第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
新教材苏教版数学必修第一册3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学课件
()
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式
ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.
()
提示:(1)×.当m=0时是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2) ×.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
1 2
,x2=1,所以根据函数y=(2x
+1)(x-1)的图象,可得原不等式的解集为 {x|x＜ 1 或x＞1} .
2
3.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________. 【解析】原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0 的解集为 . 答案:
B.1个
C.2个
D.无法确定
【解析】选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,
所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.
2.(教材二次开发:习题改编)二次函数y=(2x+1)(x-5)的零点为 ( )
A. 1 ,-5
2
B.- 1 ,5
2
C.2,- 1
5
D.-2, 1
【思考】
(1)有人说:当Δ>0时表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗? 提示:x1,x2既是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元 二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识梳理】 1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅3.(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解集不等式解集a <ba ＝ba >b(x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }{x |x <b 或x >a } (x －a )·(x －b )<0{x |a <x <b }∅{x |b <x <a }4.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【微点提醒】1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax 2＋bx ＋c>0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c>0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0. (2)不等式ax 2＋bx ＋c<0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c<0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 【真题体验】4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A.1 B.－14C.4D.－126.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.【考点聚焦】考点一 一元二次不等式的解法 角度1 不含参数的不等式【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集.角度2 含参数的不等式 命题点1 通过判别式分类讨论【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R).命题点2 通过根的大小分类讨论【例1－3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】(2018·豫北豫南名校联考)不等式x2－3|x|＋2>0的解集是________.考点二一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三 一元二次不等式恒成立问题 角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A.0B.－2C.－52D.－3考点四 一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台D.180台【反思与感悟】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 【易错防范】1.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别. 2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2－x －6≤0}，则A ∩B 等于( ) A.(0，2) B.(0，3] C.[－2，3]D.[2，3]2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3]3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(0，＋∞) B.(－∞，0)∪(1，＋∞) C.(－1，0)D.(0，1)二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________.7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________.8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.10.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则( )A.a＋b－c的最小值为2B.a－b＋c的最小值为－4C.a＋b－c的最大值为4D.a－b＋c的最大值为6答案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )(3)不等式x2≤a的解集为[－a，a].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×【解析】 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]【答案】 C【解析】 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2].3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞【解析】 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.【真题体验】4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1.5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为()A.1B.－14C.4D.－12【答案】 B 【解析】 因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14. 6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.【答案】 [－4，0]【解析】 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 【考点聚焦】考点一 一元二次不等式的解法多维探究角度1 不含参数的不等式【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集.【答案】见解析【解析】化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 角度2 含参数的不等式命题点1 通过判别式分类讨论【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R).【答案】见解析【解析】①当k ＝0时，不等式的解为x >0.②当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k； 若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解.③当k <0时，若Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时，不等式的解为x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k， 若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1，综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅；0<k <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；当－1<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1＋1－k 2k ，或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；k <－1时，不等式的解集为R.命题点2 通过根的大小分类讨论【例1－3】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R).【答案】见解析【解析】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a 或x ≤－1. ③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (2018·豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________.【答案】 (－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)【解析】 由题原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞).考点二 一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________. 