单级倒立摆控制的极点配置方法

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任务1-一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计

西安建筑科技大学课程设计（论文）任务书专业班级：学生姓名：指导教师（签名）：一、课程设计（论文）题目一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计二、本次课程设计（论文）应达到的目的（1）复习、巩固和加深所学专业基础课和专业课的理论知识，综合运用经典控制理论与现代控制理论的知识，弄清楚其相互关系，使理论知识系统化、实用化。

（2）增强学生的工程意识，联系实际问题设计，使理论与实践相结合。

（3）掌握基于状态空间分析法进行控制系统分析与综合的方法。

（4）训练利用计算机进行控制系统辅助分析与仿真的能力。

（5）掌握参数变化对系统性能影响的规律，培养灵活运用所学理论解决控制系统中各种实际问题的能力。

（6）培养分析问题、解决问题的独立工作能力，学习实验数据的分析与处理方法，学习撰写设计说明书。

三、本次课程设计（论文）任务的主要内容和要求（包括原始数据、技术参数、设计要求等）系统参数：本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，系统内部各相关参数为：小车质量0.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；采样时间0.005秒。

设计要求：设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度设计主要内容：（1）参照相关资料，推导出系统的传递函数和状态空间方程。

（2）定量、定性分析系统的性能。

（3）设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。

（4）对设计的系统进行仿真研究、校验与分析。

（5）设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。

成果要求：书写课程设计说明书一份（6000－10000字）。

内容应包括数学模型建立，控制器设计，系统仿真过程、结果分析及结论。

利用极点配置法设计调节器型系统-倒立摆

1
2
3
4
因此
a1* = 24,
a
* 2
= 196,
a3* = 720,
a
* 4
= 1600
现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵 K，即
K
= [ a4∗ − a4 M
a3∗ − a3 M
a
∗ 2
−
a2
M
a1∗
−
a1
]
P −1
式中 P 即
P = QW
这里 Q 和 W 分别为
⎡0 −1 0 −20.601⎤ Q = [ B M AB M A2B M A3B ] = ⎢⎢− 1 0 − 20.601 0⎥⎥
⎥ ⎥
⎢− 9.81 0 0.5 0 ⎥
⎢⎣0 − 9.81 0 0.5⎥⎦
因此
⎢⎡− ⎢
0.5 9.81
P −1
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢
−1
0
⎢⎣ 0
故状态反馈增益矩阵 K 为
0
− 0.5 9.81 0
−1
−1 9.81 0
0
⎤ ⎥
−
1
⎥ ⎥
9.81⎥
0
⎥ ⎥
00
⎥⎦
K
=
[
a* 4
−
a 4
M
a* 3
−
a 3
么，其数学模型为
(M + m)&x& + mlθ = u
(2)
ml 2θ&& + ml&x& = mglθ
(3)
式（2）和(3)定义了如图 2 所示的倒立摆系统的数学模型（只要 θ 不大，线性化

倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告

倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告《现代控制理论》实验报告状态空间极点配置控制实验一、实验原理经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。

极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。

１．状态空间分析对于控制系统X = AX + Bu选择控制信号为：u = ?KX式中：X 为状态向量（ n 维）u 控制向量（纯量）A n × n维常数矩阵B n ×1维常数矩阵求解上式，得到 x(t) = (A ? BK)x(t)方程的解为： x(t) = e( A?BK )t x(0)状态反馈闭环控制原理图如下所示：从图中可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。

２．极点配置的设计步骤1) 检验系统的可控性条件。

2) 从矩阵 A 的特征多项式来确定a1, a2,……,an的值。

3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW其中 M 为可控性矩阵，4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定：二、实验内容针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，进行极点配置并用Matlab进行仿真实验。

三、实验步骤及结果1.根据直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为：可以取1l 。

则得到系统的状态方程为：于是有：直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约 3 秒）和合适的阻尼（阻尼比? = 0.5）。

2.采用四种不同的方法计算反馈矩阵 K。

方法一：按极点配置步骤进行计算。

1) 检验系统可控性，由系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数(4)，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数(2)，所以系统可控。

直线一级倒立摆控制器设计_课程设计说明书[管理资料]

