第二章 线性规划习题课

产品名称
规格要求
单价（元/kg）
A
C不少于50%，P不超过25%
50
B
C不少于25%，P不超过50%
35
D
Βιβλιοθήκη Baidu
不限
25
原材料名称
C P H
每天最多供应量（kg） 单价（元/kg）
100
65
100
25
60
35
解： 原料
产品
C
P
H 单价
x1 A x2 B x3 D
x AC x AP x AH
50
xBC xBP xBH
min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3. 约束条件：
丙 141 7 丁 122 8
要求：生产A种药物至少 160单位；B种药物恰好200单 位，C种药物不超过180单位， 且使原料总成本最小。
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝200
0
x1 x1

2x2 0x2

x3 x3

0x4 3x4

3x5 0x5

2x6 2x6

1x7 3x7
0x8 4x8

100 100
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8 0
方 案 长度m
2.9 2.1 1.5 合计
ⅠⅡ Ⅲ ⅣⅤ Ⅵ ⅦⅧ
2 x1 + 3x2
≤ 12
3x1 + 4x2
≤ 24
－4x2 +x3 + x4 = 0
x3 ≤ 5
x1、x2 、x3 、x4≥ 0
例2 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各 条航线的货运量、货运成本如下表所示：问：应如何 编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？
航线 船队 号 类型
1 1
－2
注：每生产单位产品 B 可得到 4 单位副产品 C， 据预测，市场上产品 C 的最大销量为 5 单位，若
产品 C 销售不出去，则报废。
解：设总利润为z， max z = 4 x1 + 10 x2 + 3 x3 － 2 x4
A、B产品销量为x1、x2， 产 品 C 的 销 售 量 为 x3 ， 报废量为x4，则：
项目D， 5年内每年初可购买公债，与当年末归还， 并加利息6%。
该部门现有资金10万元，问他应如何确定给这些项 目每年的投资额，使到五年末拥有资金的本利总额为最 大？
解： 确定决策变量如下表：
年份
项目
1
2
3
4
5 5年末
A
x A1
xA2
x A3
x A4
1.15 x A4
B
xB3
1.25 x B 3
C
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ，) b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn ( ，) b2

am1 x1 am2 x2 amn xn ( ，) bm
x1
，x2
， ，xn
(1) 线性规划问题的标准型 (2) 第一阶段的所有单纯形表( ) (3) 第二阶段的所有单纯形表( )
xC 2
1.40xC 2
D
xD1
xD2
xD3
xD4
x D5 1.06x D5
年初拥有 10 1.06xD1 1.06xD2 1.06xD3 1.06xD4
资金
1.15xA1 1.15xA2 1.15xA3
max z 1.15xA4 1.25xB3 1.40xC 2 1.06xD5

2 3 2 4
编队形式
拖轮
A型 驳船
B型 驳船
1
2
—
1
—
4
2
2
4
1
—
4
货运成本 （千元／队）
36 36 72 27
货运量 （千吨）
25 20 40 20
船只种类 拖轮 A型驳船 B型驳船
船只数 30 34 52
航线号 1 2
合同货运量 200 400
解：设 xj 为第 j 号类型船队的队数( j = 1,2,3,4 ), z 为总货运成本,则：
min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
x1 + x2 + 2x3 + x4≤ 30
2x1
+ 2x3
≤ 34
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52
25x1 + 20x2
＝ 200
40x3 + 20x4＝ 400
xj ≥ 0 j = 1,2,3,4
用单纯形法可求得：x1 = 8，x2 = 0 ，x3 = 7， x4 = 6 最优值：z = 954，即：四种船队类型的队数分别是8、 0、7、6，此时可使总货运成本为最小，为954千元。
7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0
0.1 0.3 0.9 0.0 1.1 0.2 0.8 1.4
min z 0.1x1 0.3x2 0.9x3 0x4 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8
2x1 x2 x3 x4 0x5 0x6 0x7 0x8 100
线性规划问题求解程序设计要求
1. 线性规划问题的数学模型
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ，)b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn ( ，)b2
am1 x1
例3 合理利用线材问题
现要做100套钢架，每套用长2.9m，2.1m，1.5m， 的圆钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用 的原材料最省？
解：所有下料方案如下表：
方 案 长度m
2.9 2.1 1.5 合计 料头
ⅠⅡ Ⅲ ⅣⅤ Ⅵ ⅦⅧ
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
2 1 11 00 00 0 2 10 32 10 1 0 13 02 34
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
2 1 11 00 00 0 2 10 32 10 1 0 13 02 34
7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0
0.1 0.3 0.9 0.0 1.1 0.2 0.8 1.4
例4 配料问题。
某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种 不同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产 品单价，每天供应的原材料数量及原材料单价如下表， 该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
xA1 xD1 10
xA2 xC 2 xD2 1.06xD1

xA3

xB3

xD3

1.06 x D 2
1.15xA1

xA4 xD4 1.06xD3 1.15xA2
xD5 1.06xD4 1.15xA3 xB3 4 xC 2 3 xij 0 i A, B,C, D
35
xDC xDP xDH
25
单 价 65 25
35 max z 15xAC 25xAP 15xAH 30xBC 10xBP 0xBH 40xDC 0xDP 10xDH
xAC 0.50( xAC xAP xAH )

xAP 0.25( xAC xAP xAH )
j 1，2，3，4，5
例6 某厂生产三种药物， 解：
这些药物可以从四种不同的 原料中提取。下表给出了单 位原料可提取的药物量
1. 决策变量：设四种原料的使
用量分别为：x1、x2 、x3 、x4
药物
单位成本
原料
A B C (元／吨)
甲 123 5
乙 201 6
2. 目标函数：设总成本为z， 则有：
am2 x2
amn xn
( ，)bm
x1，x2， ，xn 0 (无约束)
2. 线性规划问题的求解方法 采用两阶段法求解
3. 求解程序的输入与输出
变量个数n= ( ) 约束条件个数m= ( )
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
一、建 模 条 件
一般讲，一个经济、管理问题满足以下条件时， 才能建立线性规划模型
1. 要求解问题的目标函数能用数值指标来反 映，且为线性函数；
2. 存在着多种方案； 3. 要求达到的目标是在一定约束条件下实现 的，这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。
二、建 模 步 骤
1 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择 的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变 量。
例5 连续投资问题。
某部门在今后5年内给下列项目投资，已知：
项目A，从第一年到第四年初需要投资，并于次年 末回收本利115%；
项目B，第三年初需要投资，到第五年末回收本利 125%；但规定最大投资额不超过4万元；
项目C，第二年初需要投资，到第五年末回收本利 140%；但规定最大投资额不超过3万元；
3x1 ＋ x2 + x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、 时间等），研究如何充分合理地使用它们，才能 使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统 筹安排，才能使完成任务所耗费的资源量为最少。
—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同 的方面，都是求问题的最优解（ max 或 min ）。

xBP 0.50( xBC xBP xBH )

xBC 0.25( xBC xBP xBH )
xAC xBC xDC 100 xAP xBP xCP 100 xAH xBH xDH 60
xij 0 i A, B, D J C , P, H
2 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有 的约束；
3 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并 明确是max 还是 min。
三、建 模 案 例
例1 某工厂生产A、B两种产品，有关资料如下表所示：
工序 产品
A
C
工时限
B
销售 报废
制
工序 1 2
3
—
—
12
工序 2 3
4
—
—
24
单位利润 （百元）
4
10
3