【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】 C【解析】 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究 角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]【答案】 D【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0， 解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2].角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 【解析】 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 .角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)【答案】 C【解析】 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3【答案】 C 【解析】 由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立， 令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数. ∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52. 考点四 一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】见解析【解析】(1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0， 解得x ≥3或x ≤－15， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10].(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台 【答案】 C【解析】 由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本， 即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解之得x ≥150或x ≤－200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.故选C.【反思与感悟】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【易错防范】1.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x ，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2－x －6≤0}，则A ∩B 等于( )A.(0，2)B.(0，3]C.[－2，3]D.[2，3] 【答案】 B【解析】 因为A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，故A ∩B ＝{x |0<x ≤3}. 2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 【答案】 C 【解析】 不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12≤x <1或1<x ≤3. 3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】 A 【解析】 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 4.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定 【答案】 C【解析】 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1，1]上为增函数.所以x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( )A.(－∞，－1)∪(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，＋∞)C.(－1，0)D.(0，1) 【答案】 C【解析】 由Δ＝[－(a ＋2)]2－4a ＝a 2＋4>0知，函数f (x )必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则f (－2)·f (－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1，此时不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0.二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________.【答案】 (－1，2)【解析】 由已知得2x 2－x <22，∴x 2－x <2即x 2－x －2<0，解得－1<x <2，故所求解集为 (－1，2).7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________. 【答案】 －52【解析】 由已知得m <0且－12，2是方程mx 2＋nx －1m＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－n m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2＝－1m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－32(舍). ∴m －n ＝－1－32＝－52. 8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x的解集用区间表示为________.【答案】 (－3，0)∪(3，＋∞)【解析】 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ).又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ， 解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 10.解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)12x 2－ax >a 2(a ∈R).【答案】见解析【解析】(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}.(2)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. 当a >0时，－a 4<a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，－a 4>a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)【答案】 D 【解析】 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1).12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 A【解析】 因为f(x)在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R 上是增函数，结合题意得－4t>2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m<0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝16－8m2<0⇒m ∈(－∞，－2).13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－2]【解析】 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( )A.a ＋b －c 的最小值为2B.a －b ＋c 的最小值为－4C.a ＋b －c 的最大值为4D.a －b ＋c 的最大值为6【答案】 A【解析】 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.。
基于课程标准的单元教学设计——以《从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式》为例
基于课程标准的单元教学设计 ———以《从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式》为例吕建林（江苏省南京市第一中学，２１００１９）基金项目：南京市教育科学“十三五”规划２０２０年度立项课题“指向数学抽象的高中数学单元教学设计实证研究”（编号Ｌ／２０２０／４７１）研究成果． 单元是基于一定目标与主题所构成的教材与经验的模块、单位，单元设计可以认为是对一个学习阶段的教与学活动的整体规划，主要包含学习主题、学习目标、学习内容、学习过程、评价任务、学后反思等要素．单元设计一般遵循“分析（Ａｎａｌｙｓｉｓ）、设计（Ｄｅｓｉｇｎ）、开发（Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ）、实施（Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａ ｔｉｏｎ）、评价（Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ）”的程序．《从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式》是高中数学必修课程预备知识板块中的重要内容．本单元是在学生学习了一元一次方程、一元一次不等式、一次函数、二次函数的基础上，学习从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，体会函数、方程、不等式的统一性，为今后应用函数的方法解决有关问题奠定知识技能和学习方法的基础．１ 学习目标的制定和学习内容的确立制定学习目标，可使学习者明确学习要求，了解学习路径和方法．本单元学习目标（见表１）是从“三个一次”入手，感受用函数观点看待问题的方法；结合一元二次不等式的求解探索，体会“三个二次”的关系，学会用函数观点认识和解决一元二次方程和不等式问题．单元学习目标采用三维叙写的书写方式，呈现“知识与技能→过程与方法→习惯与素养”的发展路径．为落实学习目标，需要选定与之相匹配的学习内容．本单元学习内容（见图１）的选择与划分体现“观察—计算—研究”与“图像—代数—数形结合”的双向沟通，便于学生深度学习，自主建构．横向：呈现一次到二次、具体到一般的双重递进，便于学生类比迁移、拓展延伸．纵向：挖掘函数、方程、不等式三者的数形关联，便于学生数形结合，聚焦函数观点．表１ 本单元学习目标课标要求学习目标用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法．本单元的学习，可以帮助学生用二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式．