数学分析专题研究第6章极值问题
极值的应用问题
f
( x)
x
1 x
1
ln x2
x
，
令
f ( x) 0 ,得唯一驻点x e
,
导数左正右负，故 x e 为 f (x) 的极大值点,
由于其唯一性,该点也是f (x) 的最大值点.
又e 2.71828,故 所 求 的 最 大 项 只 可 能是 2, 3 3之 一 ，
而 ( 2)6 8 ,(3 3)6 9 , 所以 2 3 3 ,
x
a
a2x
5
例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小 正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容 积最大？最大值为多少？ 解 设小正方形的边长为 x，则方盒的容积为
V x(a 2 x)2 ， x (0, a ) ， 2
求导得 V (a 2x)(a 6x)，
x
a 2x
6
例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小 正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容 积最大？最大值为多少？
1,最小值为 1 2 p1
,
故
1 2 p1
f ( x) 1，即 1
2 p1
x p (1 x) p
1.
10
例11 求 数 列{n n }的 最 大 项.
分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化 为连续函数,再求导.
1
解 设 f ( x) x x x x ( x 1 ), 利用对数求导法,得
例10 设 0 x 1 , p 1 ,证明不等式:
1 2 p1
xp
(1
x)p
1
解 设 f ( x) x p (1 x) p ,则
f ( x) px p1 p(1 x) p1 令 0 ， x 1 .
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
极值问题详解【一元分析学经典讲义】
二、求下列函数的极值： 求下列函数的极值： 1 、 y = e x cos x ； 2、 y = x ； x2 y 3 、方程e + y = 0 所确定的函数 y = f ( x ) ； x12 4 、 y = e , x ≠ 0 . 0, x = 0 证明题： 三 、证明题： 1 、如果 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 满 足条 b 2 − 3ac < 0 ， 则函数无极值. 则函数无极值. 2、 2 、设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ′′( x ) ≠ 0 ， 的极值点. 则 x = 0 为 f ( x ) 的极值点.
1 x
练习题答案
2、 2、 f ′( x 0 ) = 0 ； 3 1 1 e 3、(1,2),无 4、 3、(1,2),无； 4、 , ( ) ,0,1; e e π 2 4 + 2 kπ π e 二、1、极大值 y( + 2kπ ) = ,极小值 4 2 π 2 4 + ( 2 k +1) π π y( + ( 2k + 1)π ) = − e ( k = 0,±1,±2,L) ； 4 2 局部； 一、1、局部； 2、极大值 y(e ) = e ； 3、极小值 y(0) = −1； 4、极小值 y(0) = 0 .
但函数的驻点却不一定 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件
(1)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) > 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) , (1)如果 处取得极大值. 有 f ′( x) < 0，则 f (x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 (2)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) < 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) 处取得极小值. 有 f ′( x) > 0，则 f (x)在x0 处取得极小值. (3)如果当 (3)如果当x ∈( x0 − δ , x0 )及x ∈( x0 , x0 + δ ) 时, f ′(x) 符号相同, 处无极值. 符号相同,则 f (x)在x0 处无极值.
极值问题的极值存在定理及其简要证明
极值问题的极值存在定理及其简要证明数学中的极值问题是研究一个函数在某一区间内的最大值或最小值。
极值问题是数学分析中的一个重要问题，在数学的各个领域都有涉及。
极大值和极小值的存在性是极值问题的一个基本问题，下面简要介绍极值存在定理及其证明。
极值存在定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极大值和极小值。
证明：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上没有极大值，则$f(x)$在区间$[a,b]$上不断增加，即$f(x_1)<f(x_2)<\cdots<f(x_n)$，其中$x_1<x_2<\cdots<x_n$为区间$[a,b]$上的任意$n$个不同的点。
由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因此根据介值定理，对于任意$k\in\mathbb{N^{+}}$，都存在一个$x_k\in(a,b)$，使得$f(x_k)=k$，所以$f(x)$在区间$[a,b]$上无上界，矛盾。
同理可证$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极小值。
从证明中可以看出，极值存在定理的证明过程依赖于介值定理。
介值定理是数学分析中一个重要的定理，它表明了连续函数在区间中取到介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意值。
介值定理的表述：设$f(x)$为区间$[a,b]$上的连续函数，$u$和$v$分别为$f(x)$在区间$[a,b]$上的任意两个值，其中$u<v$。
则对于任意$w\in(u,v)$，总存在一个$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=w$。
介值定理的证明：对于任意$\epsilon>0$，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，所以存在$\delta>0$，使得对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。
数学分析6.4函数的极值与最大（小）值（讲义）
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)一、极值判别定理6.10：(极值的第一充分条件)设f在点x0连续，在某邻域U0(x0,δ)内可导：1、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，则f在点x0取得极小值.2、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≥0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≤0，则f在点x0取得极大值.证：∵当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，∴f在(x0-δ,x0)内递减.∵当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，∴f在(x0-δ,x0)内递增.∴对任意x∈U(x0,δ)，恒有f(x)≥f(x0)，即f在x0取得极小值。
