计算方法 方程的拟合
第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
1
结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
算 用直线 p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
计
i xi yi xi yi xi2 xi2yi xi3
xi4
0 3 5 15 9 45 27
81
算
1 5 2 10 25 50 125 625
方
2 6 1 6 36 36 216 1296
法
3 8 2 16 64 128 512 4096
课
4 10 4 40 100 400 1000 10000
件
Y ln y, A ln a Y A bx
8
i
xi
0
1
yi
Yi
15.3
2.7279
xi2
xiYi
1
2.7279
1
2
20.5
3.0204
4
6.0408
计
2
3
27.4
3.3105
9
9.9315
算
3
4
36.6
3.6000
16
14.4000
方
4
5
49.1
3.8939
25
19.4695
法
5
6
65.6
4
例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x 3 5 6 8 10
计
计算方法课件第六章最小二乘法与曲线拟合
例1： y aebx
ln y ln a bx
u ln y, A ln a, B b
u A Bx
例2： y
a
1 bx
u 1 y
1 a bx y u a bx
3.写出矛盾方程组。 4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。 6.将正则方程组的解带回到数学模型中，得到拟 合曲线。
Remark
1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误
差 N [ (xi 和) 最yi大]2 偏差
max
1i N
( xi
t cos 0.669131 0.390731 0.121869 -0.309017 -0.587785
记 a 1 , b e ，得拟合模型：a bt y
p
p
则矛盾方程组为：
1 0.669131
0.370370
1
1 1
0.390731 0.121869 0.309017
a b
0.500000
一、曲线拟合模型
定义：依据某种标准选择一条“最好”的简单
曲线作为一组离散数据(
xi
,
yi
)
N i0
的连续模型。
确定曲线的类型：一般选取简单的低次多项式。
求一个次数不高于N－1次的多项式：
y (x) a0 a1x a2x2 amxm
(m N 1)
（其中a0,a1,…,am待定），使其“最好”的拟合
j 1
j 1
n a1 j x j b1
方程拟合编码值系数
方程拟合编码值系数摘要：一、引言二、方程拟合编码值系数介绍1.概念解析2.应用场景三、方程拟合编码值系数计算方法1.线性回归2.非线性回归四、方程拟合编码值系数优缺点分析1.优点2.缺点五、实际应用案例六、总结正文：一、引言在数据分析、科学研究等领域，我们常常需要对数据进行拟合，以便更好地理解和预测数据。
方程拟合编码值系数作为一种有效的数据处理方法，在许多领域都得到了广泛应用。
本文将对方程拟合编码值系数进行详细介绍，并分析其计算方法、优缺点及实际应用案例。
二、方程拟合编码值系数介绍1.概念解析方程拟合编码值系数，又称作线性编码值系数，是一种将数据编码成二进制序列的方法。
通过对原始数据进行线性变换，使得变换后的数据满足某种特定的分布规律，如均匀分布、高斯分布等。
2.应用场景方程拟合编码值系数广泛应用于数据压缩、图像处理、模式识别等领域。
例如，在图像压缩中，我们可以通过线性变换将图像的像素值映射到比特序列，从而实现图像的压缩。
三、方程拟合编码值系数计算方法1.线性回归线性回归是最简单的方程拟合方法，它通过最小化误差平方和来求解最佳拟合直线。
线性回归适用于数据满足线性关系的情况。
2.非线性回归非线性回归是在线性回归的基础上，对拟合函数进行非线性变换。
非线性回归可以更好地拟合非线性数据，但计算复杂度相对较高。
四、方程拟合编码值系数优缺点分析1.优点方程拟合编码值系数具有较高的数据压缩比，适用于数据量较大的场景。
同时，由于线性变换的特性，方程拟合编码值系数具有一定的抗干扰能力。
2.缺点方程拟合编码值系数在拟合过程中可能会损失部分数据信息，对于一些需要保留细节的数据处理任务，可能不太适用。
此外，对于非线性数据，线性拟合的效果可能不佳。
五、实际应用案例以图像压缩为例，我们可以使用方程拟合编码值系数对图像进行压缩。
首先，对图像进行分块，然后对每个块进行线性拟合，将拟合后的值编码为比特序列。
在解压缩时，按照相同的线性变换进行反编码，从而还原图像。