通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性． １、通过求解实际问题，知道函数零点即对应方程的根，会结合一元一次函数图像分析得出一元一次不等式的解集，感受用函数观点看待问题的方法．２、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，能运用函数观点，结合图像发现一元二次函数的零点与一元二次方程根的关系，会通过代数方法求具体的一元二次不等式的解集，提高数学运算能力．３、会用一元二次函数图像求一元二次不等式的解集，体会数学的整体性，养成借助直观理解概念、进行逻辑推理的思维习惯．２ 任务情境的设计和学习路径的规划学科素养往往体现在真实的问题解决之中．要让学生置身于真实、有意义的任务情境，在“真做事”的过程中用数学的眼光观察世界，体会求解一元二次不等式的真实需求，感受探求一般的一元二次不等式解法的必要性；用数学的思维思考世界，主动联系已有的“三个一次”的经验，将之运用于“三个二次”相关任务，体会函数的思想方法．生活中与一元二次不等式有关的问题很多，例如：为达成单元目标，笔者创设了设计房屋雨水槽的真实情境，从具体规格要求出发，衍生出三项任务，引发学生思考和探究．详见表２：表２ 本单元任务情境和学习路径任务任务情境探索路径核心素养任务一设计符合底面积要求的、截面为矩形的雨水槽现实问题抽象为熟悉的数学问题雨水槽底面积要求→解一元一次不等式数学建模、数学抽象任务二对比截面分别为矩形和等腰梯形的雨水槽设计方案，并做出选择具体问题转化为未知的数学问题雨水槽造型选择→解具体的一元二次不等式数学抽象、数学运算、直观想象任务三探寻一般的一元二次不等式的解集特殊问题拓展为一般问题解具体的一元二次不等式→解一般的一元二次不等式数学抽象、直观想象、数学运算 学习任务可通过“情境—问题—问题解决—总结”的程序来落实．任务达成基于富有层次的活动驱动，应围绕任务设计独立探究或小组合作活动，并酌情穿插问答以支持学生学习．以任务二中的探究活动为例：【活动】雨季将至，为了提前做好房屋排水工作，某小区住户准备更换自家房屋的雨水槽．该住户测量了自家房檐的长度，购买了一块长３８０厘米，宽３０厘米的长方形铝板来自制雨水槽．为了与屋檐下预留的雨水槽位置相匹配，雨水槽底面的面积不得超过５７００平方厘米．经市场调查，雨水槽横截面的造型一般有两种．方案一：矩形；方案二：底角为５３°的倒置等腰梯形，上不封顶．当地气象台预计，今年雨季的降雨量大约会比往年增加５％．为保证排水量，物业要求雨水槽的横截面积不得小于１００平方厘米．住户根据屋檐特点，希望雨水槽深度尽可能小，请帮他选择一个设计方案．（铝板厚度忽略不计）活动过程中，教师可提出以下问题，为学生提供学习支架：【问题１】针对“雨水槽的横截面积不得小于１００平方厘米”的要求，在方案一中，你能列出对应的关系式并进行求解吗？方案二呢？【问题２】借鉴任务一中对一元一次不等式求解的研究过程和结论，你能进一步求解问题１吗？学生可将问题１中的一元二次不等式转化成两个一次不等式联立的不等式组解决．问题２则启发学生联系“三个一次”的研究经验，用函数观点分析求解，完成探究任务．３ 评价任务的设计和素养水平的考察每项学习任务都可以成为评价的工具．在一段学习活动结束时，也应设计一些练习检测，进行及时的、有针对性的测评，便于学生了解自己的学习状况，便于教师了解学生学会与否，为开展下一步的教学活动提供证据，从而落实“学—教—评一致”的设计要求．为检测学习目标２的达成情况，笔者选择了一个判定交通事故责任人的问题，考察学生能否从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，会不会求解一元二次不等式，分析不等式解集并说明结论，检测相关素养的发展水平．详见表３：表３ 问题及核心素养考查说明问题及指向解答与说明核心素养水平 汽车刹车距离与其行驶速度有关．在一条限速３０ｋｍ／ｈ的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，但还是发生了碰擦．事发后交警现场测得甲车的刹车距离略超过８ｍ，乙车的刹车距离略超过６ｍ，又知甲、乙两种车型的刹车距离Ｓ（ｍ）与车速ｘ（ｋｍ／ｈ）之间有如下关系：Ｓ甲＝０．０１ｘ２＋０．２ｘ，Ｓ乙＝０．００５ｘ２＋０．０５ｘ．问：应负超速行驶主要责任的是谁？（检测表１中学习目标２） 由题意，对于甲车，有０．０１ｘ２＋０．２ｘ＞８，即ｘ２＋２０ｘ－８００＞０，解得ｘ＞２０或ｘ＜－４０（不符合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过２０ｋｍ／ｈ．但根据题意刹车距离略超过８ｍ，由此估计甲车车速不会超过限速３０ｋｍ／ｈ．对于乙车，有０．００５ｘ２＋０．０５ｘ＞６，即ｘ２＋１０ｘ－１２００＞０，解得ｘ＞３０，或ｘ＜－４０（不符合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过３０ｋｍ／ｈ，即超过规定限速，乙应负主要责任． １．数学抽象（水平一）：能从熟悉的汽车刹车情境中抽象出求解一元二次不等式问题；２．数学运算（水平一）：会解简单的一元二次不等式，能用解集情况说明是否超速；３．逻辑推理（水平一）：明确“主要责任”的问题内涵，有条理地表达观点．４ 基于课程标准的单元教学设计反思基于新课程标准的教学有三大基本特征：素养为本的单元设计、真实情境的深度学习、问题解决的进阶测试．４．１ 真实的任务情境有利于素养目标达成课程标准凝练了学科核心素养，明确了学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力．崔允誋教授指出，关键能力即“能做事”，必备品格即“习惯做正确的事”，价值观念即“坚持把事做正确”．从具体的“做事”，能看出一个人的素养．改变高分低能、只会解题的现状，从让学生在真实情境中面对问题、思考和解决问题开始．（下转第５１页）４ 拉近现实联系，构建情趣飞扬的统计课堂随着大数据时代的来临和社会信息化水平的不断提高，无论是在学习、工作还是在生活中，人们都越来越离不开数据信息．统计必将在未来生活中发挥更多的作用，掌握统计知识、具备数据分析能力已成为每一位公民必备的基本素养．这样的发展趋势对教育教学提出了全新的挑战．而我们每一位小学数学教师，必然要直面统计教学的进一步发展，因为“生活已经先于数学课程，将统计推到了学生的面前”．因此，拉近统计与现实生活的联系，进一步构建情趣飞扬的统计课堂，培养学生获得数据、解释数据的能力，已成了必然的教学趋势．在寻找“生活中的平均数”学习环节，笔者借助互联网工具，收集了２０１９年两会中的统计数据，制作了简单的小视频《２０１８全民对账单》，通过呈现“网购花费”“收寄快递件数”“流量数”“收入结余金额”“国内旅游次数”“图书拥有量”“用水量”等与学生紧密联系的生活中的平均数，呈现了利用“互联网＋”获得大数据的方式．在轻松愉悦的背景音乐中，孩子们不由自主地将各类“大数据”与自己本人以及家庭的生活数据相联系，他们的惊呼此起彼伏———“我的国内旅游次数超过了平均数量”“我的图书拥有量还不够，今年要加油多阅读”“我家的用水量比较少，我们是节约家庭”“我妈妈的网购花费远远超出了，真是太浪费了”……就是在这样尝试比较、解释数据的过程中，孩子们感受到了统计的作用，也在不知不觉中培养了生活的情趣．在后续学习环节中，笔者进一步引入“人均淡水资源”“中国儿童身高均值”等互联网数据，让学生在具体的情境中，继续通过对大数据的分析，进一步感受平均数在生活中的作用，思索平均数的统计意义与价值，体验用数学解决实际问题的学习乐趣和健康生活的积极情趣，真正创设了关注人的发展的生本课堂．总之，在“统计与概率”领域教学中，我们要立足发展学生的数据分析素养这一出发点，让学生经历统计的全过程，创设有效的统计情境，凸显统计教学的概念特点，感受统计与现实生活的联系，培养学生的生长兴趣、生性智趣、生命理趣和生活情趣，构建和谐宽松、智慧理性的“四趣”统计课堂檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸．（上接第３７页） 从单元学习目标的确立到学习过程设计，再到检测与评价，都要体现“做事”的要求．价值观念、必备品格不是标签，也不能成为标签．让学生经历真实的“做事”，让素养在“做事”中发展、在“做事”时显现，素养目标就不会成为只说不做的标签．４．２ 教学设计要努力创设真实任务情境数学来源于生产生活实践，良好的任务情境有利于让学生深入与自身经验相关的问题探究过程．本单元将“雨水槽设计”情境融入单元学习过程，学生从中发现数学问题，运用数学知识尝试解决，并产生用函数观点研究一元二次不等式解集的兴趣，获得用数形结合方法解一元二次不等式的能力，感受函数、方程、不等式的整体性，发展数学抽象、直观想象、数学运算等素养．教师应主动拓宽自身知识疆域，积极推进研学、社会实践活动，努力创设“真实的任务”，让学生有机会真正“做事”，帮助学生实现自主建构和社会建构．４．３ 核心素养水平要在真实任务中评价杨向东教授指出，要站在素养发展的角度，而不仅仅是知识的角度，进行测评设计．练习与测评要指向本单元的核心知识、方法、能力与素养，力求检测学生相关核心素养的发展水平．每个学习目标都应有相应的评价任务，每个练习与测评都必须指向有关的学习目标，一个目标也可以通过多个问题来检测．真实情境中解决问题的能力就是素养．除了传统的纸笔测试题以外，应设计基于真实情境的评价任务，记录过程数据、开展表现评价，更全面地评估学生的发展状况．学习过程中也应适时嵌入评价任务，便于及时了解学习效果，及时发现并弥补缺漏，保障后续学习的顺利开展．参考文献：［１］钟启泉．学会“单元设计”［Ｎ］．中国教育报，２０１５－０６－１２（０９）：１．［２］加涅等．王小明等，译．教学设计原理［Ｍ］．５版．上海：华东师范大学出版社，２００７：２１－３５．［３］中华人民共和国教育部．普遍高中数学课程标准［Ｓ］．北京：人民教育出版社，２０１８．。
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。
首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。
与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。
但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。
其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。
一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。
与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。
最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。
一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。
与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。
综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。
深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。
- 1 -。
用函数观点看一元二次方程与一元二次不等式
如图，一条抛物线与x轴相交于A、B 两点，其顶点P在折线C－D－E上移 动，若点C、D、E的坐标分别为 （－1，4）、（3，4）、（3，1）， 点B的横坐标的最小值为1，则点A的 横坐标的最大值为（ ）