同理可证2.定理6.11：(极值的第二充分条件)设f在点x0的某邻域U(x0,δ)内一阶可导，在x= x0处二阶可导，且f’(x0)=0，f”(x0)≠0.1、若f”(x0)<0，则f在点x0取得极大值.2、若f”(x0)>0，则f在点x0取得极小值.证：依题意，f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+12!f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2).∵f’(x0)=0，∴f(x)-f(x0)=12!f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2)=[12!f”(x0)+o(1)](x-x0)2.又f”(x0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x∈U(x0,δ’)时，1 2!f”(x0)与12!f”(x0)+o(1)同号.∴当 f ”(x 0)<0时，f(x)-f(x 0)<0，即f(x)<f(x 0)，∴f 在点x 0取得极大值. 当 f ”(x 0)>0时，f(x)-f(x 0)>0，即f(x)>f(x 0)，∴f 在点x 0取得极小值.例1：求f(x)=(2x-5) x 23的极值点与极值.解：f(x)=(2x-5) x 23=2x 53-5x 23, f ’(x)=103x 23−103x −13, f ”(x)=209x−13+109x −43.当f ’(x)=0时，103x 23−103x −13=0，解得x=1.∵f ”(1)=209+109=103>0，f(1)=2-5=-3. ∴f 在x=1取得极小值f(1)=-3. 又f 在x=0连续，f ’(0)不存在，当0<x<1时，f ’(x)= 103x 23−103x −13<0，当x<0时，f ’(x)= 103x 23−103x −13>0，∴f(x)在x=0取得极大值f(0)=0.例2：求f(x)=x 2+432x的极值点及极值.解：f ’(x)=2x −432x 2, f ”(x)=2+864x 3. 当f ’(x)=0时，2x −432x 2=0，解得x=6.∵f ”(6)= 2+86463=6>0，f(6)=36+72=108. ∴f 在x=6取得极小值f(6)=108.定理6.12：(极值的第三充分条件)设f 在x 0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x 0处n 阶可导，且f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，f (n)(x 0)≠0，则：1、当n 为偶数时, f 在x 0取得极值，且当f (n)(x 0)<0时取极大值，当f (n)(x 0)>0时，取得极小值.2、当n 为奇数时, f 在x 0处不取极值.证：f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+12!f ”(x 0)(x-x 0)2+…+1n!f (n)(x 0)(x-x 0)n +o ((x-x 0)n ).∵f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，∴f(x)-f(x0)=1n!f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n)=[12!f(n)(x0)+o(1)](x-x0)n.又f(n)(x0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x∈U(x0,δ’)时，1 n!f(n)(x0)与12!f(n)(x0)+o(1)同号. ∴当n为偶数时，有当f(n)(x0)<0时，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0)，∴f在点x0取得极大值. 当f(n)(x0)>0时，f(x)-f(x0)>0，即f(x)>f(x0)，∴f在点x0取得极小值. 当n为奇数且f(n)(x0)<0时，有当x0<x<x0+δ’时，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0).当x0-δ’<x<x0时，f(x)-f(x0)>0，即f(x)<f(x0).即f(x)递增. 同理可证，当n为奇数且f(n)(x0)>0时，f(x)递减.∴当n为奇数时, f在x0处不取极值.例3：试求函数x4(x-1)3的极值.解：记f(x)=x4(x-1)3=x7-3x6+3x5-x4.当f’(x)=7x6-18x5+15x4-4x3=0时，x=0或x=1或x=47.∵f”(x)=42x5-90x4+60x3-12x2，∴f”(0)=0,f”(1)=0,f”(47)=6449>0.∵f”’(x)=210x4-360x3+180x2-24x，f”’(0)=0, f”’(1)=6(无极值). f(4)(x)=840x3-1080x2+360x-24，f(4)(0)=-24<0.∴x4(x-1)3在x=0处有极大值f(0)=0，在x=47处有极小值f(47)=−6912823543.四、最大值与最小值比较f的所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，以取得f的最值.例4：求f(x)=|2x3-9x2+12x|在闭区间 −14,52上的最大值与最小值.解：当f(x)=|2x3-9x2+12x|=0时，x=0，∴f’(x)=|6x2-18x+12|, (x≠0). 当f’(x) =|6x2-18x+12|=0时，x=1或x=2.f(−14)=|2× −143-9× −142+12× −14|=3932, f(1)=|2-9+12|=5,f(2)=|2×23-9×22+12×2|=4, f(52)=|2×523-9×522+12×52|=5.∵0<3932<4<5，∴f在x=0处取最小值0，在x=1,x=52处取最大值5.例5：一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为10(km/h)时，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小?解：记速度为x km/h, 燃料费为y元,可设y=kx3,将x=10, y=6代入上式得6=1000k, ∴k=0.006.记每航行1km所消耗的费用为f(x)=1x(0.006x3+96).当f’(x)=0.018x−1x2(0.006x3+96)=0时，x=20.又当x<20时，f’(x)<0，∴f(x)>f(20)；当x>20时，f’(x)>0，∴f(x)>f(20)，即x=20是f唯一的极小值点，且f在(0,+∞)处处可导，∴当轮船的速度为20km/h时，每航行1km所消耗的费用f(20)=120(0.006×203+96)=7.2(元)最小.例6：剪去边长为a的正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子容积最大. 解：设小正方形的边长为x，则0<x<a2，记盒子的容积为：f(x)=x(a-2x)2=4x3-4ax2+a2x, x∈(0,a2)，当f’(x)=12x2-8ax+a2=0时，x=a2(舍去)或x=a6.又当x<a6时，f’(x)>0，∴f(x)<f(a6)；当a6<x<a2时，f’(x)<0，∴f(x)<f(a6)；即x=a6是f唯一的极大值点，且f在(0,a2)处处可导，∴剪去小方块的边长为a6时，盒子容积f(a6)=a6(a−2a6)2=2a327最大.。
数学分析 第六章 极值曲率6-8解读
定理3(第三充分条件)
若f ( x )在x0有n阶导数，且f ( k ) ( x0 ) 0, ( k 1,, n 1), f
( n)
( x0 ) 0, 则 f ( n ) ( x0 ) 0时取极大值；f ( n ) ( x0 ) 0时取极小值；
(1) 当n是偶数时，f在x0取得极值，且当
(2)当 f ( x0 ) 0 时, f ( x ) 在 x0 处取得极小值.
f ( x)
f ( x ) 0 0 f ( x)
2019/4/20
f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0
x0
5
证 (1) f ( x )
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )2 o(( x x0 )2 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 o(( x x0 )2 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) 1 lim f ( x0 ) 0 2 x x0 ( x x0 ) 2
y
y
x0
o
2019/4/20
x
o
x0
x
1
[ 费马定理 ]：可导函数极值的必要条件：
若 f ( x ) 在 x0的某邻域有定义，且在点 x0可导，
若x0为f ( x )的极值点，则 f ( x0 ) 0.