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书*注：此任务书由课程设计指导教师填写。

一、直线一级倒立摆的数学模型实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图1-1所示。

图1-1 一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图1-2所示。

图1-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。

直线一级倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 如图1-3所示。

一级倒立摆LQR控制器的设计

目录0. 前言 (2)0.1倒立摆 (2)0.2LQR (7)0.3.最优控制（optimal control） (7)0.3.1数学角度 (8)0.3.2研究方法 (8)1. 线性二次最优控制LQR基本理论 (8)1.1一级倒立摆建模 (8)1.2微分方程模型 (12)1.3传递函数模型 (12)1.4状态空间数学模型 (13)1.5LQR控制器的二次最优控制原理 (14)2. 方案设计 (15)3. 软件编程 (16)3.1求K值程序 (16)3.2系统的开环阶跃响应程序 (17)3.3小车的状态程序 (17)4. 系统调试和结果分析 (18)4.1得出K值 (18)4.2系统的开环阶跃响应结果 (19)4.3实际连接 (19)一级倒立摆LQR控制器的设计摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。

从理论和实践上对线性一级倒立摆作了深入的研究。

首先,用拉格朗日方法建立了倒立摆的数学模型。

在此基础上采用线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。

最后通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。

通过试验验证了设计结果并给出了控制器的性能评价。

建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。

关键词：倒立摆；建模，LQR控制器0.前言0.1倒立摆倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。

许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。

倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。

基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制

基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种控制方法，旨在实现单级倒立摆的控制。

T-S模糊控制又称为模糊控制器，是一种具有适应性的控制方法，可以应对非线性系统。

单级倒立摆是指一个质量集中在底部的刚性杆，这个杆可以绕着水平轴旋转，并在其顶端悬挂一个质量。

单级倒立摆是一种经典的非线性控制问题。

极点配置是一种控制系统设计方法，它是基于控制系统的极点位置来调整控制器参数，以达到预期的控制性能。

在基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制中，控制器的设计包括两个部分。

第一部分是基于极点配置的控制器设计，这个部分主要是确定控制器的极点位置，以实现所需的控制性能。

第二部分是基于T-S模糊控制的控制器设计，这个部分主要是设计模糊规则和隶属函数，以实现在不同状态下的控制。

总体来说，基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种创新性的控制方法，它可以应对非线性系统的控制问题，并具有良好的控制性能。

一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置

题目一：考虑以下图的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

倒立摆系统的参数包含：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。

图倒立摆系统设计一个控制系统，使适当给定随意初始条件( 由扰乱惹起 ) 时，最大超调量%≤10%，调理时间 ts≤ 4s，使摆返回至垂直地点，并使小车返回至参照地点(x=0) 。

要求： 1、成立倒立摆系统的数学模型2、剖析系统的性能指标——能控性、能观性、稳固性3、设计状态反应阵，使闭环极点能够达到希望的极点，这里所说的希望的极点确立是把系统设计成拥有两个主导极点，两个非主导极点，这样就能够用二阶系统的剖析方法进行参数确实定4、用MATLAB进行程序设计，获得设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。

解：1成立一级倒立摆系统的数学模型系统的物理模型如图 1 所示，在惯性参照系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l ，在某一瞬时时辰摆角( 即摆杆与竖直线的夹角) 为θ，作用在小车上的水平控制力为u。

这样，整个倒立摆系统就遇到重力, 水平控制力和摩擦力的 3 外力的共同作用。

图 1一级倒立摆物理模型成立系统状态空间表达式为简单起见，本文第一假定:(1)摆杆为刚体；(2)忽视摆杆与支点之间的摩擦；( 3)忽视小车与导轨之间的摩擦。

在如图一所示的坐标下，小车的水平地点是y, 摆杆的偏离地点的角度是θ，摆球的水平地点为 y+lsin θ。

这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，依据牛顿第二定律，获得M d 2 y m d 2( y l sin ) u（ 1）dt 2dt 2关于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，获得m d2l sin ) mgsin2 (y（ 2）dt方程 (1) ，(2) 是非线性方程，因为控制的目的是保持倒立摆直立，在施加适合的外力条件下，假定θ很小，靠近于零是合理的。