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
cad拟合曲线方程
cad拟合曲线方程CAD（计算机辅助设计）是一种使用计算机软件进行设计、绘制和模拟的技术。
它广泛应用于各个领域，包括建筑、机械、电子、航空航天等。
在CAD中，一种常见的任务是拟合曲线方程。
本文将介绍CAD 拟合曲线方程的原理、方法和应用，以及相应的优缺点。
拟合曲线方程是指通过已知的离散数据点，找到一个近似曲线，使得该曲线在这些数据点附近拟合良好。
这种拟合可以用于数据分析、趋势预测、曲线绘制等多种应用。
在CAD中，我们可以利用数学模型和算法来进行拟合曲线方程的计算。
拟合曲线方程有多种形式，常见的包括直线、抛物线、多项式曲线等。
在CAD中，我们可以使用多项式拟合方法来拟合曲线方程。
多项式拟合方法利用最小二乘法，通过最小化拟合曲线和实际数据点之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线的系数。
在CAD中，拟合曲线方程的计算通常分为以下几个步骤：1.数据收集：首先，我们需要收集所需的离散数据点。
这些数据点可以通过测量、实验或其他方法获取。
通常，我们需要收集足够数量的数据点以获得准确的拟合曲线方程。
2.数据处理：接下来，我们需要对收集到的数据进行处理，以便在CAD中进行拟合计算。
一种常见的方法是将数据点转换为坐标系中的点，并进行标准化处理。
这样可以保证数据点的位置和大小不会影响拟合结果。
3.拟合计算：一旦数据处理完成，我们就可以在CAD软件中进行拟合计算了。
通常，CAD软件提供了拟合曲线方程的计算工具，我们只需要将数据点输入到该工具中，并进行相应的设置即可。
CAD软件会使用最小二乘法来计算最佳拟合曲线的系数，并生成相应的曲线方程。
4.曲线绘制：最后，我们可以使用CAD软件将拟合曲线方程绘制出来。
通过曲线绘制，我们可以直观地观察拟合结果，并进行进一步的分析和应用。
CAD拟合曲线方程的优点是可以通过计算机进行自动计算和绘制，相比手工计算更加高效和准确。
此外，CAD软件提供了丰富的工具和功能，可以满足不同拟合需求，并可以进行更加复杂的曲线分析和处理。
最小二乘法的线性拟合
8
4.3 数表与线图的公式化处理
前面介绍的数表与线图的程序化处理方法，这种方法虽然 解决了数表和线图在CAD作业中的存储和检索问题，但还存 在下述一些缺点：
1)占用大量计算机内存。数表和线图的程序化处理，要将 数表中的全部数据编进计算程序中，实现数据的自动检索。 当数表很庞大时，所占内存很大。一般情况下，一个设计计 算程序常常需要使用多个数表，则所占内存更加庞大，严重 时甚至会影响程序的正常运行。
4
4.2.2 直线图的公式化处理
1、直角坐标直线图的公式化处理
（a）直齿轮
（b）斜齿轮
5
2、对数坐标直线图的公式化处理
对数坐标中的直线方程可写为：
注意：一般程序语言中，只有lnx （自然对数）无十进制对数 lgx ，所以编程时，要进行换底运算。
lg x ln x ln10
6
3、区域图的公式化处理
2)效率低，占机时间长。通常设计所使用到的仅是数表中 的一小部分数据，有时甚至只是其中的一、二个。但数表程 序化处理对数表中的每个数据，无论在当时的计算程序中
是否被用到，都必须顺序地将全部数据读入内存。
检索时，一般又得顺序地从头检索至所需的那个
9
数据为止。
4.3.1 曲线拟合
数表程序化处理一般只适用于数表较小(数据 量较小)、计算程序使用数表个数不多的情况。对 于比较大型的计算程序，常常需使用很多的数表， 数据量很大，在这种情况下数表的处理就要采用其 它的方法。其中一种方法就是本节所要介绍的曲线 拟合。
常用的处理方法有三种：
1
（1）线图所表示的各参数之间本来就有计算公 式，只是由于计算公式复杂．为了便于手工计算 将公式绘成线图，以供设计时查用。对于这类线 图处理的方法为：找到线图原有公式，将公式编 写成程序。这是最精确的程序化处理方法，但难 以找到。
牛顿迭代法的函数逼近和拟合
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
结构方程模型中拟合度指标的选择与评价方法
结构方程模型中拟合度指标的选择与评价方法摘要：结构方程模型是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的关系。
在进行结构方程模型分析时，需要选择合适的拟合度指标来评价模型的拟合程度。
本文介绍了常见的拟合度指标及其评价方法，并探讨了在选择拟合度指标时需要考虑的因素。
关键词：结构方程模型；拟合度指标；评价方法；选择因素一、引言结构方程模型是一种常用的多变量统计分析方法，可以用于研究变量之间的关系。
结构方程模型可以分为两类：一类是指标式结构方程模型，另一类是路径式结构方程模型。
指标式结构方程模型又称为测量模型，它用于研究测量变量之间的关系；路径式结构方程模型用于研究变量之间的因果关系。
无论是指标式结构方程模型还是路径式结构方程模型，都需要进行模型拟合度检验。
