代数系统的一般性质

例
定义实数集R上二元运算 ：x,y∈R,x 计算 5 1, 4.9 | -1

y= x
定义5.2 设S为集合，n为正整数，则函数 f : S×S ×… ×S →S n 称为S上的一个n元运算，简称为n元运算。 （当n=1时，则为一元运算） 例如： (1) 求一个数的相反数是Z、Q、R上一元运算。 (2) 求一个数的倒数是Q、R上一元运算。 (3) 求一个数的共轭复数C上一元运算。 (4) 集合上的绝对补运算～。～A= x xA (5) 求一个双射函数的反函数运算。
例5.2 正整数集合Z+上的加法运算是一个二元运算, 下 列运算均是Z+的子集，下列加法运算在这些子集上是 二元运算吗? 说明理由。 (1) S1 = n n 是 15 的因子 (2) S2 = n n 是 15 的倍数 (3) S3 = n 6 整除 n，而 24 整除 n2 解: (1) 加法运算在S1 上不封闭。因为3∈ S1 , 5∈ S1 , 但 3 + 5 = 8 S1 , ∴不是二元运算 (2) 加法运算在S2 上是封闭的。其证明如下： 对于任意n1 , n2∈ S2 ,设n1 =15 k1, n2 =15 k2 (k1, k2∈ Z+ )则 n1 + n2=15 k1+15 k2 =15(k1+ k2 ) (k1+ k2 ∈ Z+ ) ∴ n1 + n2 ∈ S2 ∴ 是二元运算
运算表——
一元、二元运算的另一种表示法
ai a1 a2 … an 。a i 。a1 。a2 … 。an 。 a1 a1 a1。 a1 a 2 a 2。 a 1 … an an。 a1 a2 a1 。 a2 a2 。 a2 … an 。 a2 … an … a1 。 an … a2 。 an
… an 。 an
一元运算表 的一般形式
二元运算表 的一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式
例5.3 设S={1，2}，给出S上的运算~和的 运算表。其中全集为S
ai
Φ
~ ai
{1，2}
{1}
{2} {1，2}
{2}
{1} φ
~A=S-A={xx∈S∧x∈A }
例5.4 设S={ 1, 2 }, 给出S上的运算 ~ 和 的 运算表。其中全集为S
§5.1 二元运算及其性质
一个代数系统需要满足下面三个条件： （1）有一个非空集合S； （2）有一些建立在集合S上的运算； （3）这些运算在集合S上是封闭的。 上述三个条件说明如下： 集合S上的元素一般讲是一些经过抽象的元素, 如自 然数、实数、字母、字符串等。集合S给出了代数系统所 研究的客体的范围。 运算的概念具有一定的广泛性和抽象性, 不仅包括常 见的算术运算(+,-,×,÷), 还包括抽象的运算, 如两个字符 串的“并置”等, 也包括任意定义的运算。“运算”是代 数系统对其研究客体加工的工具。 集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中, 则称 此运算在集合S上是封闭的。
例:① 一个在整数集Z上且带有加法运算的系统 构成了一个代数系统< Z, + > ∵Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3, …}且有集合Z上 的运算“+”, 这个加法运算对Z是封闭 的 ②一个在实数集R上且带有两个二元运算“+” 与“×”的系统构成一个代数系统< R, +,×> ∵ R是一个集合, 在R上的两个运算它们均 是封闭的。 定义5.1 设S为集合，函数 f : S×S →S 称为S上的二元 运算，简称为二元运算。
§5.1 二元运算及其性质
考虑： f: N × N → N，f (<x,y>)=x-y 呢？ 验证一个运算是否为集合S上的二元运算需考虑 两点： (1) S中任两个元素都能进行这种运算，且运算 结果唯一。 (2) S中任意两个元素的运算结果都属于S，即S 对该运算是封闭的。 不是 考虑:除法运算是否是实数 ∵0不能做除法运算。 集合R-{0}可以定义 集R上的二元运算呢?
除法运算。
例5.1 考察下列运算是否是指定集合上二元运算? (1) 自然数集合N上的加、减、乘、除。 (2) 整数集合Z上的加、减、乘、除。 (3) 非零实数集 R*上的加、减、乘、除。 (4) n 阶实矩阵上的加、乘。 (5) 集合S的幂集上的∪、∩ 、-、 。 (6) 集合S上的所有函数的集 SS上的复合运算。 SS = f f: S S 注意:通常用 , *,· ,…等符号表示二元运算,称为算符 如：设f: S×S → S 称为S上的二元运算，对于任意 的x,y∈S，如果x与y的运算结果是 z，即 f(<x,y>)=z, 可利用算符 简记为 x y=z
例5.2 正整数集合Z+上的加法运算是一个二元运算, 下 列运算均是Z+的子集，加法运算在这些子集上是二元 运算吗? 说明理由。 (3) S3 = n 6 整除 n，而 24 整除 n2 解: (3) 加法运算在S3 上是封闭的。其证明如下： 对于任意n1 , n2∈ S3 ,设n1 =6 k1, n2 =6 k2 (k1, k2∈ Z+ )则 n1 + n2=6 k1+6 k2 =6(k1+ k2 ) (k1+ k2 ∈ Z+ ) ∴ n1 + n2 能被6整除 又(n1 + n2)2 = n12 + 2n1 n2 +n22 ,根据题意, n12 能被 24整除,n22能被24整除,而 2n1n2= 26k16k2 =24 (3k1k2) 也能被24整除,因此(n1 + n2)2能被24整除 由此知 n1 + n2 ∈ S3 ∴ 是二元运算

Φ
Φ
Φ
{1}
{1}
{2}
{2}
{1，2}
{1,2}
{1}
{2}
{1}
{2}
Φ
{1,2}
{1,2}
Φ
{2}
{1}
{1,2} {1,2}
{2}
{1}
Φ
A B=（A∪B）-（A∩B）
例5.5 设S ={1, 2, 3, 4},定义 S 上的二元运算, 如下: x y = ( x y ) mod 5 , x , y ∈ S 求 的运算表。 解: (x y) mod 5 是 x y 除以5的余数, 其运算如下表