直线型一级倒立摆系统的控制器设计

直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。

（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。

（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。

（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

单级倒立摆系统建模与控制器设计

得：
状态空间表达式
单级倒立摆系统的模型分析根据小车质量，摆杆质量，摆杆转动轴心到杆质心的长度和摆杆质量的具体数值，用Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵。
程序1.M = 0.5; m = 0.2; I= 0.006; g = 9.8; l = 0.3; A=[0 1 0 0 0 0 3*M*g/(4*M+m) 0 00 0 1 0 0 3*(M+m)*g/((4*M+m)*l) 0]; C=[1 0 0 0 B=[0 0 0 1 0]; 4/(4*M+m) D=[0 0 0]; 3/((4*M+m)*l)];
摆杆不受外力干扰但是摆杆有一个小的初始偏角程序2
系统开环初值响应曲线
由系统的开环初值响应曲线可知，系统是不稳定的，这与我们的经验是相符合的。
摆杆初始位置在竖直状态，但是小车收到一个脉冲干扰的情况。MATLAB程序如下：
系统开环脉冲响应曲线
由系统的开环脉冲干扰响应曲线可知，系统是不稳定的，这与我们的经验也是相符合的。
显然，因为系统有一个特征值为正实数5.5841，故系统是不稳定的。
单级倒立摆系统的极点配置控制器设计
单级倒立摆系统控制器设计的目标单级倒立摆系统控制器设计的目标是：通过对小车的左右移动使得摆杆保持在竖直的位置。且对于小车所给的阶跃输入信号，满足如下设计指标：
1、小车位置x和摆杆角度θ的稳定时间小于5秒； 2、位置x的上升时间小于0.5秒； 3、摆杆角度的超调量小于20度（0.35弧度）。
总结与收获
通过对单级倒立摆的建模与仿真学到了一下知识
1、首先要将现实中系统转化相应的物理结构 2、充分掌握建立状态空间方程的过程 3、了解配置极点控制器以及PID控制器的方法 4、对MATLAB软件有了一个初步功能的了解

一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析

一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析一、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。

然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。

倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。

倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。

二、一级直线倒立摆模型的建立图1 一级直线倒立摆物理模型图2 小车和摆杆的受力分析图2.1 传递函数模型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

设小车质量为M，摆杆质量为m，小车摩擦系数为b，摆杆转动轴心到杆质心的长度为l，摆杆的转动惯量为I，根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++∙∙∙∙∙∙θθθθsin cos )(2（1）θθθcos sin )(2∙∙∙∙-=++x m l m gl m l I （2）设φπθ+=, 假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：2()()I ml mgl ml x M m x b x ml uϕϕϕ∙∙∙∙∙∙∙∙∙+-=++-= （3）假设初始条件为0，对式(3)进行拉普拉斯变换得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s +Φ-Φ=++-Φ=（4）由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()(（5）令∙∙=x v ，则有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()(（6）把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()(])([)(])()[(222222s U s s ml s s sg ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++（7）整理后得到传递函数：232()()()()mlss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s q q qΦ=+++--（8）其中])())([(22ml ml I m M q -++=。

单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计

单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计14122156 杨郁佳（1）倒立摆的运动方程并将其线性化选取小车的位移z ，及其速度z g 、摆的角位置θ及其角速度θg作为状态变量，即T x z z θθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦g g 则系统的状态空间模型为 01000100000010()1000mg M M x u M m g MlMl x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦g []1000y x= 设M=2kg ，m=0.2kg ，g=9.81m/2s ，则单级倒立摆系统的状态方程为 (1010)0101001020.500013030011040.54x x x x u x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ []12100034x x y x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）状态反馈系统的极点配置。

首先，使用MATLAB ，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。

MATLAB 程序如下：A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0]; B=[0; 0.5; 0; -0.5];C=[1 0 0 0];D=0;rct=rank(ctrb(A,B))[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)MATLAB程序执行结果如下：系统能控，系统的极点为1=0λ2=0λ3=3.3166λ4=-3.3166λ可以通过状态反馈来任意配置极点，将极点配置在1=-3λ*2=-4λ*3=-5λ*4=-6λ*MATLAB程序如下：A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];B=[0; 0.5; 0; -0.5];P=[-3 -4 -5 -6];K=place(A,B,P)MATLAB程序执行结果如下：因此，求出状态反馈矩阵为K=[-72.0 -68.4 -332.0 -104.4]采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。

