平面曲线的弧长

一、平面曲线弧长的概念
设 A 、 B 是曲线弧上的两 y 个端点， 个端点，在弧上插入分点
M2 M1 M n 1
B = Mn
A = M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n = B
o
A = M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线， 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
的全长. 四 、求心形线 r = a ( 1 + cos θ ) 的全长. 证明： 五 、证明：曲线 y = sin x ( 0 ≤ x ≤ 2 π ) 的弧长等于椭圆 x 2 + 2 y 2 = 2 的周长. 的周长. 六 、在 摆线 x = a ( t sin t ), y = a ( 1 cos t ) 上求 分 摆 的点的坐标. 线第一拱成1 : 3 的点的坐标.
= ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
弧长 s = ∫
β α
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt .
的全长. 例 3 求星形线 x + y = a ( a > 0) 的全长
2 3
2 3
2 3
x = a cos 3 t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 解 星形线的参数方程为 3 y = a sin t
y
} dy
o a x x + dx b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx )2 + (dy )2 = 1 + y′ 2 dx
s = ∫ 1 + y′ 2 dx . 弧长元素Baidu Nhomakorabeads = 1 + y′ dx 弧长 a
2
b
2 3 例 1 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从 a 到b 的一段 3
s2 = 2∫
= 2∫
0
π
(sin t )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
0
1 + a 2 cos 2 t dt
= 2∫
π
0
1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
故原结论成立. 故原结论成立
四、极坐标情形
曲线弧为 r = r (θ )
(α ≤ θ ≤ β )
上具有连续导数. 其中 (θ )在[α , β ]上具有连续导数
2π
θ + 1dθ
2
a = 2π 1 + 4 π 2 + ln( 2π + 1 + 4 π 2 ) . 2
[
]
五、小结
平面曲线弧长的概念 弧微分的概念
求弧长的公式 参数方程情形下 极坐标系下
直角坐标系下
思考题
闭区间[a , b] 上的连续曲线 y = f ( x ) 是否一定可求长？ 是否一定可求长？
x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
2
(α ≤ θ ≤ β )
2
∴ ds = (dx ) + (dy ) = r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ ,
弧长 s = ∫
β α
r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ .
θ 例 5 求极坐标系下曲线 r = a sin 的长. 的长. 3 ( 0 ≤ θ ≤ 3π) π ( a > 0)
sin t + cos t dt = n∫ = 4n. 0 2 2
π
三、参数方程情形
x = (t ) , 曲线弧为 y = ψ (t )
(α ≤ t ≤ β )
上具有连续导数. 其中 ( t ), ψ ( t ) 在[α , β ]上具有连续导数 .
ds = (dx )2 + (dy )2 = [ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )](dt )2
练习题答案
a 2 1 3 5 3 2、 3、 一、1、1 + ln ； 2、 π ； 3、 + ln . 2 2 12 2 2 3 8 5 二、 [( ) 2 1]. 9 2 三、6a . 四、8a .
2 3 3 )a, a ) . 六、(( π 3 2 2
根据对称性 s = 4s1 第一象限部分的弧长
π 2 0
= 4∫
π 2 0
′)2 + ( y′)2 dt = 4∫ 3a sin t costdt (x
= 6a .
例 4 证明正弦线 y = a sin x ( 0 ≤ x ≤ 2 π ) 的弧长
x = cos t 等于椭圆 y = 1 + a 2 sin t
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够， 不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长． 曲线光滑才可求长．
练习题
填空题： 一、填空题： 1 、曲线 y = ln x 上相应于 3 ≤ x ≤ 8 的一段弧长为 ____________； ____________； 2 、渐 伸 线 x = a(cos t + t sin t ) ， y = a (sin t t cos t ) 的一段弧长为______ ______； 上相应于 t 从 0 变到 π 的一段弧长为______； 3 4 3 、曲 线 rθ = 1 自 θ = 至 θ = 一 段 弧 长 为 4 3 ____________ . 2 x 2 3 2 二、计算半立方抛物线 y = ( x 1) 被抛物线 y = 3 3 截得的一段弧的长度 . 三、计算星形线 x = a cos 3 t ， y = a sin 3 t 的全长 .
2
3 θ = a ∫ sin dθ = πa. 0 3 2
例 6
求阿基米德螺线r = aθ ( a > 0) 上相应于
θ 从0 到 2π 的弧长 的弧长.
解
∵ r′ = a,
β
∴ s = ∫α
=∫
0
′ 2 (θ )dθ r (θ ) + r
2
2π
a θ + a dθ = a ∫0
2 2 2
证 设正弦线的弧长等于s1
( 0 ≤ t ≤ 2 π ) 的周长 的周长.
s1 = ∫
2π
0
1 + y′ dx = ∫
2
2π
0
1 + a cos xdx
2 2
= 2∫
π
0
1 + a cos xdx ,
2 2
设椭圆的周长为 s2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
π
根据椭圆的对称性知
解
x 1 x y′ = n sin = sin , n n n
s = ∫a
b
x = nt
= n∫
π
1 + y′ 2 dx = ∫
nπ
0
∫0
π
x 1 + sin dx n
2
1 + sin t ndt
2
0
sin t + cos t + 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
弧的长度. 弧的长度
解 ∵ y′ = x ,
1 2
∴ ds = 1 + ( x )2 dx = 1 + xdx ,
a b
1 2
所求弧长为
s = ∫a
b
2 1 + xdx = [(1 + b) (1 + a ) ]. 3
3 2 3 2
例 2 计算曲线 y =
∫
x n
0
n sinθ dθ 的弧长( 0 ≤ x ≤ nπ ) .
3
θ 解 ∵ r ′ = 3a sin cos = a sin cos , 3 3 3 3 3
2
θ
2
θ 1
θ
∴ s = ∫α
=∫
β
r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ
θ θ a 2 sin + a 2 sin 3 3
6
2
3π
4
0
3π
cos θ dθ 3
的极限存在， 此折线的长∑ | M i 1 M i |的极限存在，则称此极限为
i =1 n
的弧长. 曲线弧 AB 的弧长
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为 x ，在[a , b] 上任取小区间[ x , x + dx ]，