当点B的横坐标最小值为1时，抛物线顶点 应取（-1，4）。
• 已知抛物线y=2（x-3）（x+1）， 当y＞0时对应的x的范围是（ ） • A．x＞3 B．x＜-1 • C．x＜-1，或x＞3 • D．-1＜x＜3
5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的 一部分，其对称轴为直线x=1， 若其与x轴一交点为B（3，0）， 则由图象可知，不等式ax2+bx+c ＞0的解集是
• 6、如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次 函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3图像上。 • （1）求m的值和二次函数的解析式。（2）请直 接写出使y2> y1时，自变量x的取值范围。（3） 说出所求的抛物线y1=ax2+bx-3可由抛物线y=x2 如何平移得到？
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 所示，有下列5个结论： ①abc＜0 ②b＜a+c ③4a+2b+c＞0 ④2c＜ 3b ⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数） 其中正确的结论的有（ ）
用函数观点看一元二次方程与 一元二次不等式
观察函数图像，求方程的解、不等 式的解集。
• （1）、方程ax2+bx+c=0的解 是 ； • （2）、不等式ax2+bx+c>0的解集 是 ； • （3）、不等式ax2+bx+c<0的解集 是 ；
用函数的观点看一元二次方程教学设计及反思
《用函数的观点看一元二次方程》教学设计新林三中尹春霞一、教材分析：《用函数的观点看一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（人教版）九年级上册，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。
这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。
这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。
本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。
2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的
联系和区别
二次函数、一元二次不等式、一元二次方程都是关于二次方的数
学概念。
它们在形式和性质上各有不同，但都具有密切联系。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
其图像为一个开口向上或向下的抛物线，与x轴交点为其根。
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
其解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
这个方程的解
决了抛物线与x轴交点的问题。
一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。
这个式子就是要解出抛物线的正负。
因此，从几何角度来看，二次函数和一元二次不等式都与抛物线
的开口方向和根相关。
一元二次方程和二次函数的解方程式中的x为
根有关。
而一元二次不等式则是解出某个范围内x的取值。
同时，这些概念还有着实际意义。
二次函数的图像在物理学中很
常见，比如抛物线运动。
而一元二次方程在物理学和工程学中也有广
泛的应用。
在学习过程中需要注意，这些概念虽然看似相似，但细节处的不同很重要。
需要分类讨论、注意符号、掌握解法等，才能真正理解这些概念并活用于实际问题中。
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(解析版)
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设24b ac ∆=-，它的解按照0∆>，0∆=，0∆<可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数 2y ax bx c=++（0a >）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20(0)ax bx c a ++<>的解集{}12x xx x <<∅ ∅（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集．知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立问题 【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式()273x x +≥-的解集为（ ）A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】()273x x +≥-可变形为22730x x ++≥， 令22730x x ++=，得13x =-，212x =-，所以3x ≤-或21x ≥-，即不等式的解集为(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集．例2．（多选题）（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥ D ．220x x +->【答案】ABC【解析】因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符. 故选：ABC例3．（2022·全国·高一课时练习）解下列不等式： (1)262318x x x -≤-<；(2)1232x x +≥-； (3)2320x x -+>.【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<； （2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--， 所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-， 故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则a b +=（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【解析】不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则方程220ax bx +-=根为2-、1， 则21221ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，解得1,1a b ==，2a b ∴+=，故选：D【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：例5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集为{|1}x m x <<,则=a ______，m =______． 【答案】 3- 3-【解析】由题意知，0a <，且1,x x m ==是关于x 的方程2260ax x a -+=的两个根，∴61m a m a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得33a m =-⎧⎨=-⎩或22a m =⎧⎨=⎩, 又因为0a <，∴33a m =-⎧⎨=-⎩. 故答案为：-3，-3.例6．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集是（ ）A ．{}03x x <<B ．{0x x <或}3x >C ．{}13x x <<D ．{}13x x -<<【答案】A【解析】由()()2112a x b x c ax ++-+>，整理得()()220ax b a x a c b +-++-> ①．又不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<， 所以0a <，且(1)2(1)2b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b ac a⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩②．将①两边同除以a 得：2210b c b x x a a a ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③．将②代入③得：230x x -<，解得03x <<． 故选：A例7．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,,23∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】∵不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3， ∴2和3是方程20ax bx c ++=的两个根.∴02323a ba ca⎧⎪<⎪⎪-=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩，可得5,6b a c a =-=. 20cx bx a ++>可化为2650ax ax a -+>，即26510x x -+<，即()()31210x x --<,解得1132x <<.故选:A.例8．（2022·全国·高一专题练习）设集合{}|1A x x =≥，{}2|0B x x mx =-≤，若{}|14A B x x ⋂=≤≤，则m 的值为_________.【答案】4【解析】当0m =时，{}{}2|00B x x =≤=，显然A B =∅，不符合题意；当0m >时，{}2|0[0,]B x x mx m =-≤=，因为{}|14A B x x ⋂=≤≤，所以必有4m =； 当0m <时，{}2|0[,0]B x x mx m =-≤=，显然A B =∅，不符合题意.故答案为：4m =.例9．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________.【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <； 由根与系数的关系可得：b a αβ+=-，caαβ⋅= ， 所以不等式20cx bx a ++>化为 210c bx x a a++<，即：()210x x αβαβ-++<； 化为()()110x x αβ--<； 又,0αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，例10．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________.