单级旋转倒立摆极点配置与二次型最优控制

．
ｓｇａｒ－ｒｖｎｉｖｒｅｅｄｌｍｉｎｌａｍｄｉｅｎｅｔｄｐｎｕｕ
ＺＮｎ — ｏｇＦＮｈｎｊｏＺＡｉ —ｕＥＧＭｅｇｘｎ，ＡＧＣｕ－ａ，ＨＯＱａｈｉｉｉｎ
（ｏｅｅｏｃａｉｌＭｔｉｌｎｉｅｒｇＣｉａＴｒｅＧｒｅｎｖｒｔ，ｉａｇ４３０，ｈｎ）ＣｌｇｆｌＭｅｈｎｃ＆ａｅａＥｇｎｅｉ，ｈｎｈｅｏｇｓｉｓｙＹｃｎ０２ＣｉａａｒｎＵｅｉｈ４
ｒｔｒｖ￣ｄｐｎｕｕ，ａｒｔｎｔｔ—ｐｃｄｌａｓｂｉｅｎｅｔｄｗｉｉｅｒｚｔｎｐｏｅｓｈｎｅｔｄｐｎｕｕｓｓｅｏａｙｉｅｅｅｄｌｍｎａｉａｓａｅｓａｅｍｏｅｓｅｔｌｈｄａｄｔａｅｔｌａｉａｉｒｃｓ．Ｔｅｉｖｒｅｅｄｌｍｙｔｍｏｌｗａｓｒｈｎｏ
曾孟雄，春娇，千惠方赵
（三峡大学机械与材料学院，北宜昌４３０）湖４０２
摘要：了使旋转倒立摆的旋臂与摆杆始终保持在垂直姿态，为通过对单级旋转倒立摆系统结构和动力学分析，建立了合理的状态空间模型并进行了线性化处理，分别通过极点配置和二次型最优控制进行了控制优化，并在Ｍａａｔｂ中进行了仿真分析，ｌ实现了对旋臂与摆杆的控制。研究结果表明，二次型最优控制具有更好的响应性能和算法简单等特点，在实际应用中具有重要意义。

直线一级倒立摆极点配置

基于直线一级倒立摆模型的基点配置算法1. 极点配置方法介绍开环系统通过选择反馈增益矩阵（状态反馈阵K ）将闭环系统的极点配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。

极点配置的冲要条件是开环系统完全可控。

闭环系统的稳定性和响应品质同闭环极点密切相关，控制系统的各种特性及其各种品质指标很大程度上由其闭环系统的零点和极点的位置决定。

经典控制理论中通常用调整开环增益及引入串、并联校正装置来配置闭环极点。

在现代控制理论中，广泛采用状态变量反馈来配置极点。

就是通过对状态反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标要求。

对于完全能控和完全能观的系统，设其状态方程为：.X AX Bu =+，Y CX =。

X 为n 维状态向量， u 为控制向量，A 为n*n 维常数矩阵，B 为n*1维常数矩阵。

控制规律选择为线性状态反馈： U=u-KX ；K=[k 1，k 2，k 3…k n ]将U 带入原方程，可得闭环系统状态方程为：.()X A BK X BU =-+，Y CX =，显然，闭环系统特征多项式为：det （SI-A+BK ）=0。

因此通过改变K 阵使闭环系统有所需要的极点配置，达到期望的性能指标要求。

图4.1加入状态反馈后系统结构图单输入单输出系统确定满足极点配置要求的状态反馈矩阵K 的算法主要有系统匹配法、Ackermann 配置法、Gura-Bass 算法等几种方法。

假定期望的闭环极点为λi （i=1……n ），则原系统的开环特征方程为：()S α=()011.....det ααα++++=---S S S A SI n n n 闭环系统特征方程为：()()∏=--++++=-=ni n n n S S S i S S 1011......βββλβ(1)系统匹配法是计算反馈阵的一个最直接的方法，它主要通过比较系统特征方程的系数来求解，即上两式的对应系数相等。

此方法较为简单，但只适合于低阶系统。

倒立摆稳定性分析(极点配置)