极值点 在哪找？ x0 为 极值点 f ( x0 ) 0 或 f ( x0 ) 不存在.
有 f ( 4) 18 0, 故有极大值f (4) 60 ;
f ( 2) 18 0,
M
故有极小值f (2) 48. f ( x )的 图 形
数学分析第六章总结
数学分析I 第六章总结一、定义小结定义一：f 为凸函数，如果 12,,(0,1),..f I x x I s t λ∀∈∈定义在上， 1212((1))()(1)f x x f x x λλλλ+-≤+-f 为凹函数，如果 12,,(0,1),..f I x x I s t λ∀∈∈定义在上， 1212((1))()(1)f x x f x x λλλλ+-≥+-定义二：设函数f 在0x 处有穿过曲线的切线，若切点两侧的凹向性相反，则称点0x 为函数曲线的拐点二、定理小结引理：[]Fermat 定理000'(),'()=0x f f x f x 若是函数的极值点,存在导数则一定有定理一：[Rolle 中值定理],],[()()],[,..'()0f a b a b f a f b a b s t f ξξ=∃∈=在[]连续，在可导，且，那么 定理二：[Lagrange 中值定理]()(),],[],[,..'()f b f a f a b a b a b s t f b aξξ-∃∈=-在[]连续，在可导，那么 [推论：导数极限定理]0o 00()()lim ()x x f U x U x f x →在连续，在可导，且极限存在 000'()lim '()x x f x f x f x →=则在可导，且 定理三： '()0(0)f I f Iff f x ≥≤在可导，则递增(减)定理四：[]Darboux 定理++[,]'()'(),(,),'()f a b f a f b k a b f k ξξ≠∈=若在可导，且介于二者之间，则存在定理五：[]Cauchy 中值定理,,],[0()();f g a b a b g a g b ≠在[]连续，在可导，导数不同时为且 那么'()()()],[,..'()()()f f b f a a b s tg g b g a ξξξ-∃∈=-定理六：[']L Hospital 法则0000001.0(1),0, (2),'()0'()(3)lim'()()'()lim lim ()'()x x x x x x f g x x f g x g x f x A g x f x f x A g x g x →→→→→≠===型不定式极限在某个空心邻域可导，则00000+++2.(1), (2),'()0'()(3)lim'()()'()lim lim ()'()x x x x x x g x x f g x g x f x A g x f x f x A g x g x →→→∞∞→∞→≠===型不定式极限在某个空心右邻域可导，则定理七：[Taylor 公式]00 ()()(())n n f x n f x T x o x x =+-在存在直至阶导数，则有定理八：[]Taylor 定理[,] ],[1f a b n a b n +在存在直至阶导函数，在存在阶导函数(1)100(),[,],],[,()()()(1)!n n n f x x a b a b f x T x x x n ξξ++∀∈∃∈=+-+则有 定理九：[极值充分条件]1.函数f 在点0x 连续,邻域内可导。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConstrainedExtremumProblem）优化分析中一个重要的问题，它涉及优化函数（通常称之为目标函数）以最大或最小值来求解约束关系（约束条件）的问题，它体现了一类技术问题的结构特点。
条件极值问题的数学模型是如下的：最优化问题：$min f(x_1，x_2，…，x_n)s.t. g_1(x_1，x_2，…，x_n)le 0g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0vdotsg_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$其中，f(x_1，x_2，…，x_n)是一个最小或最大等式，决定一组变量$x_1，x_2，…，x_n$的最优结果；约束条件$g_1(x_1，x_2，…，x_n)le 0，g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0，…，g_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$存在某种性质的约束，在确定最优值的同时，需要满足这些约束条件。
下面我们将详细介绍条件极值问题的定义及其特点，以及它的数学分析方法。
一、定义在经济学、工程学等多学科领域，条件极值问题都是指有约束条件的最优化问题。
特别是在经营管理中，对于生产、营销、财务以及组织等方面的活动，通常都存在许多约束条件，比如预算限制、市场限制、原料限制、生产能力限制等，这些所有限制令管理者仅能在有限的条件内进行有效决策，最终实现更大的效益最大化。
二、特点1、有限条件。
条件极值问题的最大特点是在确定最优解的同时，要满足一系列约束条件，这些条件是有限的。
2、多变量。
条件极值问题的解有时可能需要多个变量，这就要求模型中所有变量都要满足约束条件，而且变量间可能还要相互交互作用，综合起来十分复杂。
3、抗干扰能力强。
条件极值问题的模型具有良好的抗干扰能力，即对于环境因素的变化，其解的变化不会太大，使模型具有一定的稳定性。
三、数学分析方法条件极值问题的数学分析方法一般是求解方程组的方法，分析的过程往往由数学模型的构造、数学解法和有效的计算方法三部分组成。
数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。
高考数学 艺体生文化课 第六章 导数 第2节 利用导数研究函数的极值或最值课件.pptx
6.(2014新课标Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存
在.p:f‘(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则
()
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【答案】 C
【解析】当f '(x0 ) 0时, x x0不一定是f (x)的极值点, 比如, y x3在x 0时, f '(0) 0, 但在x 0的左右两侧f '(x)的符号相同,因而x 0不是y x3的极值点. 由极值的定义知, x x0是f (x)的极值点必有f '(x0 ) 0. 综上知, p是q的必要条件, 但不是充分条件.
所以函数f (x)在区间[0, π ]上单调递减. 2
因此f (x)在区间[0, π ]上的最大值为f (0) 1,最小值为f ( π ) π .