模型拟合度指的是模型与实际数据的吻合程度，模型拟合度检验的目的是评估模型的可靠性和有效性。
本文将介绍常见的拟合度指标及其评价方法，并探讨在选择拟合度指标时需要考虑的因素。
二、常见的拟合度指标及其评价方法1.卡方检验卡方检验是最常用的结构方程模型拟合度检验方法之一。
卡方检验的原理是比较实际数据和模型预测数据之间的差异，如果差异较小，则说明模型拟合度较好。
卡方检验的统计量是卡方值，卡方值越小，说明实际数据与模型预测数据之间的差异越小，模型拟合度越好。
卡方检验的显著性水平通常设定为0.05或0.01。
如果卡方值小于设定的显著性水平，则说明模型拟合度良好。
卡方检验的缺点是它对样本量和指标个数非常敏感。
当样本量较大或指标个数较多时，卡方值往往会偏大，导致模型拟合度被低估。
因此，在使用卡方检验时，需要同时考虑其他拟合度指标。
2.均方根误差（Root Mean Square Error of Approximation，RMSEA）均方根误差是一种常用的结构方程模型拟合度指标。
均方根误差的计算方法为：$$ RMSEA =sqrt{frac{sum_{i=1}^{n}(y_i-hat{y_i})^2}{df(n-1)}} $$ 其中，$y_i$是实际数据，$hat{y_i}$是模型预测数据，$n$是样本量，$df$是自由度。
《计算方法》课程简介及教学大纲
《计算方法》课程简介及教学大纲一、课程简介1.课程编号：201100112.课程名称：计算方法3.开课学院：数学课程组4.学时：325.类别：公共选修课6.先修课程：高等数学，线性代数7.课程简介：《计算方法》全面地介绍科学与工程计算中常用的计算方法，具体介绍了这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。
内容包括引论、线性代数方程组求解方法、非线性方程求根、函数插值、函数拟合、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、自治微分方程稳定区域的计算等。
本课程的任务是通过各个教学（和实践）环节，运用各种教学手段和方法，使学生掌握数值计算的基本原理和各种方法的基本思想，并藉此培养学生分析问题和解决问题的能力，为学习后续课程、从事工程技术研究工作打下坚实的基础。
Course Code:20110011Name of Course:Computational MethodFaculty: Mathematics Course GroupCredit Hours: 32Classification: Elective coursePrerequisite:Advanced Mathematics, Linear AlgebraCourse Outline:Computational Method induces the calculation methods used in Scientific and Engineering roundly，and makes specific introduction to the calculation method of basic theory and practical application of these methods. It also makes a brief analysis of the calculation of effectiveness, stability, convergence effect, scopeand characteristics of the advantages and disadvantages. It includes introduction, method for solving linear algebraic equations, finding roots of nonlinear equations, function interpolation, function fitting, numerical differentiation and numerical integration, numerical methods for initial value problem for ordinary differential equations, autonomous differential equation and stability calculations.Through various teaching and practice, students will master the basic principles and methods of numerical calculation of the basic idea. This course aims to develop students' ability to analyze and solve problems, and lay a solid foundation for follow-up courses and engagment in engineering work.二、课程教学大纲1. 课程编号：20110011 6. 先修课程：高等数学，线性代数2. 课程类别：公共选修课 7.课内总学时：323. 开课学期：第二学年一学期 8.实验/上机学时：04. 适用专业：全校各专业 9.执笔人：陈丙振5.考核方式：考查1．课程教学目的《计算方法》全面地介绍科学与工程计算中常用的计算方法，具体介绍了这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。
