线性空间的同构
高等代数线性空间的同构
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构映射的性质
证 因为 σ 是 V 到 V′ 的一个单射，所有如果 σ(α) = σ(β)，则 α = β. 于是有
k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0 ⇔σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = σ(0) ⇔k1σ(α1) + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs) = 0′
i=1
i=1
∑n
∑n
= aiγi + biγi
i=1
i=1
= σ(α) + σ(β),
∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi V 到 V′ 的一个同构映射，从而 V ∼= V′.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论.
σ :V ∑n
α = aiαi
i=1
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
6.8 线性空间的同构
V
β
α α＋β
V/
σ(β)
σ(α) σ(α＋β)=σ(α)+σ(β)
P
k
α
kα
P σ(α)
σ(kα)= kσ(α)
实例： 取映射 f：V3 R3 , 规定 V3
x
间. 设 dim V1 r, 1, ,r是V1 的基 f (1), , f (r（) f (V1)）线性 无关.
f (V1), a11 arr V1, f ( ) f (a11 arr )
a1 f (1) ar f (r ) f (1), , f (r ) 是 f (V1) 的基，即
5) f 是满射 , f (V1), , V1, f ( ) , f ( ) ；
由因 V1 是子空间 a,b P, a b V
a b af ( ) bf ( ) f (a b ) f (V1) f (V1)是W 的子空
gf 是V到V// 的同构映射.
□
该定理说明：线性空间 V V （自反性）；
V W W V （对称性）；
V V/，V/ V// V V// （传递性）
即线性空间之间的同构关系是一个等价关系.
4. (定理 12) V W dim V dim W
证明： V W V的基 e1, ,en 在同构映射 f 下的像
f ( ) f ( ) f 是V3到R3的映射.
, V3 , 设 xe1 ye2 ze3 , x/e1 y /e2 z /e3
数学竞赛讲座：同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。
线性空间的同构
§8.线性空间的同构一、 同构映射的定义 引入我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量 有唯一确定的坐标 ，向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于. 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 与对应，就得到V 到np 的一个单射反过来，对于中的任一元素 是V 中唯一确定的元素，并且 即 也是满射.因此， 是V 到np 的一一对应.这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上任取 设则 从而这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的,,V αβ∈12:,(,,,)n n V P a a a σα→12(,,,)n a a a 1122n na a a αεεε=+++12()(,,,),n a a aσα=12(,,,)n a a a 12,,,nεεε12(,,,)n a a a 1122,n n a a a αεεε=+++1122n nb b b βεεε=+++12()(,,),n a a a σα=12()(,,,)n b b b σβ=1122()(,,)n n a b a b a b σαβ+=+++1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+12()(,,)n k ka ka ka k Pσα=∀∈12(,,)(),n k a a a k σα==αααασσ运算.一、同构映射的定义设 都是数域P 上的线性空间，如果映射 具有以下性质： i) 为双射 ii) iii)则称 的一个同构映射，并称线性空间 同构，记作 例1、V 为数域P 上的n 维线性空间， 为V 的一组基，则前面V 到np 的一一对应这里 为在 基下的坐标，就是一个V 到Pn 的同构映射，所以 二、 同构的有关结论1、数域P 上任一n 维线性空间都与np 同构.2、设 是数域P 上的线性空间，的同构映射，则有1） 2）3）V 中向量组线性相关（线性无关）的充要条件是它,V V 'V V σ'→：()()(),,Vσαβσασβαβ+=+∀∈()(),,k k k P Vσασαα=∀∈∀∈12,,,n εεε:,n V P σ→Vα∀∈12(,,,)n a a a 12,,,n εεε.n V P ≅,V V 'V V σ'是到()()()00,.σσασα=-=-1122()r r k k k σααα+++1122()()(),r r k k k σασασα=+++,,1,2,,.i i V k P i r α∈∈=12,,,r ααασV V σ'是到V V '与.V V '≅12(,,,)n a a a α们的象 线性相关（线性无关）.4） 5） 的逆映射 为 的同构映射. 