【答案】{13x x >-或}1x <-【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<， 所以0a >，且方程20ax bx c ++=得解为121,3x x ==， 则4,3b ca a-==， 所以4,3b a c a =-=，则不等式20cx bx a -+>，即为2340ax ax a ++>， 即23410x x ++>，解得13x >-或1x <-，所以20cx bx a -+>的解集是{13x x >-或}1x <-.故答案为：{13x x >-或}1x <-.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例11．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ） A ．{2|a a <-或2}a ≥ B ．{}22a a -<< C ．{}22a a -<≤ D ．{}2a a <【答案】C【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅， 所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式220ax bx -+>的解集为{}12x x x 或．(1)求实数a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式()20x ac b x bx -++>（其中c 为实数）．【解析】（1）由题意，121,2x x ==为一元二次方程220ax bx -+=， 由韦达定理，可得12212b aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1），不等式()20x ac b x bx -++>，可得()2330x c x x -++>，整理可得：()0x x c ->，当0c 时，不等式的解集为{}0x x ≠； 当0c >时，不等式的解集为{}0x x x c 或； 当0c <时，不等式的解集为{}0x x c x 或．例13．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0， 当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅，③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅， 当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．例14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>． 【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-， ①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ， ③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ， 综上，1a >时，不等式的解集是R ， 1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，例15．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【解析】原不等式可化为：()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ ，令1a a = 可得：1a =±∴当1a <-或01a <<时，1a a <， 1aa x ∴<< ； 当1a =或1a =-时，1a a=，不等式无解； 当10a -<<或1a > 时，1a a>，1x a a ∴<<综上所述，当1a =或1a =-时，不等式解集为∅； 当1a <-或01a <<时，不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当10a -<<或1a >时，不等式解集为1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．例16．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【解析】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a -<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a<-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a >-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a<-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．例17．（2022·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2220x m x m -++<（）的解集中恰有4个正整数，求实数m 的取值范围. 【解析】原不等式可化为(2)()0x x m --<,若2m <，则不等式的解是2m x <<；若2m =，则不等式无解； 即不等式的解集中均不可能有4个正整数，所以2m >； 此时不等式的解是2x m <<；所以不等式的解集中4个正整数分别是3456，，，； 则m 的取值范围是{|67}m m <≤．例18．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．【解析】(1)因为()()230a b x a b <++-，所以()32a b x b a +<-，因为不等式的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，所以0a b +<，且3234b a a b -=-+，解得3a b =． (2)由（1）得30a b =<则不等式()()()222120a b x a b x a -+--+->等价为()()242320bx b x b +-+->，即222430x x b b +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭⎝⎭-<，即()2130x x b ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭+<．因为231b -+<-，所以不等式的解为231x b-+<<-． 即所求不等式的解集为231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭．（说明：解集也可以用a 表示）题型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（ ）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1)∪(1，3]D ．[－1，1)∪(1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-. 故选：D.【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）()()00cx dax b cx d ax b+>⇔++>+ （2）()()00cx dax b cx d ax b+<⇔++<+ （3）()()00cx dax b cx d ax b+≥⇔++>+且0ax b +≠ （4）()()00cx dax b cx d ax b+≤⇔++≤+且0ax b +≠ 例20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式210ax bx ++>的解集为1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求不等式30ax x b +≤-的解集. 【解析】依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根，法1：由韦达定理，11111,2323b a a ∴-+=--⨯=，解得6,1a b =-=-，法2：直接代入方程得，22111022111033a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得6,1a b =-=-， ∴不等式30ax x b +≤-为6301x x -+≤+，即：()()631010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：1x <-或12x ≥， ∴不等式30ax x b +≤-的解集为{1xx <-∣或1}2x ≥.例21．（2022·陕西·长安一中高一期末）不等式22301x x x +-≥+的解集为__________．【答案】[3,1)[1,)--+∞【解析】原不等式等价于223010x x x ⎧+-≥⎨+>⎩或223010x x x ⎧+-≤⎨+<⎩，解得1≥x 或31x -≤<- ， 故答案为：[3,1)[1,)--+∞例22．（2022·全国·高一课时练习）不等式301x x +>-的解集为______________． 【答案】{3x x <-或1}x > 【解析】由301x x +>-，得(1)(3)0x x -+>， 所以3x <-或1x >，故不等式得解集为{3x x <-或1}x >． 故答案为：{3x x <-或1}x >．例23．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）不等式201xx->+的解集为___________. 【答案】(1,2)- 【解析】20(2)(1)01xx x x->⇔-+<+，解得12x -<<，故解集为(1,2)-， 故答案为(1,2)-.例24．（2022·全国·高一课时练习）不等式21131x x ->+的解集是____________. 【答案】1{2}3xx -<<-∣ 【解析】21131x x ->+可化为211031x x -->+， 2031x x +<+，等价于()()2310x x ++<， 解得123x -<<-，所以不等式21131x x ->+的解集是1{2}3x x -<<-∣， 故答案为：1{2}3xx -<<-∣. 例25．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >，(1)求关于x 的不等式220x bx a +-<的解集 (2)求关于x 的不等式11x ax b->-的解集． 【解析】（1）不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >， 所以0513a ab >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩，解得5a =，3b =-；所以不等式220x bx a +-<化为23100x x --<，解得25x -<<； 所求不等式的解集为{|25}x x -<<； （2）1153x x ->+化为11053x x -->+即44053x x -->+，()()1530x x ∴++< 所求不等式的解集为31,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭．题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例26．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：m 3）与天数()*n n N ∈的关系是5000()(10)n S n n t n =+≤，水库原有水量为80000m 3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m 3；水库水量差最大容量23000m 3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求t 的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【解析】(1)由题意得： 1280008000050001(1)23000t --⨯+， 即24t =(2)由（1）得5000(24)(10)n S n n n =+≤设第n 天发生危险，由题意得 5000(24)400012800080000n n n +>-，即2242560n n +->，得8n >．所以汛期的第9天会有危险【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 例27．（2022·全国·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元（x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【解析】设该旅店某晚的收入为y 元，则 *(5010)(20010),y x x x N =+-∈由题意12600y >，则(5010)(20010)12600x x +-> 即210000150010012600x x +->，即215260x x -+<， 解得：213x <<，且*x ∈N所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）例28．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？【解析】因为甲种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：210.10.01s v v =+， 所以由题意可得：2210.10.0112101200030s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或40v <-舍去，即30v >，当40v =时，10.1400.0116002012s =⨯+⨯=>，显然甲种车型没有超速现象；因为乙种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：220.050.005s v v =+，所以由题意可得：2220.050.005102000040s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或50v <-舍去，即40v >，因此乙种车型有超速现象.例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【解析】(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为200平方米，得200y x=， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以20010x x≥+，又0x >， 所以2102000x x +-≤，解得010x <≤， 所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S 平方米，由题意得，200150(26)(4)(26)442484246S x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭56x =时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424806)+平方米题型六：不等式的恒成立问题例30．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,24 B ．(]24,0-C ．(]0,24D ．[)24,∞+【答案】B【解析】由题意，对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立， 当0k =时，不等式即为30-<，不等式恒成立； 当0k ≠时，若不等式2230kx kx +-<恒成立，则满足2Δ240k k k <⎧⎨=+<⎩，解得240k -<<， 综上，实数k 的取值范围为(24,0]-． 故选：B ．【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．例31．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．【解析】方法一（判别式法）关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为22370ax ax a -+-<,由题可得()()223470a a a ∆=--->，解得744a -<<,又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4；方法二（分离变量法）因为0a >，所以关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为2273a x x a--<，因为223993244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以2974a a--<，解得744a -<<，又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4．例32．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________． 【答案】315a -<≤【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<，当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤，故答案为：315a -<≤.例33．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知命题p ：x R ∃∈，210x ax -+<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为_________．【答案】[]22-,【解析】若命题p 是假命题，则210x ax -+≥恒成立， 则2Δ40a =-≤，解得22a -≤≤.故答案为：[]22-,. 例34．（2022·全国·高一专题练习）不等式 2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤【答案】B【解析】当2a =时，原不等式为120-<满足解集为R ；当a ≠2时，根据题意得20a -<，且216(2)4(2)(12)0a a ∆=---⨯-<，解得1a 2-<<． 综上，a 的取值范围为{}|12a a -<≤． 故选：B ．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1515-+⎝⎭【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，2min12x x m ⎛-+<= ⎝，所以212x x -+<1515x -+<<故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．例36．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．例37．（2022·全国·高一课时练习）在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤． 由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥， 又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 【同步练习】一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->， 即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0， ∴2404b a -=，∴24a b =， ∴函数222224a y x ax b x ax x a ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭，其图像的对称轴为2a x =-．∵不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+， ∴方程2204a c x ax ++-=的根为m ，4m +，∴4m m a ++=-，解得42a m --=，22am ∴+=-， 又∵2204a m am c ++-=，∴222442a a c m am m ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭．故A ，B ，C 错误.故选：D ．4．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1a a >- B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集， 不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤，①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤； ②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-， 若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤， 所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤； 综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-． 故选：B ．5．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()2022y x m x n n m =--+<，且(),αβαβ<是方程0y =的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【答案】C【解析】∵α，β为方程0y =的两实数根，∴α，β为函数()()2022y x m x n =--+的图像与x 轴交点的横坐标，令()()1y x m x n =--，∴m ，n 为函数()()1y x m x n =--的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数()()2022y x m x n =--+的图像可由()()1y x m x n =--的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m n αβ<<<. 