python拟合曲线求方程
python拟合曲线求方程Python是一种高级编程语言，其具有强大的科学计算和数据分析功能。
在Python中，使用NumPy和SciPy等库可以进行拟合曲线求方程的操作。
1. 数据准备首先需要准备数据，以便进行拟合曲线求方程的操作。
可以使用Python中的NumPy库生成随机数据或导入外部数据文件。
例如，下面是一个生成随机数据的示例代码：```import numpy as np# 生成x轴数据x = np.linspace(0, 10, 100)# 生成y轴数据y = 2 * x + 1 + np.random.randn(100) * 0.5```上述代码中，使用`np.linspace()`函数生成了一个包含100个元素、范围为0到10的一维数组作为x轴数据；使用`2 * x + 1`生成了理想情况下的y轴数据，并加入了一些随机噪声。
2. 拟合曲线接下来需要使用Python中的SciPy库进行拟合曲线操作。
SciPy提供了多种拟合曲线函数，如多项式拟合、指数拟合、对数拟合等等。
这里以多项式拟合为例。
```from scipy.optimize import curve_fit# 定义多项式函数def func(x, a, b, c):return a * x ** 2 + b * x + c# 拟合曲线popt, pcov = curve_fit(func, x, y)# 输出拟合结果print(popt)```上述代码中，使用`curve_fit()`函数对数据进行拟合，其中第一个参数是拟合函数，第二个参数是x轴数据，第三个参数是y轴数据。
在这里定义了一个二次多项式函数，并将其作为拟合函数传入`curve_fit()`函数中。
`popt`和`pcov`分别是拟合系数和协方差矩阵。
3. 输出结果最后需要将拟合结果输出。
可以将拟合曲线绘制出来，并输出方程式。
```import matplotlib.pyplot as plt# 绘制原始数据plt.scatter(x, y)# 绘制拟合曲线plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label='fit')# 输出方程式print('y = %.2f * x^2 + %.2f * x + %.2f' % tuple(popt))# 显示图像plt.show()```上述代码中，使用Matplotlib库绘制了原始数据和拟合曲线，并输出了方程式。
最小二乘法的线性拟合
变化趋势，比较符合实际规律。曲线拟合的方法有 很多，这里我们只介绍最小二乘法（线性、多项式、
指数曲线）的数据拟合。
10
线性拟合
• 在直角坐标系中点大致呈线性分布， y（x）＝ a0＋a1x
n
n
ei2 （f（xi） yi）2 （[ a0 a1xi） yi ]2 F（a0，a1）
i0
i0
i0
15
要使F（a0，a1）最小，必须满足
即：
F 0，F 0
a0
a1
F
a0
n
2 （a0 a1xi
i0
yi） 0
F
a1
（3）用曲线拟合的方法求出线图的拟合公式
（又称经验公式），再将公式编写成程
序。
2
4.2.1线图的数表化处理 所谓线图数表化处理是将线图离散转化为一
张数表，然后按数表的处理方法进行处理。
右Z图较少为时渐，开对齿线形齿系轮数影的响 一种齿较形大系，数节点曲的线区图间应取得
小些；
渐开线齿轮的齿数和齿形系数的关系
（1）按区域图的中线取值
找出区域中线的表达式， SH1
为此设齿面最小硬度为HB0 。
最高硬度为HBl ，SH0表示 最小硬度对应的极限应力中
SH0
值，SHl表示最大硬度对应 的极限应力中值，由此根据
直线的两点式方程可以写出
HB 0
HB1
极限应力中线的表达式为：
7
（2）按区域图的位置取值
在确定材料极限应力时只能取中值，不尽合理。为了 使设计者能根据所用材料的不同性能，按实际情况在区域 图内取不同的值，为此，增加两个参数，一个是极限应力 的幅度值SF，另一个是表示极限应力在区域图中的位置 参量ST。ST＝1时表示取上限值，ST＝0时表示取中值， ST＝-1时表示取下限值。此时极限应力的计算式变为：
高斯拟合的计算方法
高斯拟合的计算方法高斯拟合是一种常用的数据拟合方法，广泛应用于科学研究、工程技术和统计分析等领域。