6） 若W 是V 的子空间，则W 在下的象 是的 子空间 证： 1）在同构映射定义的条件iii) 中分别取即得 2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3）因为 可得反过来，由可得 而 是一一对应，只有 所以可得 因此，线性相关（线性无关） 线性相关（线性无关）.4）设 为V 中任意一组基.由2）3）知， 为的一组基. 所以 5）首先是1－1对应，并且 I 为恒等变换任取 由于 是同构映射，有dim dim .V V '=V V σ'→：(){()}W W σσαα=∈dim dim ().W W σ=()()k k σασα=01,k k ==-与()()()00,σσασα=-=-11220r r k k k ααα+++=1122()0.r r k k k σααα+++=(0)0.σ=11220.r r k k k ααα+++=12,,,r ααα12(),(),,()r σασασα⇔12,d ,,im ,n V n εεε=12(),(),,()n σεσεσεdim dim .V n V '==11,,V V I I σσσσ--'==,,V αβ'''∈11(())()σσαβσσαβαβ--''''''+=+=+1111()()(())(())σσασσβσσασσβ----''''=+=+12(),(),,()r σασασα1σ-V V '到σV '1122()()()0r r k k k σασασα+++=1122()()()0r r k k k σασασα+++=σ1:V V σ-'→σ11(()())σσασβ--''=+再由 是单射，有 同理，有所以， 为的同构映射.6）首先， 其次，对 有W 中的向量 使 于是有由于W 为子空间，所以 从而有 所以 是的 子空间. 显然， 也为W 到 的同构映射，即 注由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.3、两个同构映射的乘积还是同构映射.证：设 为线性空间的同构映射，则乘积 是 的1－1对应. 任取111()()()σαβσασβ---''''+=+11()(),,k k V k P σασαα--''''=∀∈∀∈()()W V V σσ'⊆=()()(),W W σσσ∈∴≠∅且0=0(),,W αβσ''∀∈,αβ()(),.σαασββ''==,.W k W αβα+∈∈()(),.W k W αβσασ'''+∈∈()W W σ≅,:V V V V στ''''→→：,,V k P αβ∈∈，()()()()τσαβτσασβ+=+()()()()()k k k τσατσατσα==σ1σ-V V '到()()()αβσασβσαβ''+=+=+()(),k k k k Pασασα'==∀∈()W σV '()W σσdim dim ().W W σ=故τσV V ''到()()()()()()τσατσβτσατσβ=+=+()()()k k τσατσα==所以，乘积 是 的同构映射. 注同构关系具有： 反身性：对称性： 传递性： 4、数域P 上的两个有限维线性空间 同构 证 若 由性质2之4）即得 ""⇐ （法一）若 由性质1 ，有""⇐ （法二：构造同构映射）设 分别为V1, V2的一组基. 定义使则 就是V1到V2的一个映射.又任取 设 若 即 则从而，所以 是单射. 任取 设 则有 使 所以 是满射.再由 的定义，有 VI V V≅,VV V V V V σττσ''''''≅≅⇒≅12,V V 12dim dim .V V ⇔=""⇒12,V V ≅12dim dim .V V =12dim dim ,V V =1221,,;,,n n e e e εεε12:,V V σ→11221,n n a a a V αεεε∀=+++∈1122()n na e a e a e σα=+++1,,V αβ∈11,,nni i i i i i a b αεβε====∑∑()(),σασβ=11,nni i i i i i a e b e ===∑∑1,2,,,i n =.αβ=2,V α'∈1,ni i i a e α='=∑11,ni i i a V αε==∈∑(),1,2,,i i e i nσε==τσV V ''到1V V V V σσ-''≅⇒≅12,n nV P V P ≅≅12.V V ∴≅σσσ易证，对 有所以 是V1到V2的一个同构映射，故 例2、把复数域看成实数域R 上的线性空间， 证明： 证法一：证维数相等首先， 可表成 其次，若 则 所以，1，i 为C 的一组基， 又， 所以， 故， 证法二：构造同构映射作对应 则 为C 到2R 的一个同构映射.例3、全体正实数R+ 关于加法⊕与数量乘法 ： 作成实数域R 上的线性空间. 把实数域R 看成是自身上的线性空间. 证明： 并写出一个同构映射.证：作对应 易证 为 的1－1对应. 且对 有1,,k P V αβ∀∀∈∈()()(),σαβσασβ+=+()(),k k σασα=1,,x a bi a b R =+∈dim 2.C =2dim dim .C R =12.V V ≅()()2:,,.C R a bi ab σσ→+=,k a b ab k a a ⊕==,R R +≅():,ln ,R R a a a R σσ++→=∀∈σ12.V V ≅2C R ≅,x C x ∀∈0.a bi a b =1+=0,=2dim 2R =σR R +到,,,a b R k R +∀∈∀∈()()()()ln ln ln a b ab ab a b a b σσσσ⊕===+=+()()()ln ln k k k a a a k a k a σσσ====所以， 为 的同构映射. 故 方法二：作对应 易证： 为 的1－1对应，而且也为同构映射. 事实上， 为 的逆同构映射.():,,x R R x e x Rττ+→=∀∈σR R+到.R R +≅τR R +到τσ。
