应力与应变间的关系
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三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体
ຫໍສະໝຸດ Baidu积为:
dx
3
1
dy
dz
V ' dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3)
18
体积应变为
V 'V
V
dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3) dxdydz
y
y
P A
300 103 0.12
30MPa
Z z
1 [ ( )] 0
xE x
y
z
由
1 [ ( )] 0
zE z
x
y
x x
(b)
24
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ1 σ2 15.5MPa , σ3 30MPa
1 2
E
(
x
y
z)
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。
21
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ 1 σ 3 τ xy
代入得
1 2
E
(1
2
3)
1 2
E
( xy
xy
0)
0
σ2 0
可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪 应力不引起各向同性材料的体积改变。
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
3
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx
τ xz
x
前面
图中表示的均为正方向
4
线应变: 以伸长为正,
y
x
'
x
E
" y
x
E
"' z
x
E
σy
σz
σy
x
σx
σz
6
在x y z同时存在时, x方向的线应变x为
x
1 E
x
( y
z)
在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为
y
1 E
[ y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
7
(2)剪应变的推导
剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
15
该点处另一主应变2的数值为
2
E
(
1
3)
34.3106
2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的 外法线方向。
16
四、各向同性材料的体积应变
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
17
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其
§7-7 应力与应变间的关系
一、单向应力状态下应力与应变的关系
1
1
E
σ1
σ1
E 为材料的弹性模量，单位为N/m2.
横向线应变2,3与纵向线应变 1 成
正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
2
3
1
1
二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
2
三、复杂应力状态下应力与应变的关系
9
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
z E ( x y)
xy
xy
G
10
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1
1
E [ 1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
(7-7-6)
11
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。
8
x
1 E
x
( y
z)
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小
变形条件下, 各向同性材 料。
22
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
P a
y
z
x
23
y
解：铜块上截面上的压应力为
1
1 E
( 1
2)
2
1 E
(
2
1)
3
E
(
1
2)
12
材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系: G E 2(1 v)
13
例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为
1 240106 , 3 160106 。构件材料为Q235钢，其弹
性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，
缩短为负。
剪应变: 使直角减小者为正,
增大者为负。
γ xy γ yz γ zx
xOy yOz zox 。
O
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx
τ xz x
前面
5
2、各向同性材料的广义胡克定律 z
(1)线应变的推导
σx
在x y z 分别单独存在时, x 方
向的线应变 x 依次为:
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3) dxdydz
dxdydz
1 2 3
19
1 2 3
将广义胡克定律
1
1 E
[
1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
代入得
1 2
E
( 1
2
3)
20
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变
只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有
25
体积应变和最大剪应力分别为
1 2
E
(1
2
3)
1.95 104
max
1 2
(
1
3
)
7.25MPa
26
例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点
并求该点处另一主应变2的数值和方向。
ε2
物体表面 σ2 =0
ε3
ε1 σ3
σ1
14
解： 1, 2, 3与1, 2, 3 一，一对应。
由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。
由
1
1 E
( 1
3)
3
1 E
(
3
1)
1
E
1
2
( 1
3)
44.3MPa
解得
3
E
1
2
(
3
1)
20.3MPa
ຫໍສະໝຸດ Baidu积为:
dx
3
1
dy
dz
V ' dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3)
18
体积应变为
V 'V
V
dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3) dxdydz
y
y
P A
300 103 0.12
30MPa
Z z
1 [ ( )] 0
xE x
y
z
由
1 [ ( )] 0
zE z
x
y
x x
(b)
24
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ1 σ2 15.5MPa , σ3 30MPa
1 2
E
(
x
y
z)
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。
21
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ 1 σ 3 τ xy
代入得
1 2
E
(1
2
3)
1 2
E
( xy
xy
0)
0
σ2 0
可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪 应力不引起各向同性材料的体积改变。
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
3
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx
τ xz
x
前面
图中表示的均为正方向
4
线应变: 以伸长为正,
y
x
'
x
E
" y
x
E
"' z
x
E
σy
σz
σy
x
σx
σz
6
在x y z同时存在时, x方向的线应变x为
x
1 E
x
( y
z)
在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为
y
1 E
[ y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
7
(2)剪应变的推导
剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
15
该点处另一主应变2的数值为
2
E
(
1
3)
34.3106
2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的 外法线方向。
16
四、各向同性材料的体积应变
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
17
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其
§7-7 应力与应变间的关系
一、单向应力状态下应力与应变的关系
1
1
E
σ1
σ1
E 为材料的弹性模量，单位为N/m2.
横向线应变2,3与纵向线应变 1 成
正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
2
3
1
1
二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
2
三、复杂应力状态下应力与应变的关系
9
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
z E ( x y)
xy
xy
G
10
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1
1
E [ 1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
(7-7-6)
11
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。
8
x
1 E
x
( y
z)
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小
变形条件下, 各向同性材 料。
22
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
P a
y
z
x
23
y
解：铜块上截面上的压应力为
1
1 E
( 1
2)
2
1 E
(
2
1)
3
E
(
1
2)
12
材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系: G E 2(1 v)
13
例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为
1 240106 , 3 160106 。构件材料为Q235钢，其弹
性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，
缩短为负。
剪应变: 使直角减小者为正,
增大者为负。
γ xy γ yz γ zx
xOy yOz zox 。
O
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx
τ xz x
前面
5
2、各向同性材料的广义胡克定律 z
(1)线应变的推导
σx
在x y z 分别单独存在时, x 方
向的线应变 x 依次为:
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3) dxdydz
dxdydz
1 2 3
19
1 2 3
将广义胡克定律
1
1 E
[
1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
代入得
1 2
E
( 1
2
3)
20
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变
只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有
25
体积应变和最大剪应力分别为
1 2
E
(1
2
3)
1.95 104
max
1 2
(
1
3
)
7.25MPa
26
例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点
并求该点处另一主应变2的数值和方向。
ε2
物体表面 σ2 =0
ε3
ε1 σ3
σ1
14
解： 1, 2, 3与1, 2, 3 一，一对应。
由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。
由
1
1 E
( 1
3)
3
1 E
(
3
1)
1
E
1
2
( 1
3)
44.3MPa
解得
3
E
1
2
(
3
1)
20.3MPa