2
22
16.(2018哈尔滨模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)当a=1 时,求f(x)的极值;
2
【解析】 (1)当a 1 时, f (x) ln x 1 x,函数的定义域为(0, )
精选例题
【例1】 (2012陕西)设函数f(x)2= +lnx,则 ( )
A.x=1
x
为f(x)的极大值点
B.x=1 为f(x)的极小值点
2
2
C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点
【答案】D
【解析】 Q f '(x) 2 1 ,令f '(x) 0,则x 2, x2 x
当0 x 2时, f '(x) 0,当x 2时, f '(x) 0, x 2为f (x)的极小值点,故选D.
极大值极小值知识点-概述说明以及解释
极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。
极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。
本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。
让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。
在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。
第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。
在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。
第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。
在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。
第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。
在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。
1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。
同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。
最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。
2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。
数学分析教案 华东师大版第六章 微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用教学目的：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值及凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：14学时§ 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义及几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
教学重点：中值定理。
教学难点：定理的证明。
教学难点：系统讲解法。
一、引入新课：通过复习数学中的“导数”及物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。
在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。
因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。
我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念：1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )2.可微极值点的必要条件:Th ( Fermat ) ( 证 )函数的稳定点, 稳定点的求法.（二）微分中值定理:1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 )由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且( 证 )Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于及之间的任一实数, 则设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理:Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.证分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,必有, 因为否则就有.这及条件“和在内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.（三）中值定理的简单应用:1. 证明中值点的存在性例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得.证在Cauchy中值定理中取.例2设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .2.证明恒等式:原理.例3证明: 对, 有.例4设函数和可导且又则.证明.例5设对, 有, 其中是正常数. 则函数是常值函数. (证明 ).3.证明不等式:例6证明不等式: 时, .例7证明不等式: 对，有.4. 证明方程根的存在性:证明方程在内有实根.例8证明方程在内有实根.§ 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）教学目的：1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
极值的求解及应用
极值的求解及应用极值是数学分析中的重要概念，指的是函数在某个定义域内取得的最大值和最小值。
极值的求解及应用是数学分析中的基础内容之一，涉及到函数的最优化问题以及其在各个科学领域中的实际应用。
一、极值的求解方法常见的求解函数极值的方法有以下几种：一阶导数法、二阶导数法、拉格朗日乘数法。
1. 一阶导数法：使用一阶导数可以求得函数的极值点。
如果函数在极值点处导数为零，那么这个点就是函数的极值点，同时要按照函数的性质确定是极大值还是极小值。
然而，导数为零并不一定保证这个点是极值点，还需要使用二阶导数进行进一步的判定。
2. 二阶导数法：使用二阶导数可以判定函数在极值点处的极值类型。
如果函数在某个点的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，那么这个点就是函数的极小值点；反之，如果二阶导数小于零，那么这个点是函数的极大值点。
3.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法适用于求解带有约束条件的最优化问题。
对于有n个变量和m个约束条件的最优化问题，可以构建一个泛函函数，通过使用拉格朗日乘数法，将约束条件与目标函数结合起来，并通过求解泛函函数的偏导数为零来求得极值点。
二、极值应用的例子极值的求解与应用在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
以下是几个极值应用的例子：1. 经济学中的利润最大化问题：在市场经济中，企业通过确定合适的产量与售价来达到最大化利润的目标。
利用一阶导数法，可以求得利润函数的极值点，从而确定适当的产量和价格。
2.物理学中的运动最优化问题：在物理学中，例如弹道学中，要求在给定条件下，使得物体的飞行轨迹距离最远或时间最短。
通过构建合适的数学模型和方程，利用导数法可以求得极值点，从而得到最优解。
3. 机器学习中的模型优化问题：在机器学习中，通过构建合适的数学模型，可以将其视为一个优化问题。
利用梯度下降算法，通过求解模型参数的极值点，可以找到最优的模型参数，从而实现模型的优化。
4. 人口学中的人口增长问题：人口学研究中经常需要解决人口增长的模型和问题。
高三数学教案2023：函数极值及其最值问题分析
高三数学教案2023最新：函数极值及其最值问题分析函数极值及其最值问题是高中数学中相对来说比较重要的一章，它蕴含了函数的最重要的性质：函数的单调性。
在高考中，函数极值及其最值问题通常会占到10%以上的比例，因此掌握这一章的知识对于高考成绩的提高非常重要。
本文将对于高三数学教案2023最新中的函数极值及其最值问题进行详细的分析和讲解，希望能够对于广大学生有所帮助。
我们需要了解函数极值的定义。
对于一个函数f(x)，如果存在一个x0，使得在x0的某个邻域内f(x)小于等于f(x0)，那么就称x0是函数f(x)的一个极大值点；如果存在一个x0，使得在x0的某个邻域内f(x)大于等于f(x0)，那么就称x0是函数f(x)的一个极小值点。
那么，当存在一个函数的极大值点或极小值点时，我们把它称为函数的极值点。
函数的最值则是指函数在定义域上最大值和最小值。
接下来，我们将通过例子来进一步了解函数极值及其最值问题。
例1：设函数f（x）= x^2 - 2x + 1，求f（x）的极值。
解：根据极值的定义，我们需要先求出函数f（x）在定义域内的导数，即f'（x）= 2x - 2。
我们令f'（x）= 0，解得x = 1，因此x = 1即为函数f（x）的极值点。
此时，函数f（x）的极值为f（1）= 0。
例2：设函数f（x）= x + 2sinx，求f（x）的最值和相应的自变量值。
解: 同样的，我们需要首先将函数f（x）求导，即f'（x）= 1 + 2cosx。
令f'（x）= 0，解得cosx = -1/2，由此可得x = 2/3π + 2kπ或4/3π + 2kπ，其中k为整数。
我们根据这两个自变量值来分别求出函数f（x）的最大值和最小值。
当x = 2/3π + 2kπ时，f（x）的最值为f（2/3π + 2kπ）= 2 + √3；当x = 4/3π + 2kπ时，f（x）的最值为f（4/3π + 2kπ）= 2 - √3。
数学分析(上) 6-4函数的极值与最大(小)值
例1 求函数 f ( x) 3arctan x ln x 的极值点 .
