2017-2018学年甘肃省白银市会宁一中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2017-2018学年甘肃省白银市会宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）函数y=x2+bx+c（x∈[0，∞））是单调函数的充要条件是（）A．b≥0 B．b＞0 C．b＜0 D．b≤03．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）C．y=sin 2x+cos 2x D．y=sin x+cos x5．（5分）已知向量=（1，﹣cosθ），=（1，2cosθ），且⊥，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0 C．D．6．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a27．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x8．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）9．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．14．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=．15．（5分）（x﹣1）dx=．16．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．三、解答题：17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣）．（1）若a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设向量=（1，2sin θ），=（sin（），1），θ∈R．（1）若⊥，求tan θ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．19．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin（A+）的值．20．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）•（b∈R）．（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．22．（12分）某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x ≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．2017-2018学年甘肃省白银市会宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．2．（5分）函数y=x2+bx+c（x∈[0，∞））是单调函数的充要条件是（）A．b≥0 B．b＞0 C．b＜0 D．b≤0【解答】解：∵函数y=x2+bx+c（x∈[0，+∞））是单调函数的∴根据二次函数的性质得出：﹣≤0，b≥0，∴函数y=x2+bx+c（x∈[0，∞））是单调函数的充要条件是b≥0，故选：A．3．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）C．y=sin 2x+cos 2x D．y=sin x+cos x【解答】解：对于A：y=cos（2x+）最小正周期为T=，且y=cos（2x+）=﹣sin2x，所以函数的图象关于原点对称，故正确．对于B：y=sin（2x+）最小正周期为T=，且y=sin（2x+）=cos2x，函数的图象关于y轴对称，故错误．所对于C：y=sin2x+cos2x=最小正周期为T=，函数的图象不关于原点对称，故错误．对于D：y=sinx+cosx=最小正周期为T=2π，函数的图象不关于原点对称，故错误，故选：A．5．（5分）已知向量=（1，﹣cosθ），=（1，2cosθ），且⊥，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0 C．D．【解答】解：由向量数量积的性质可知，=1﹣2cos2θ=0即﹣cos2θ=0∴cos2θ=0故选：B．6．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D．7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x【解答】解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选：D．8．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．9．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选：A．10．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：a、b都是不等于1的正数，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵log a3＜log b3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．14．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=．【解答】解：因为钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，可得sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=．当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．故答案为：．15．（5分）（x﹣1）dx=0．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．16．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，=3﹣2=（），=3﹣=（），∴cosβ===．故答案为：．三、解答题：17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣）．（1）若a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．【解答】解（1）已知：a=，θ=，则：f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=（sin x+cos x）﹣sin x，=cos x﹣sin x，=sin（﹣x），因为x∈[0，π]，从而﹣x，故f（x）在[0，π]上的最大值为，最小值为﹣1．（2）由，得，又θ∈知cos θ≠0，解得．故：a=﹣1，θ=．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设向量=（1，2sin θ），=（sin（），1），θ∈R．（1）若⊥，求tan θ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．【解答】解：（1）因为⊥，所以•=0，所以2sinθ+sin（θ+）=0，即sinθ+cosθ=0．因为cosθ≠0，所以tanθ=﹣．（2）由a∥b，得2sinθsin=1，即2sin2θcos+2sinθcosθs in =1，即（1﹣cos 2θ）+sin 2θ=1，整理得，sin（2θ+）=，又θ∈（0，），所以2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣=，即θ=．19．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin（A+）的值．【解答】解：（1）因为：A=2B，所以：sinA=sin2B=2sinBcosB．由正、余弦定理得a=2b•．因为b=3，c=1，所以a2=12，解得：a=2．（2）由余弦定理得cosA===﹣．由于0＜A＜π，所以sin A===．故sin（A+）=sin Acos+cosAsin=×+（﹣）×=．20．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）•（b∈R）．（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．【解答】解（1）当b=4时，f′（x）=，由f′（x）=0得x=﹣2或x=0．当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）在x=﹣2处取极小值f（﹣2）=0，在x=0处取极大值f（0）=4．（2）f′（x）=，因为当x∈（0，）时，＜0，依题意，当x∈（0，）时，有5x+（3b﹣2）≤0，从而+（3b﹣2）≤0．所以b的取值范围为：（﹣∞，]．21．（12分）已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．【解答】（12分）解：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），所以f′（x）=+，f′（0）=2．又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．…（6分）（2）令g（x）=f（x）﹣2（x），则：g′（x）=f′（x）﹣2（1+x2）=．因为g′（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x）．…（12分）22．（12分）某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x ≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．【解答】解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x ﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q （a）=4（3﹣a）3万元．。