☆经典分段函数专题
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经典分段函数专题
高考真题
类型一:与周期有关
类型二:与单调性有关
类型三:奇偶性有关
类型四:与零点和交点问题有关
类型五;与求导和函数性质有关
类型六:数形结合
高考真题
2010
11x的围是_____。
2011
11、(分类方程求解)已知实数,函数,若
a的值为________
2012
10.(方程组求解)
2
的值为 ▲ .
2013
11.
(分区间二次不等式求解)已
定义
的奇函数。
,
的解集用区间表示为
.
【答案】(﹣5,
0) ∪(5,﹢∞)
【解析】
的图像,如下图所示。
函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x <0的图像。表示函数y
的图像在y =x 的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。 2014
13. (周期函数+R 上且周期为3的函数,
时,|2
1
2|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值围是 ▲ .
【答案】1(0,)2
【解析】作出函数2
1()2,[0,3)2f x x x x =-+
∈的图象,可见1
(0)2
f =,当1x =时,1()2f x =
极大,7
(3)2
f =,方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点,即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点,由于函数()f x 的周期为3,因此
直线y a =与函数2
1()2,[0,3)2f x x x x =-+
∈的应该是4个交点,则有1
(0,)2
a ∈.
2015
13.(绝对值分类讨论+数形结合求根个数)已知函数|ln |)(x x f =,
⎩
⎨⎧>--≤<=1,2|4|1
0,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为
利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数,而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数.这时函数图像是解题关键,不仅要研究其走势(单调性,极值点、渐近线等),而且要明确其变化速度快慢. 2016
11.(方程求解)()f x 定义R 且周期为2的函数,在区[)1,1-上(),10,
2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩
其中a ∈R ,若5922f f ⎛⎫
⎛⎫
-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,则()5f a 的值是 . 【答案】25
-
; 【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫
⎛⎫-=
-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭,9121
1225210
f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
由5922f f ⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
可得11210a -+=,则35a =,
则()()()32
5311155
f a f f a ==-=-+=-+
=-
2017年
14.设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪
=⎨∉⎪⎩
其中集合
1
{n D x x n
-==
,*}n ∈N ,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ . 【答案】8
【解析】由于()[0,1)f x ∈,则需考虑110x ≤<的情况,
在此围,x ∈Q 且x D ∈时,设*,,,2q
x p q p p
=
∈≥N ,且,p q 互质, 若lg x ∈Q ,则由lg (0,1)x ∈,可设*lg ,,,2n
x m n m m
=
∈≥N ,且,m n 互质, 因此10
n m
q p
=
,则10()n
m q p =,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lg x ∉Q ,
因此lg x 不可能与每个周期x D ∈对应的部分相等,
只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点,
画出函数图象,图点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x D ∉的部分,
且1x =处11(lg )1ln10ln10
x x '=
=<,则在1x =附近仅有一个交点,
因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8.
【考点】函数与方程
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
类型一:与周期有关
1.(拟周期分段函数)设函数⎪⎩⎪
⎨⎧>-<--=,2),2(2
1;2|,1|1)(x x f x x x f 则方程01)(=-x xf 的根的个数有
个。6
2.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ,x ≤1,
f (x -1),x >1,
g (x )=kx +1,若方程f (x )-g (x )=0有两个不同的实根,
则实数k 的取值围是________.
画出函数f (x )的大致图象如下:则考虑临界情况,可知当函数g (x )=kx +1的图象过A (1,e),B (2,e)时直线斜率k 1=e -1,k 2=e -1
2,并且当k =1时,直线y =x +1与曲线y =e x 相切于
点(0,1),则得到当函数f (x )与g (x )图象有两个交点时,实数k 的取值围是(e -1
2,1)∪(1,e -
1].