数学中的逻辑推理汇总
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注 数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出 数学思维特有的规律。数学思维应是指数学活动过程中的思维，这种活动 包括研究数学和学习数学的活动。不论是研究数学还是学习数学，数学思 维都贯穿在发现问题和解决问题之中。 数学思维的成分主要包括逻辑思维、形象思维和直觉思维。概括如下： ◆逻辑思维又称抽象思惟，是思维的一种高级形式。其特点是以抽象的概念、 判断和推理作为思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概括和具体 化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系。 ◆形象思维是凭借事物的具体形象和表象的联想来进行的思维。它具有层次 性，较低层次的形象思维主要以物体的具体形象作为思维材料，其思维过程 仍保持着思维与实际动作的联系，接近于具体的动作思维。
数学方法论
第三章 数学中的逻辑推理
0 数学思维概述
一、思维与数学思维 1.思维 思维是多种学科的研究对象。从心理学的角度分析，“思维是人脑对 客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。” 思维具有 （1）问题性（2）间接性（3）概括性（4）语言性 思维的分类 ： ★根据思维的抽象程度分类，思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象 逻辑思维。
数学思维概述
4．数学思维的独创性 思维的独创性指独立思考创造出有一定价值和
新颖成果的智力品质，是人类思维的高级形态，是智力的高级表现。 在数学学习中，思维的独创性表现为善于独立地思考和分析问题，寻 求多种途径解决问题，或者能从旧问题引申出一些新问题。思维的独 创性较多地寓于发散思维和直觉思维之中。
§1 归纳推理
2．类分法 所谓分类，用集合语言可定义如下：
2，…，n)为该分类下的一个类。
交直线PQ于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆。
§1 归纳推理
二、不完全归纳法 根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都 具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。 高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作 为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们 提供研究方向。素数分布论中许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄 里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想，然后再经 严格数学推导，设法给予证明的。 在数学中，不完全归纳法又可分为枚举归纳法与因果关系归纳法。 1．枚举归纳法 枚举归纳法是先找几个特殊对象进行试验，然后归纳出共性特征，最 后提出一种比较合理的猜想的推想方法。它的步骤可概括为“试验——归 纳——猜想”，至于要考察多少个特殊对象，那要看具体情况。
★根据思维的目的性分类，思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。
★按思维的智力品质分类，思维可分为再现性思维和创造性思维。 ★按思维的形式不同分类，思维可分为辐合思维和发散思维。
数学思维概述
2.数学思维 数学思维从属于一般思维，它是人脑对数学对象理性的认识过程，是 对数学学科的本质属性与数学对象间关系的反映。数学思维既有一般思维的共性， 又具有自身的特性。
归纳推理是通过各种手段(观察、实验、分析、比较等)对许多个别事 物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡 到普遍化的一般法则的推理方法。
归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。 一、完全归纳法 完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数 学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。 1．穷举归纳法 穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某 类事物进行研究时，把它所有的对象的属性分别讨论，当肯定了它们都有某一 属性(作出特称判断)，从而得到这类事物都有这一属性的一般结论(全称判断) 的归纳推理。
5．数学思维的批判性 思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思
维材料和精细地检查思维过程的智力品质，反映了思维活动中独立分 析和批判的程度。它表现为善于独立思考、提出疑问，能及时发现和 纠正错误；能够自我地对解决问题过程进行评价，自觉调控思维进程； 能够对问题本身进行评价，从而对问题进行推广。
§1 归纳推理
数学思维概述
◆直觉思维指人们运用视觉形象或表象，经过高度的简缩思维活动，迅速 地、直接地、综合地作出判断的思维方式。其特征主要有以下两个方面：
第一，思维的简缩性。通常可以用一种抽象的度量单位来测量数学思 维的长短，这个度量单位称为思维链。对同一个问题有不同解决方法， 也就是存在长度不同的思维链。
第二，思维的整体性。思维者不着眼于细节的逻辑分析，而是从整体上 把握其本质。 著名数学家庞加莱曾对直觉思维的整体性作过精彩的描述：“一个数学 证明并不是若干个三段论的简单并列，而是众多的三段论在确定的序之 中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身主要得多。一旦 我们感觉到它，也就是说，直觉到这个序，以至我们一眼之下就能领悟 了整个推理，我们就再也不必害怕会忘掉任何元素。因为每个元素都将 在序中各得其所，而这是不需要我们付出任何记忆上的努力的。”
Βιβλιοθήκη Baidu
数学思维概述
二、数学思维的特征 1．数学思维的概括性 2．数学思维的间接性
3．数学思维的问题性
4．数学思维的复合性
数学思维概述
