专题突破练4 从审题中寻找解题思路

专题突破练4 从审题中寻找解题思路一、单项选择题1.已知sin π4-2x =35,则sin 4x 的值为( )A.1825B.±1825C.725D.±7252.(2020山东济南6月模拟,7)已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位长度,则在第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是( ) A.14B.516C.38D.123.已知△ABC 中,sin A+2sin B cos C=0,√3b=c ,则tan A 的值是( ) A.√33B.2√33C.√3D.4√334.(2020天津河东区检测,8)已知实数a ,b ,ab>0,则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为( )A.16 B.14C.17D.65.(2020广东江门4月模拟,理12)四棱锥P-ABCD ,AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC ,满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是( ) A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分6.(2020湖北高三期末,12)已知函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4,若方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时,不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则实数k 的最小值为( )A.9B.25C.2-√3D.√3−1二、多项选择题7.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,如图,则下列等式成立的是( )A.|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |28.函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,对不同x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)=√3,则( ) A.a+b=π B.b-a=π2 C.φ=π3D.f (a+b )=√3 9.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( ) A.e 2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=110.(2020山东历城二中模拟四,12)已知函数f (x )=2sin (ωx -π6)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(0,1),则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为3πB.将函数f (x )的图象向左平移π6所得图象关于原点对称 C.函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增 D.函数f (x )在区间(0,100π)上有66个零点三、填空题11.若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),则∠B= .12.(2020天津河东区检测,15)函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3,若存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),n ∈N *,则n 的最大值为 .四、解答题13.(2020山东青岛二模,19)已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,2S n+n+1=a n+12,n∈N*.(1)证明:当n≥2时,a n+1=a n+1;(2)若a4是a2与a8的等比中项,求数列{2n·a n}的前n项和T n.专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C解析由题意得cosπ2-4x=1-2sin2π4-2x=1-2×925=725,sin 4x=cosπ2-4x=725.故选C.2.B解析在经过6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则每次都有向左或者向右两种选择,共有26=64种可能;要回到初始位置,则只需6次中出现3次向左移动,3次向右移动,故满足题意的可能有C63=20种可能.故恰好回到初始位置的概率P=2064=516.故选B.3.A解析∵sin A+2sin B cos C=0,∴sin(B+C)+2sin B cos C=0.∴3sin B cos C+cos B sin C=0.∵cos B≠0,cos C≠0,∴3tan B=-tan C.∵√3b=c,∴c>b,∴C>B.∴B为锐角,C为钝角.∴tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC 1-tanBtanC =2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB≤2√3=√33,当且仅当tan B=√33时取等号.∴tan A的最大值是√33.故选A.4.A解析由于a2+b2≥2ab>0,所以aba2+b2+a2b2+4≤ab2ab+a2b2+4,故ab2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab ·4ab=16,当且仅当a=b 时,等号成立,故其最大值为16.5.B 解析 在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),则由题意可得A (-3,0),B (3,0).∵AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB , ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ,∴APBP =ADBC =48=12.即BP 2=4AP 2,故有(x-3)2+y 2=4[(x+3)2+y 2], 整理得(x+5)2+y 2=16,表示一个圆.由于点P 不能在直线AB 上,故点P 的轨迹是圆的一部分,故选B . 6.C 解析 函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4的图象如下图所示:当方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时, |ln x 1|=|ln x 2|,即x 1•x 2=1,x 1+x 2>2√x 1x 2=2, |ln(4-x 3)|=|ln(4-x 4)|,即(4-x 3)·(4-x 4)=1,且x 1+x 2+x 3+x 4=8,若不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则k ≥11-(x 12+x 22)x 3x 4-1恒成立,由11-(x 12+x 22)x 3·x 4-1=11-(x 1+x 2)2+2x 1x 24(x 3+x 4)-16=13-(x 1+x 2)216-4(x 1+x 2)=14[(x 1+x 2)-4+3(x 1+x 2)-4+8]≤2-√32,故k ≥2-√32,故实数k 的最小值为2-√32,故选C.7.ABD 解析 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 正确;由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项B 正确; 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-∠ACD )<0,又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>0,故选项C 错误;由题图可知Rt △ACD ∽Rt △ABC ,所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,由选项A,B 可得|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故选项D 正确. 故选ABD .8.BD 解析 根据函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,所以函数的周期为2π2=π,即b-a=T2=π2,故B 正确.由图象知A=2,则f (x )=2sin(2x+φ),在区间[a ,b ]中的对称轴为x=a+b2, 由f (x 1)=f (x 2)得,x 1,x 2也关于x=a+b2对称,则x 1+x 22=a+b2,即x 1+x 2=a+b ,则f (a+b )=f (x 1+x 2)=√3,故D 正确,故选BD .9.BD 解析 因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,∠F 1PF 2=π3,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a',则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y2-xy-xy=8c 23,所以(a')2=2c 23,即e 2=√62,故e 2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.故选BD .10.AC 解析 由函数f (x )=2sin ωx-π6的图象的一条对称轴为x=π,得ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),因为ω∈(0,1),所以k=0,ω=23,则f (x )=2sin 23x-π6,所以周期T=2π23=3π,A 正确; 将函数f (x )的图象向左平移π6,得g (x )=f (x +π6)=2sin 23x+π6-π6=2sin (23x -π18),显然g (x )的图象不关于原点对称,B 错误;由2k π-π2≤23x-π6≤2k π+π2(k ∈Z ),即k=0,得-π2≤x ≤π,即[-π2,π]是函数f (x )的一个单调递增区间,又[-π6,π2]⊆[-π2,π],所以函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增,C 正确;由f (x )=0,得23x-π6=k π(k ∈Z ),解得x=32(kπ+π6),由0<32k π+π6<100π,得-16<k<66.5,因为k ∈Z ,所以k=0,1,2,…,66,所以函数f (x )在区间(0,100π)上有67个零点,D 项错误.11.π3解析 由三角形面积公式可得,S=12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),∴14sin B=√34×a 2+c 2-b 22ac=√34cos B ,∴tan B=√3.∵B ∈(0,π),∴B=π3.12.8 解析 函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3.f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),即为x 1+x 2+…+x n-1+x n 2-x n +3=x 12-x 1+3+x 22-x 2+3+…+x n -12-x n-1+3+x n ,化为x n 2-2x n +3=x 12-2x 1+3+x 22-2x 2+3+…+x n -12-2x n-1+3,设h (x )=x 2-2x+3,可得存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1),故h (x )在x=1处取得最小值2,在x=92处取得最大值574,即有574≥h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1)≥2(n-1),即为n ≤658,可得n 的最大值为8.13.解 (1)因为2S n +n+1=a n+12,所以2S n-1+n=a n 2(n ≥2).两式相减得2a n +1=a n+12−a n 2(n ≥2),所以a n 2+2a n +1=a n+12,即(a n +1)2=a n+12(n ≥2).因为数列{a n }的各项均为正数, 所以当n ≥2时,a n+1=a n +1.(2)由(1)得a4=a2+2,a8=a2+6,因为a4是a2与a8的等比中项,所以a42=a2·a8,即(a2+2)2=a2·(a2+6),解得a2=2.又2a1+2=a22,所以a1=1.所以a2-a1=1,从而a n+1-a n=1对n∈N*恒成立.所以数列{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n,所以2n·a n=n·2n,所以T n=1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,2T n=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,两式相减得-T n=2+22+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以T n=(n-1)·2n+1+2.。