同构映射的定义同构映射的定义
同构映射的定义同构映射的定义§6.8 线性空间的同构一、同构映射的定义一、同构映射的定义二、同构的有关结论我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V 到P n 的一个单射反过来，对于P n 中的任一元素是V 中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，是V 到P n 的一一对应.引入12(,,,),n a a a L α12,,,,n εεεL αα12(,,,)n a a a L α12:,(,,,)n n V P a a a σα→a L 12(,,,),n a a a L 1122n na a a αεεε=+++L 12()(,,,),n a a a σα=L σσ这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取设,,V αβ∈12()(,,,)n b b b σβ=L 1122,n n a a a αεεε=+++L 1122n n b b b βεεε=+++L 12()(,,),n a a a σα=L 则1122()(,,)n n a b a b a b σαβ+=+++L 12()(,,)n k ka ka ka k Pσα=?∈L 归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+L L 12(,,)(),n k a a a k σα==L 从而一、同构映射的定义设都是数域P 上的线性空间，如果映射,V V ′具有以下性质：V V σ′→：则称的一个同构映射，并称线性空间V V σ′是到同构，记作V V ′与.V V ′?ii) ()()(),,V σαβσασβαβ+=+?∈iii) ()(),,k k k P Vσασαα=?∈?∈i) 为双射σ为V 的一组基，则前面V 到P n 的一一对应例1 V 为数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL :,nV P σ→12(,,,)n a a a αa L V α?∈这里为在基下的坐标，α12(,,,)n a a a L 12,,,n εεεL 就是一个V 到P n 的同构映射，所以.nV P ?1 数域P 上任一n 维线性空间都与P n 同构.二、同构的有关结论同构映射，则有()()()00,.σσασα=?=?1）2 设是数域P 上的线性空间，的V V σ′是到,V V ′2）1122()r r k k k σααα+++L 1122()()(),r r k k k σασασα=+++L ,,1,2,,.i i V k P i r α∈∈=L线性相关（线性无关）.3）V 中向量组线性相关（线性无关）12,,,r αααL 的充要条件是它们的象12(),(),,()r σασασαL 4）dim dim .V V ′=5）的逆映射为的同构映射.V V σ′→：1σ?V V ′到是的子空间，且V ′dim dim ().W W σ=(){()}W W σσαα=∈6）若W 是V 的子空间，则W 在下的象集σ中分别取即得01,k k ==?与()()()00,σσασα=?=?证：1）在同构映射定义的条件iii)()()k k σασα=2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由11220r r k k k ααα+++=L 可得1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 反过来，由1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 可得1122()0.r r k k k σααα+++=L而是一一对应，只有σ(0)0.σ=所以可得11220.r r k k k ααα+++=L 因此，线性相关（线性无关）12,,,r αααL 12(),(),,()r σασασα?L 线性相关（线性无关）.4）设为V 中任意一组基.12,d ,,im ,n V n εεε=L 由2）3）知，为的一组基.σ12(),(),,()n σεσεσεL 所以dim dim .V n V ′==11(())()σσαβσσαβαβ??′′′′′′+=+=+o 任取,,V αβ′′′∈11,,V V I I σσσσ??′==o o I 为恒等变换.1111()()(())(())σσασσβσσασσβ′′′′=+=+o o 11(()())σσασβ??′′=+5）首先是1－1对应，并且1:V V σ?′→同理，有11()(),,k k V k Pσασαα??′′′′=?∈?∈所以，为的同构映射.1σ?V V ′到σ再由是单射，有111()()()σαβσασβ′′′′+=+σ6）首先，()()W V V σσ′=()()(),W W σσσ∈∴≠?Q 且0=0其次，对有W 中的向量(),,W αβσ′′?∈,αβ使()(),.σαασββ′′==于是有()()()αβσασβσαβ′′+=+=+()(),k k k k Pασασα′==?∈由于W 为子空间，所以,.W k W αβα+∈∈从而有()(),.W k W αβσασ′′′+∈∈由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合dim dim ().W W σ=故所以是的子空间.V ′()W σ()W W σ?