故选:C.6．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（ ） A ．2275a -<<B ．25a > C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ， 则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D7．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y+=，∴1444()()5259y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥⋅=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<， 故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-.若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<.故选：A. 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【解析】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误； 由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．10．（2022·江苏·高一）已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则该不等式的解集可能是（ ） A ．∅ B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】不等式变形为(2)(1)0x ax -+>，又0a <，所以1(2)()0x x a-+<，12a =-时，不等式解集为空集；12a <-，12x a -<<，102a -<<时，12x a <<-，因此解集可能为ABD ． 故选：ABD ．11．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭ D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误； 对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误； 对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确. 故选：AD.12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ） A ．5- B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<； 所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-. 故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为__________. 【答案】1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.14．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）不等式517x ≥--的解集为__________. 【答案】{|7x x >或2}x ≤ 【解析】因为517x ≥--，所以5107x +≥-，即207x x -≥-， 等价于(2)(7)070x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得7x >或2x ≤，所以不等式的解集为{|7x x >或2}x ≤. 故答案为：{|7x x >或2}x ≤15．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)(]1,02,3-⋃【解析】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ，若1a =，则不等式无解；若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤；若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<．综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]1,02,3-⋃． 故答案为：[)(]1,02,3-⋃.16．（2022·全国·高一课时练习）知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4(,)m m，其中0m <，则44b a b+的最小值为______． 【答案】2【解析】∵2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴0a >,且方程2240ax bx ++=的两根为m ，4m， ∴42bm m a +=-,44m m a ⋅=，∴1a =，∵0m <，∴424b m m=-+≥-， 即2b ≥，当且仅当2m =-时取“=”． ∴44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， ∴44b a b+的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22530x x +->； (2)220x x +-≤； (3)4220x x --≥； (4)21x x >．【解析】（1）由22530x x +->，得()()3210x x +->，解得3x <-或12x >， 所以不等式的解集为{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭.（2）由220x x +-≤，得220x x --≥，()()120x x +-≥， 解得1x ≤-或2x ≥，所以不等式的解集为{1x x ≤-或}2x ≥.（3）由4220x x --≥，得()()22120x x +-≥，解得21x ≤-（舍去）或22x ≥，得2x ≤-2x ≥，所以不等式的解集为{2x x ≤-}2x ≥. （4）由21x x ，得2210xx >，1x >12x -（舍去），所以1x >，所以不等式的解集为{}1x x >.18．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->， 当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 19．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--。
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。
一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。
而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。
对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。
当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。
而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。
当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。
此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。
具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。
同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。
针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。
4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。
用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程一元二次方程是数学中的重要内容，通过函数的观点来看待一元二次方程可以更加深入地理解其性质和解法。
在本文中，将从函数的角度出发，探讨一元二次方程的定义、特点以及解法，并结合具体例子进行说明。
我们来回顾一下函数的概念。
函数是数学中的基本概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在一元二次方程中，我们可以将自变量视为方程中的未知数，因变量视为方程的解。
通过这种角度，我们可以将一元二次方程看作是一个函数关系。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0。
其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在函数的观点下，我们可以将一元二次方程看作是一个关于x的二次函数。
而二次函数的图象是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负性。
接下来，我们来讨论一元二次方程的特点。
首先，一元二次方程在解的个数上有一些特殊性。
根据韦达定理，一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
一元二次方程在图象上也有一些特点。
根据二次函数的性质，当a 大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，方程的解对应了抛物线与x轴的交点，这些交点被称为方程的根。
根的个数和位置与方程的系数有关，可以通过观察方程的图象来判断方程的解的情况。
我们来探讨一元二次方程的解法。
求解一元二次方程的一种常见方法是配方法。
通过变形、配方和化简，我们可以将一元二次方程转化为完全平方式，从而求得方程的解。
另一种常见的解法是使用求根公式，即利用判别式和一些公式来求解方程的根。
除了这些常见的解法，我们还可以利用图象的性质来求解一元二次方程。
通过观察抛物线与x轴的交点，我们可以直观地得到方程的解。
这种方法在一些特殊情况下尤为有效，例如当方程的系数为整数或有理数时。
通过函数的观点来看待一元二次方程，我们可以更加深入地理解其性质和解法。
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课件
（2）分式不等式的解法
对于比较简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.当分式不等式中含有
等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意.
