x
2 y)(x
2 y)
(x)2
(2 y)2
x2
4
y
2
.
（4）(3 2a)(3 2a) (2a)2 32 4a2 9 .
练习 下列各式中，不能运用平方差公式的是（ C）
(2)(m 2)(m 2) __m_2__4____; (3)(2x 1)(2x 1) _4_x_2__1____. 文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这
两个数的平方差.
符号语言： (a+b)(a-b)= a2-b2
归纳： (a b)(a b) a2 b2. 平方差公式
代数推导：(a b)(a b) a2 ab ab b2
（1）(x 1)(x 1);
22
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
能否利用平方差公式进行 计算，我们需要找到公式中 的相同项a，相反项b，所得 结果应为相同项的a的平方减
去相反项b的平方.
例 运用平方差公式计算：
（1）(x 1)(x 1);
例 运用平方差公式计算：
（1）(x 1)(x 1);
22
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
你能说出（3）和（4）中相 同项，相反项，然后再利用
公式计算出结果吗？
例 运用平方差公式计算：
（1）(x 1)(x 1);
22
（3）(x 2y)(x 2y);
（2）(3x 2)(3x 2); （4）(3 2a)(3 2a).
人教版数学八年级上册15.2.1《平方差公式》教案
人教版数学八年级上册15.2.1《平方差公式》教案一. 教材分析《平方差公式》是人教版数学八年级上册第15章第二节第一小节的内容。
平方差公式是基本的代数公式之一，对于学生理解和掌握代数知识有着重要的意义。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过具体例子让学生理解公式的含义，并能够熟练运用公式进行计算。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、乘方等基础知识，对于代数知识有一定的了解。
但是，对于平方差公式的理解和运用还需要通过具体的例子来引导学生。
另外，学生对于抽象的代数公式的理解可能存在一定的困难，需要通过具体的情境和操作来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握平方差公式的含义，能够熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过具体例子和操作，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：对于平方差公式的理解和运用，特别是对于公式的推导和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的情境和例子，引导学生理解和掌握平方差公式。
2.问题驱动法：通过提问和引导，激发学生的思考和解决问题的能力。
3.小组合作学习法：通过小组合作学习和讨论，培养学生的团队合作精神和自主学习能力。
六. 教学准备1.准备相关的例子和练习题，用于引导学生理解和运用平方差公式。
2.准备课件和黑板，用于展示和推导平方差公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考如何计算两个平方数的差。
例如，计算(2+3)(2−3)的结果。
2.呈现（10分钟）呈现平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)。
解释公式的含义和推导过程。
3.操练（10分钟）让学生通过计算具体的例子，运用平方差公式进行计算。
例如，计算(4+5)(4−5)的结果。
1.3.1平方差公式课件 (五四制)数学八年级上册
感悟新知
1. 判断正误：
(1) x2＋y2＝(x＋y)(x＋y)；
()
(2) x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
()
(3) －x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)； ( )
(4) －x2－y2＝－(x＋y)(x－y)； ( )
2. 把下列各式因式分解： (1) a2b2－m2； (2) (m－a)2－(n＋b)2； (3) x2－(a＋b－c)2； (4) －16x4＋81y4.
