2021年高中数学新北师大版必修第二册 第四章 2.3 三角函数的叠加及其应用 教案

三角函数的叠加及其应用

【教学目标】

1．掌握三角函数的辅助角公式.

2．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.

【教学重难点】

三角函数的辅助角公式及其应用.

【教学过程】

一、基础铺垫

辅助角公式：

a sin x ＋

b cos x 其中tan φ＝b a ，φ所在象限由a 和b 的符号确定，或者

sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 二、合作探究

利用辅助角公式研究函数性质：

【例】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －π12(x ∈R ). （1）求函数f (x )的最小正周期；

（2）求使函数f (x )取得最大值的x 的集合.

解 （1）∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝

⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.

（2）当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π3＝1，

有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，

即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，

∴所求x 的集合为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫xx ＝k π＋5π12，k ∈Z . 【规律方法】

（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.

（2）解此类题时要充分运用两角和(差)、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.

【训练】已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. （1）求函数f (x )的最小正周期；

（2）求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合.

解 （1）f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3（1－cos 2x ）8

＝12cos 2x －14，

∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.

（2）h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，

即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22

. 此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫xx ＝k π－π8，k ∈Z . 三、课堂总结

1．在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.

2．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.

3．a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(ab ≠0)，其中tan φ＝b a ，φ所在象限由a ，b 确定，掌握

实质并能熟练应用.

四、课堂练习

1．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，b ∈R )，则A ＝________，b ＝________. 解析 2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π4＋1，∴A ＝2，b ＝1． 答案 2 1

2．函数y ＝3sin 4x ＋3cos 4x 的最大值是( )

A ． 3

B ．23

C ．3

D ．6

解析 y ＝3sin 4x ＋3cos 4x

＝23⎝ ⎛⎭

⎪⎫32sin 4x ＋12cos 4x ＝23sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4x ＋π6， ∴y max ＝23，故选B ．

答案 B

3．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期为________.

解析 f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12 s in 2x ＋1＝12 (sin 2x －cos 2x )＋32＝22

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32

， ∴T ＝π.

答案 π

4．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ).

（1）求f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2π3的值； （2）求f (x )的最小正周期及单调递增区间.

解 （1）f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4π3＋π6＝2． （2）f (x )的最小正周期为π.

由正弦函数的性质，

得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是

⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).