解由
f
( x)
3 1 x2
1 x
( x2 3 x 1) x(1 x2 )
0,
求得稳定点
3 5
3 5
x1 2 , x2 2 .
x
3 (0,
5 3 )
5 (3 5 ,3
5) 3
5
(3
5 , )
2
2
2
2
2
6( x 1)( x 2)
, ,
1 4
0
x
x0 .
5 2
容易计算 f (0 0) 12, f (0 0) 12, 并且 f ( x)
在 x = 0 连续，由导数极限定理推知
12 f(0) f(0) 12, 故在 x = 0 不可导.
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这样就得到不可导点为 0, 稳定点为 1, 2. 又因
其中 n( x)
f (n)( x0 ) o (1) , n!
它在某邻域 U ( x0; )
内恒与 f (n)( x0 ) 同号.
(i) 当 n 为偶数, 而 f (n)( x0 ) 0 时 , 有
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n( x)( x x0 )n 0 , x U( x0; ),
故 f ( x) f ( x0 ) , x U ( x0; ), 即 x0 是极小值点 ;
f (0) 0 , f (1) 1 ,
因此 x = 1 不是极值点( n = 3 是奇数 ). 又因 f (4)( x) 24(35x3 45x2 15x 1) ,
f (4)(0) 0 , 所以 f (0) 0 是极大值( n = 4是偶数 ).
变分法与极值问题的数学分析与解法
变分法与极值问题的数学分析与解法变分法是一种数学工具，用于解决极值问题。
它在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将对变分法的数学分析和解法进行探讨。
首先，我们来了解一下什么是极值问题。
在数学中，极值问题是指在一定条件下，求解函数的最大值或最小值。
通常，我们通过求函数的导数为零的点来找到极值点。
然而，对于一些特殊的问题，这种方法并不适用。
这时，变分法就派上了用场。
变分法起源于经典力学中的最小作用量原理。
它的基本思想是，将函数的变分看作是一个新的未知函数，通过对这个未知函数进行变分，求解出使得泛函（函数的函数）取得极值的函数。
在变分法中，我们通常将泛函写成一个积分形式，如下所示：\[J[y]=\int_{a}^{b}F(x,y,y')dx\]其中，\[y\]是未知函数，\[y'\]是\[y\]的导数，\[F(x,y,y')\]是\[x,y,y'\]的函数。
我们的目标是找到使得\[J[y]\]取得极值的\[y\]。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明变分法的应用。
考虑如下的极小化问题：\[J[y]=\int_{0}^{1}(y'^{2}-y^{2})dx\]其中，\[y(0)=0\]，\[y(1)=1\]。
我们的目标是找到使得\[J[y]\]取得极小值的\[y\]。
首先，我们将\[J[y]\]写成泛函的形式：\[J[y]=\int_{0}^{1}(y'^{2}-y^{2})dx=\int_{0}^{1}L(y,y')dx\]其中，\[L(y,y')=y'^{2}-y^{2}\]是拉格朗日密度。
接下来，我们对\[y\]进行变分，即将\[y\]替换为\[y+\epsilon\eta\]，其中\[0\leqx\leq 1\]，\[\epsilon\]是一个无穷小量，\[\eta\]是一个任意函数。
然后，我们将\[J[y+\epsilon\eta]\]展开成泰勒级数：\[J[y+\epsilon\eta]=J[y]+\epsilon\int_{0}^{1}\left(\frac{\partial L}{\partialy}\eta+\frac{\partial L}{\partial y'}\eta'\right)dx+O(\epsilon^{2})\]其中，\[O(\epsilon^{2})\]表示高阶无穷小。
数学分析专题研究第6章极值问题
数学分析专题研究第6章极值问题自我检测题（一）填空题1.若)(x f 在R 上是严格下凸的，则对于R x x ∈∀21,和)1,0(∈∀t ，有不等式 成立。
2.若0)(<''x f ，则)(x f 在R 上是严格 的。
3.若nR S ⊂，且对于S x x ∈∀21,及)1,0(∈∀t ，有S x t tx x t ∈-+=21)1(则称集合S 是 集。
（二）单项选择题4.有界闭凸集S 的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到。
A ．内部 B ．外部 C ． 边界S ∂ D ．可能在内部也可能在边界S ∂5.下列结论不正确的是（ ） A ．凸集的交集是凸集 B ．凸集的并集是凸集C ．凸集内任意两点的连线仍在其内部D ．凸集的线性组合是凸集 6.下列结论正确的是（ ）A ．)(x f 的极值点一定是稳定点B ．)(x f 的稳定点一定是极值点C ．)(x f 的不可导点一定不是极值点D ．可微函数的极值点一定是稳定点 7. 0=x 不是函数（ ）的极值点 A ． 132-=xy B ．xxy e e+=-C ．x x y sin -=D ．xx y e )1(-=8. 函数33812),(y xy x y x f +-=在稳定点（2，1）（ ） A ． 取得极大值 B ．取得极小值C ．不取极值D ．无法判断是否取得极值9.,0),(,0),(='='y x f y x f y x 是函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极值的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件10. 若点),(00y x 是函数),(y x f 的一个稳定点，且在点),(00y x 有二阶连续的偏导数，则函数在点),(00y x 处取得极小值的充分条件是（ ）A ．0),(),()],([0000200=''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xyB ．0),(),()],([0000200>''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xyC ．0),(),()],([0000200<''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy且0),(00>''y x f xx D ．0),(),()],([0000200<''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy且0),(00<''y x f xx答案：1.)()1()())1((2121x f t x tf x t tx f -+≤-+2.上凸3.凸4.C,5.B,6.D,7.C,8.B,9.D,10.C。
趣谈极值问题