倒立摆稳定性分析（极点配置）三、分析系统的稳定性—李雅普诺夫稳定性及其线性定常系统的特征值判据1. 平衡状态：李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言，对于所有的t ，满足(),0e e x f x t ==的状态称为平衡状态。

对线性定常系统x Ax =，其平衡状态满足0e Ax =，当A 为非奇异矩阵是，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。

若A 为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。

2. 李雅普诺夫意义下的稳定性：设系统初始状态位于以平衡状态e x 为球心，δ为半径的闭球域()S δ内，即00,e x x t t δ-≤=若能使系统方程的解()00;,x t x t 在t →∞的过程中，都位于以e x 为球心、任意规定的半径为ε的闭球域()S ε内，即()0000;,,x t x t x t t ε-≤≥则称系统的平衡状态e x 在李雅普诺夫意义下是稳定的。

3. 渐近稳定性若系统的平衡状态e x 不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有()00lim ;,0e t x t x t x →∞-= 则称此平衡状态是渐近稳定的。

这时，从()S δ出发的轨迹不仅不会超出()S ε，且当t →∞时收敛于e x ，显见经典控制理论中的稳定性定义与此处的渐近稳定性对应。

对于严格的线性系统，如果它是稳定的，则必定是大范围稳定的。

4. 线性定常系统的特征值判据定理：对于线性定常系统0,(0),0x Ax x x t ==≥，有1）.系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下的稳定的充分必要条件是，A 的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A 的最小多项式的单根.。

2）.系统的唯一平衡状态0e x =是渐近稳定的充分必要条件是，A 的所有特征值均具有负实部。

由以上定理可知，原倒立摆系统是不稳定的，根据系统的具体要求，将系统的闭环极点配置第一组：P=[-1+i*3 -1-i*3 -7+i -7-i]所以程序如下：A=[0 1 0 0;20.6 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0]B=[0; -1; 0; 0.5]C=[0 0 1 0;1 0 0 0]D=[0;0]P=[-1+i*3 -1-i*3 -7+i -7-i]k=place(A,B,P)T=0:0.1:10U=0.25*ones(size(T));[Y,X]=lsim(A-B*k,B,C,D,U,T)plot(T,Y)TITLE('STEP RESPONSE')XLABEL('TIME-SEC');YLABEL('STEP RESPONSE')grid;运行后的阶跃响应图如下：然后系统闭环极点配置第二组：P=[-2+i*2*3^(1/2) -2-i*2*3^(1/2) -10+i -10-i]所以程序如下：A=[0 1 0 0;20.6 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0]B=[0; -1; 0; 0.5]C=[0 0 1 0;1 0 0 0]D=[0;0]P=[-2+i*2*3^(1/2) -2-i*2*3^(1/2) -10+i -10-i]k=place(A,B,P)T=0:0.1:9;U=0.25*ones(size(T));[Y,X]=lsim(A-B*k,B,C,D,U,T)plot(T,Y)TITLE('STEP RESPONSE');XLABEL('TIME-SEC');YLABEL('STEP RESPONSE')GRID;运行的系统阶跃响应图像为：通过比较分析，明显看出第二种方案的超调量比第一种方案的小，调整时间也比第一种方案小，震荡周期也小，幅值也小，所以第二种方案比第一种方案优越。

倒立摆稳定性分析(极点配置)

对线性定常系统x Ax =，其平衡状态满足0e Ax =，当A 为非奇异矩阵是，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。

若A 为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。

3. 渐近稳定性若系统的平衡状态e x 不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有()00lim ;,0e t x t x t x →∞-= 则称此平衡状态是渐近稳定的。

这时，从()S δ出发的轨迹不仅不会超出()S ε，且当t →∞时收敛于e x ，显见经典控制理论中的稳定性定义与此处的渐近稳定性对应。

对于严格的线性系统，如果它是稳定的，则必定是大范围稳定的。

2）.系统的唯一平衡状态0e x =是渐近稳定的充分必要条件是，A 的所有特征值均具有负实部。

倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计

摘要:为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。

利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。

由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。

关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象,不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。

控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器1．数学模型的建立倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难.在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。

下面采用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

1。

1微分方程的数学模型在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：图1:直线一级倒立摆模型设系统的相关参数定义如下:M:小车质量m：摆杆质量b:小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I:摆杆质量F：加在小车上的力x：小车位置Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角θ:摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下）如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。