B. ( a －2)( a ＋2) D. (4 a －1)( a ＋1)
演练提升
随堂检测
2. 下列多项式中，分解因式的结果为－( x ＋2 y )·( x －2 y )的
是( B )
A. x2－4 y2 C. x2＋4 y2
B. － x2＋4 y2 D. － x2－4 y2
演练提升
随堂检测
练点2 先提取公因式再用平方差公式分解因式 3. [2024·青岛城阳区期末]把多项式3 x2－12分解因式，结果
第1章 因式分解 1.3 公式法
第1课时 平方差公式
学习目标
用平方差公式分解因式 平方差公式在分解因式中的应用
回顾与思考
课时导入
1、什么叫把多项式分解因式
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法 提公因式法
知识点 1 用平方差公式分解因式
感悟新知
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
感悟新知
9 . 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2 ＝a4－b4，则△ABC的形状为( D ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
八上数学公式大全总结
八年级上册数学公式总结1．平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。
2．完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²。
3．添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
4．同底数幂的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)。
5．单向式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
6．多项式除以单向式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
7．把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这个变换叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
8．两数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b²。
9．两数的平方和加上或减去这两数的积的平方等于这两数的和或差的平方，即a²+b²=(a+b)²=(a-b)²。
10．两个数的和乘以或除以这两个数的差的平方等于这两个数的和或差的平方，即(a+b)²=(a-b)²或(a+b)/(a-b)=a²+b²/(a-b)²。
11．弦图定理：三个数（或线段）连续排列，顺次顺序可以构成三角形时，则它们的平方和等于中心线段的平方（即第一、三个数（或线段）的平方和等于中间数（或线段）的平方）。
12．勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
即c²=a²+b²，其中c为斜边，a、b为直角边。
13．余弦定理：三角形的任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍。
即a²=b²+c²-2bc cosA，其中A为边a所对的角。
14．在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去这两直角边的乘积的两倍。
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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⑵ m 2m 2= ⑶
新课标示范教案 数学 八年级上册 第1页 共5页 = ；
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新课标示范教案 数学八年级上册
教学程序及教学内容 注意： 左 边 边 结构特征 （a+b） （a-b） 相同项 相反项
2
右
=
a
2
相同项
b
2
相反项
2
师生行为 完全相同，另一项 又是互为相反的； （3） 结果是两项的 平方差，并且是完 全相同项的平方减 去互为相反项的平 方。
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入
从生活中的实 例引入，一是 激发学生求知 教师提出问题 , 学生 兴趣；二是为
提问： 南开翔宇学校学生实践基地有一块边长为 30 米的正方 形实验田，现要在实验田中开设一块边长为 5 米的正方形观 测台，现要在实验田播种，请问正方形实验田的播种面积是 多少平方米？
三、课堂训练 1．基础练习：
(a b)(a b) (a b)(b a) (a b)(a b) (a b)(a b)
2，给出下列算式： 32－12 = 8 = 8×1； 52－32 = 16 = 8×2； 72－52 = 24 = 8×3； 92－72 = 32 = 8×4．
这是平方差公
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新课标示范教案 数学八年级上册
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 答案：连续两个奇数的平方差是 8 的倍数． 师生行为 教学程序及教学内容 （2）用含 n 的式子表示，即 （2n+1）2－（2n－1）2 = 8n （3）计算 20052－20032= 8016 , 四、小结归纳 小结： 1．通过本节课的学习我有哪些收获？ 2．通过本节课的学习我有哪些疑惑？ 3．通过本节课的学习我有哪些感受？ 五、作业设计 1.计算 (1)（x＋4） （x (2)( ）﹦x －16；
认真思考大胆回答。 说明平方差公 式的几何意义 做好铺垫．
教师提出问题，引导 二、探究新知 学生分析问题。 1．计算下列各式，看看你是否有所发现？ ⑴ 在教学中以一 学生观察、分析这组 = ； 题目左边的算式和 有区别的题目 为载体，学生 右边的结果，你能从 组相关联但又
x 3x 3 =
部分学生板书解 题，完成后，师生 纠错。 学生先自主辨析， 再交流互补，不断 完善。
体会归纳这一 数学思想方 法．
揭示公式的结 构特征，是学 生理解公式、
在交流中让学生归 纳平方差公式的特 征：
进而灵活运用 公式解决问题 的 前 提 条 件．让学生自 主辨析、合作
(2) (b 2a)2a b (2a b)(2a b) 4a b