趣谈极值问题1 引言在我们生活中经常遇到各种各样的数学问题，应用不同的数学理论来解决相应的问题，会起到意想不到的效果，使我们的生活简单化，并且在日常生活中不断发现数学的美．极值理论是数学分析中一个很重要的知识点，而且在我们现实生活中也有很强的应用价值．希望通过讨论函数极值问题，使我们对相关的定理理解更深刻，也提高解决实际问题的能力，从而加深对函数性质的认识，同时提高自己的数学修养．2 一元函数极值2.1 一元函数极值的概念与求法 定义2.1)92](1[P 若函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内对一切∈x )(0x U 有)(0x f ≥)(x f )((0x f ≤))(x f则称函数)(x f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点．显然，极值是一个局部概念，与其定义中的邻域究竟有多大无关紧要． 定义2.2)93](1[P 若0)(0='x f ，则点0x 称为函数)(x f 的驻点或稳定点．定理2.1（费马定理）)93](1[P 若函数)(x f 在点0x 的邻域),(00δδ+-x x 内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f ．也就是说，可微函数的极值点必定是驻点．费马定理的几何意义是：若函数)(x f 在点0x 处达到极值，且)(0x f '存在，则曲线=y )(x f 在点))(,(000x f x M 处有水平切线．费马定理给出了可导函数取极值的必要条件，但其逆不真．也就是说导数为零的点不一定是极值点，例)(x f 3x =在0=x 处0)0(='f ，但0=x 不是极值点．求极值的方法步骤：(1)求可疑点．可疑点包括：1)稳定点（亦称为驻点，指一阶导数等于零的点）；2)导数不存在的点；3)区间端点．(2)对可疑点进行判断．基本方法是： 1)用定义判断； 2)用实际背景进行判断；3)查看一阶导数的符号，当x 从左向右穿越可疑点0x ，若)(x f '的符号由“正”变为“负”，则)(0x f 为极大值由，“负”变为“正”，则)(0x f 为极小值，不变号，则)(0x f 不是极值．4)若0)(0='x f ，则（1）当0)(0<''x f 时，)(0x f 为极大值（2）当0)(0>''x f 时，)(0x f 为极小值．5)0)(0)(=x f k )1,,2,1(-=n k Λ，0)(0)(≠x f n ，若n 为偶数，则)(0x f 为极值且当0)(0)(<x fn 时)(0x f 为极大值，当0)(0)(>x f n 时)(0x f 为极小值．若n 为奇数，则)(0x f 不是极值．例1 设函数)(x y y =由方程1222223=-+-x xy y y 确定的，求)(x y y =的驻点，并判断其 驻点是否为极值点？解 将1222223=-+-x xy y y 两边对x 求导，有0222462=-'++'-'x y x y y y y y ，得 xy y yx y +--='232． 令0='y ，得x y =，将x y =代入原方程，得12222223=-+-x x x x ，即 0)12)(1(2=++-x x x ， 得驻点1=x ，从而y =1=x ．将0222462=-'++'-'x y x y y y y y ，两边再对x 求导得022224)(46)(12222=-''+'+'+''-'-''+'y x y y y y y y y y y ，将 y =1=x ，0)1(='y 代入上式，得 021)1(>=''y ． 所以)(x y y =在1=x 处取得极小值．例2 设)(x f 在x 0=的某邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim 0=-→xx f x ，问)(x f 在x 0=处有无极值，是极大值还是极小值？解 由02cos 1)(lim0>=-→xx f x 及极限的保号性定理知，在0=x 的某一去心邻域内恒有0cos 1)(>-xx f ，而0cos 1>-x ，所以0)(>x f =)0(f ，说明)(x f 在0=x 处取极值，且为极小值．2.2 利用极值证明相关问题例3 设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导且满足xe xf x x f x --='+''1)]([3)(2，又)(x f 在0x )0(0≠x 处取得极值，证明：)(0x f 是)(x f 的极小值．证明 因为)(x f 在0x 处取得极值，且)(0x f '存在，所以0)(0='x f ． 代入已知等式得：0x ='')(0x f 01x e --，则='')(0x f 01x e x --．当00<x 时 10>-x e⇒0)(0>''x f ；当00>x 时 10<-x e ⇒0)(0>''x f ．所以当0x 0≠时，)(0x f 是)(x f 的极小值．2.3 极值的应用问题所谓最值，指最大值、最小值．它要求极值定义里的不等式在整个定义域里统统成立．也可以 说最值是整体极值．显然内部最值必为极值，反之未必．求最值时，有时为了省事，在求出可疑点之后，不判断极大、极小，可将所有可疑点的值拿来比较，其中最大、最小者就是整体最大、最小值．求函数最值的两种常用情况:(1)单峰函数：若)(x f 在连续的开区间),(b a 内仅有一个极值点0x ，且)(0x f 是极大（小）值时，则)(0x f 必是函数在闭区间],[b a 上的最大（小）值，求解极值应用问题大多属于此种情况．(2)单调函数：若)(x f 在连续的闭区间],[b a 上是单调增加（减少）的，则最值必在区间端点取得．例4)293](5[P 已知小球半径为r ，求其外切圆锥的最小体积．解法一 如图１，记圆锥底圆半径为R ，圆锥高为h ，圆锥中轴线与母线夹角为θ，则rhh r r r h r h R 2)(tan 222-=--==θ，r h h r R 222-= 故圆锥体积 r h h r h R V 2331222-⋅==ππ．令0)2()4()2(22=--='-r h r h h r h h h ，得0=h ，r 4． 因为0=h 不合题意，故r h 4=．⋅='32r V π2)2()4(r h r h h --在r h 4=邻域里从左到右由负变为正，故 38423322minr r h r h h r V ππ==-⋅=．图1解法二 r r r h ⋅+=+=θθθsin sin 1sin ，θtan ⋅=h R h h V ⋅=2)tan (31θπ)1()1(31cos sin )1(sin 3123233x x x r r-+=+=πθθθπ（其中令x =θsin ）， 令0)1()1(2='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，得311=x ，12-=x (舍去)，实际背景有最小值，只有一个可疑点． 故 383minr V π= (这时31sin =θ)．例5 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租定为x 元时可获得的收入为)(x f ，则租出去的公寓数目为50350050100050xx -=--由题意知5035003600)100(503500)(2-+-=--=x x x x x f令 05036002)(=+-='x x f ， 得=x 1800．