显然，也为W 到的同构映射，即()W σσ注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.证：设为线性空间的同构,:V V V V στ′′′′→→：3 两个同构映射的乘积还是同构映射.()()()()τσαβτσασβ+=+o ()()()()()()τσατσβτσατσβ=+=+o o ()()()()() k k k τσατσατσα==o ()()()k k τσατσα==o 任取,,V k P αβ∈∈，有映射，则乘积是的1－1对应.V V ′′到τσo 所以，乘积是的同构映射.V V ′′到τσo同构关系具有：反身性：对称性：传递性：注,V V V V V V σττσ′′′′′′o VI V V1V V V Vσσ?′′4 数域P 上的两个有限维线性空间同构12,V V 12dim dim .V V ?=证：""?""?若由性质2之4）即得12,V V ?12dim dim .V V =（法一）若12dim dim ,V V =12.V V ∴?由性质1，有12,n nV P V P ??设分别为V 1,V 2的一组基.1221,,;,,n n e e e εεεL L 定义使12:,V V σ→11221,n n a a a V αεεε?=+++∈L 1122()n na e a e a e σα=+++L 则就是V 1到V 2的一个映射.σ（法二：构造同构映射）""?又任取设11,,n ni i i i i i a b αεβε====∑∑1,,V αβ∈1,2,,,i n =L 从而，所以是单射..αβ=σ若即则()(),σασβ=11,n n i i i i i i a e b e ===∑∑,i i a b =任取设2,V α′∈1,ni i i a e α=′=∑所以是满射.σ再由的定义，有σ(),1,2,,i i e i n σε==L ()()(),σαβσασβ+=+()(),k k σασα=易证，对有1,,k P V αβ??∈∈12.V V ?所以是V 1到V 2的一个同构映射，故σ则有使11,n i i i a V αε==∈∑().σαα′=例2 把复数域看成实数域R 上的线性空间，证法一：证维数相等证明：2C R ?首先，可表成1,,x a bi a b R =+∈,x C x ?∈其次，若则0.a bi ab =1+=0,=所以，1，i 为C 的一组基，dim 2.C =又，2dim 2R =2dim dim .C R =所以，12.V V ?故，证法二构造同构映射则为C 到R 2的一个同构映射.σ作对应()()2:,,.C R a bi a b σσ→+=作成实数域R 上的线性空间. 把实数域R 看成是自身上的线性空间.,ka b ab k a a⊕==o 例3 全体正实数R +关于加法⊕与数量乘法：o 证明：并写出一个同构映射. ,R R +?。
高等代数 第6章线性空间 6.6 子空间的直和与线性空间的同构
多个子空间的直和
设W1，W2，…，Wr都是线性空间V的子空间。如果 则称 W1+ W2+…+ Wr 为子空间 W1 ， W2 ， … ， Wr 的直和，记为 W1+ W2+…+ Wr。
说明：一定要注意这里的条件是 ，不是Wi Wj ={0}，初学者
很容易出错。 多个子空间的和构成直和的条件 设 W1，W2 ，…，Wr是线性空间V的子空间，则 W1+ W2+…+ Wr 构成直和的充要条件是下列之一成立：
n维线性空间
Vn
R
n
x1 1 x2 2 xn n
x ( x1 , x2 , , xn )
T
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． ２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 U2 xn n x1 , x2 ,, xn R
与 n 维数组向量空间 R n 同构. 因为 T (1) Vn中的元素与R n中的元素( x1 , x2 ,, xn ) 形成一一对应关系；
线性空间的同构
τ o σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )
= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ o σ (α ) + τ o σ ( β )
§6.8 线性空间的同构
τ o σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )
的子空间， （6） 若W是V的子空间，则W在 σ 下的象集 ） 是 的子空间 在
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间， 是的 V ′ 子空间，且 dimW = dim σ (W ). 证： 首先，σ (W ) ⊆ σ (V ) = V ′ 首先，
且 Q 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ ∅
2 所以， 所以， dim C = dim R .
故， V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
证法二： 证法二：构造同构映射 作对应 σ : C → R 2 , σ ( a + bi ) = ( a , b ) . 则 σ 为C到R2的一个同构映射 到 的一个同构映射.
§6.8 线性空间的同构
W ≅ σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).