三、数学思维的品质 数学思维品质主要包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、独创性和批判性 五个方面。数学思维的五种品质相互联系，互为制约。 1．数学思维的深刻性 数学思维的深刻性指思维活动的抽象程度和逻辑 水平，反映思维活动的广度和深度。 2．数学思维的敏捷性 思维的敏捷性指思维活动的速度。它反映了智力的敏 锐程度。主要表现为能缩短运算环节和推理过程，正确和迅速地得出结论。 3．数学思维的灵活性 思维的灵活性即思维活动的灵活程度，是指能够根据 客观条件的发展与变化，及时地改变先前思维过程或方式，寻求新的思维角 度和方向。在数学学习中，思维的灵活性主要表现在思维的起点灵活，即能 根据题设和结论，灵活地确定解题方向，选择解题方法；过程灵活，即能从 分析到综合，从综合到分析，并将有关知识迁移到当前的问题解决之中。
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第三章 数学中的逻辑推理
0 数学思维概述
一、思维与数学思维 1.思维 思维是多种学科的研究对象。从心理学的角度分析，“思维是人脑对 客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。” 思维具有 （1）问题性（2）间接性（3）概括性（4）语言性 思维的分类 ： ★根据思维的抽象程度分类，思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象 逻辑思维。
数学思维概述
4．数学思维的独创性 思维的独创性指独立思考创造出有一定价值和
新颖成果的智力品质，是人类思维的高级形态，是智力的高级表现。 在数学学习中，思维的独创性表现为善于独立地思考和分析问题，寻 求多种途径解决问题，或者能从旧问题引申出一些新问题。思维的独 创性较多地寓于发散思维和直觉思维之中。
§1 归纳推理
2．类分法 所谓分类，用集合语言可定义如下：
2，…，n)为该分类下的一个类。
交直线PQ于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆。
§1 归纳推理
二、不完全归纳法 根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都 具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。 高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作 为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们 提供研究方向。素数分布论中许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄 里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想，然后再经 严格数学推导，设法给予证明的。 在数学中，不完全归纳法又可分为枚举归纳法与因果关系归纳法。 1．枚举归纳法 枚举归纳法是先找几个特殊对象进行试验，然后归纳出共性特征，最 后提出一种比较合理的猜想的推想方法。它的步骤可概括为“试验——归 纳——猜想”，至于要考察多少个特殊对象，那要看具体情况。
★根据思维的目的性分类，思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。
★按思维的智力品质分类，思维可分为再现性思维和创造性思维。 ★按思维的形式不同分类，思维可分为辐合思维和发散思维。
数学思维概述
2.数学思维 数学思维从属于一般思维，它是人脑对数学对象理性的认识过程，是 对数学学科的本质属性与数学对象间关系的反映。数学思维既有一般思维的共性， 又具有自身的特性。
归纳推理是通过各种手段(观察、实验、分析、比较等)对许多个别事 物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡 到普遍化的一般法则的推理方法。
归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。 一、完全归纳法 完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数 学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。 1．穷举归纳法 穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某 类事物进行研究时，把它所有的对象的属性分别讨论，当肯定了它们都有某一 属性(作出特称判断)，从而得到这类事物都有这一属性的一般结论(全称判断) 的归纳推理。
5．数学思维的批判性 思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思
维材料和精细地检查思维过程的智力品质，反映了思维活动中独立分 析和批判的程度。它表现为善于独立思考、提出疑问，能及时发现和 纠正错误；能够自我地对解决问题过程进行评价，自觉调控思维进程； 能够对问题本身进行评价，从而对问题进行推广。
§1 归纳推理
数学思维概述
◆直觉思维指人们运用视觉形象或表象，经过高度的简缩思维活动，迅速 地、直接地、综合地作出判断的思维方式。其特征主要有以下两个方面：
第一，思维的简缩性。通常可以用一种抽象的度量单位来测量数学思 维的长短，这个度量单位称为思维链。对同一个问题有不同解决方法， 也就是存在长度不同的思维链。
第二，思维的整体性。思维者不着眼于细节的逻辑分析，而是从整体上 把握其本质。 著名数学家庞加莱曾对直觉思维的整体性作过精彩的描述：“一个数学 证明并不是若干个三段论的简单并列，而是众多的三段论在确定的序之 中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身主要得多。一旦 我们感觉到它，也就是说，直觉到这个序，以至我们一眼之下就能领悟 了整个推理，我们就再也不必害怕会忘掉任何元素。因为每个元素都将 在序中各得其所，而这是不需要我们付出任何记忆上的努力的。”
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数学思维概述
二、数学思维的特征 1．数学思维的概括性 2．数学思维的间接性
3．数学思维的问题性
4．数学思维的复合性
数学思维概述
三、数学思维的品质 数学思维品质主要包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、独创性和批判性 五个方面。数学思维的五种品质相互联系，互为制约。 1．数学思维的深刻性 数学思维的深刻性指思维活动的抽象程度和逻辑 水平，反映思维活动的广度和深度。 2．数学思维的敏捷性 思维的敏捷性指思维活动的速度。它反映了智力的敏 锐程度。主要表现为能缩短运算环节和推理过程，正确和迅速地得出结论。 3．数学思维的灵活性 思维的灵活性即思维活动的灵活程度，是指能够根据 客观条件的发展与变化，及时地改变先前思维过程或方式，寻求新的思维角 度和方向。在数学学习中，思维的灵活性主要表现在思维的起点灵活，即能 根据题设和结论，灵活地确定解题方向，选择解题方法；过程灵活，即能从 分析到综合，从综合到分析，并将有关知识迁移到当前的问题解决之中。