Rrhθ又因为0251)(<-=''x f ，所以当=x 1800时，)(x f 取得极大值即最大值． 故房租定为1800时，可获得最大收入．注 求实际问题的极值时要注意：(1)要明确目标函数；(2)必须选择恰当的自变量，使之能最简捷地表达目标函数．3 多元函数极值多元函数极值是多元函数微分学的重要应用，这里我们以二元函数为例进行讨论． 3.1 自由极值 定义3.1)136](2[P 设函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有定义，若对于任何点)(),(0P U y x P ∈，恒有)()(0P f P f ≤ （或)()(0P f P f ≥）则称函数f 在点0P 取得极大（或极小）值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点．定理3.1（极值的必要条件）)136](2[P 若函数f 在点),(000y x P 存在偏导数，且在0P 取得极值，则有 0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ．定义3.2)136](2[P 若函数f 在点0P 满足0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则称点0P 为函数f 的稳定点．注 若f 存在偏导数，则其极值点必是稳定点，但稳定点并不都是极值点．如xy y x z =),(，原点为其稳定点，但它在原点并不取得极值．求自由极值的方法步骤：(1)求可疑点，可疑点包括：1)稳定点（即一阶偏导数同时等于零的点）；2)使至少某一阶偏导数不存在的点．(2)对可疑点进行判断．基本方法是： 1)用定义判断； 2)用实际背景进行判断；3)利用二阶导数：若),(00y x f x '=0),(00='y x f y ，记=A 2xy yy xxf f f ''-''''),(00y x ，则当0>A ，且xxf ''0),(00>y x 时，f 在),(00y x 处取（严格）极小值；当0>A ，且xxf ''0),(00<y x 时，f 在),(00y x 处取（严格）极大值；当0<A ，f 在),(00y x 处无极值．多元函数极值有一个观念值得澄清：一元函数的极大值与极小值总是交替地出现，多元函数谈不上交替，甚至只有一种极值（无穷多个），如例6 )689](5[P 证明函数z =),(y x f =yyye x e -+cos )1(有无穷多个极大值，但无极小值．证明 ='x f )1(ye +)sin (x -，yf 'y e y x )1(cos --=，令x f '=0，y f '=0，解方程，可得无穷多个稳定点)1cos ,(),(-=ππn n y x n n ),3,2,1,0(Λ±±±=n ．当n 为偶数时，在),(n n y x 上，=A 022>=''-''''xy yy xxf f f ，02<-=''xx f ． 故f 在)0,2(πk 上取极大值),3,2,1,0(Λ±±±=k ．当n 为奇数时，在),(n n y x 上，0)1(222<+-=''-''''--e e f f f xy yy xx． 此处无极值，总之，f 有无穷多个极大值而无极小值．3.2 条件极值函数满足若干条件（约束方程）的极值称为条件极值． 求条件极值的方法：(1)化为无条件极值，例如求z =),(y x f 在条件0),(=y x ϕ下的极值，若可由0),(=y x ϕ解出)(x y y =代入z =),(y x f 便化为无条件极值．(2)拉格朗日数乘法，如求z =),(y x f 在条件0),(=y x ϕ下的极值，作辅助函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=⎪⎩⎪⎨⎧=='+'='+'0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕϕλϕλ 解此方程组，求出),,(λy x L 的驻点),,(000λy x ，),(00y x 是z =),(y x f 在条件0),(=y x ϕ下可能的极值点．例7 设生产某种产品的数量与所用原料A 、B 的数量x 、y 间有关系式y x y x P 2005.0),(=，欲用150元购料，已知A 、B 两种原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产的数量最多？解 该题是函数y x y x P 2005.0),(=在1502=+y x 条件下的最大值问题，令)1502(005.0),(2-++=y x y x y x F λ由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+='=+='0150202005.0001.02y x x F xy F y x λλ得 ⎩⎨⎧==25100y x当购进A 、B 两种原料的数量分别为100和25时，生产的数量最多，为125件．3.3 求函数在闭区域上的最大值、最小值一般方法：先求函数在区域内部的极大极小值，以及边界上的（条件）极大极小值，然后进行比较．或者，直接将全部可疑点的值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值．例8 确定),(y x f 224y xy x ++=在圆域122≤+y x 上的最大值和最小值．解 因为04),(2>+='y y x f x ，所以在圆内无极值，最大值、最小值均在圆周122=+y x 上取得，这时 )(514),(3222x x x x y xy x y x f ϕ≡--+=++=， 令 0)1)(35(325)(2=-+=--='x x x x x ϕ，根据)(x ϕ'的符号，可知)(x ϕ在]1,1[-上，1-=x 处取最小值，1=x 处取最大值． 从而4)0,1(max ==f f ，4)0,1(min -=-=f f ．3.4 利用极值证明不等式 例9)695](5[P 求证:1)1(),(-<-=e x yx y x f y ，10<<x ，+∞<<y 0．证明 ),(y x f 在区域10<<x ，+∞<<y 0的边界上恒为0，而区域内部0),(>y x f ．故),(y x f 的最大值只能在内部取得．)()1(),(112x xy y yx yx x x y y x f y y y x --=--='--．x x yx x x y x f y y y ln )1()1(),(-+-=')ln 1)(1(x y x x y +-=．令0),(),(='='y x f y x f y x ，在10<<x ，+∞<<y 0内求稳定点， 得 0=--x xy y 即x x y =-)1( (1) 及 0ln 1=+x y 即1-=e x y (2)这表明),(y x f 在10<<x ，+∞<<y 0内最大值点应满足方程(1)、(2)．然而在(1)、(2)所确定的点上 11)1(),(--<=-=e x e x yx y x f y，所以1)1(),(-<-=e x yx y x f y (10<<x ，+∞<<y 0)．