【知识拓展】分式不等式等价转化为整式不等式
>0
≥0 f（x）·g（x）≥0，且g（x）≠0；（4）
如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法（亦称“穿针引线
法”）求解，具体步骤如下：
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
【注意】
（1）不等式若带“＝”，点画为实心，解集边界处
应有等号（闭区间）；
（2）在画数轴时，一般应标上表示0的点，在画线
时，一定要考虑是否穿过它.
【点拨】
四、一元二次不等式及解法
1.一元二次不等式
（1）定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次
不等式.
（2）形式：一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（其中a，b，c均为常数，a≠0）.
【思考】
2
（1）不等式x2+>0是一元二次不等式吗？
穿针引线法的发现归功于从简单到复杂、从具体到
一般的观察，发现问题，提出问题，进而解决问题.
这就是逻辑推理素养中的归纳.
高中数学
必修第一册
示例 解不等式
【解】
−1
+1
配套江苏版教材
−1
+1
>0.
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式大单元设计优质案例
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式大单元设计
优质案例
本文将从函数观点出发，探讨一元二次方程和一元二次不等式的教学设计。
我们将从以下几个方面入手：
1. 一元二次方程的函数视角
一元二次方程可以被看作是一个二次函数的零点问题。
通过引入函数的概念，可以更加深入地理解方程的根的意义，进而推导出求解一元二次方程的公式。
2. 一元二次不等式的函数视角
一元二次不等式同样可以被看作是一个二次函数的符号问题。
通过引入函数的概念，可以更加深入地理解不等式的解集的意义，进而推导出求解一元二次不等式的方法。
3. 教学设计优质案例
我们将结合具体教学场景，设计优质的教学案例，旨在帮助学生更加深入地理解一元二次方程和一元二次不等式的概念和求解方法。
通过本文的探讨，我们希望能够为教师们提供有益的教学思路和实用的教学工具，让学生能够更加轻松地掌握一元二次方程和一元二次不等式的知识。
- 1 -。
一元二次函数与一元二次不等式
一元二次函数与一元二次不等式一元二次函数和一元二次不等式，听上去可能有点严肃，不是吗？但这玩意儿跟我们生活的方方面面都息息相关，简直就像是我们生活中的调味品，没了它们，生活就少了许多趣味。
咱们先聊聊一元二次函数，简单说，就是形如ax² + bx + c 的那些方程，a、b、c 都是数字。
想象一下，这就像是一道优雅的抛物线，像极了咱们生活中的种种高低起伏。
你站在一个山顶上，眼前是波澜壮阔的风景，心里感叹，哇，这就是一元二次函数的魅力，弯弯曲曲，环环相扣，仿佛人生的曲折历程，时而顺利，时而坎坷，真是让人感慨万千。
说到这条抛物线，咱们不能不提它的顶点和交点。
顶点，哦，那可是这条曲线的灵魂所在，犹如一个人生的转折点，经历了风雨，终于在这里找到了方向。
而交点，就像是人生中那些重要的选择，左边走还是右边走？是选择继续坚持，还是放手一搏？这些都可以通过这条抛物线的交点来揭示。
听上去有点深奥，但这就是数学给我们的生活带来的启示，不是吗？再聊聊一元二次不等式，嘿，别小看这个东西。
它可是生活中的小精灵，帮助我们解决一些看似复杂的问题。
比如说，咱们在逛超市时，总会遇到各种打折信息，心里盘算着，买这件商品是不是划算。
没错，这就是一元二次不等式在你生活中的影子！你想要找到一个适合的价格区间，能够买到最超值的商品，这时候就需要运用到这些不等式的知识了。
想象一下，生活就像一场大戏，台上演的是各种角色，台下则是观众的你我他。
每个角色都有自己的故事，正如一元二次函数中的每一个点，都有其独特的坐标和意义。
那些平时不太在意的细节，可能在关键时刻为我们指明方向。
再说到不等式，仿佛就像人生的限制条件，给我们设定了边界，让我们在这些边界里去探索，去发现，去创造。
学好这些内容，不光是为了应付考试，更重要的是能让我们在生活中找到一些规律和方法。
咱们就像在一片迷雾中摸索，不知道该往哪个方向走。
这时候，如果能掌握一元二次函数和不等式的思路，就像是找到了指路明灯，能让我们更加清晰地看见前方的路。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4节从函数的观点看一元二次方程和
一元二次不等式
知识梳理
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，
x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝
x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2
或x＜x1}⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x|x≠－
b
2a
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a<b a＝b a>b
(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式
(1)f (x )
g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0).
(2)f (x )
g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒]
1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.
3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.
(2)不等式ax 2
＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，
Δ<0.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )
(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )
(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )
解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.
(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.(必修5P103A2改编)已知集合
A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B
＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]
D.[－2，2]
解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C
3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，
令3x 2
－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋7
3，
∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞
. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋7
3，＋∞
4.(2018·烟台月考)不等式1－x
2＋x
≥0的解集为( ) A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，
2＋x ≠0，
即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B
5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )。