高中数学-三角函数_培优讲义

培优讲义

1．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α＋β)＝2

5

，tan(β－

π

4

)＝

1

4

，

则tan(α＋π

4)＝________.

2．(2009年高考陕西卷改编)若3sinα＋cosα＝0，则

1

cos2α＋sin2α

的值

为________．

3．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝

6

2

，则a、b、c

的大小关系是________．

4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．

5．若tanα＋

1

tanα

＝

10

3

，α∈(

π

4

，

π

2)，则sin(2α＋

π

4)的值为_________．

6．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________．

7．(2010年无锡质检)2cos5°－sin25°

cos25°

的值为________．

8．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝

9．(2010年江苏省南通市调研)已知1－cos2α

sinαcosα

＝1，tan(β－α)＝－

1

3

，

则tan(β－2α)＝________. 10．已知tanα＝2.求

(1)tan(α＋π

4)的值；

(2)sin2α＋cos2(π－α)

1＋cos2α

的值．

11．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A

的坐标为(3

5

，

4

5

)，记∠COA＝α.

(1)求

1＋sin2α

1＋cos2α

的值；(2)求|BC|2

的值．

12．(2009年高考江西卷)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c ，tanC ＝

sinA ＋sinB

cos A ＋cos B

，sin(B －A)＝cos C. (1)求角A ，C.

(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c.

13、已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x

2

，1)(x ∈R)，设函数

f(x)＝m ·n －1.

(1)求函数f(x)的值域；

(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f(A)＝5

13

，

f(B)＝3

5

，求f(C)的值．

14、已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α

＋β)＝4

5

. (1)求sin2β的值；

(2)求cos(α＋π

4

)的值．

15、已知函数f(x)＝3sin ωｘ－2sin 2ωｘ

2

＋m(ω>0)的最小正周期为3π，

且当x∈[0，π］时，函数f(x)的最小值为0.

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cos B＋cos(A－C)，求

sinA的值．

16、已知向量a＝(2sinωｘ，cos2ωｘ)，向量b＝(cosωx,23)，其中ω>0，

函数f(x)＝a·b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对任意实数x∈[π

6

，

π

3]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的

取值范围．

17、设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin2x＋m)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π］

上的单调递增区间；

(2)当x∈[0，π

6]时，f(x)的最大值为4，求m的值．

18．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωｘ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.

19．(2010年南京调研)已知

函数y＝sin(ωｘ＋φ)(ω>0，

|φ|<π）

的图象如图所示，则φ

＝________.

20．(2009年高考天津卷改编)

已知函数f(x)＝sin(ωｘ＋

π

4

)(x∈R，ω>0)的最小正周期

为π，为了得到函数g(x)＝cosωｘ的图象，只要将y＝f(x)的图象

________．

21、(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωｘ＋φ) 的图象如图所示，

f(π

2

)＝－

2

3

，则f(0)＝________.

22．将函数y＝sin(2x＋π

3

)的图象向

________平移________个单位长度后

所得的图象关于点(－π

12

，0)中心对称．

23．(2010年深圳调研)定义行列式运算：a1a2

a3a4

＝a1a4－a2a3，将函

数f(x)＝

3cos x

1sinx

的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对

应的函数为偶函数，则m的最小值是________．

24．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωｘ＋π

4

)(ω>0)的图象

向右平移π

6

个单位长度后，与函数y＝tan(ωｘ＋

π

6

)的图象重合，则ω

的最小值为________．

25．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋π

3)|的最小正周期是

π

2

；②函

数y＝sin(x－3π

2)在区间[π，

3π

2]上单调递增；③x＝

5π

4

是函数y＝sin(2x

＋5π

6

)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．

26．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωｘ＋cosωｘ)2＋2cos2ωｘ(ω>0)

的最小正周期为2π3.

(1)求ω的值；

(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π

2

个单位长

度得到，求y＝g(x)的单调增区间．