注意
可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 、两个同构映射的乘积还是同构映射 证： 设 σ：V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射，则乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的1－1对应 对应. 映射， － 对应 任取 α，β ∈ V , k ∈ P , 有
第19讲.线性空间的同构与综合例题
第19讲，综合复习与线性空间的同构关于线性空间的基本要求（一）1. 判断给定的集合关于所定义的运算是不是线性空间2. 熟练掌握线性空间中向量的线性相关、无关的概念与判定, 知道线性空间同构的概念和相关定理.3.求给定线性空间的基和维数4.求不同基之间的过渡矩阵、求向量在指定基下的坐标5.知道子空间的交、和与直和定义及其直和的等价命题6. 知道如何求子空间的交空间以及和空间的基与维数,熟练掌握维数公式, 知道如何求子空间的补空间.12综合例题例1 实数域上全体m ⨯n 实矩阵所构成的集合V = M m ,n (R)在矩阵的加法及数乘两种运算下构成实线性空间. 给出M m ,n (R) 的一组基, 并求dim M m ,n (R).解如果用E ij 来表示(i , j ) 位置上的元素为1, 其余位置上的元素为0 的m ⨯n 矩阵, 容易证明这mn 个矩阵作为V 的向量组是线性无关的.容易看出来对任意A = (a ij )m ⨯n 都有∑∑===m i n j ij ij E a A 11,可见E ij , i =1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n 这mn 个矩阵组成V 的一组基, 自然dim M m,n (R) = mn.3例2求实数域R 上全体n 阶对称矩阵所构成的线性空间U 的一组基和维数.解容易看出实数域上全体n 阶对称矩阵构成构成的矩阵集合U 是V = M m ,n (R) 的子空间.由对称矩阵定义不难得到如下的矩阵为U 的基:⎩⎨⎧≤<≤+==.1;,,,,n j i E E j i E F i j j i i i j i 所以dim U = 1+2+…+n = n(n+1)/2.4例3R n [x ] 是实数域R 上次数小于n 的多项式与零多项式所组成的线性空间. 给定n 个互不相同的数a 1, a 2,⋯, a n , 令),())(()(21n a x a x a x x f ---= 试证多项式组),,2,1()/()()(n i a x x f x f i i =-=是R n [x ]的一组基.解我们知道dim R n [x ] = n , 只需要证明f i (x ) (i =1, 2,…, n ) 线性无关就可以了.).,,2,1,;(0)(,0)(n j i j i a f a f j i i i =≠=≠设,0)()()(11=++++x f k x f k x f k n n i i 由上式, 当x = a i 时, 得到k i f i (a i ) = 0.故k i = 0 (i = 1, 2,…, n), 所以f 1(x ), f 2(x ), …, f n (x ) 线性无关, 从而构成R n [x] 的基.5例4证明W = {f (x )|f (1) = 0, f (x )∈R n [x ]} 关于多项式加法和数乘也作成线性空间, 求W 的一组基和维数.解在例3中取a i = i , (i =1, 2,…, n ), 则f 1(x )∉W, 而其它多项式f i (x ) (i = 2,…, n ) 属于W, 由此我们知道了dim W = n -1,例5 设W 1, W 2 是线性空间V 的两个子空间, 则W 1和W 2的并是V 的一个子空间⇔W 1包含W 2, 或W 2包含W 1.证明充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然,存在元素u 属于W 1, 但不属于W 2, 元素v 属于W 2但不属于W 1. 则u+v 不属于W 1与W 2 的并, 与W 1和W 2的并是V 的一个子空间矛盾.且f i (x ) (i = 2,…, n ) 就是W 的一组基.6例6 线性空间V 的任意有限个子空间的并是V 的一个子空间⇔它们均包含在其中一个子空间之中.证明充分性是显然的. 现证必要性:对子空间的个数归纳: 设V 有s 个子空间, 分别记为W 1, W 2,⋯, W s , 它们的并是V 的一个子空间, 若11,s s W W W -⊆⋃⋃ 则11s W W -⋃⋃ 是V 的一个子空间, 由归纳假设它们均包含在其中一个子空间之中,W s 也包含在这个子空间中, 若必要性不成立可设11,s s W W W -⊄⋃⋃ 则存在α∈W s ,11,s W W -α∉⋃⋃ 且11,s s W W W -⋃⋃⊄ 且存在11,,s s W W W -β∈⋃⋃β∉ 由例5必有s > 2, 故,,(1),s s W α+β-α+β∉ 1s W W ⋃⋃ 是V 的一个子空间21,,(1),s s W W -∴α+β-α+β∈⋃⋃ 由抽屉原理其中有两个属于同一个W i , 由此可知iW α∈与11s W W -α∉⋃⋃ 矛盾.7例7. 证明：所有n 阶方阵空间M n 是线性子空间空间L 1和L 2的直和，其中L 1是对称方阵子空间，L 2是反对称方阵子空间。
