线性空间和线性变换6

n
x jη
j
0 只有零解。
j 1
n
由 η j aijαi ( j 1,2,,n )
i 1
交换次序
n
n
n
nn
x jη j x j ( aijαi ) ( aij x j )αi 0
j 1
j1 i1
i1 j1
因1, 2,, n线性无关，i 的系数全为零,
n
aij x j 0 (i=1,,n)
x2
= (1,, n)
y2
xn
yn
代入
(1,, n)= (1,, n) A
α1,
α2 , ,
y1
αn
A
y2
α1
,
yn
α2 , ,
y1
αn
A
y2
yn
,
由于 在基 B1= (1,, n)
下的坐标是唯一的，所以 x= A y 或 y=A1 x.
例6.3 已知ℝ3的两组基B1={1, 2, 3}, B2={1, 2, 3} 为: 1=(1, 1, 0)T, 2=(0, 1, 1)T, 3=(1, 0, 1)T ;
定义6.1 设有序向量组B＝{1, 2,, n} ℝ n，若 B 线
性
无关，且 ℝn 中任意一个向量 均可以由 B 线性表示为 =a11 + a22 ++ ann
则称 B是ℝn 的一组基（或基底），有序数组(a1, a2,,an)是
向量 关于基 B（或在基B下）的一组坐标(坐标向量),记作 ℝn 的基B不=是(a唯1, a一2,的,，an而) 或在给B=定(a基1,下a2的,坐,a标n)T是, 唯一确定的。
1
1
xn
an
解这个方程组，得
x1 = a1, x2 = a2 a1, , ，xn = anan-1 .
所以， 在基 B下的坐标为B=[a1, a2 a1, , anan-1 ]T。
6.1.2 过渡矩阵（变换矩阵）与坐标变换公式
定理6.1 设
且
则 1, 2,, n
线性无关的充 要条件是
an2
ann
称矩阵A=(aij)nn为基B1变为基B2的变换矩阵 (或过渡矩阵) 。
A是可逆的。
A 的第 j 列是 j 在基{1, 2,, n}下的坐标。
例6.2 已知 B2= {1, 2, 3}是ℝ3一组基， 1=(1, 1, 1)T ,
2=(0, 2，1)T, 3=(0, 0, 4)T。求 ℝ3 的自然基B1={e1, e2, e3}
j 1
n
n
x jη j 0
j 1
只有零解即 aij x j 0
j 1
只有零解
|A| 0.
定义6.2 两组基B1=(1, 2,, n)和B2=( 1, 2,, n)
的关系，用矩阵的形式表示为
a11 a12 a1n
(1, 2,, n)=(1, 2,, n)
a21
a22
a2n
an1
向量 在B1 ,B2下的坐标分别为
ξB1 x ( x1,,xn )T , ξB2 y ( y1,, yn )T ,
则
A y=x 或 y= A1x
（坐标变换公式）
证：由 =x1 1 + x2 2 ++ xn n= y1 1 + y2 2 ++ yn n
x1
y1
= (1,, n)
第6章 线性空间和线性变换
主要内容: ℝn的基及向量关于基的坐标； 基变换和坐标变换，基过渡矩阵； 线性空间，基底，维数，坐标及线性子空间的概念； ℝn中的线性变换以及它的矩阵表示。 一个线性变换在两组基下的矩阵是相似的。
6.1 ℝn 的及向量关于基的坐标 坐标变换公式
6.1.1 ℝn 的基及向量关于基的坐标
1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T. 已知在基 B1下的坐标为x=(1, 0, 2)T，求在基B2下的坐标y 。
解法1 先求B1到B2的过渡矩阵A。 (1, 2, 3) = (1, 2, 3) A
1 1 1 1 0 1
1 0 111 1 1 1 2 1
所以， 在基 B下的坐标为B=[a1, a2 a1, , anan-1 ]T。
若将B中向量和都以列向量表示，则可以用矩阵的形式表示为
= x11+ x2 2++ xn n= β1,
β2 , ,
x1
βn
x2
xn
1 0 0 0 x1 a1
即
1
1
0
0
x2
a2
1 1
Rn 中n个单位向量组成的基称为自然基。 在 ℝ3 中， =a1 i + a2j + a3k. 向量(a1, a2, a3) 是关于自然 基{ i, j, k} 的一组坐标。 ℝ n中的向量 =(a1, a2,,an)T 也是
关于自然基B={e1, e2,, en}的坐标 B。
例6.1 ℝn 有一组基B = {1, 2,, n}，其中 1 =(1, 1,,1), 2 = (0, 1,,1), , n = (0, 0,, 1), 求 = (a1, a2,, an) 在基 B下的坐标B 。
B1={1, 2,, n}
是 ℝn 的一组基,
a11 a12 a1n
det
Байду номын сангаас
A
a21
a22
a2n
η1 a11α1 a21α 2 an1α n η2 a12α1 a22α2 an2α n η n a1nα1 a2nα 2 annα n
0
an1 an2 ann
证: 1, 2,, n线性无关的充要条件是
到基B2的过渡矩阵A.
解:
由
β1 β2
e1 e 2 0 2e
2
e3 e3
即
β1
β2
β3 e1
e2
1 1 1
e3 0 2 1.
β3 0 0 4e3
0 0 4
即得自然基B1到 基B2的过渡矩阵
1 1 1 A 0 2 1.
0 0 4
A 是1, 2, 3 按列排成的矩阵。
定理6.2 设基B1变为基B2的变换矩阵为A ，
解 设B = (x1, x2,, xn)T， = x11+x22 ++ xnn, 即
(a1, a2,, an)= x1 (1, 1, ,1)+ x2 (0, 1, ,1)+ + xn (0, 0, , 1)，
x1 a1
即
x1 x2 a2
x1 x2 xn an
解这个方程组，得
x1 = a1, x2 = a2 a1, , xn = anan-1 .
0 0
1 0
1 1 1 0
1 1
0 A ，得 A 1
1
0
1 1
0 1
0 0
1 0
1
1 2
1
1 1
0 0
1. 1
1 1 111 0 1 0 1 1