学生独立完成计 算， 教师加以指导， 只有符合公式 并展示学生成果。 要求的乘法， 才能用公式简 化计算，其余 的乘法运算仍 按乘法法则计 算. 学生熟练准确的计 算，教师多从能力 和情感上关注学 生。
3x 4 y 7 (4)．已知方程组 ，则 9 x 2 16y 2 =_____. 1 3x 4 y 7
2
2
【解析】⑴中，要把 3 x 和 2 分别看成公式中的 a 和 b ， 即：
（1） 左边为两个数 的和与差的积； （2） 右边为两个数
交流、共同总 结得以明晰， 既体现了学生 学习的主动 性，又为学生 学习公式进行 了学法指导, 可谓“一箭双
(2) (b 2a)2a b (2a b)(2a b) 4a b
设计意图 目间的共性发 现规律，举三 反一，猜想公 式，让学生经 历从一般到特 殊，从具体到 抽象的过程，
[a a
2
与
a]
[b
与 -b]
=Hale Waihona Puke -b25．运用上面的规律直接写出下列乘法的运算结果： ⑴ a ba b ； ② 2a 3b2a 3b ___________. 6．平方差公式： a ba b a 2 b 2 即： 两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方 差. 注意： 平方差公式中的 a 和 b 可以是数、 字母， 也可以是式； 只要是相同两个式的和乘以差，都等于平方差. 例 1．运用平方差公式计算： (1) 3x 23x 2 ； (2) (b 2a)2a b
2
2
的平方差．
第(2)题表面上看不符合公式特征，但实质上是符合公式特 征的. 【点拨】 在运用平方差公式时注意： ⑴判断是否符合平方差 公式的结构特点， 只有符公式结构的乘法才能运用公式简化 运算，否则仍按多项式乘法法则进行.⑵能用公式的式子要 先变形为 a ba b 的形式，再利用公式进行计算. 例 2． 下列多项式乘法中， 能用平方差公式计算的是 （ （1） （x+1） （1+x） ； （2） （ a+b） （b－ a） ； （3） （－a+b） （a－b） ； （4） （x2－y） （x+y2） ；
年级 教学媒体 教
八年级
课题
平方差公式 多 媒 体
课型
新授
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知识 技能
了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特 征，并能灵活运用平方差公式解决问题． 经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合 等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力．
2 2
式的拓展例题 分析及应用， 使学生进一步 体会平方差公 设计意图 式的结构特 征，能进一步 灵活运用乘法 公式、法则进 行计算
（n 为正整数） ． 此时 n=1002．
学生用实例来说明 所学的知识，教师 加以补充。
适时地总结， 有助于学生对 问题的深刻认 识，同时养成 严谨的学习习 惯。
)(2a－3)﹦9－4a .
2、运用平方差公式计算： （1） （2 x－y） （2 x＋y） ； （2） （xy＋1） （xy－1） ； 3 3 （3） （2a－3b） （2a＋3b） ； （4） （－2b＋5） （－2b－5） ； （5）2008×2009； (6)(y＋5)(y－1)－(y－2)(y＋2).
板
书
设
计
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） 学生回答，教师点 雕”． 拨。 学生发现技巧， 通过一则平方 灵活应用公式。 差公式简单的 例题分析及应 用，巩固了公 式结构特征， 让学生进一步
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新课标示范教案 数学八年级上册
（5） （－a－b） （a－b） ； （6） （c －d ） （d +c ） ． 只有（2） 、 （5） 、 （6）能用平方差公式．因为（2） （ a+b） 教学程序及教学内容 （b－ a） 利用加法交换律可得 （ a+b） （b－ a） = （b+ a） （b－ a） ，表示 b 与 a 这两个数的和与差的积，符合平 方差公式的特点； （5） （－a－b） （a－b） ，同样可利用加法 交换律得（－a－b） （a－b）=（－b－a） （－b+a） ，表示－b 与 a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点； （6） （c －d ） （d +c ） 利用加法和乘法交换律得 （c －d ） （d +c ） =（c +d ） （c －d ） ，表示 c 与 d 这两个数和与差的积，同 样符合平方差公式的特点． （ 1） 、 （3 ） 、 （4）不能用平方差公式，因为表示的不 是两个数的和与差的积的形式． 例 3．计算 (1)102×98； (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5). (3)．若 x 2 y 2 100, x y 25 ，则 x y .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
师生行为
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感受到这种一 设计意图
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1 2
1 2
1 2
1 2
般到特殊的数 学思想方法的 魅力. 学生分组讨论，合 作交流，归纳何时 才能运用平方差公 式。
引导学生动手 操作，自主探 索， 发现规律， 进行归纳，初 步感受平方差 公式．
学
过程 方法
目 情感 态度 标 教学重点 教学难点 理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算． 理解乘法公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式． 在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流．在公式的学 习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣．
教 学 过 程 设 计
新课标示范教案 数学八年级上册
1、平方差公式的意义 2、平方差公式的特点
15.2.1 平方差公式 3、例题讲解 4、学生练习 教 学 反 思
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