第八节线性空间的同构
其中 α , β 是 V 中任意向量， k 是 P 中任意的数，则称 σ 为 V 到 V ′ 的同构映 射，这时也称线性空间 V 与 V ′ 同构
注意：1）定义 12 中条件 1）2）于下面条件 3）等价： 注意 3） σ ( kα + lβ ) = kσ (α ) + lσ ( β ) ， ∀α , β ∈ V ， ∀k , l ∈ P 。
线性空间的同构一线性空间同构的概念定义12的11对应且满足的同构映射这时也称线性空间v同构注意
§8 线性空间的同构
一、线性空间同构的概念
定义 12 设 V 与 V ′ 是数域 P 上线性空间， σ 是 V 到 V ′ 的 1-1 对应，且满足 1） σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) ； 2） σ ( kα ) = kσ (α ) 。
2）任意线性空间都与自己同构。
3）数域 P 上任一 n 维线性空间都与 P n 同构。
例 1:设 V = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , A′ = A} ，
W = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , a ij = 0, i > j ,1 ≤ i, j ≤ 3} ，规定：
二、同构映射的性质
1） σ (0) = 0 ， σ ( −α ) = −σ (α ) ；
2） σ ( k1α 1 + k 2α 2 + L + k r α r ) = k1σ (α 1 ) + L + k r σ (α r ) ；
3）V 中向量组 α 1 , α 2 ,Lα r 线性相关（无关）等价于 σ (α 1 ), σ (α 2 ),Lσ (α r ) 线性相关（无关） 。
矩阵论-第二讲
2、维数公式
定理（维数公式）：设W1和W2是有限维线性空间V的两 个子空间，则 dimW 1 dimW 2 dim(W 1 W 2) dim(W 1 W 2)
x x x 例：对二阶矩阵所构成的线性空间M （ 2 R），令A ，B x y 0 L（A），L（B），L（A） L（B）和 M （ 2 R）的关系。 y ， z
T { A | S1 A A, A M 22 (R)} 2 { A | S2 A A, A M 22 (R)}
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
W 1 W 2 { | W 1, W 2}
称为子空间W1和W2的交。
W 1 W 2 { 1 2 | 1 W 1, 2 W 2}
(1) ( ) ( ) ( ), , W 1 (2) (k ) k ( ), W 1 , k F
则称 是同构映射，线性空间W1和W2同构。
同构映射的性质：
(1) (0) 0, ( ) ( ). (2) ( k i i )
生成子空间：
给定线性空间V的一组元素 1， ， 2， m, L( 1 , 2 ,, m) { k i i | k i F , i 1,2,, m)
i 1 m
定理：设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的 子空间的充要条件是： W对V的加法和数乘运算是封 闭的。
称为子空间W1和W2的和。
定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它 们的交以及它们的和仍然是V的子空间。
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，如果
W 1 W 2 {0}
则称W1+W2为子空间W1和W2的直和，记为 W 1 W 2 。
线性空间的基与维数及线性同构
f
(
n
1)( a
)
T
设 1 , 2 ,, n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
E
21
0 1
0 0
,
E
22
0 0
0 1
线性变换的矩阵和线性空间的同构
(1,2,3)
T
及T(
)基1
,
2
,
下的坐标
3
;
(3)向量
及T(
)基1,
2
,
下的坐标
3
.
解：(1)通过计算求得T(1) 1 1 2 ,
T(2 ) 2 1 2 3,
T(3 ) 3 1 22 3.
1 1 1
因此T在基1,
2
,
下的矩
3
阵表示A
1
1
2 .
0 1 1
(2)设
k1
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
令N(A)={ F n|A 0},R(A)={ F n| =A , F n},
则1)dim N (T ) dim N ( A); 2)dim R(T ) dim R( A) r( A); 3)(亏加秩)dim N ( A) dim R( A) n.
定理5 设T L(V,V),则T在不同基下的矩阵相似.
,
映射T：R
2
R 3由下式子确定
1
T ( ) B , R2.
求T在基1 (1,0)T，2 (0,1)T 与基1 (1,0,0)T， 2 (0,1,0)T , 3 (0,0,1)T 下的矩阵表示A.