它基于高斯函数的特点，通过最小二乘法来确定函数的参数，从而实现对数据的拟合和预测。
高斯函数是一种钟形曲线，也称为正态分布曲线。
它具有一个峰值点，呈对称分布，左右两边的取值逐渐减小。
高斯函数的表达式可以用数学符号来表示，但在本文中我们将避免使用公式，以便更好地理解高斯拟合的计算方法。
在进行高斯拟合时，首先需要收集一组数据。
这些数据应该具有一定的规律性，例如服从正态分布或近似正态分布。
然后，通过最小二乘法来确定高斯函数的参数，使得函数曲线与数据点之间的误差最小化。
最小二乘法是一种常见的优化方法，可以通过求解一组方程来得到最优解。
具体而言，高斯拟合的计算方法可以分为以下几个步骤：1. 初始化参数：首先需要对高斯函数的参数进行初始化。
这些参数包括均值、标准差和振幅等。
初始化的选择会影响拟合结果的准确性和收敛速度。
2. 计算误差：通过将数据点代入高斯函数的表达式，计算每个数据点与函数曲线之间的误差。
误差可以用实际观测值与拟合值之间的差异来衡量。
3. 更新参数：通过最小化误差，可以得到一个优化问题。
使用数值优化算法，如梯度下降法或牛顿法，来更新参数的数值。
这些算法可以通过迭代的方式，逐步优化参数的值，使得误差逐渐减小。
4. 判断收敛：在每次参数更新后，需要判断拟合结果是否已经收敛。
一般来说，可以通过设置一个收敛阈值，当误差小于该阈值时，认为拟合结果已经收敛。
5. 输出结果：当拟合结果收敛后，可以输出拟合函数的参数值，以及拟合曲线与原始数据的对比图。
这样可以直观地了解拟合结果的准确性和可靠性。
需要注意的是，高斯拟合的计算方法并不是一成不变的，它可以根据具体情况进行调整和改进。
例如，可以考虑加入权重因子，以提高某些数据点的重要性；也可以使用非线性最小二乘法，以适应非线性的数据拟合问题。
高斯拟合是一种常用的数据拟合方法，通过最小二乘法来确定高斯函数的参数，从而实现对数据的拟合和预测。
数值计算方法 曲线拟合2 - 曲线拟合2
曲 a1=-0.2347;
线
a2=2.9943; d=300;
拟 v=1/Exp[a2]* D0
合 k=-a1
c1=10;
c0=25;
D0=v*c0
p=v*(c0-c1)
T=N[1/k*Log[c0/c1],8]
参考数据
初始剂量：
D0=（mg）
中心室血液容积： V=15.02 (L)
重复注入固定剂量： D=225.3(mg)
大学：
创新的活水
大学：
真理的福地
大学：
文化的酵母
大学：
知识的源泉
大学：
道德的高地
大学：
良心的堡垒
学府：学者的共同体 学术：教师的活动 学业：学生的活动 学人：追求学问的人
雅典神庙门廊石碑上的警世名言：
人对社会的贡献
= k*F（广度、深度、准确度）
古希腊思想家苏格拉底 ：我们必须自知”，“我们必须自觉自己的无知”
k2=Plot[y,{x,0,2}]
Show[k1,k2]
程序设计
课后实验课题
已知某模型快速静脉注射下的血药浓度数据 (t=0 注射300mg ) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 g (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
认识自己， 方能认识人生。
智慧意味着自知无知 ！
我平生只知道一件事： 我为什么是那么无知。
感悟：品质建设最重要
1 做什么？
境界 1
境界 2
2 怎样做？
境界 3
境界 4
境界 5
3 怎样做好 ？
4 怎样做精 ？
计算方法实验报告 拟合
南京信息工程大学实验（实习）报告
一、实验目的:
用最小二乘法将给定的十个点拟合成三次多项式。
二、实验步骤：
用matlab编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi=1)
给定直线方程为：y=1/4*x3+1/2*x2+x+1
三、实验结论：
最小二乘法：通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
一般地。
当测量数据的散布图无明显的规律时，习惯上取n次代数多项式。
程序运行结果为：
a =
0.9731
1.1023
0.4862
0.2238
即拟合的三次方程为：y=0.9731+1.1023x+0.4862*x2+0.2238*x3
x 轴
y 轴
拟合图
结论：
一般情况下，拟合函数使得所有的残差为零是不可能的。
由图形可以看出最小二乘解决了残差的正负相互抵消的问题，使得拟合函数更加密合实验数据。
优点：曲线拟合是使拟合函数和一系列的离散点与观测值的偏差平方和达到最小。
缺点：由于计算方法简单，若要保证数据的精确度，需要大量的数据代入计算。
最小二乘法拟合二次方程
最小二乘法拟合二次方程一、概念与定义最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
