第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式

第4节从函数的观点看一元二次方程和
一元二次不等式
知识梳理
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，
x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝
x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2
或x＜x1}⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x|x≠－
b
2a
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a<b a＝b a>b
(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式
(1)f (x )
g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0).
(2)f (x )
g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒]
1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.
3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.
(2)不等式ax 2
＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，
Δ<0.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )
(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )
(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )
解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.
(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.(必修5P103A2改编)已知集合
A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B
＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]
D.[－2，2]
解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C
3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，
令3x 2
－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋7
3，
∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞
. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋7
3，＋∞
4.(2018·烟台月考)不等式1－x
2＋x
≥0的解集为( ) A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，
2＋x ≠0，
即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B
5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )。