VI模型解决基于路径的UE交通分配问题

VI模型解决基于路径的UE交通分配问题

在静态交通流分配问题的研究中，配流原则主要为Wordrop提出的第一、第二原理，满足Wordrop第一原理的交通流状态称为用户均衡（User Equilibrium，简称UE）。静态用户均衡交通分配理论作为现代交通运输系统的重要理论之一，采用变分不等式模型来解决分配问题日益成为国际上的研究热点。文章采用变分不等式模型解决基于路径的UE交通分配问题，最终得到最优的交通配流。

标签：用户最优；变分不等式；交通分配

1 变分不等式的概念

Hartman-Stampacchia变分不等式是指求x*∈k，使得

（1）

其中k∈Rn为一非空闭凸集，F（x）：k→Rn是一连续映射。变分不等式（1）是20世纪60年代中期Hartman、Stampacchia等人在创建变分不等式理论的基础时提出和研究的第一个变分不等式，它在经济数学、对策论、最优化理论及网络平衡模型中有着广泛而重要的应用[1]。

公式（1）与数学规划之间的联系一开始就受到很大重视。当F（x）为一凸函数的梯度时，显然式（1）可以转化为一等价的可微数学规划问题，Carey详细论述了这一关系在经济平衡中的应用。一般非对称情况下式（1）不再有上述意义下的最优化等价表示。

Fukushima 1992年通过引进正则化方法给出了式（1）的一种可微最优化等价表示；T. Larsson和M. Patriksson 1994年又给出了更一般的一类可最优化等价表示，从而从理论上回答了式（1）与可微数学规划之间的关系，并依此给出了相应的式（1）的优化解法。我们发现建立变分不等式与对策规划之间的联系有利于实际问题的模型建立与求解分析[2]。

2 基于路径的UE交通分配

对众所周知的平衡交通网络问题一般有方式来解决，一种是基于网络路径流量，另一种是基于网络路段流量。因此，解决方法可以大致分为两类运行的解空间算法。传统的解决问题方法是基路段的算法，基于路径的方法也有所考虑。我们相信，选择基于路径流量为变量有以下几个原因。一个主要的原因是解决交通分配问题的路径流动空间自动为所有的路由路径提供了平衡流量。基于路段流量的算法，而是需要提供的程序来产生一个平衡路径流量。另一方面，有许多应用程序路径流量的解决方案都需要输入，如始发地/目的地（即O/D）矩阵估计和尾气排放分析。

常用的交通网络模型是给出一个全连通的有向图表示为G（N，A），其中N 代表节点集合，A代表路段集合。用W表示O/D对集合。对每一个w∈W有一个已知的需求dw>0代表交通进入和退出网络起点和终点的频率。需求dw分布在与O/D对w相关的路径上，这些路径表示为Pw。Fn表示某个O/D对上可行路径p的路径流量，F表示可行路径流量向量，p∈P，w∈W。我们表示可行路径流量向量为

（2）

对每条路段a的路段流量fa是所有经过该路段的流量之和，路段流量向量f=（fa）a∈A，给定f=？啄F，这里？啄是一个路段-路径关联矩阵：

对每一个路段，都有一个非负的路段费用函数Cp（F），它代表了路段a的阻抗，取决于路段流量向量f。相应的路径成本函数则假设具有可加性；即路径p上的行驶时间Cp（F）是在该路径上所以路段的旅行时间总和：

（3）

因而路径成本向量函数是C（F）=？啄Tc（？啄F）。根据Wordrop平衡原理，交通网络平衡问题是要找到一个最少成本的路径流量向量F*∈X。

3 变分不等式解决交通分配问题

众所周知[5]，这个问题等价于下面的变分不等式问题（VI），它包括找到一个向量F*∈X，如：（4）

这里的表示内积。

一般优化问题的特征是：有一个取最小或最大值的目标，同时满足一定的约束。因此，优化问题可描述为：

（5）

其中Cp（F）是优化目标，f为决策变量的函数，？赘是可行集。

由用户平衡条件：

（6）

确定该变分不等式问题的非线性互补问题：

（7）

因此，变分不等式问题（4）可具体写成以下形式：

寻找f*∈？赘，使得

（8）

4 算法

求解VIP的一般迭代格式中实际上包括许多算法，如：投影算法、线性化方法、松弛方法（对角化方法）、交替方向法以及其它一些新方法。

在实际中，求解变分不等式就是要进行搜索确定x*∈D？哿En，使得（9）

本文采用对角化算法，在一般的迭代格式中，对角化算法相应选择为：（10）

对变分不等式的对角化算法描述如下：

第一步：初始化。从初始可行点f0∈？赘开始，m=1令。

第二步：对角化。求解数学规划子问题：

得到解fm。

第三步：收敛性检验。若||fm-fm-1||？燮？着，则停止（？着为事先给定的迭代精度）。否则，令m=m+1，转第二步。

在步骤一中，初始可行解可由全有全无分配模型计算得到，O/D对间的流量全部分配到网络上的最短路径上，而其他的路径上的流量为0。

参考文献

[1]陈星光，周晶，李卓君，朱振涛.多维动态用户最优出行选择的变分不等式模型[J].管理工程学报，2009，23（1）.

[2]李毅.城市交通网络动态运量分配问题的建模理论与方法研究[J].公路交通科技，2002（9）.

[3]Vincent T L，Grantham W J.Optimality in Parametric System s.John Wiley & Sons，1981.

[4]Dafermos，S.：Traffic equilibrium and variational inequalities.Transp.Sci.14，42-54（1980）.

[5]张晓峰，陈鸿杰，王军利.浅析交通分配理论[J].中國人民公安大学学报，2007（1）.