第十讲 自然数串趣题

第十讲 自然数串趣题
从1开始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……连起来成一串，像一串糖葫芦，我们把这样的一串数叫作自然数串（也叫自然数列），其中的每一个数都叫作自然数。

自然数串的特点是：
①从1开始，1是头；
②在相邻的两个数中，后一个数比前一个数大1；
③后面的数要多大有多大，也就是说，自然数串是有头无尾的。

在自然数串中，如果写到某一个数为止，就叫做有限自然数串，也简称自然数串。

这一讲的题目，都是与（有限）自然数串有关的。

例1 如下页图所示。

一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。

小军拣起来一看，糟糕，少了两张。

根据下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗？
解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自然数是相邻的。

仔细观察找到的材料的页码，根据自然数串的特点，可知少了的两张纸的页码是（7、8）和（13、14）。

例2 从1连续地写到100，“0”出现了多少次？
解：“0”出现了11次。

因为从1到100含有“0”的自然数是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。

数一数，这些自然数中共有11个“0”。

例3 把1，2，3，4，5，……28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？
解：把这个数写出一部分来看看：
123456789101112131415 (282930)
下面，分段计算这个数共包含有多少个数字：
1至9共有9个数字；
10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有2×10=20个数字。

20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字。

30这个数由两个数字组成。

所以这个数所包含的数字总数是：
9+20+20+2=51（个）。

例4 小青每年都和家长一起参加植树节劳动。

七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。

现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。

请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？
解：先把小青每年种几棵树写出来
再把每年种树的棵树加起来
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。

例5 如下图所示。

商店的货架上堆放着一堆火腿肠。

你能很快地算出它的总数有多少根吗？
解：从上向下数，每层的火腿肠的根数组成一个自然数串，1，2，3，4，5，6，7，8，9
方法1：利用凑十法求和
方法2：用两串数“头尾相加”法求和
和=90÷2=45
这种自然数串的求和方法很巧妙，很重要，希望同学们能学会它。

例6 把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16填入正方形的方格中，使每一横行竖行、斜行的四个数相加得数都是34。

解：（1）把这16个数依次排成如下四行
（2）把带箭头的线的两端的数互换
（3） 互换后，把16个数填到正方形的空格里你会发现每一横行、竖行、斜行的四个数相加的和都等于34。

如果你仔细观察的话，还可以发现这个图中的奇妙的性质：不但每一横行、每一竖行和每一斜行的四个数相加之和都等于34，而且
①四个角上的四个小正方形里的四个数之和都是34；
②中间的一个小正方形里的四个数之和也是34；
③大正方形四个角上的四个数相加之和也是34。

真是不可思议！人们给它起了个有趣的名字——幻方。

见图。

例7 如果全体自然数如下表排列，请问
① 数20在哪个字母下面？
② 数27在哪个字母下面？
③ 数70在哪个字母下面？
④ 数71在哪个字母下面？
解：仔细观察可以发现排列的规律：开头的七个数1，2，3，4，5，6，7分别排在A，B，C，D，E，F，G的下面以后每加七个数就又从头排起，如1+7=8，1+7+7=15，则8和15都和1那样，排在字母A的下面利用这个规律，就能求出哪个数在哪个字母下面。

①20=6+7+7，
可见20和6排在同一个字母下，即在字母F下面；
②27=20+7=6+7+7+7，
可见27也是排在字母F的下面；
可见70排在字母G下面；
④71=1+70，
可见71和1都排在字母A的下面。

习题十
1．小明从1写到100，他共写了多少个数字“9”？
2．把1到12这十二个数每两个数分为一组，要求每组的两个数之和都相等，怎么分？和是多少？
3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数编三个算式，一个加法、一个减法、一个乘法，每个数只许用一次。

4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，写成三个三位数，使它们的和等于1953。

5．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，写成三个三位数，使它们的和等于1989。

6．一只老猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠。

老猫自言自语地说：“我要分三批吃它们。

不过吃以前叫它们站好队，我从头一个开始吃，隔一个吃掉一个，也就是：我第一次吃掉站在第1，3，5，7，9，11号位置的小老鼠；剩下的叫它们不许动，第二次还是从头一个吃起，隔一个吃一个；第三次也是照这个办法吃。

但把最后剩下的一个放了。

”这话被聪明的小白鼠听见了，于是它站在了某个号的位置上，最后没有被吃掉。

小朋友，你知道小白鼠站的是第几号位置吗？
7．所有自然数都按下表排列，问：
（1）21排在第几列的下面？
（2）30排在第几列的下面？
8．一个排版工人给一本1至50页的书排页码，如果书的页码的每一个数字都用不同的铅字块，问他一共要用多少铅字块？
9． 把1至16这十六个自然数巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有趣的幻方。

右图是个未完成的幻方，当它被填满时，它的每行、每列和每条对角线上四个数字的和都相等。

请你继续把这个幻方完成。

习题十解答
1．解：小明共写了20个数字“9”。

因为从1到100的数中有18个数含有一个数字“9”，它们是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98。

另外自然数99含有两个数字9。

2．解：自然数串有一个特点，相邻的两个数中，后一个比前一个大1，因此可以进行如下的搭配分组：
最小的数1和最大的数12成一组（1，12）；
次小的数2和次大的数11成一组（2，11）；
……
中间的两个数6和7成一组（6，7）；
各组两个数相加之和都是13。

3．解：从受限制最强的乘法算式入手，在这九个数中两个数相乘的积等于另一个数而不发生重复数字出现的，只有2×3=6和2×4=8；经试验，可选用2×3=6，则剩下的六个数可组成两个等式1+7=8和4+5=9。

再经过适当的变换就可以列出满足题目要求的算式（答案不惟一）。

1+7=8
9-4=5
2×3=6。

4．解：分拆1953=1800+140+13
再分拆13=9+3+1 作为三个数的个位上的数字；
14=8+4+2 作为三个数十位上的数字；
18=7+6+5 作为三个数的百位上的数字；
于是，得到的三个数是789，643，521，检验：
注意：此题答案不惟一，同学们还可以试着写出符合题目要求的其他三个数。

5．解：思路与第4题相同，
分拆1989=1800+180+9
再分拆18=8+6+4作为三个数的百位上的数字；
18=9+7+2 作为三个数的十位上的数字；
9=1+3+5 作为三个数的个位上的数字；
于是，得到的三个数是891，673，425，
检验：
符合题意。

6．解：按猫吃老鼠的过程顺序进行思考；老鼠站好队，
可见聪明的小白鼠如果站在第8号位置上就可以不被吃掉。

7．解：方法1：把下图的自然数继续写下去，一直写到21为止，就可以知道：21在第二列，30在第三列。

方法2：仔细观察表中自然数的排列，可以发现每经过7个数字就又会重新从第一列开始，完全重复前面的排列情况，由此，可以找到一个通过计算找出某个自然数在第几列的方法：
30-7-7-7-7=2
这就是说30和2在同一列即在第三列。

8．解：分段计算：
从1至9页，共9页，每页用一个铅字块共有1×9=9（块）；
从10至19页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
从20至29页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
从30至39页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
从40至49页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
第50页，共1页（但为两位数）用两个铅字块，
所以：50页书共用9+20+20+20+20+2=91（块）（铅字）。

9． 解：见图，仔细观察可看出有一条对角线上的四个数都给出来了。

这四个数相加之和是12+9+5+8=34由此可求第3行第一列空格中的数是10；即5+16+3=24，
34-24=10。

第4行第三列上空格中的数是2，即
7+9+16=32，34-32=2。

接着可继续求出其他空格中数。