电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案

第 1 章 习 题

1、 求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。 解：

根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为

)( ),,(为常数c c z y x u =。

设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1， 即：()1=+++D Cz By Ax E

针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。

2、 已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。 解：

根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：

42+-=y x ，

代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，

满足唯一解的条件：02416=⨯⨯-=∆C ，

得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy

3、 求矢量场z zy y y x x

xy A ˆˆˆ222++=

的矢量线方程。 解：由矢量线的微分方程：

z

y x A dz A dy A dx ==

本题中，2

xy A x =，y x A y 2

=，2

zy A z =， 则矢量线为：

222zy dz

y x dy xy dx =

=，

由此得到三个联立方程：

x dy y dx =，z dz x dx =，zy dz x dy =2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理， y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=

它们代表一簇经过坐标原点的直线。

4、 求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy x

x t ˆ3ˆˆ242+-=

方向的方向导数。 解：由标量场方向导数的定义式：

直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为

γβαcos cos cos z

u y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂

α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y x

ˆˆˆ、、的夹角。αcos 、βcos 、γcos 分别是l 方向的方向余弦。

422==∂∂M

M

x

z x

u

，

04==∂∂M M

zy y u

，

1223222=+=∂∂M M y z x z u 令：

8

4

2

2

2

422294)3()()2(z

y x x z xy x ++=++=∆

则：5

4

2cos =∆=M M

x α

，0cos 2=∆

-=

M

M

xy β，5

3cos -=M

γ

，

4536

0516cos cos cos -=-+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂M M

M M z u y u x u t u γβα 5、 求标量场z y x xy z y x u 62332222--++++=在点M (0,0,0) 、点M (1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。 解：由梯度定义：

z z

u y y u x x u u ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=

∇ 则：

z z y x y x

y x z z u y y u x x u u ˆ)66(ˆ)24(ˆ)32(ˆˆˆ-+-++++=∂∂+∂∂+∂∂=

∇

z y x u ˆ6ˆ2ˆ3)0,0,0(--=∇ y x

u ˆ3ˆ6)1,1,1(+=∇ 若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：

032=++y x 024=-+x y

066=-z

解之，得到：

1,1,2==-=z y x

即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。

6、 设z z y y x

x r ˆˆˆ++=

，r r =，n 为正整数。求r ∇、n r ∇、()r f ∇。 解：根据题意及梯度定义：

r

r z z y y x x r z z y y x x r z y x z y x z y x r =++=++=++∇++=++∇=∇-)ˆˆˆ(1

)ˆ2ˆ2ˆ2(1

21)()(21)

(2222

1

222222 r nr r r nr r

nr r n n n n 211---==∇=∇ r

r

r f r

r f r f )

(')(')(=∇=∇ 7、 求矢量场z z y y x

x A ˆˆˆ333++=

在点M (1,0,-1)处的散度。 解：由题意及散度定义： 222333z y x A ++=⋅∇

，将M(1,0,-1)代入：

得到：

6303=++=⋅∇M

A

8、 设a

为常矢量，z z y y x

x r ˆˆˆ++= ，r r =，求()a r ⋅∇、()a r 2⋅∇、()

a r n ⋅∇，证明a r a =⋅∇)( 解：由散度运算公式：

1）

()r

a r r a r r a

r a r a r

⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇0 2）

()

a

r r a r r r a

r a r a r

⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇2022

222

3）