解T(1) (1,1,0)T 1 2, T(2 ) (2,1,1)T 21 2 3.
线性映射的性质：
(1) T(0)=0.
s
s
(2) T( kii )= kiT (i )
i1
i1
(3)1, ,s线性相关，则T(1),
,T (s )也线性相关
注意：1, ,s线性无关，则T(1), ,T (s )不一定线性无关.
线性空间的同构.ppt
由于W为子空间，所以 W , k W .
从而有 W , k W .
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
注
由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
3）V中向量组 1,2 , ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ), , (r )
线性相关（线性无关）. 4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集 (W ) { ( ) W }
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
引入
我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定 一组基后，V中每一个向量 有唯一确定的坐标 (a1,a2 , ,an ) ，向量的坐标是P上的n元数组，因此
属于Pn. 这样一来，取定了V的一组基 1, 2 , , n 对于V中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 , ,an )与 对应，就得到V到Pn的一个单射
( 1( )) 1( )
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
线性代数上19线性空间的同构
定义 设 V1 与 V2 是数域 F 上的两个线性空间, 如果存在从 V1 到 V2 的一个双射满足： (1)∀α , β ∈V1 , 有 ϕ (α + β ) = ϕ (α ) + ϕ ( β ), (2)∀α ∈V1 , k ∈ F , 有 ϕ (kα ) = kϕ (α ), 则称 ϕ 是同构映射, 称 V1 与 V2 是同构的. 例2 设矩阵 A 经过一系列初等行变换变为 B, 即:
例4 证明 W = {f(x)|f(1) = 0, f(x)∈Rn[x]} 关于多项式加法和 数乘也作成线性空间, 求 W 的一组基和维数. 解 在例3中取 ai = i, (i =1, 2,…, n), 则 f1(x)∉W, 而其它多项 式 fi(x) (i = 2,…, n) 属于 W, 由此我们知道了 dim W = n-1, 且 fi(x) (i = 2,…, n) 就是 W 的一组基. 例5 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1 和 W2 的并是 V 的一个子空间 ⇔ W1 包含 W2, 或 W2 包含 W1. 证明 充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然, 存在元素 u 属于 W1, 但不属于 W2, 元素 v 属于 W2 但不 属于 W1. 则 u+v 不属于 W1 与 W2 的并, 与 W1 和 W2 的 并是 V 的一个子空间矛盾.
因为 P 可逆, 所以 R(A) 与 R(B) 同构.
2
例3 F 上的 n 维线性空间 V 同构于 Fn. 证明 设 ε1 ,L , ε n 为 V 的一组基, ∀α∈V, α 在 ε1 ,L , ε n 下的坐 标 X 是唯一确定的, 所以可定义 V 到 Fn 的映射 ϕ 使得 ϕ (α ) = X , 显然 ϕ 是双射, 且若 ϕ (α ) = X = ( x1 ,L , xn )T ,
高等代数§6.8 线性空间的同构
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3）因为由 k 1 1 k 2 2 k r r 0 可得 k 1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k r ( r ) 0 反过来，由 k 1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k r ( r ) 0 可得 ( k 1 1 k 2 2 k r r ) 0.
则 就是V1到V2的一个映射. 又任取 , V 1 , 设
n
a i i ,
i 1 n
n
bi i ,
i 1
n
若 ( ) ( ), 即
i 1, 2, , n ,
a i e i bi e i , 则
i 1 i 1
a i bi ,
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
引 入
我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一 组基后，
( a 1 , a 2 , , a n ),
V中每一个向量
向量的
有唯一确定的坐标
1 , 2 , , n ,
( a 1 , a 2 , , a n )
( ))
1
1
( )
1
(
( )
1
1
( ) (
( )) (
1
( ))
1
( )
( ))
1
再由 是单射，有
d im V 1 d im V 2 .
