高一数学函数的定义域与值域

第2课时

函数的定义域与值域

函数的定义域

求下列函数的定义域：(1)y ＝

1

2－|x |

＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ；

(3)y ＝

x －1

2x －log 2(4－x 2)；(4)y ＝1

log 0.5(x －2)＋(2x －5)0

.

解(1)－|x |≠0，2－

1≥0，≠±2，

≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x

≠±2}．(2)－x 2

≥0，

x >0，

5≤x ≤5，k π－π2

2

(k ∈Z ).

所以函数的定义域为－5，－32π－π2，

5

.(3)

0，>0，

解得－2

[1,2)．(4)0.5(x －2)>0，x

－5≠0

x <3

，≠52

，∴

思维升华(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．

(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．

函数的值域

例1

(2019·长沙月考)求下列函数的值域：

(1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(2)y ＝

2x ＋1

x －3

；(3)y ＝2x －x －1；(4)y ＝x ＋1＋x －1.解

(1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，

由x ∈[0,3)，

再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．

(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3

＝2＋7

x －3，

显然7x －3≠0，∴y ≠2.

故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2

t －

1

42＋158

，

由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为15

8，＋∞

(4)函数的定义域为[1，＋∞)，

∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．

结合本例(4)求函数y＝x＋1－x－1的值域．解函数的定义域为[1，＋∞)，

y＝x＋1－x－1＝

2

x＋1＋x－1

，

由本例(4)知函数y＝x＋1＋x－1的值域为[2，＋∞)，

∴0<

1

x＋1＋x－1

≤

2

2，

∴0<

2

x＋1＋x－1

≤2，

∴函数的值域为(0，2]．

思维升华求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．

跟踪训练1求下列函数的值域：

(1)y＝1－x2

1＋x2；

(2)y＝x＋41－x；

(3)y＝2x2－x＋1

2x－1x>1 2

解(1)方法一y＝1－x2

1＋x2＝－1＋

2

1＋x2，

因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<2

1＋x2≤2.

所以－1<－1＋

2

1＋x2≤1.

即函数的值域为(－1,1]．

方法二由y＝1－x2

1＋x2，得x

2＝

1－y

1＋y

.

因为x2≥0，所以1－y

1＋y≥0.

所以－1

(2)设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2，

所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，

所以原函数的值域为(－∞，5]．

(3)y ＝

2x 2－x ＋12x －1＝

x (2x －1)＋1

2x －1

＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋1

2

，

因为x >12，所以x －1

2>0，

所以x －1

2＋12x －1

2

≥＝2，当且仅当x －1

2＝1

2x －1

2，即x ＝1＋

22时取等号．

所以y ≥2＋1

2

，即原函数的值域为

2＋1

2

，＋定义域与值域的应用

例2

(1)(2020·广州模拟)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为

________．答案－9

2

解析

函数f (x )的定义域是不等式

ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为

{x |1≤x ≤2}，

<0，＋2＝－b ，

×2＝b

a ，

＝－3

2，

＝－3，

所以a ＋b ＝－32－3＝－9

2

.

(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解

令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y

＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．

思维升华已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函