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ln(1 xFra Baidu bibliotek x 。 1
又由0<<x，有
x ln(1 x) x 。 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是
f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别在
区间(1, 2)及(2, 3)内。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那么在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f ( x) x ln( x 2)
在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f ( x) x ln( x 2) x2
但却不易找到使 f ( x) 0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
二、0 , ,00 ,1 ,0型未定式解法
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
定义 如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f (x) 与 F (x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F (x)
( x )
常把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
y x0 2x x0 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。
例如, y x , x [2,2];
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0. 又例如, f ( x) 1 x, x (0,1], f (0) 0;
例如,
lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim ln sin ax , ( ) x0 ln sin bx
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉 格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f ()(x2x1) (x1< < x2)。 由假定，f ()0，所以f(x2)f(x1)0，即
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f ' () 成立. F '()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
例 2．证明当 x>0 时， x ln(1 x) x 。 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足 拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
由于 f(0)0， f (x) 1 ，因此上式即为 1 x
例 1 ． 不 求 函 数 f(x)(x1)(x2)(x3) 的 导 数 , 判 断 方程f (x)0有几个实根，以及其所在范围。
解：f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]上满足 罗尔定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 1，使 f (1)0，1是
f (x)=0的一个实根。
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件, 但在(0,1)内找不到一点能使f (x) 0.
再例如 f ( x) x, x [0,1].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件,但也找不到使f ( x) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
又由0<<x，有
x ln(1 x) x 。 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是
f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别在
区间(1, 2)及(2, 3)内。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那么在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f ( x) x ln( x 2)
在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
f ( x) x ln( x 2) x2
但却不易找到使 f ( x) 0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
二、0 , ,00 ,1 ,0型未定式解法
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
定义 如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f (x) 与 F (x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F (x)
( x )
常把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
y x0 2x x0 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。
例如, y x , x [2,2];
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0. 又例如, f ( x) 1 x, x (0,1], f (0) 0;
例如,
lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim ln sin ax , ( ) x0 ln sin bx
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉 格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f ()(x2x1) (x1< < x2)。 由假定，f ()0，所以f(x2)f(x1)0，即
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f ' () 成立. F '()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
例 2．证明当 x>0 时， x ln(1 x) x 。 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足 拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
由于 f(0)0， f (x) 1 ，因此上式即为 1 x
例 1 ． 不 求 函 数 f(x)(x1)(x2)(x3) 的 导 数 , 判 断 方程f (x)0有几个实根，以及其所在范围。
解：f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]上满足 罗尔定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 1，使 f (1)0，1是
f (x)=0的一个实根。
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件, 但在(0,1)内找不到一点能使f (x) 0.
再例如 f ( x) x, x [0,1].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件,但也找不到使f ( x) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；