其中,N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图2：小车和摆杆受力分析图应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下的方程：M x F b x N ••=--由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式:22(sin )d N m x l dtθ=+将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：2()cos sin M m x b x ml ml F θθθθ••••••+++-=为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=-力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ••--=注意：此方程中力矩的方向，由于cos cos sin sin θπφφθφθ=+=-=- 故等式前面有负号。

单级倒立摆系统课件

状态方程的求解
采用适当的数值方法求解状态方程，得到摆杆的运动轨迹。
单级倒立摆系统的稳定性分析
稳定性判据
01
采用适当的稳定性判据，如李雅普诺夫稳定性判据，判断倒立
摆系统的稳定性。
控制器设计
02
根据稳定性分析结果，设计适当的控制器，使倒立摆系统保持
稳定。
仿真与实验验证
03
通过仿真和实验验证所设计的控制器的有效性。
多级倒立摆系统的研究
非线性模型与控制
实时控制与优化算法
实验平台搭建与验证
鉴于单级倒立摆系统的研究基础，未来可进一步研究多级倒立摆系统的稳定性、控制策略和优化问题。这将有助于拓展倒立摆系统在实际应用领域中的应用范围。
目前的研究主要基于线性模型，但实际系统往往存在非线性特性。未来可考虑建立更精确的非线性模型，并研究相应的控制策略。
单级倒立摆系统课件
CONTENTS 目录
• 倒立摆系统简介 • 单级倒立摆系统原理 • 单级倒立摆系统建模 • 单级倒立摆系统控制方法 • 单级倒立摆系统实验与仿真 • 结论与展望
CHAPTER 01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种典型的多变量、强耦合、非线性的自然不稳定系统，其动力学行为非常复杂，具有多种平衡状态和不稳定状态。
神经网络控制
利用神经网络的自学习和自适应能力，实现对倒立摆系统的智能控制。
遗传算法优化
利用遗传算法对控制器参数进行优化，提高倒立摆系统的性能指标。
CHAPTER 05
单级倒立摆系统实验与仿真
单级倒立摆系统实验平台的搭建
实验平台组成
单级倒立摆实验平台通常由摆杆、导轨、电机、传感器等部分组成。

倒立摆极点配置法

直线一级倒立摆状态反馈一、控制对象建模题目：直线型倒立摆系统，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统。

小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动。

小车导轨一般有固定的行程，因而小车的运动范围是受到限制的。

直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快. 为此,设调整时间小于2 s,峰值时间小于0. 5 s.倒立摆的特性：1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

5) 约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

为了简化系统分析，在实际的模型建立过程中，要忽略空气流动阻力，以及各种次要的摩擦阻力。

这样，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，如右图所示。

本系统内部各相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

单级倒立摆控制的极点配置方法

一级倒立摆控制的极点配置方法摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。

因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。

本文通过极点配置, 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。

利用牛顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析，并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想, 最后通过极点配置，得到变量系数阵。

利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。

实现了倒立摆控制系统的仿真。

仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。

关键词:倒立摆，数学建模，极点配置THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLEINVERTED PENDULUMAbstractInverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot.Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of "the equivalent cart”. During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit.Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placement目录摘要 (I)Abstract ............................................................ I I 1绪论 (1)1.1倒立摆系统简介 (1)1.2倒立摆的控制规律 (2)1.3对倒立摆系统研究的意义 (3)1.4倒立摆的发展状况 (4)1.5论文的主要工作 (5)2直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模 (7)2.1微分方程的推导 (7)3状态空间极点配置 (10)3.1状态反馈及输出反馈的两种基本形式 (10)3.1.1状态反馈 (10)3.1.2输出反馈 (11)3.2关于两种反馈的讨论 (12)3.3状态反馈的优越性 (14)3.4极点配置的提出 (14)3.4.1期望极点的选择 (14)3.4.2极点配置需要注意的问题 (15)3.5理论分析 (15)3.6极点配置的方法问题 (16)3.7根据极点配置法确定反馈系数 (18)4一级倒立摆系统模块仿真 (21)结论 (23)致谢 (24)参考文献 (25)附录A (外文文献) (26)附录B (中文翻译) (33)1绪论1.1倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。