当处理的数据呈现某种趋势或模式时，如线性、二次或更高次的曲线，最小二乘法可以帮助我们找到最能代表这些数据的函数。
对于二次方程拟合，最小二乘法旨在找到一个形如(y = ax^2 + bx + c) 的二次函数，使得该函数与给定的数据点集之间的误差平方和最小。
这里的误差指的是每个数据点((x_i, y_i)) 到函数曲线上对应点((x_i, ax_i^2 + bx_i + c)) 的垂直距离。
二、性质最优性：最小二乘法得到的拟合曲线在误差平方和的意义下是最优的，即没有其他曲线能够使得误差平方和更小。
线性性：对于线性模型（包括二次模型），最小二乘法得到的解是线性的，即解可以通过数据的线性组合得到。
无偏性：在某些假设下（如误差项独立同分布，且期望为0），最小二乘法得到的估计量是无偏的，即估计量的期望等于真实参数值。
三、特点直观性：最小二乘法通过最小化误差平方和来寻找最佳拟合曲线，这一过程直观且易于理解。
计算简便：对于二次方程拟合，最小二乘法可以通过求解线性方程组来得到参数(a), (b), 和(c)，计算过程相对简便。
适用性广：最小二乘法不仅适用于二次方程拟合，还可以扩展到更高次的多项式拟合以及其他类型的函数拟合。
四、规律在使用最小二乘法拟合二次方程时，我们通常会遵循以下步骤：收集数据：首先收集一组包含(x) 和(y) 值的数据点。
构建模型：根据数据点的分布趋势，构建一个形如(y = ax^2 + bx + c) 的二次模型。
计算误差平方和：对于给定的参数(a), (b), 和(c)，计算每个数据点到模型曲线的垂直距离的平方和。
最小化误差平方和：通过调整参数(a), (b), 和(c) 的值，使得误差平方和达到最小。
这通常可以通过求解一个线性方程组来实现。
多项式拟合步骤
多项式拟合步骤多项式拟合是一种常用的数学方法，用于通过已知的数据点来找到一个多项式函数，以便能够近似地表示这些数据。
本文将介绍多项式拟合的具体步骤，帮助读者理解并应用这一方法。
1. 数据收集：首先，需要收集一组已知的数据点，这些数据点可以是实验数据、观测数据或者其他已知的数据。
2. 数据可视化：将收集到的数据点在坐标系中进行可视化，可以帮助我们直观地了解数据的分布情况。
3. 确定拟合的多项式阶次：根据数据的特点和拟合的要求，确定拟合多项式的阶次。
阶次越高，多项式的灵活性越大，但也容易出现过拟合的问题。
4. 构建拟合方程：根据确定的多项式阶次，构建拟合方程。
例如，对于一次多项式拟合，拟合方程可以表示为y = ax + b；对于二次多项式拟合，拟合方程可以表示为y = ax^2 + bx + c。
5. 拟合数据：使用最小二乘法或其他拟合方法，将拟合方程应用到数据上，计算出拟合曲线。
6. 拟合度评估：通过计算残差、均方根误差或其他统计指标，评估拟合结果的好坏。
拟合度越高，表示拟合结果与原始数据越接近。
7. 结果可视化：将拟合曲线与原始数据点在坐标系中进行可视化，以便直观地比较拟合结果与原始数据的差异。
8. 拟合结果分析：分析拟合结果，判断拟合曲线是否能够较好地表示原始数据的特征。
如果拟合结果符合预期，可以继续使用拟合曲线进行数据预测或其他应用。
9. 拟合参数解释：对于拟合方程中的参数，进行解释和分析，理解这些参数对拟合曲线的影响。
例如，对于一次多项式拟合方程y = ax + b，参数a表示斜率，参数b表示截距。
10. 拟合结果验证：对于拟合结果，可以使用交叉验证等方法进行验证，以确保拟合结果的可靠性和泛化能力。
11. 拟合结果优化：如果拟合结果不理想，可以尝试调整拟合方程的阶次、使用其他拟合方法或优化算法，以提高拟合结果的准确性和稳定性。
12. 实际应用：将多项式拟合方法应用到具体的实际问题中，例如经济预测、数据分析、信号处理等领域，以解决实际问题并取得良好的效果。
一元一次方程拟合
一元一次方程拟合
答：一元一次方程拟合是一种数学方法，用于找到一条直线，该直线在最小二乘意义上“最佳拟合”给定的数据点。
假设我们有一组数据点 (x_i, y_i)，i = 1, 2, ..., n，我们想要找到一条直线 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截距，以最佳拟合这些数据点。
最小二乘法是一种常用的方法来找到最佳拟合直线。
最小二乘法的目标是找到 m 和 b，使得所有数据点到直线的垂直距离的平方和最小。
数学上，这可以通过以下方程组来实现：
1. 斜率 m 的计算：m = Σ(x_i * y_i) / Σ(x_i^2)
2. 截距 b 的计算：b = Σ(y_i) - m * Σ(x_i) / n
其中Σ表示求和，n 是数据点的数量。
现在我们来解这两个方程，找出 m 和 b 的值。
计算结果为：m = 1.7454545454545454, b = 20.763636363636365
所以，最佳拟合直线的方程是
y = 1.7454545454545454x + 20.763636363636365。
python微分方程 参数拟合
python微分方程参数拟合摘要：1.Python 与微分方程2.参数拟合的重要性3.Python 中进行参数拟合的方法4.微分方程在参数拟合中的应用5.Python 微分方程参数拟合的实例正文：一、Python 与微分方程Python 作为一门广泛应用于科学计算、数据分析以及人工智能等领域的编程语言，其拥有丰富的库和工具，可以有效地解决各种实际问题。
微分方程是数学中的一个重要分支，它应用于许多科学领域，如物理学、生物学和经济学等。
Python 在微分方程的研究与应用中发挥着越来越重要的作用。
二、参数拟合的重要性在现实世界中，许多现象和过程都可以通过微分方程来描述。
然而，由于微分方程的初始条件和参数通常不完全确定，我们需要通过参数拟合来确定这些参数，从而使模型更接近实际情况。
参数拟合是一种通过观测数据来估计模型参数的方法，它在微分方程研究中起着关键作用。
三、Python 中进行参数拟合的方法Python 中有许多库可以用来进行参数拟合，如NumPy、SciPy 和Scikit-learn 等。
其中，最常用的方法是最小二乘法、最大似然估计和贝叶斯统计等。
这些方法在Python 中可以很容易地实现，并且可以应用于各种实际问题。
四、微分方程在参数拟合中的应用微分方程在参数拟合中的应用非常广泛。
例如，在生态学中，我们可以通过微分方程来描述种群的增长过程，并通过参数拟合来估计种群增长率和环境容纳量等参数。
在物理学中，微分方程可以用来描述物体的运动过程，而参数拟合则可以用来估计物体的质量和摩擦系数等参数。
五、Python 微分方程参数拟合的实例下面是一个使用Python 进行微分方程参数拟合的简单实例。
假设我们想要研究一个细菌种群的增长过程，我们可以建立如下的微分方程模型：dX/dt = rX(K - X)其中，X 表示细菌种群的数量，r 表示种群增长率，K 表示环境容纳量。
我们可以使用Python 中的scipy.optimize 库来进行参数拟合，估计r 和K 的值。
bm方程拟合
bm方程拟合
在量子化学计算中，基组是用于描述电子波函数的有限基函数集。
基组的选择对于计算结果的精度和稳定性至关重要。
在选择基组时，需要考虑以下几点：
1.基组的大小：基组的大小决定了计算精度和计算成本之间的平衡。
较大
的基组可以提供更高的精度，但计算成本也相应增加。
因此，需要根据具体问题选择适当的基组大小。
2.基组的性质：不同的基组具有不同的性质，如极化函数和弥散函数等。
这些特殊基函数可以增加轨道的可极化性和变形性，从而提高计算精
度。
因此，在选择基组时需要考虑其性质是否适合所研究的问题。
3.基组的灵活性：一些基组可以灵活地描述电子云变形和振动等复杂行
为，而另一些基组则较为刚性。
选择具有适当灵活性的基组可以提高计算精度，并更好地描述所研究体系的电子结构和性质。
4.基组的收敛性：在量子化学计算中，随着基组大小的增加，计算结果逐
渐收敛于无限基组的极限值。
因此，选择足够大的基组以确保计算结果的收敛性是必要的。
总之，选择合适的基组需要考虑多个因素，包括基组的大小、性质、灵活性和收敛性等。
在实际应用中，可以通过比较不同基组的计算结果和精度来确定最适合所研究问题的基组。
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Q ek2 ( yk (a bxk ))2
欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足:
Q 0 a Q 0 b
Q(a, b)
a
m
2
k 1
(a
bxk
yk
)
0
Q(a, b) m
b
2 (a bxk yk )xk 0
k 1
7
LOGO
3. 线性最小二乘法
可推导出
m
m
ma b xk yk
k 1
k 1
m
m
m
a xk b xk2 xk yk
k 1
k 1
k 1
上式称为一元线性最小二乘法的法方程
m
yi
a i1 m xi yi i 1
m
xi
i 1
m
xi2
i 1
m
m
xi
i 1
m
xi
i 1
m
xi2
i 1
m
m
m
m
m
m
( yi xi2 xi xi yi ) (m xi2 ( xi )2 )
若k代表第k次实验的数据，则：
yk* b1 x1k b2 x2k b3 x3k L bn xnk f ( x1k , x2k , x3k ,L , xnk ;b1, b2 , b3 ,L , bn )
10
LOGO
4. 多元线性最小二乘法
根据最小二乘原则：
要使 Q ek2 ( yk yk* )2 达到最小
3
LOGO
最小二乘法的优点是函数形式多种多样，根据其来源不同， 可分为半经验建模和经验建模两种。
❖ 半经验建模
❖ 经验建模
如果建模过程中先由一定的理论依 经验建模又分为两种情况：
据写出模型结构，再由实验数据估
一是无任何理论依据，但有经验公
计模型参数，这时建立的模型为半
式可供选择，例如很多物性数据
经验模型。例如，描述反应速率常 数与温度的关系可用阿仑纽斯方程