3.5 极值的应用问题例10 某公司通过电台及报纸做商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)与电台广告费1x 万元及报纸广告费2x 万元的函数关系为22212121211028321415),(x x x x x x x x R ---++=,求：(1)在不限广告费时的最优广告费策略．(2)在仅用5.1万元做广告费时的最优广告费策略．解 (1)最优广告策略，即用于电台和报纸的广告费为多少时，可使商品的利润),(21x x L 最大，故目标函数为利润函数，这是一个二元函数的无条件极值问题．记电台和报纸的广告费之和为),(21x x C ，则2121),(x x x x C +=，于是=),(21x x L -),(21x x R =),(21x x C 222121211028311315x x x x x x ---++ )0,0(21>>x x ， 令 ⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='02083104813211221x x L x x L x x， 解得⎩⎨⎧==25.175.021x x ．所以在不限广告费时的最优广告费策略是用于电台和报纸的广告费各为75.0万元和25.1万元．(2)这是一个条件极值问题，约束条件为5.121=+x x ，一般地从这一约束条件中解出215.1x x -=，代入利润函数得22222222210)5.1(2)5.1(831)5.1(1315)(x x x x x x x L -----+-+=22241230x x -+= )5.10(2≤≤x ，于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题．由于08122≥-='x L )5.10(2≤≤x ，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在5.12=x 时取得极大值．因此，在仅有5.1万元做广告费的条件下，相应的最优广告费策略是将其全部用于报纸广告费用，而不做电台广告．。
数学极值问题总结
数学极值问题总结在数学领域中，极值问题是一个广泛研究的主题。
极值问题涵盖了最大值、最小值和临界值等相关概念。
它在数学建模、优化问题和物理学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍数学极值问题的基本概念以及解决这些问题的常用方法。
1. 极值问题的定义极值是一个函数取得的局部最大值或最小值。
具体而言，设函数 f(x) 在区间 I上有定义，则 x = c 是 f(x) 在 I 上的一个极值点，如果对于x ≠ c，有f(x) ≤ f(c) 或f(x) ≥ f(c)，则称 f(x) 在 x = c 处取得一个极大值或极小值。
极值问题通常涉及到找出使得函数取得极值的变量值。
解决这类问题的关键是找到极值点，并通过一定的方法进行判定。
2. 寻找极值点的方法2.1 导数法导数法是解决极值问题的常用方法之一。
通过求解函数的导数，可以找到导数为零的点，即潜在的极值点。
然后通过导函数的符号进行判定，确定该点是否为极大值或极小值。
以函数 f(x) 为例，首先求出它的一阶导数f’(x)。
然后将f’(x) = 0 的方程求解，求得解 x = c。
接下来，通过f’(x) 的符号变化判断 c 是否为极大值或极小值：•若在 x < c 区间内f’(x) > 0，而在 x > c 区间内f’(x) < 0，则 c 是极大值点。
•若在 x < c 区间内f’(x) < 0，而在 x > c 区间内f’(x) > 0，则 c 是极小值点。
2.2 二阶导数法在某些情况下，使用二阶导数的方法可以更方便地找到极值点。
类似于导数法，首先求解二阶导数f’’(x) = 0 的解，然后根据二阶导数的符号判断该点是否为极大值或极小值。
具体判断规则如下：•若f’’(x) > 0，则 x = c 是极小值点。
•若f’’(x) < 0，则 x = c 是极大值点。
二阶导数法相对于一阶导数法的优势在于，可以通过二阶导数的正负判定来确定极大值和极小值，无需考虑正负号的变化。
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数学分析专题研究第6章极值问题
自我检测题
（一）填空题
1.若)(x f 在R 上是严格下凸的，则对于R x x ∈∀21,和)1,0(∈∀t ，有不等式 成立。
2.若0)(<''x f ，则)(x f 在R 上是严格 的。
3.若n
R S ⊂，且对于S x x ∈∀21,及)1,0(∈∀t ，有
S x t tx x t ∈-+=21)1(
则称集合S 是 集。
（二）单项选择题
4.有界闭凸集S 的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到。
A ．内部 B ．外部 C ． 边界S ∂ D ．可能在内部也可能在边界S ∂
5.下列结论不正确的是（ ） A ．凸集的交集是凸集 B ．凸集的并集是凸集
C ．凸集内任意两点的连线仍在其内部
D ．凸集的线性组合是凸集 6.下列结论正确的是（ ）
A ．)(x f 的极值点一定是稳定点
B ．)(x f 的稳定点一定是极值点
C ．)(x f 的不可导点一定不是极值点
D ．可微函数的极值点一定是稳定点 7. 0=x 不是函数（ ）的极值点 A ． 13
2
-=
x
y B ．x
x
y e e
+=-
C ．x x y sin -=
D ．x
x y e )1(-=
8. 函数3
3
812),(y xy x y x f +-=在稳定点（2，1）（ ） A ． 取得极大值 B ．取得极小值
C ．不取极值
D ．无法判断是否取得极值
9.,0),(,0),(='='y x f y x f y x 是函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极值的（ ）
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非必要条件
10. 若点),(00y x 是函数),(y x f 的一个稳定点，且在点),(00y x 有二阶连续的偏导数，则函数在点),(00y x 处取得极小值的充分条件是（ ）
A ．0),(),()],([0000200=''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
B ．0),(),()],([00002
00>''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
C ．0),(),()],([0000200<''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
且0),(00>''y x f xx D ．0),(),()],([0000200<''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
且0),(00<''y x f xx
答案：
1.)()1()())1((2121x f t x tf x t tx f -+≤-+
2.上凸
3.凸
4.C,
5.B,
6.D,
7.C,
8.B,
9.D,10.C。