证： " " 若 V 1 V 2 ,由性质2之4）即得
6.8 线性空间的同构
_________________________________________________________
导学
学习目标：
了解同构映射的概念，掌握线性空间同构的概念；理解同构映射的性质；掌握线性空间同构的判别。
学习建议：
建议大家多看书，认真阅读定义，理论联系实际，通过具体线性空间去理解相关概念与结论，对例题要深刻理解，认真完成练习题。
重点难点：
重点：线性空间的同构映射的概念与性质。
难点：同构映射在实际问题中的应用。
_________________________________________________________
学习内容
一、n维线性空间中向量与坐标的对应关系
令V为Pxxn维线性空间，
1,L,
n为V的一个基，Vxx每个向量在
1,L,
n下有唯一的坐标，令
:VPn
在
1,L,
n下的坐标
即当
x
1
1Lx
n
n时，()(x
1,L,x
n)。
命题为V到
Pn的一一映射（双射），并且
()()(),,V；
注：这种对应正是几何问题转化为代数问题的理论依据。
二、线性空间同构的概念
定义设V与
V'均为数域Pxx线性空间，若存在V到
V'的双射满足。
（1）()()(),,V（即保持加法）。
V''的同构映射。
命题线性空间之间的同构关系为一个等价关系。12n
(
1,L,
s)(
1,L,
n)A。
证明：
dimL(
1,L,
s)R(A)。
证明方法一：
线性空间的同构分析
线性空间的同构分析线性空间的同构分析是线性代数中的一个重要概念，用来研究两个线性空间之间的一一映射关系。
在本文中，我们将探讨线性空间的同构概念及其相关性质，以及同构与线性变换之间的关系。
1. 同构的定义与性质线性空间的同构可以定义为两个线性空间之间的一一映射，使得这个映射保持线性结构。
具体而言，对于两个线性空间V和W，存在一个从V到W的映射φ，如果满足以下条件，那么称φ为V到W的同构映射：(1) φ是双射，即φ是一个一一对应的映射；(2) 对于任意的向量v1和v2，以及任意的标量t，都有φ(tv1 + v2) = tφ(v1) + φ(v2)。
同构的一个重要性质是保持线性结构，即同构映射保持向量的线性运算。
这意味着如果两个线性空间是同构的，它们之间的向量运算都是相容的。
此外，同构映射还保持向量的线性无关性和线性相关性，以及维数和基的映射关系。
2. 同构的判定方法判定两个线性空间是否同构有多种方法。
常用的方法包括维数判定、基的映射和矩阵判定法。
(1) 维数判定：如果两个线性空间的维数相等，则它们可能是同构的。
然而，维数相等并不意味着一定存在同构映射，还需要进一步验证。
(2) 基的映射：如果两个线性空间的基可以通过线性变换互相映射，那么它们是同构的。
具体地，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，W的一组基为{w1, w2, ..., wn}，如果存在一个线性变换T，使得T(vi) = wi (1≤ i ≤ n)，则V和W是同构的。
(3) 矩阵判定法：设V和W的维数均为n，如果存在一个n×n的可逆矩阵A，使得对于任意的v∈V，有Av∈W，那么V和W是同构的。
其中，A的每一列都是W中对应的基向量的坐标表示。
3. 同构与线性变换的关系线性变换是线性代数中另一个重要的概念，与同构密切相关。
事实上，同构映射可以看作是线性空间之间的线性变换，且是双射的特殊情况。
对于同构映射φ：V → W，我们可以定义一个线性变换T：V → W，使得对于任意的v∈V，都有T(v) = φ(v)。
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§8 线性空间的同构
一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P
二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V
例如：[]n P x 等
设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设
n n a a a εεεα+++= 2211,
n n b b b εεεβ+++= 2211
而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么
n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;
n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.
于是向量,βα+αk 的坐标分别是
),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,
),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.
以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.
三、线性空间同构
1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，
具有以下性质：
1）)()()(βσασβασ+=+;
2) ).()(ασασk k =
其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.
前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.
2．同构映射具有下列性质
由定义可以看出，同构映射具有下列性质：
(1). )()(,0)0(ασασσ-=-=.
(2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .
(3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数.
(4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合
{}11|)()(V V ∈=αασσ
是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.
(5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.
同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.
既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构.
3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.
由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.
第六章、线性空间(小结)
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体 展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间
1. 线性空间的概念
2. 线性间的性质
(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .
二、基、维数和坐标
1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标； 过渡矩阵.
2．基本结论
(1)线性相关性的有关结论.
(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m < 个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.
(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.
(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成
1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.
2．基本结论：
(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.
(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.
(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则
)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+
(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.
),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.
(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=， 此时称W 为U 的一个余子空间.
(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：
① ∑=i V W 是直和；
② 零向量的表示法唯一；
③ {});,,2,1(,0t i V V i
j j i ==∑≠
④ ∑=i V W dim dim .
四、线性空间的同构
1.同构的定义
2. 同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；
(2) 同构映射把子空间映成子空间；
(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；
(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.
本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；
难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.
本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定 或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.
本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。