图形进行比较，选择图形接近的函 数形式作拟合模型。
4
LOGO
2. 最小二乘法算法分类
❖ 不论何种建模情况，在选定关联函数的形式之后，就是 如何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数。
❖ 最小二乘法按计算方法特点又分为线性最小二乘法和非 线性最小二乘法。
5
LOGO
3. 线性最小二乘法
线性最小二乘法是常用的曲线拟合方法。线性最小 二乘法又分为一元和多元等不同情况。 ❖ 一元线性最小二乘法的方法概述
对于一元线性函数： y a bx
测定了m个自变量值： xk (k 1, 2L m)
和m个应变量值： yk (k 1, 2L m) 计算出m个应变量值： yk* (k 1, 2L m)
定义误差：
ek yk yk* yk (a bxk )
6
LOGO
3. 线性最小二乘法
由最小二乘法：设
5
4
3
2
1
0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Tg/T
2
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1. 最小二乘法曲线拟合的原理
❖ 通常采用“近似函数在各实验点的计算结果与实验结果 的偏差平方和最小”的原则建立近似函数。
定义: ek yk yk*
若 Q ek2 最小
称此曲线拟合法为最小二乘法曲线拟合。 式中Q称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的 原则容易实现而被广泛采用。
（热容、密度、饱和蒸气压）与温 度的关系常表示为:
，即
k k0 exp(E / RT )
(T ) b0 b1T b2T 2 b3T 3 b4 ln T b5 / T
二是没有任何经验可循的情况，只
这种情况下，工作要点在于如何
能将实验数据画出图形与已知函数
确定函数中的各未知系数 k0 ，E
i1 i1
i1 i1
i 1
i 1
m
m
m
m
m
b (m xi yi xi yi ) (m xi2 ( xi )2 )
i 1
i1 i1
i 1
i 1
8
LOGO
4. 多元线性最小二乘法
❖设系统共有n个影响因子，得到m次实验数据。若可用多元线性函 数拟合时，形式如下：
n
y b1 x1 b2 x2 b3 x3 L bn xn bi xi i 1
❖若k代表第k次实验的数据，则相应的预测值表示为：
yk* b1x1k b2 x2k b3x3k L bn xnk f (x1k , x2k , x3k ,L , xnk ;b1, b2, b3,L ,bn )
❖由最小二乘法设：
m
m
Q ek2 ( yk yk *)2
k 1
k 1
❖欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足:
因此，要求： Q 0 bi
Q
bi
2(b1
m k 1
x1k xik
b2
m k 1
x2k xik
L
bn
m k 1
xnk xik
m
k 1
xik
yk )
0
则转化为以 bi 为未知数的方程组：
Sij
化工计算：方程的拟合
❖ 化工实验和工程实践中，可测得许多离散的实验数据和工
业数据，通常需要寻找一条连续光滑曲线 f (x) 来近似反 映已知数据组间存在的某种关系，所得近似函数 f (x) 可
以很好地逼近离散数据（ xi , yi ），这个函数逼近的过程
称为曲线拟合或经验建模。
❖ 常用最小二乘法曲线拟合。
Q
bi
2(b1
m k 1
x1k xik
b2
m k 1
x2k xik
L
bn
m k 1
xnk xik
m
k 1
xik
yk
)
0
9
LOGO
4. 多元线性最小二乘法
设多元线性函数：
n
y b1 x1 b2 x2 b3 x3 L bn xn bi xi i 1
共n个影响因子，有m次实验数据， m n
200
150
100
Y
50
0
1
-2
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
LOGO
X
Log ( cP )
14
13 [C6mim][Tf2N]
181.15 K Log = 13
12
Arrhenius high temperature (fit)
11
Arrhenius high temperature (extension to 400 K) Arrhenius high temperature (extension to 258 K)
10
VFT low temperature (fit)
9
VFT low temperature (extension to 181.15 K)
8
VFT high temperature (fit) VFT high temperature (extension to 400 K)
7
6 logη= -2.137+ 882.43/(T-160.036)